常用三角函数、导数、极限
高等数学公式(定积分 微积分 三角函数 导函数 等等 应有尽有)
高等数学公式基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x =++⎰ （5）arcsin x C =+（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x =-+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰ （17）2211ln ||2x adx C x a a x a -=+-+⎰ （18）sinxarc C a=+（19）ln(x C=++（20）ln |x C =++（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。
3、复习三角函数公式：2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2xx +=， 21cos 2sin 2xx -=。
注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ=⎰⎰，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。
极限和导数 -详细本
定理4.7(介值性定理)若函数 在闭区间 上连续，且 ，若 为 介于之间的任何实数（ 或 ）,则在开区间 内至少存在一点 ，使得 .
推论（根的存在定理）若函数 在闭区间 上连续，且 异号，则至少存在一点 使得 .即 在 内至少有一个实根.
当Δx→0时，Δy→0。 当Δx→0时，Δy不趋向于零。
定义：设函数y=f(x)在点x0及其近旁有定义，如果当自变量x在点x0处的增量Δx趋近于零时，函数y=f(x)相应的增量 也趋近于零，那么就叫做函数y=f(x)在点x0连续。用极限表示，就是
或
定义2：设函数y=f(x)在点x0及其左右近旁有定义，如果函数y=f(x)当x1→x0时的极限存在，且等于它在x0处的函数值f(x0),即
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2
和差化积4个
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cosห้องสมุดไป่ตู้(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。
4无穷小的定理:
定理1：设
定理2： 设 , 且 存在，则
=
5 无穷小的比较
①无穷小量阶的定义,设 .
(1)若 ,则称 是比 高阶的无穷小量.
(2) .
(3) 是同阶无穷小量.
(4) ,记为 .
(5)
三角函数的积分与导数
三角函数的积分与导数在微积分中，三角函数是非常重要的函数之一。
它们在各个科学领域，特别是物理学和工程学中，具有广泛的应用。
三角函数的积分和导数是求解与三角函数相关的问题时必不可少的工具。
本文将对三角函数的积分和导数进行详细讨论。
一、正弦函数的积分与导数正弦函数是最基本的三角函数之一，表示为sin(x)。
它的图像是一个周期性的波形，用于描述周期性现象，如振动和波动。
下面我们来讨论正弦函数的积分和导数。
1. 正弦函数的导数通过求导的定义，我们可以得到正弦函数的导数公式：d/dx(sin(x)) = cos(x)这意味着正弦函数的导数是余弦函数。
这个结果在物理学中有广泛的应用，尤其是在描述振动系统的运动方程时经常用到。
2. 正弦函数的积分对于正弦函数的积分，我们有以下公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C其中C是一个常数，表示积分常数。
这个积分公式可以通过对导数公式进行逆运算得到。
二、余弦函数的积分与导数余弦函数是三角函数中的另一个重要函数，表示为cos(x)。
它也是一个周期性的函数，与正弦函数密切相关。
下面我们来讨论余弦函数的积分和导数。
1. 余弦函数的导数通过求导的定义，可以得到余弦函数的导数公式：d/dx(cos(x)) = -sin(x)这意味着余弦函数的导数是负的正弦函数。
2. 余弦函数的积分对于余弦函数的积分，我们有以下公式：∫cos(x) dx = sin(x) + C其中C是积分常数。
三、其他除了正弦函数和余弦函数，还有一些其他常见的三角函数，如正切函数(tan(x))、余切函数(cot(x))、正割函数(sec(x))和余割函数(csc(x))。
它们也都有各自的积分和导数公式。
1. 正切函数的导数和积分：d/dx(tan(x)) = sec^2(x)∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C2. 余切函数的导数和积分：d/dx(cot(x)) = -csc^2(x)∫cot(x) dx = ln|sin(x)| + C3. 正割函数的导数和积分：d/dx(sec(x)) = sec(x)tan(x)∫sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C4. 余割函数的导数和积分：d/dx(csc(x)) = -csc(x)cot(x)∫csc(x) dx = ln|csc(x) - cot(x)| + C四、三角函数的积分与导数的应用三角函数的积分和导数在各个科学领域和工程学中有广泛的应用。
三角函数的导数解析与归纳
三角函数的导数解析与归纳在微积分中，研究导数是一个重要的课题。
导数给出了函数在每个点上的变化率，而对于三角函数，其导数的求解是十分常见且重要的。
本文将解析地探讨三角函数的导数，并对其进行归纳总结。
一、正弦函数的导数我们首先来看正弦函数的导数。
