高考数学重点题型：参数取值题型与分析
重难点专题18 三角函数中w取值范围问题八大题型汇总(原卷版) 备战2024年高考数学重难点突破
题型8新定义 (9)已知函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)，在[x 1,x 2]上单调递增（或递减），求ω的取值范围第一步：根据题意可知区间[x 1,x 2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x 2-x 1≤12T =πω，求得0<ω≤πx 2-x 1.第二步：以单调递增为例，利用[ωx 1+φ,ωx 2+φ]⊆[―π2+2kπ,π2+2kπ]，解得ω的范围；第三步：结合第一步求出的ω的范围对k 进行赋值，从而求出ω（不含参数）的取值范围.结合图象平移求ω的取值范围1、平移后与原图象重合思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；思路2：平移前的函数=平移后的函数.2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数.3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数；4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-；5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
()f x ()g x ()f x ()g x y x ()f x ()g x三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T，相邻的对称轴和对2，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期称中心之间的“水平间隔”为T4性，进而可以研究ω的取值。
三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.已知三角函数的零点个数问题求ω的取值范围对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值．三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.ππ。
高考数学如何应对含参数的方程组题目
高考数学如何应对含参数的方程组题目在高考数学中，含参数的方程组题目是一种较为常见的题型。
这类题目涉及到未知数和参数之间的关系，考察学生对于方程组的解法和参数的影响的理解。
本文将介绍如何应对含参数的方程组题目，帮助考生更好地解决这类难题。
一、理解参数的含义和作用在处理含参数的方程组题目时，首先要准确理解参数的含义和作用。
参数是方程中的变量，通过改变参数的取值可以得到不同的方程组。
因此，参数的取值范围和数值对于方程组的解的个数和性质有着重要的影响。
二、分类讨论参数取值的情况针对不同的参数取值情况，可以将题目分为以下几种情况进行讨论和求解。
1. 参数取值为特殊值当参数取值为特殊值时，方程组可能出现特殊的性质和解的形式。
此时可以通过代数运算和推理找到方程组解的规律，并根据特殊值的取值范围给出解的条件。
2. 参数取值范围问题有些题目会给出参数的取值范围，要求根据参数的范围来讨论方程组的解。
这时需要将参数的取值范围分为不同的区间，并对每个区间进行分析，得出方程组解的情况。
3. 参数关系的转化在有些题目中，参数之间可能存在一定的关系，需要通过将方程组中的变量进行替换或者代入来将方程组转化为一个更简单的形式，从而求出解的表达式或者性质。
4. 参数的限制条件有时方程组的解还需要满足一定的限制条件，这些限制条件可以是其他方程的引入，也可以是解的范围的限制等。
在解题过程中，需要将这些条件纳入考虑，并进行综合分析。
三、解题技巧和注意事项在应对含参数的方程组题目时，还需要掌握一些解题技巧和注意事项，以提高解题效率和完成度。
1. 灵活运用代数运算对于含参数的方程组，要善于利用代数运算进行化简和转化，以及利用代数关系来推导出解的形式或者性质。
同时可以采用待定系数法或者换元法等技巧，将方程组转化为更简单的形式。
2. 多角度思考在解题过程中，多角度思考问题有助于发现问题的规律和解的启示。
可以从代数、几何、函数等不同的角度来分析和解决问题。
高考数学题型分值分析
高考数学题型分值分析高考考生在复习数学科目时，要掌握数学考试题型以及分值分布分析。
下面店铺为大家整理数学高考题型分值分析，希望对大家有所帮助!高考数学题型难度及分值分析一、概述就一卷部分(即文理同卷部分)，总体而言，试题的难易程度适中。
填空题(1-14)，与过去7年(09年-15年)相比，前12题相对较容易，第13题与去年的第13题考查的一样，即函数与方程的零点问题，难度高于去年，且易错;第14题较难。
大多数学生，尤其是中等生做起来前12题完全没有难度，第13题也会比较舒服(当然前提是已经进行过零点问题的反复锻炼)。
解答题(15-20)，前两题纯属送分题，比过去6年(08-13)的任何一题都要容易的多，与14年难度接近，很多高一的学生都可以轻松解答。
可见，命题者将如何建立区分度放在后四题。
后四题的顺序与去年稍有不同，与前些年(08年-12年)中的四年一样，第17题是应用题，第18题是解析几何。
纵观后四题，难度依次增大，但正如我在教学中不断向学生灌输的，即使是压轴题，除了最后一问，其余的部分，只要再努力争取一下，很多中等或者中等偏上的同学是完全可以解答的。
因此，总的来说，这份试卷保持了江苏“08高考[中国大学在线]方案”以来，数学题的一贯作风，文理科学生同时兼顾。
除了第14题填空和最后两题的第三问，其余的都比较基础，也没有像谣传中的一样出现概率的解答题。
其实，纵观近8年(08年-15年)的高考数学题，即使是让很多人诟病的2010年试题，都完全紧扣大纲，紧密结合教材，做到了既能很好的检测出学生平时的水平，又能适当的拉开区分度。
二、一卷试题分析1、填空题1-9题，比较容易。
并且前五题是最容易拿分且每年必考的集合、统计、复数、算法与概率。
与前七年相比，除去08年的第9题稍有新意和技巧性，09年-13年，包括今年，命题者仍然愿意慷慨的，毫不吝啬的把45分送给考生。
当然，是否能全部拿到，得看细心与否。
