《复数与几何》PPT课件
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复数的几何表示 ppt课件
(3) Im(i z ) 4 设 z x iy, i z x (1 y)i, Im(i z ) 1 y 4,
所求曲线方程为 y 3.
PPT课件
21
二、复球面
1. 南极、北极的定义
取一个与复平面切于原点 z 0的球面,
球面上一点S 与原点重合, 通过 S 作垂直于复平面的 直线与球面相交于另一点 N , 我们称 N 为北极, S 为南极.
z0
z1 k 2z2 1 k2
,
k z1 z2 1 k2
.
证 圆周 z z0 , 将 z0 和 代入,
z
z1
k2(z 1 k2
z2 )
k z1 z2 1 k2
z z1 k2(z z2 ) k z1 z2 ,
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18
两边同除以 z z2 ,
解 通过两点 ( x1, y1 ) 与 ( x2 , y2 )的直线的方程
x
y
x1 y1
t( t(
x2 y2
x1 ) y1 )
参数 t (, ),
所以它的复数形式的参数方程为
z z1 t(z2 z1) 参数 t (, ),
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16
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23
3. 扩充复平面的定义
包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面.
对于复数 来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意
义, 它的模规定为正无穷大. 复球面的优越处:
能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.
1复数的概念及其几何意义ppt课件
复数的共轭与逆
复数的共轭
复数 $z = a + bi$ 的共轭定义为 $a - bi$，记作 $overline{z}$。 共轭复数是实部相等、虚部互为 相反数的两个复数。
复数的逆
对于非零复数 $z = a + bi$，其 逆定义为 $frac{1}{z} = frac{a bi}{a^2 + b^2}$。逆复数是满足 $z times frac{1}{z} = 1$ 的复数 。
表示变换
通过复变函数可以实现平面上的 变换，例如共形映射可以实现将
一个区域映射到另一个区域。
2023
PART 05
复数在物理和工程中的应 用
REPORTING
复数在电路分析中的应用
描述交流电路中的电压和电流
在交流电路中，电压和电流通常表示为复数形式，其中实部表示幅度，虚部表示相位。通过使用复数，可以方便地描 述交流信号的幅度、频率和相位等特性。
除法规则
设$z_1 = a + bi neq 0$，$z_2 = c + di$，则$frac{z_2}{z_1} = frac{c+di}{a+bi} = frac{(c+di)(a-bi)}{(a+bi)(a-bi)} = frac{ac+bd}{a^2+b^2} + frac{bcad}{a^2+b^2}i$。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
02
复数集包含了实数集和虚数集， 是实数集的扩展。
复数的表示方法
代数形式
指数形式
复数可以用代数形式表示为a+bi，其 中a为实部，b为虚部。
复数的几何表示ppt课件
指数表示式为
z
3 i
e10 .
内容小结
1.复数的模、辐角、幅角主值; 2.复数的各种表示法.
各种表示法可相互转化,
思考题
1.是否任意复数都有辐角?
它的模为零而辐角不确定.
作业
习题一: 1(2)(4)、2、4(1)(6) 7,8(3)(4)(5)
例4 将通过两点z1 x1 iy1 与 z2 x2 iy2 的直 线用复数形式的方程来表示.
2.用复平面上的向量表示复数
向量 OP与复数 z 一x 一iy对应，故用它表示复数.
y
P
z x iy
z
o
x
注意： 复数 z，点 z，向量 z 可视为同一个概念。
y
z 与 z 在复平面上关于实轴对称. y r
z x yi
O
x
x
z x yi
二、复数的模和幅角
复数z 的模：向量 OP的长度， 记作
由于z 位于第三象限，
arg z arctan ( 1 ) π 3
arctan
1 3
π .
y
3
x
1
arctan y
x
arctan y
x
arctan y x
arctan y x
例2 证明复平面上的三角不等式
(1) z1 z2 z1 z2 ; (2) z1 z2 z1 z2 .