设函数y = sin(x)，则按照导数的定义：y' = lim(h->0) [sin(x+h) - sin(x)] / h利用三角函数的和差公式sin(a+b) = sin a*cos b + cos a*sin b，我们可以将上式展开得到：y' = lim(h->0) [sin x*cos h + cos x*sin h - sin x] / h= lim(h->0) [cos h*sin x + sin h*cos x - sin x] / h= lim(h->0) [2*sin(h/2)*cos(h/2)*sin x + sin h*cos x - sin x] / h根据极限的性质，lim(h->0) sin(h/2)/h = 1 和 lim(h->0) sin h/h = 1，于是上式变为：y' = lim(h->0) [2*sin(x/2)*cos(x/2)*sin x + sin x*cos x - sin x] / h= lim(h->0) [sin x*(2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1)] / h由于lim(h->0) 2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1 = 0，所以上式化简为： y' = lim(h->0) sin x*(2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1) / h= sin x * lim(h->0) [2*sin(x/2)*cos(x/2) + cos x - 1] / h= sin x * 0= 0因此，我们得出结论：正弦函数的导数为零，即 d(sin(x))/dx = 0。
导数的概念导数公式与应用
导数的概念导数公式与应用一、导数的概念导数是微积分中的重要概念之一，表示函数在其中一点处的变化率。
具体来说，对于函数f(x)，在点x处的导数可以用极限表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx) - f(x))/Δx 〗其中，Δx表示自变量x的一个增量。
导数表示了在自变量x发生微小变化的过程中，函数f(x)相应地发生的变化。
二、导数的公式1.常数的导数公式：如果f(x)=c是一个常数函数，其中c是常数，则f'(x)=0。
这是因为无论x如何变化，函数的值始终保持不变。
2.幂函数的导数公式：如果f(x)=x^n，其中n是任意实数，则f'(x)=nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式：如果f(x)=a^x，其中a>0且a≠1，则f'(x)=a^xln(a)。
这个公式表明指数函数的导数与指数函数的底数有关。
4.对数函数的导数公式：如果f(x)=logₐ(x)，其中a>0且a≠1，则f'(x)=1/((xln(a))。
5.三角函数的导数公式：- sin(x)的导数：(sin(x))'=cos(x)。
- cos(x)的导数：(cos(x))'=-sin(x)。
- tan(x)的导数：(tan(x))'=sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式：- arcsin(x)的导数：(arcsin(x))'=1/√(1-x^2)。
- arccos(x)的导数：(arccos(x))'=-1/√(1-x^2)。
- arctan(x)的导数：(arctan(x))'=1/(1+x^2)。
以及其他常用函数的导数公式，如指数函数、对数函数的复合函数求导法则等。
三、导数的应用导数作为一种变化率的度量，有许多实际应用。
1.切线与法线：通过计算函数的导数，可以求得函数曲线在特定点处的导数值，从而得到曲线上该点处的切线方程。
三角函数公式及求导公式
三角函数公式及求导公式三角函数（trigonometric functions）是数学中常用的一类函数。
三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）、正切函数（tangent）、余切函数（cotangent）、正割函数（secant）和余割函数（cosecant），它们的定义涉及面积比、直角三角形的边长比以及点的坐标等几何概念。
以下是常见的三角函数以及它们的定义：1. 正弦函数（sin）：正弦函数的定义式为：sin(x) = (opposite/hypotenuse)，其中x表示一个角的弧度，opposite表示角对边的长度，hypotenuse表示斜边的长度。
2. 余弦函数（cos）：余弦函数的定义式为：cos(x) = (adjacent/hypotenuse)，其中x表示一个角的弧度，adjacent表示角邻边的长度，hypotenuse表示斜边的长度。
3. 正切函数（tan）：正切函数的定义式为：tan(x) = (opposite/adjacent)，其中x表示一个角的弧度，opposite表示角对边的长度，adjacent表示角邻边的长度。
4. 余切函数（cot）：余切函数的定义式为：cot(x) = (adjacent/opposite)，其中x表示一个角的弧度，adjacent表示角邻边的长度，opposite表示角对边的长度。
5. 正割函数（sec）：正割函数的定义式为：sec(x) = 1/cos(x)，其中x表示一个角的弧度。
6. 余割函数（csc）：余割函数的定义式为：csc(x) = 1/sin(x)，其中x表示一个角的弧度。
三角函数的求导公式（derivative）是在微积分中使用的重要工具。
以下是常见的三角函数求导公式：1.正弦函数的导数：(d/dx)sin(x) = cos(x)2.余弦函数的导数：(d/dx)cos(x) = -sin(x)3.正切函数的导数：(d/dx)tan(x) = sec^2(x)4.余切函数的导数：(d/dx)cot(x) = -csc^2(x)5.正割函数的导数：(d/dx)sec(x) = sec(x)tan(x)6.余割函数的导数：(d/dx)csc(x) = -csc(x)cot(x)三角函数的导数公式可以通过一些基本的求导规则推导得出，如链式法则、乘法法则和常数倍数法则。
高考数学常用三角函数公式总结_高考数学复习指导整理