因此，这45分的饭前小菜，对于所有考生(包括艺术体育类考生)来说，都应与去年的同学们一样，继续“光盘行动”，一分不拉。
【高考数学经典题型】根据方程根的个数求参数取值范围(一题多解)
1 / 3数形结合，巧解含参方程若存在[]1,2∈m ，使得关于x 的方程()22+−=mm t xm x知有四个不等的实数根，则实数t 的取值范围是_________.答案：3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭解法一：分离参数由题意得：321=−++x x t m m m ，令()3232,01,01⎧−>⎪⎪++=⎨⎪−+<⎪++⎩x xx m m m f x x x x m m m ， 易知()f x 为偶函数，且当0>x 时，()2222313=1−'−=+++x x mf x m m m m m，则当3⎛∈ ⎝m x 时，()0'<f x ，()f x 单调递减；当,+3⎫∈∞⎪⎪⎭m x 时，()0'>f x ，()f x 单调递增； 所以()()23391≥=−+m m f x f m ，如图作出()f x 图像， 要使关于x 的方程()22+−=mm t xm x知有四个不等的实数根，则有()230<<mt ，因为()()23=mg m 在[]1,2上单调递增，所以()()min 31>==t g m g ， 综上：实数t 的取值范围是39⎛⎫∈− ⎪ ⎪⎝⎭t .解法二：直接求导由题意得，()()220−−+=x m x m m t ，令()()()3232,0,0⎧−−+>⎪=⎨−+−+<⎪⎩x mx m m t x f x x mx m m t x ， 易知()f x 为偶函数，且当0>x 时，()2=3'−f x x m ，则当3⎛∈ ⎝m x 时，()0'<f x ，()f x 单调递减；当,+3⎫∈∞⎪⎪⎭m x 时，()0'>f x ，()f x 单调递增； 要使关于x 的方程()22+−=mm t xm x知有四个不等的实数根，则有03<m f ，且0<t ；化解得()23331>=m t m m2⎡⎣m ， 由题意知min3331⎛>= +⎝t m m ，综上：实数t 的取值范围是39⎛⎫∈− ⎪ ⎪⎝⎭t .解法三：切线法①当=0t 时，原方程化为20−=x m ，只有两个实数根，不合题意，舍； ②当>0t 可作出()2=−f x x m 和()()2+=m m t g x x的草图如图，易知只有两个实数根，不合题意，舍；3 / 3③当<0t 时，考虑临界情况，即()f x 与()g x 图像相切时，如图，设切点为()()00,x f x ，在()0,∈+∞x 上，此时()2'=f x x ，()()22+'=−mm t g x x，有：()()202022002①②⎧+⎪=−⎪⎨+⎪−=⎪⎩m m t x x m m t x m x ，①②得03=m x ，此时解得()02323119192=−=+++m t m m m， 要使关于x 的方程()22+−=mm t x m x知有四个不等的实数根，则有()0min 39>=−t t ，综上：实数t 的取值范围是39⎛⎫∈− ⎪ ⎪⎝⎭t .评论与赏析：本题是一个关于x 的方程，其中含有两个参数t 和m ，根据此方程有4个不相等的实数根，从而进行数形结合来求解. 而在解法一中，多数老师利用分离参数t ，从而根据函数的单调性做出()f x 的图像，使得当此方程有4个不等的实数根的时候相当于两个函数图像有4个交点，从而得出t 的取值范围，这是比较普遍的做法. 而解法二直接求导，就是根据方程变形，然后把含有t 的一个函数关系式进行求导，其实本质上和解法一类似，故不再赘述. 而解法三利用数形结合讨论t 的取值范围，从而利用图像交点的个数进行求解，当讨论0<t 的时候，根据图像相切从而得出此时的切点坐标，然后再回归到前两种解法中来，第三种解法笔者认为更好一些.。
高考数学常考题型与答题技巧
高考数学常考题型与答题技巧高考数学常考题型与答题技巧（一览）根据不同高考数学题型,我们应该有不同的答题策略,根据题型特点,我们也可以更好地答题，以下是小编整理的一些高考数学常考题型与答题技巧，欢迎阅读参考。
高中数学考试选择题蒙题技巧1、区间法，这类方法也成为排除法，靠着大概计算出的数据或者猜一些数据。
比如一个题目里给了几个角度，30°，90°。
很明显，答案里就肯定是90±30度，120加减30度。
或者一些与30，60，90度有关的答案。
2、代入法，这列方法往往是给定了一些条件，比如a大于等于0，小于等于1。
b 大于等于1，小于等于2.这些给定了一些特殊的条件，然后让你求一个ab组合在一起的一些式子，可能会很复杂。
但是如果是选择题，你可以取a=0.5，b=1.5试一试。
还有就是可以把选项里的答案带到题目中的式子来计算。
3、函数法，这个就是要把一些计算转化为函数，首先带入答案，之后移项，把方程一边变成零，然后就可以把函数的表达式大概画出来，看与零点有没有唯一焦点，这样就可以大概判断答案，或者找最接近零点的答案。
高中数学答题注意事项选择题解答的基本策略是：快——运算要快，力戒小题大做;稳——变形要稳，防止操之过急;全——答案要全，避免对而不全;活——解题要活，不要生搬硬套;细——审题要细，不能粗心大意。
关于填空题，常见的错误或不规范的答卷方式有：字迹不工整、不清晰、字符书写不规范或不正确、分式写法不规范、通项和函数表达式书写不规范、函数解析式书写正确但不注明定义域、要求结果写成集合的不用集合表示、集合的对象属性描述不准确。
关于解答题，考生不仅要提供出最后的结论，还得写出主要步骤，提供合理、合法的说明。
填空题则无此要求，只要填写结果，而且所填结果应力求简练、概括的准确。
其次，试题内涵解答题比起填空题要丰富得多，解答题的考点相对较多，综合性强，难度较高，解答题成绩的评定不仅看最后的结论，还要看其推演和论证过程，分情况判定分数，用以反映其差别，因而解答题命题的自由度较之填空题大得多。
高考数学必考题型以及题型分析
高考数学必考题型以及题型分析很多学生都觉得数学相当难，尤其是文科生。
数学对于文科生来说是拉开分数的关键。
数学学得好的同学能得130分以上，数学差的学生可能就只有几十分。
这次小编给大家整理了高考数学必考题型以及题型分析，供大家阅读参考。
高考数学必考题型以及题型分析第一，函数与导数主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
