高考数学参数方程

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(2)在参数方程中，应明确参数t的取值范围.对于参数方程x ＝f(t)，y＝g(t)来说，如果t的取值范围不同，它们表示的曲 线可能是不相同的.如果不明确写出其取值范围，那么参数 的取值范围就理解为x＝f(t)和y＝g(t)这两个函数的自然定义 域的交集.
2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的__参__数__方__程__和__普__通__方__程__是曲线方程的不同形式. (2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x_，__y_的__取__值__范__围_ 保持一致.

∴点
P
的参数方程为x＝12－
3 2 tan
y＝ 23＋12tan
【综合评价】
参数方程是以参变量为中介来表示曲线上的点的坐标的 方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲 线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难， 甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方 程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数 方程有助于学生进一步体会数学方法的灵活多变，提高应 用意识和实践能力．
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2.求曲线参数方程的主要步骤： 第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标. 画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之 间的关系. 第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲 线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程； 二是x，y的值可以由参数惟一确定. 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等， 建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.
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【学习计划】
内容
学习重点
建议学习时间
参数方程的概念
参数方程的概念
直线的参数，圆的参数方 直线和圆锥曲线的参
程，椭圆的参数方程，双 数方程
曲线的参数方程
参数方程化成普通 参数方程和普通方程的
方程
互化
平摆线和渐开线
平摆线、渐开线
1课时 5课时 2课时 2课时
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【思维导图】
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【知能要点】
1.参数方程的概念. 2.求曲线的参数方程. 3.参数方程和普通方程的互化.
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题型一 参数方程及其求法 1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐
标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y 间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意 义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常 常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得 到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然 对应着其中的参数的相应的允许取值.
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解 以 O 点为原点，过点 O 且与 l 垂直的直线为 x 轴，过点 O
与 l 平行的直线为 y 轴建立直角坐标系.设点 O 到直线 l 的距离
为 d(为定值，且 d>0)，取∠xOQ＝θ 为参数，
θ∈－π2，π2，设动点 P(x，y).在 Rt△OQN 中，
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【例 1】 设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆作匀角 速度运动，角速度为6π0 rad/s.试以时间 t 为参数，建立 质点运动轨迹的参数方程.
解 如图所示，运动开始时质点位于点 A 处，此时 t
＝0，设动点
M(x，y)对应时刻
t，由图可知xy＝ ＝22csions
∵|OQ|＝cods θ，|OP|＝|OQ|，∠xOP＝θ＋π3，
∴x＝|OP|cosπ3＋θ＝cods
θ·cosπ3＋θ＝12－
3 2 tan

θ·d，

y＝|OP|·sinπ3＋θ＝cods
θ·sinπ3＋θ＝
23＋12tan

θ·d.
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【学习目标】
1.通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系， 写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义.并 掌握参数方程的概念.
2.分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的 参数写出它们的参数方程.
3.举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表 示更方便，更能感受参数方程的优越性.
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4.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点 的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐 开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它 们的参数方程.
5.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、 外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际 中应用的实例(例如，最速降线是平摆线，椭圆是特殊的 内摆线——卡丹转盘，圆摆线齿轮与渐开线齿轮，收割机、 翻土机等机械装置的摆线原理与设计，星形线与公共汽车 门)；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.
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§1 参数方程的概念
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1.参数方程的概念 (1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐 标(x，y)都是某个变数 t 的函数xy＝ ＝fg（（tt）），，① 并且对于 t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点 P(x， y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的 __参__数__方__程__，联系 x，y 之间关系的变数 t 叫作_参__变__数__， 简称__参__数__. 相对于参数方程，我们把直接用坐标(x，y)表示的曲线方程 f(x，y)＝0 叫作曲线的_普__通__方__程___.
θ， θ，
又
百度文库
θ＝6π0t
(t
x＝2cos 的单位：S)，故参数方程为
y＝2sin
6π0t， π 60t.
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【反思感悟】 以时间t为参数，在图形中 分别寻求动点M的坐标和t的关系.
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1.已知定直线 l 和线外一定点 O，Q 为直线 l 上一动点，△OQP 为正三角形(按逆时针方 向转，如图所示)，求点 P 的轨迹方程.