高考数学常用三角函数公式总结_高考数学复习指导整理数学学问点许多，只有进行（总结），才能发觉重点难点，下面就是我给大家带来的，盼望大家喜爱！高考数学公式总结高考数学三角函数公式sinα=∠α的对边/斜边cosα=∠α的邻边/斜边tanα=∠α的对边/∠α的邻边cotα=∠α的邻边/∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA2)(注：SinA2是sinA的平方sin2(A))三倍角公式第1页/共11页sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina三角函数帮助角公式Asinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A2+B2)’(1/2)cost=A/(A2+B2)’(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A2+B2)’(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角函数推导公式第2页/共11页tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos2α1-cos2α=2sin2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=3sina-4sin3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa=4 cos3a-3cosasin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(√3/2)2-sin2a]=4sina(sin260°-sin2a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/ 2]2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a-(√3/2)2]=4cosa(cos 2a-cos230°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa2cos[(a+30°)/2]cos [(a-30°)/2]{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]= 4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)第3页/共11页三角函数半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin2(a/2)=(1-cos(a))/2cos2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角函数三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sin γcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cos γtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)三角函数两角和差cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ第4页/共11页cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)三角函数和差化积sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 三角函数积化和差sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2第5页/共11页三角函数诱导公式sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(—a)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtanA=sinA/cosAtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotα第6页/共11页tan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan’(α/2)]cosα=[1-tan’(α/2)]/1+tan’(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan’(α/2)]（其它）公式(1)(sinα)2+(cosα)2=1(2)1+(tanα)2=(secα)2(3)1+(cotα)2=(cscα)2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)2,其次个除(cosα)2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)第7页/共11页(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∠Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)2+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC(8)(sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π2/n)+sin(α+2π3/n)+……+sin[α+2π(n-1)/n] =0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π2/n)+cos(α+2π3/n)+……+cos[α+2π(n-1)/n] =0以及sin2(α)+sin2(α-2π/3)+sin2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0高考数学（记忆（方法））一、分类记忆法第8页/共11页遇到数学公式较多，一时难于记忆时，可以将这些公式适当分组。
导数lim的运算法则
导数lim的运算法则导数lim的运算法则是微积分中非常重要的一部分，它是求导数的基础，也是求极限的基础。