第三，数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
第四，不等式主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
第五，概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。
第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。
主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。
第七，解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。
针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。
以不变应万变。
一、高考各章节占比情况1.集合(必修1)与简易逻辑，复数(选修)。
分值在10分左右(一两道选择题，有时达到三道)，考查的重点是计算能力，集合多考察交并补运算，简易逻辑多为考查“充分与必要条件”及命题真伪的判别，复数一般考察模及分式运算。
2.函数(必修1指数函数、对数函数)与导数(选修)，一般在高考中，至少三个小题一个大压轴题，分值在30分左右。
以指数函数、对数函数、及扩展函数函数为载体结合图象的变换(平移、伸缩、对称变换)、四性问题(单调性、奇偶性、周期性、对称性)以选择题、填空题考查的主要内容，其中函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势。
新高考数学复习知识点与题型专题讲解36 利用正态分布的对称性求概率或参数值
新高考数学复习知识点与题型专题讲解 专题36 利用正态分布的对称性求概率或参数值一、多选题1．给出下列命题，其中正确命题为（）A ．若回归直线的斜率估计值为0.25，样本点中心为()2,3，则回归直线的方程为0.25 2.5y x =+B ．随机变量()~,B n p ξ，若()30E ξ=，()20D ξ=，则90n =C ．随机变量X 服从正态分布()21,N σ，()1.50.34P X >=，则()0.50.16P X <=D ．对于独立性检验，随机变量2K 的观测值k 值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 【答案】ABD 【分析】利用点斜式方程得出回归直线方程，了判断A 选项的正误；利用二项分布的期望和方差公式可判断B 选项的正误；利用正态密度曲线的对称性可判断C 选项的正误；利用独立性检验的基本思想可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，若回归直线的斜率估计值为0.25，样本点中心为()2,3， 则回归直线方程为()30.252y x -=-，即0.25 2.5y x =+，A 选项正确； 对于B 选项，随机变量()~,B n p ξ，若()30E ξ=，()20D ξ=，则()()()30120E np D np p ξξ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩，解得9013n p =⎧⎪⎨=⎪⎩，B 选项正确；对于C 选项，由于随机变量X 服从正态分布()21,N σ，()1.50.34P X >=，则()()0.5 1.50.34P X P X <=>=，C 选项错误；对于D 选项，对于独立性检验，随机变量2K 的观测值k 值越大，则两变量有关系的程度越大，即k 越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，故k 越小，判定“两变量有关系”的错误率更高，D 选项正确.故选：ABD. 2．若随机变量()0,1N ξ，()()x P x φξ=≤，其中0x >，下列等式成立有( )A ．()()1x x φφ-=-B ．()()22x x φφ=C ．()()21P x x ξφ<=-D ．()()2P x x ξφ>=- 【答案】AC 【分析】根据随机变量ξ服从标准正态分布(0,1)N ，得到正态曲线关于0ξ=对称，再结合正态分布的密度曲线定义()(x P x φξ=，0)x >，由此可解决问题．【详解】随机变量ξ服从标准正态分布(0,1)N ，∴正态曲线关于0ξ=对称，()(x P x φξ=，0)x >，根据曲线的对称性可得：A.()()1()x x x φφξφ-=≥=-，所以该命题正确；B.(2)(2),2()2()x x x x φφξφφξ=≤=≤，所以()()22x x φφ=错误；C.(||)=()12()12[1()]2()1P x P x x x x x ξξφφφ<-≤≤=--=--=-，所以该命题正确；D.(||)(P x P x ξξ>=>或)=1()()1()1()22()x x x x x x ξφφφφφ<--+-=-+-=-，所以该命题错误． 故选：AC ． 【点睛】本题主要考查正态分布的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为(]60,300，若使标准分X 服从正态分布N ()180,900，则下列说法正确的有( ). 参考数据：①()0.6827P X μσμσ-<≤+=；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=；③3309().973P X μσμσ-<≤+=A ．这次考试标准分超过180分的约有450人B ．这次考试标准分在(]90,270内的人数约为997C ．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为38D ．()2402700.0428P X <≤= 【答案】BC 【分析】根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可. 