证 两复数的加减运算满足向量的平行四边形法则，
6
6
5π i
z 4e 6 . 习惯上取主辐角
例5 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
z sin i cos ;
5
5
解 r z 1,
sin
复数几何意义ppt课件
加强实践应用能力
通过解决实际问题，提高复数 几何意义的应用能力和技巧。
关注前沿研究动态
关注复数在科学研究和技术应 用中的最新进展和趋势。
THANKS
感谢观看
利用欧拉公式求解三角恒等式问题
将三角恒等式转化为复数形式
01
利用欧拉公式，将三角恒等式中的三角函数转化为复数形式，
从而简化问题。
利用复数性质进行化简
02
利用复数的性质，如共轭复数、模长等，对转化后的复数进行
化简。
转化回三角恒等式形式
03
将化简后的复数形式转化回三角恒等式形式，得到问题的答案
。
典型例题分析与解答
例题2
已知点P的坐标和平移向量，求点P平移后的新坐标。
典型例题分析与解答
解答
将点P的坐标表示为复数形式，然后将平移向量的横纵坐标分别加到复数的实部和虚部上 ，得到新的复数坐标，再转换回平面直角坐标系中的坐标形式。
例题3
已知正方形ABCD的四个顶点坐标和缩放因子k，求正方形ABCD缩放后的新坐标。
解答
几何变换类型及特点
平移变换
图形在平面内沿某一方向 移动一定的距离，不改变 图形的形状和大小。
旋转变换
图形绕某一点旋转一定的 角度，不改变图形的形状 和大小，只改变图形的位 置和方向。
缩放变换
图形的大小发生变化，形 状不变，通过改变图形的 比例尺来实现。
利用复数实现平移、旋转和缩放操作
平移操作
通过复数加法实现，将复数的实部和虚部分别加上平移向量的横 纵坐标。
表示方法
复数通常用代数形式$z=a+bi$表 示，其中$a$称为实部，$b$称为 虚部。此外，还有三角形式、指 数形式等表示方法。
数学课件ppt复数的几何意义
02
复数在平面坐标系中表示
复平面与坐标系建立
复平面的定义
复平面是一个二维平面，其中横 轴表示实部，纵轴表示虚部。
坐标系的建立
在复平面上，以原点为起点，水平 向右为实轴正方向，垂直向上为虚 轴正方向，建立平面直角坐标系。
坐标表示
复数 $z = a + bi$ 在复平面上对应 的点的坐标为 $(a, b)$。
乘除运算对应几何变换
乘法运算
两复数相乘，其几何意义是对应的两个向量先旋转后伸缩。具体地，设 $z_1 = r_1(cos theta_1 + i sin theta_1)$，$z_2 = r_2(cos theta_2 + i sin theta_2)$，则 $z_1 times z_2 = r_1r_2(cos(theta_1 + theta_2) + i sin(theta_1 + theta_2))$，即模长相乘，辐角相加。
常见函数图像绘制技巧分享
坐标轴选择
在绘制复数函数图像时，可以选择实部-虚部坐标系或模辐角坐标系。不同的坐标系选择会对图像呈现产生不同的 影响。
色彩运用
通过合理运用色彩，可以更加清晰地展示函数的特征和性 质。例如，可以使用不同颜色表示函数的实部和虚部，或 者使用渐变色表示函数的模长变化。
关键点标注
在图像上标注关键点，如零点、极值点、对称中心等，有 助于更好地理解函数的性质和行为。
应用举例：电路分析中相位差计算
交流电路中的电压和电流通常表示为复数形式，其中实部表示幅度，虚部表示相位。通过复数的乘除运算可以方便地计算电 压和电流之间的相位差。
例如，在RLC串联电路中，已知电源电压 $U = 220angle 0^circ V$，电阻 $R = 10Omega$，电感 $L = 0.4H$，电容 $C = 5mu F$。求电流 $I$ 和电阻两端电压 $U_R$ 的相位差。通过复数运算可得 $I = frac{U}{Z}$，其中阻抗 $Z = R + jomega L - jfrac{1}{omega C}$。进一步计算可得相位差 $Delta phi = phi_I - phi_{U_R}$。
人教版高中数学必修二第七章复数全套PPT课件
+ 5 + 6 = 0
2 − 2 − 15 = 0
（4）当 ቊ 2
时，复数 为 0 ，此时， = −3.