在微积分中，导数lim的运算法则有以下几个方面：1. 常数的导数对于常数c，它的导数为0，即lim（f(x) - c）/（x - a）= 0，其中a 为x趋近于的值。
2. 幂函数的导数对于幂函数y = x^n，它的导数为y' = nx^(n-1)，即lim（f(x) - f(a)）/（x - a）= na^(n-1)，其中a为x趋近于的值。
3. 指数函数的导数对于指数函数y = e^x，它的导数为y' = e^x，即lim（f(x) - f(a)）/（x - a）= e^a，其中a为x趋近于的值。
4. 对数函数的导数对于对数函数y = ln x，它的导数为y' = 1/x，即lim（f(x) - f(a)）/（x - a）= 1/a，其中a为x趋近于的值。
5. 三角函数的导数对于三角函数sin x和cos x，它们的导数分别为cos x和-sin x，即lim（f(x) - f(a)）/（x - a）= cos a和-sin a，其中a为x趋近于的值。
6. 复合函数的导数对于复合函数f(g(x))，它的导数为f'(g(x)) * g'(x)，即lim（f(g(x)) - f(g(a))）/（x - a）= f'(g(a)) * g'(a)，其中a为x趋近于的值。
以上就是导数lim的运算法则的基本内容，它们是微积分中非常重要的一部分，掌握好这些规律，可以更好地求导数和求极限。
在实际应用中，我们可以根据这些规律来求解各种问题，例如求函数的最大值、最小值、拐点等等。
因此，学好导数lim的运算法则对于我们的学习和工作都有很大的帮助。
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三角函数公式表
同角三角函数的基本关系式倒数关系
商的关系
平方关系
tan cot 1sin csc 1cos sec 1
αααααα⋅=⋅=⋅=sin sec tan cos csc cos csc cot sin sec αα
ααααα
ααα
====2
2
2
2
2
2
sin cos 11tan sec 1cot csc αααααα
+=+=+=诱导公式
sin()sin αα−=−cos()cos αα−=tan()tan αα−=−cot()cot αα
−=−sin()cos 2cos()sin 2tan()cot 2cot()tan 2π
αα
π
αα
π
αα
π
αα
−=−=−=−=sin(
)cos 2cos()sin 2tan()cot 2cot()tan 2π
ααπ
αα
π
αα
π
αα
+=+=−+=−+=−sin()sin cos()cos tan()tan cot()cot πααπααπααπαα
−=−=−−=−−=−sin()sin cos()cos tan()tan cot()cot πααπααπααπαα+=−+=−+=+=3sin()cos 23cos()sin 23tan()cot 23cot()tan 2π
αα
π
αα
π
αα
π
αα
−=−−=−−=−=3sin(
)cos 23cos()sin 23tan()cot 23cot()tan 2π
ααπ
αα
π
αα
π
αα
+=−+=+=−+=−sin(2)sin cos(2)cos tan(2)tan cot(2)cot πααπααπααπαα
−=−−=−=−−=−(其中k ∈Z)
sin(2)sin cos(2)cos tan(2)tan cot(2)cot πααπααπααπαα
+=+=+===两角和与差的三角函数公式
万能公式
sin()sin cos cos sin sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=+−=−+=−−=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=
−⋅tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
−−=
−⋅2tan(/2)sin 1tan 2(/2)ααα=
+1tan 2(/2)cos 1tan 2(/2)ααα−=
+2tan(/2)tan 1tan 2(/2)
ααα=
−
二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin 22sin cos cos 2cos 2sin 22cos 2112sin 2ααα
ααααα==−=−=−2tan tan 21tan 2α
αα
=−
−sin 33sin 4sin 3cos34cos33cos .
3tan tan 3tan 313tan 2αααααααα
αα
=−=−−=−
−三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式
sin sin 2sin cos 22sin sin 2cos sin
22cos cos 2cos cos
22cos cos 2sin sin
22αβαβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβ+−+=
⋅+−−=⋅+−+=⋅+−
−=−⋅[][]
[]
[]
1
sin cos sin()sin()21
cos sin sin()sin()21
cos cos cos()cos()21
sin sin cos()cos()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⋅=
++−⋅=+−−⋅=++−⋅=−+−−六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
”
导数的四则运算法则设u=u（x），v=v（x）均为x的可导函数，则有
（1）（u±v）'=u'±v'
（2）（u·v）'=u'·v+u·v'
（3）（cu）'=c·u'
（4）
（5）
（6）（u·v·w）'=u'·v·w+u·v'·w+u·v·w'
求极限公式
（2）
（3）
（4）
（5），
（6）
（7）
（8）
3、方法
（1）分母极限为0时，分解因式,凑公式
（2）当时，除以最高指数的X n。