【详解】选项A ；因为正态分布曲线关于180x =对称， 所以这次考试标准分超过180分的约有110005002⨯=人，故本说法不正确； 选项B ：由正态分布N ()180,900，可知：180,30μσ==，所以()()902701803301803300.9973P X P X <≤=-⨯<≤+⨯=，因此这次考试标准分在(]90,270内的人数约为10000.9973997⨯≈人，故本说法正确； 选项C ：因为正态分布曲线关于180x =对称， 所以某个人标准分超过180分的概率为12， 因此甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为223113()(1)228C -=，故本说法正确； 选项D ：由题中所给的公式可知：()()902701803301803300.9973P X P X <≤=-⨯<≤+⨯=， ()()1202401802301802300.9545P X P X <≤=-⨯<≤+⨯=，所以由正态分布的性质可知：()()()11240270[90270120240](0.99730.9545)0.0214,22P X P X P X <≤=<≤-<≤=-=所以本说法不正确. 故选：BC 【点睛】本题考查了正态分布的性质应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力. 4．下列判断正确的是（）A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的必要不充分条件C ．若随机变量ξ服从二项分布：14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1E ξ= D ．22am bm >是a b >的充分不必要条件 【答案】ACD 【分析】根据正态分布的对称性可判断选项A ；由线面垂直可以得线线垂直，//m β，l m ⊥，l 与β位置关系不确定，无法得到//αβ，可判断选项B ；根据二项分布均值公式()E np ξ=求解可判断选项C ；由22am bm >可得到a b >，但反之不成立，可判断选项D. 【详解】对于A ：随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，所以正态密度曲线关于直线1x =对称，又因为()40.79P ξ≤=，所以()40.21P ξ>=，所以()20.21P ξ≤-=，故选项A 正确；对于B ：若//αβ，l ⊥α，则l ⊥β，又因为//m β，所以l m ⊥，若l m ⊥，当//m β时，l 与β位置关系不确定，所以无法得到//αβ，所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件，故选项B 不正确； 对于C ：因为随机变量ξ服从二项分布14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1414E ξ=⨯=，故选项C 正确；对于D ：由22am bm >可得到a b >，但a b >，0m =时得不到22am bm >，故选项D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查正态分布的概率，二项分布的期望，线面之间的关系，不等式的性质，属于中档题. 5．下列说法中正确的是（）A ．设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()5316P X == B ．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=，则()020.4P X <<=C ．()()2323E X E X +=+；()()2323D X D X +=+ D ．已知随机变量ξ满足()0P x ξ==，()11P x ξ==-，若102x <<，则()E ξ随着x 的增大而减小，()D ξ随着x 的增大而增大 【答案】ABD 【分析】对于选项,,A B D 都可以通过计算证明它们是正确的；对于选项,C 根据方差的性质，即可判断选项C . 【详解】对于选项,A 设随机变量16,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭， 则()3336115312216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以选项A 正确； 对于选项,B 因为随机变量()22,N ξσ，所以正态曲线的对称轴是2x =，因为()40.9P X <=，所以(0)0.1P X <=， 所以(02)0.4P X <<=，所以选项B 正确； 对于选项,C ()()2323E X E X +=+，()()234D X D X +=，故选项C 不正确；对于选项,D 由题意可知，()1E x ξ=-，()()21D x x x x ξ=-=-+，由一次函数和二次函数的性质知， 当102x <<时，()E ξ随着x 的增大而减小，()D ξ随着x 的增大而增大，故选项D 正确.故选：ABD . 【点睛】本题主要考查二项分布和正态分布的应用，考查期望和方差的计算及其性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．下列说法正确的有（）A ．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，若(3)0.84P ξ=，则(1)0.16P ξ=B ．设随机变量X 服从正态分布()3,7N ，若(1)(1)P X m P X m >+=>-，则3m =C ．设随机变量16,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则(3)P X =等于316D ．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为54125【答案】AD 【分析】利用正态分布的对称性即可判断A 、B ；根据二项分布的概率公式可判断C 、D ； 【详解】对于A ，因为变量ξ服从正态分布()22,N σ，若(3)0.84P ξ=，所以(3)10.840.16P ξ≥=-=，因为关于2ξ=对称， 所以()(1)30.16P P ξξ=≥=，故A 正确；对于B ，因为(1)(1)P X m P X m >+=>-，所以须满足11m m +=-，等式不恒成立，故无论m 是任何实数，都不能使(1)(1)P X m P X m >+=>-，故B 错误；对于C ，因为随机变量16,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则36336115(3)2216P X C -⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误； 对于D ，由题意可知，此人恰有两次击中目标的概率为223540.60.4125C ⨯⨯=，故D 正确； 故选：AD 【点睛】本题考查了正态分布的对称性应用、二项分布，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.