+ 5 + 6修第二册（A版）
第七章 复数
7.1.2 复数的几何意义
讲课老师：XXX
知识回顾
实部
虚部
虚数单位
= + (， ∈ )
复数
实数( = 0)
虚数( ≠ 0)
纯虚数( = 0)
非纯虚数( ≠ 0)
学习目标
1. 理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数
及它们之间的一 一对应关系；
2. 掌握实轴、虚轴、模等概念；
3. 掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
核心素养
数学抽象
逻辑推理
数学运算
复平面及复数的几
例如，3
1
+ 2， −
2
3， − 3 −
1
，
2
1
2
它们的实部分别是 3， ，− 3，0，
1
2
虚部分别是 2， − 3， − ， − 0.2，
并且其中只有 −0.2 是纯虚数.
− 0.2 都是虚数，
02
1 复数的分类
思
考
复数集 C 与实数集 R 之间有
显然，实数集 R 是复数集 C
什么关系？
新数 ，使得 = 是方程 2 + 1 = 0 的解，即使得 i2 = −1。我们希望数
和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满
足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律.
依照以上设想，把实数 与 相乘，结果记作 ；把实数 与 相加，结果
2 − 2 − 15 = 0
（4）当 ቊ 2
时，复数 为 0 ，此时， = −3.
+ 5 + 6修第二册（A版）
第七章 复数
7.1.2 复数的几何意义
讲课老师：XXX
知识回顾
实部
虚部
虚数单位
= + (， ∈ )
复数
实数( = 0)
虚数( ≠ 0)
纯虚数( = 0)
非纯虚数( ≠ 0)
学习目标
1. 理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数
及它们之间的一 一对应关系；
2. 掌握实轴、虚轴、模等概念；
3. 掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
核心素养
数学抽象
逻辑推理
数学运算
复平面及复数的几
例如，3
1
+ 2， −
2
3， − 3 −
1
，
2
1
2
它们的实部分别是 3， ，− 3，0，
1
2
虚部分别是 2， − 3， − ， − 0.2，
并且其中只有 −0.2 是纯虚数.
− 0.2 都是虚数，
02
1 复数的分类
思
考
复数集 C 与实数集 R 之间有
显然，实数集 R 是复数集 C
什么关系？
新数 ，使得 = 是方程 2 + 1 = 0 的解，即使得 i2 = −1。我们希望数
和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满
足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律.
依照以上设想，把实数 与 相乘，结果记作 ；把实数 与 相加，结果
复数概念及其几何意义PPT课件
向量表示法在复平面中应用
向量加法
在复平面上，两个复数的 加法可以通过向量加法来 实现，即分别将两个复数 对应的向量进行合成。
向量乘法
复数的乘法也可以通过向 量来表示，乘法的结果可 以通过向量的模长和辐角 来计算。
向量与复数转换
向量和复数之间可以相互 转换，通过向量的坐标可 以得到对应的复数，反之 亦然。
工程学中的应用
在信号处理、控制系统等领域，复数可以表示信号的频率、振幅 和相位等信息，有助于信号的分析和处理。
数学中的应用
在代数、几何、三角等领域，复数可以作为一种工具来解决一些 复杂的问题，如方程的求解、图形的变换等。
思考题与课堂互动环节
思考题
提出一些与复数相关的思考题， 让学生自主思考和解答，加深对 复数概念的理解和应用。
阐述利用复数性质证明三角不等式的方法 ，如柯西-施瓦茨不等式等。
应用举例
举例说明三角函数求解问题在实际问题中 的应用，如物理学中的振动分析、信号处 理中的频谱分析等。
05
微分方程中复数解法探讨
一阶线性微分方程求解
一阶线性微分方程标准形式
$y' + p(x)y = q(x)$
复数在求解中的应用
通过引入复数，将实数域上的一阶线 性微分方程扩展到复数域上，从而简 化求解过程。
a示d}{例c^2+d^2}i$。
计算$(2+3i)(4-5i)$，结果为$23-2i$；计算 $frac{2+3i}{4-5i}$，结果为$frac{7}{41}+frac{22}{41}i$。
幂运算和根式运算拓展
幂运算规则
根据复数模与辐角的定义，有$(r(costheta+isintheta))^n=r^n(cos ntheta+isin ntheta)$，其中$r$为复数模，$theta$为辐角。
7.1.2复数的几何意义课件(人教版)
)
A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
(2)已知在复平面内表示复数 z=(m-3)+2 i 的点在直线 y=x
上,则实数 m 的值为
.