二、单选题7．下列说法正确的是（）A ．命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀>，2sin x x >”B ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥则//αβC ．随机变量ξ服从正态分布()21,N σ（0σ>），若(01)0.4P ξ<<=，则(0)0.8P ξ>= D ．设x 是实数，“0x <”是“11x<”的充分不必要条件 【答案】D 【分析】由特称命题的否定是全称命题可判断选项A ；,αβ可能相交，可判断B 选项；利用正态分布的性质可判断选项C ；11x<⇒0x <或1x >，利用集合间的包含关系可判断选项D. 【详解】命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀≤，2sin x x >”，故A 错误；αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能相交，故B 错误；若(01)0.4P ξ<<=，则(12)0.4P ξ<<=，所以10.40.4(0)0.12P ξ--<==，故(0)0.9P ξ>=，所以C 错误；由11x <，得0x <或1x >，故“0x <”是“11x <”的充分不必要条件，D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.8．若随机变量ξ服从正态分布()22020,σN ，则()2020ξ<=P （）A ．12B ．11010C ．14D ．12020【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性可得选项. 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布()22020,σN ，所以2020u =，根据正态分布图象的对称性可知，图象关于2020x =对称，所以1(2020)2P ξ<=， 故选：A. 【点睛】本题考查正态分布的性质，属于基础题. 9．已知随机变量()2~1,X N σ，()00.8P X ≥=，则()2P X >=（）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8 【答案】A 【分析】 由()2~1,X N σ有随机变量X 的分布函数图象关于1X =对称，结合已知条件即可求()2P X >；【详解】 由()2~1,X N σ，知：随机变量X 的分布函数图象关于1X =对称，∴()(2)01(0)0.2P X P X P X >=<=-≥=； 故选：A 【点睛】本题考查了正态分布的对称性，利用随机变量的分布函数图象关于X μ=对称求概率，属于简单题； 10．己知随机变量()()2~100,0N ξσσ>，若()801200.8P ξ≤≤=，则()80P ξ<等于（）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2 【答案】B 【分析】由题知正态分布曲线的对称轴是直线100x =，利用曲线的特点即可计算出结果. 【详解】由题知此正态分布曲线的对称轴是直线100x =， 由正态分布的图象的对称性可知，()()180120800.12P P ξξ-≤≤<==.故选：B 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点，属于基础题. 11．已知随机变量()20,XN σ，若()010.4P X <<=，则()1P X >的值为（）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.6 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性，由题中条件，直接计算，即可得出结果 【详解】 由随机变量()20,XN σ，可得正态分布曲线的对称轴为0x =，又()010.4P X <<=，∴()()11201120.40.2P X P X >=-<<=-⨯=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查由正态分布的对称性求指定区间的概率，属于基础题型. 12．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若(4)0.9P ξ<=，则(24)P ξ-<<=（）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8 【答案】D 【分析】根据随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，得到正态曲线的对称轴，然后由(4)0.9P ξ<=，求得(4)(2)P P ξξ≥=<-，再利用正态曲线的对称性求解.【详解】因为随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，所以正态曲线的对称轴为1x =， 因为(4)0.9P ξ<=，所以(4)(2)0.1P P ξξ≥=<-=，所以()()(24)12410.10.10.8P P P ξξξ-<<=-≤--≥=--=， 故选：D 【点睛】本题主要考查正态分布曲线对称性，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 13．已知随机变量2~0(),N ξσ，且()10.3P ξ≥=，则0()1P ξ-≤≤=（） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5 【答案】A 【分析】根据题意，正态曲线是一个关于0x μ==对称的曲线，直接利用对称性写出概率即可. 【详解】由题意，随机变量2~0(),N ξσ，()10.3P ξ≥=，则()10.3P ξ≤-=，所以，()()()11101110.30.30.222P P ξξ-≤≤=-≤≤=--=. 故选：A. 【点睛】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位． 14．设随机变量()0,1N ξ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<=（）A ．12p +B ．1p -C ．12p -D ．12p - 【答案】D 【分析】 根据随机变量()0,1N ξ，正态曲线关于0x =对称，得到对称区间对应的概率相等，根据大于1的概率得到小于1-的概率，根据对称轴一侧的区间的概率是12，即可求出结果. 【详解】 ∵随机变量()0,1N ξ，∴正态曲线关于0x =对称， ∵()1P p ξ>=，∴()1P p ξ<-=， ∴()1102P p ξ-<<=-， 故选：D . 【点睛】本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态曲线的对称性的应用，考查关于对称轴对称的区间上的概率相等，本题属于基础题． 15．已知()1,4N η，若()()21P a P a ηη>=<-，则a =（）A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】C 【分析】首先可通过题意求出正态分布曲线的对称轴，然后根据()()21P a P a ηη>=<-得出2112a a +-=，最后通过计算即可得出结果. 【详解】 因为()1,4N η，所以对称轴方程为1x η==，因为()()21P a P a ηη>=<-， 所以2112a a +-=，解得1a =， 故选：C. 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态分布曲线的对称性，考查计算能力，是简单题.16．设随机变量~(1,9)X N ，且(0)(1)P X P X a ≤=≥-，则实数a 的值为（） A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B 【分析】正态分布概率密度函数图象的对称性可解 【详解】解：随机变量~(1,9)X N ，其期望为1因为(0)(1)P X P X a ≤=≥-，根据正态分布概率密度函数图象的对称性有，1011,3a a -=--=故选：B 【点睛】考查根据正态分布概率密度函数图象的对称性求参数，基础题. 17．设随机变量()2,N ξμσ，函数()22f x x x ξ=-+有零点的概率是0.5，则μ等于（）A ．1B ．2C ．3D ．不确定 【答案】A 【分析】根据二次函数有零点，可得1ξ≤，(1)0.5P ξ≤=，根据正态分布知识可得()0.5P ξμ≤=，所以1μ=. 【详解】因为函数()22f x x x ξ=-+有零点，所以440ξ∆=-≥，即1ξ≤，所以(1)0.5P ξ≤=，又随机变量()2,N ξμσ，且()0.5P ξμ≤=，所以1μ=. 故选：A. 【点睛】本题考查了二次函数的零点，考查了正态分布，属于基础题.18．新型冠状病毒肺炎的潜伏期X （单位：日）近似服从正态分布：()2~7,X N σ，若(3)0.872P X >=，则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（） A ．0.372B ．0.256C ．0.128D ．0.744 【答案】C 【分析】根据正态曲线的对称性可求得结果. 【详解】因为7μ=，所以根据正态曲线的对称性知，(11)(3)1(3)10.8720.128P X P X P X ≥=≤=->=-=. 故选：C. 【点睛】本题考查了正态曲线的对称性，属于基础题.19．2019年1月28日至2月3日（腊月廿三至腊月廿九）我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某区火车站在此期间每日接送旅客人数X （单位：万）近似服从正态分布()210,0.8N ，则估计在此期间，至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为（） A ．29128B ．764C ．3964D ．31128【答案】A 【分析】由已知可得()1102P X ≥=，再由互斥事件及相互独立事件的概率计算公式求解. 【详解】 解：()210,0.8XN ，得()1102P X ≥=.故7天中至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为77756777711129222128P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查相互独立事件及其概率的求法，属于中档题. 20．已知随机变量()2~3,(0)X N σσ>，若(6)0.8P X <=，则(0)P X <=（）A ．0.2B ．0.3C ．0.5D ．0.7 【答案】A 【分析】利用正态分布曲线的对称性求解即可． 【详解】随机变量()2~3,(0)X N σσ>，可得正态分布曲线的对称轴为3x =(0)1(6)10.80.2P X P X <=-<=-=故选：A 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点，考查对称性的应用，属于基础题． 21．若随机变量()23,XN σ，且()50.2P X ≥=，则()15P X ≤≤等于（ ）A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3 【答案】A 【分析】由正态密度曲线的对称性得出()()15125P X P X ≤≤=-≥，由此可得出结果. 【详解】 由于()23,XN σ，则正态密度曲线关于直线3x =对称，所以()()15125120.20.6P X P X ≤≤=-≥=-⨯=，故选A. 【点睛】本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要确定正态密度曲线的对称轴，利用对称性列等式计算，考查计算能力，属于中等题.22．设()()1122~,,~,X N Y N μσμσ，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是( )A ．