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用
复平面内的点Z(a,b)来表示.
2.表示：z 的共轭复数用 z 表示，即若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝ a－bi .
做一做:
(1)已知复数z=i,则复平面内z对应的点Z的坐标为(
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(0,0) D.(1,1)
(2)若=(0,-3),则对应的复数为(
A.0
B.-3
C.-3i
（3）做一做:若复数 z=1+
数学（人教202X版）必修第二册
第七章 复数
7.1.2 复数的几何意义
学习目标
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的
一一对应关系.
2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
1
知识梳理
知识点一
复平面
实轴
虚轴
思考
有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点
在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,
复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即
为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复
A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
(2)已知在复平面内表示复数 z=(m-3)+2 i 的点在直线 y=x
上,则实数 m 的值为
.
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用
复平面内的点Z(a,b)来表示.
2.表示：z 的共轭复数用 z 表示，即若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝ a－bi .
做一做:
(1)已知复数z=i,则复平面内z对应的点Z的坐标为(
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(0,0) D.(1,1)
(2)若=(0,-3),则对应的复数为(
A.0
B.-3
C.-3i
（3）做一做:若复数 z=1+
数学（人教202X版）必修第二册
第七章 复数
7.1.2 复数的几何意义
学习目标
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的
一一对应关系.
2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
1
知识梳理
知识点一
复平面
实轴
虚轴
思考
有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点
在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,
复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即
为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复
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得 u 2i 1
y
x 0
argu
3
, 2
3
例4、已知在复平面内等边三角形的两个
顶点所表示的复数为2，1 3 i 。 22
求第三个顶点所对应的复数。
分析:我们要
y
注意AB这条
向量的旋转
B
方向，可以 0
C x
A
有两种选择。
C’
例5、已知复数z1,z2,z3满足|z1|=|z2|=|z3|，z1+z2+z3=0，
求证：z1，z2，z3在复平面上对应的点A、B、C是一个
内接与单位圆的正三角形的顶点。
y
y
C
B
x
x
A
复数与几何的关系远不 止上面的例子中所列举 的情形，他们之间更多 的联系还有待于同学们 去发现和挖掘。
应用复数的几何意义，解 决几何中的某些问题时候， 要注意变量的范围。
注意几何知识的同时使用， 不一定是单纯的代数方法， 注意知识的连带性。
复数与几何
长春市第十一中学
李旭
由于复数与复平面上的点的一一对 应关系，使复数与解析几何存在必 然的联系。利用复数解曲线与方程 问题成为一种有效的手段，常用的 方法是两复数相等的条件的应用、 复平面上两点间距离公式的使用等。 在解决有关轨迹问题时，利用解析 几何求轨迹的方法和复数的有关性 质，使有些问题的解决更简捷。
y 2
B
.o’
C
x
01
ALeabharlann 例3、复数z满足不等式 zz iz iz 0 ,
设u=z+i,求u的辐角主角的取值范围。
解:由 已 知 得 即
z(z i) iz 0
z(z i) i(z i) 1 ( z i)( z i) 1
z i 1
又 u = z + i. 得 z = u - i
例1、已知复数z满足： z (1 i)
2，
argz
, 求 u=z+i 的轨迹方程。
解：
u =z+i
z=u–i
由
得
z-(1+i) = 2
z-(1+i) = 2
u –(1+2i)
2
几何意义法：
u的轨迹是由z的轨迹向上平移一个单位而得到的，
所以它的轨迹也是一个圆。
z的轨迹是一个以（1，1）为圆心，2 为半径的圆,
则 u 的轨迹是以（1，2）为圆心， 2为半径的圆。
坐标平移的原则是什么？
上 加
左加
右减
下 减
y
1
0
x
z的轨迹
y
2
1 x
0
u的轨迹
例2、B为圆x2+y2=1上的动点，A为定点（2，0），
且 ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形， (如图）求C点的轨迹方程。
解: 设C(x ,y),B(x’,y’) 因为zB–zA =(zC –zA)i 所以 x’ + y’ i – 2 = ( x – 2+ y i ) i ( x’ – 2 )+ i y ’ = – y + ( x + 2 ) i x’ – 2 = – y y’=x+2 又（x’）2+（y’）2=1 （x – 2)2+(y –2)2=1
谢谢！再见！