1212,μμσσ><B ．1212,μμσσ<<C ．1212,μμσσ<>D ．1212,μμσσ>> 【答案】B 【分析】根据正态分布密度曲线性质可得到对称轴关系，结合曲线的“瘦高”与“矮胖”关系可得12,σσ的关系. 【详解】由图可得：X 的正态分布密度曲线更“瘦高”，且对称轴偏左， 结合正态分布密度曲线性质可得：1212,μμσσ<<.故选：B 【点睛】此题考查正态分布密度曲线的性质，关键在于熟练掌握图象性质，根据对称轴和曲线关系判断得解.23．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布()20.1,0.3N ，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间()0.4,0.7内的概率为（） （附：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，则()68.27%P μσξμσ-<<+=，()2295.45%P μσξμσ-<<+=）A ．31.74%B ．27.18%C ．13.59%D ．4.56% 【答案】C 【分析】由题意可知0.1,0.3μσ==，结合题意得出(0.20.4)68.27%P ξ-<<=，(0.50.7)95.45%P ξ-<<=，再由()(0.50.7)(0.20.4)0.40.72P P P ξξξ-<<--<<<<=，即可得出答案.【详解】由题意可知0.1,0.3μσ==则(0.20.4)68.27%P ξ-<<=，(0.50.7)95.45%P ξ-<<= 即()(0.50.7)(0.20.4)95.45%68.27%0.40.713.59%22P P P ξξξ-<<--<<-<<===故选：C 【点睛】本题主要考查了利用正态分布对称性求概率，属于中档题.24．某校在一次月考中共有800人参加考试，其数学考试成绩X 近似服从正态分布2(105,)N σ，试卷满分150分．现已知同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720，同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为（）A ．60B ．70C ．80D ．90 【答案】C 【分析】先由题意，求出数学成绩小于等于90分对应的概率，根据正态分布的对称性，即可求出数学成绩大于等于120分的概率，从而可得出排名. 【详解】因为同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720， 则数学成绩小于等于90分对应的概率约为()80072019080010P X -≤==，又数学考试成绩X 近似服从正态分布2(105,)N σ， 所以()()11209010P X P X ≥=≤=，则成绩数学成绩大于等于120分的学生约为80人， 因此若同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为80名. 故选：C. 【点睛】本题主要考查正态分布对称性的应用，属于基础题型. 25．已知随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，且(4)0.68P ξ≤=，则(2)P ξ≤=（）A ．0.84B ．0.68C ．0.32D ．0.16 【答案】C 【分析】直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果． 【详解】解：根据随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，所以密度曲线关于直线3x =对称， 由于()40.68P ξ≤=，所以()410.680.32P ξ≥=-=， 所以()20.32P ξ≤=． 故选：C. 【点睛】本题考查正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 26．某校高二期末考试学生的数学成绩ξ（满分150分）服从正态分布()275,N σ，且()60900.8P ξ<<=，则()90P ξ≥=（） A ．0.4B ．0.3C ．0.2D ．0.1 【答案】D本题根据题意直接求在指定区间的概率即可. 【详解】解：因为数学成绩ξ服从正态分布()275,N σ，且()60900.8P ξ<<=，所以()()119016090(10.8)0.122P P ξξ≥=-<<=-=⎡⎤⎣⎦ 故选：D. 【点睛】本题考查利用正态分布求指定区间的概率，是基础题. 27．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若()20.2P ξ>=，则()01P ξ≤≤=（）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.6 【答案】B 【分析】利用正态密度曲线的对称性可得出()()010.52P P ξξ≤≤=->，由此可求得结果. 【详解】由于随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，则()()200.2P P ξξ>=<=，因此，()()()010.500.520.50.20.3P P P ξξξ≤≤=-<=->=-=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用正态密度曲线的对称性求概率，考查计算能力，属于基础题.28．已知随机变量X 服从正态分布()1,4N ，()20.3P X >=，()0P X <=（） A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8 【答案】B 【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可得出()()02P X P X <=>，进而可得出结果. 【详解】()1,4XN ，所以，()()020.3P X P X <=>=.【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.29．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()280,N σ，且()75800.1P X <≤=.该市某校有350人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于85分的人数为（）A ．140B ．105C ．70D ．35 【答案】A 【分析】根据正态分布曲线的对称性可知()()808575800.1P X P X <≤=<≤=，即可求得()850.50.10.4P X ≥=-=，再根据频数，频率和样本容量之间的关系即可求出该校数学成绩不低于85分的人数． 【详解】因为X 近似服从正态分布()280,N σ，所以()()808575800.1P X P X <≤=<≤=，即有()850.50.10.4P X ≥=-=，故该校数学成绩不低于85分的人数为3500.4140⨯=． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查正态曲线的特点以及正态曲线的解析式的理解和运用，属于基础题． 30．已知某批零件的长度误差ξ（单位：mm ）服从正态分布()20,3N ，若()330.6826P ξ-<≤=，()660.9544P ξ-<≤=，现从中随机抽取一件，其长度误差落在区间()3,6内的概率()36ξ<≤=P （ ）A ．0.1359B ．0.2718C ．0.3174D ．0.0456 【答案】A 【分析】首先根据题意得到正态分布曲线的对称轴为0x =，从而得到()()()6633362ξξξ-<≤--<≤<≤=P P P ，即可得到答案.【详解】因为ξ服从正态分布()20,3N ，对称轴为0x =，所以()()()6633360.13592ξξξ-<≤--<≤<≤==P P P .故选：A 【点睛】本题主要考查正态分布，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题. 31．已知随机变量()2~2,X N σ，()40.8P X ≤=，那么()24P X ≤≤的值为（）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.8 【答案】B 【分析】根据已知条件得出()()()2442P X P X P X ≤≤=≤-<，且有()20.5P X <=，由此可求得结果. 【详解】已知随机变量()2~2,X N σ，()40.8P X ≤=，则()20.5P X <=，根据正态密度曲线的对称性得出()()()24420.80.50.3P X P X P X ≤≤=≤-<=-=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用正态密度曲线的对称性求概率，考查计算能力，属于基础题. 三、解答题32．第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA -V 200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270，25 ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p (0<p <1).（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数). （2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为()f p . （i ）求出f (p )的最大值点0p ;（ii ）若以0p 作为p 的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列. 参考数据:ζ ~N (u ，2σ)，则p (μ-σ<X <μ+σ)≈0.6826，p (μ-2σ<X <μ+2σ)≈0.9644. 【答案】（1）140；（2）（i ）034p =；（ii ）分布列见解析. 【分析】（1）由正态分布3σ原则即可求出排球个数；（2）（i ）根据二项分布先求出()f p ，再利用导数求出()f p 取得最大值时0p 的值； （ii ）根据比赛积分规则，得出中国队得分可能的取值，然后求出分布列. 【详解】（1）因为ξ服从正态分布N (270，25 )，所以()0.96440.68262602650.14092P ξ-<<==，所以质量指标在(260，265]内的排球个数为10000.1409140.9140⨯=≈个；（2）（i ）()()()2333131f p C p p p p =-=-，()()()()2'2331+13334p p fp p p p ⎡⎤=-⨯-=-⎣⎦令()0f p '=，得34p =， 当3(0,)4p ∈时，()0f p '>，()f p 在3(0,)4上单调递增；当3(,1)4p ∈时，()0f p '<，()f p 在3(,1)4上单调递减； 所以()f p 的最大值点034p =； （ii ）X 的可能取值为0，1，2，3.212313(0)(1)(1)256P X p C p p ==-+-=；223427(1)(1)512P X C p p ==-=； 222481(2)(1)512P X C p p p ==-=；2223189(3)(1)256P X p C p p p ==+-=；所以X 的分布列为【点睛】求随机变量的分布列的步骤：(1)理解X 的意义，写出X 可能取得全部值； (2)求X 取每个值的概率；(3)写出X 的分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验.还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.33．从某市的一次高三模拟考试中，抽取3000名考生的数学成绩（单位：分），并按[)75,85，[)85,105，[)105,115，[)115,125，[)125,135，[]135,145分成7组，制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）估计这3000名考生数学成绩的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可认为该市考生数学成绩X 服从正态分布()2,N µσ，其中µ，2σ分别为（Ⅰ）估中的x 和方差2s ，据此估计该市10000名考生中数学成绩不低于122分的人数（结果精确到整数）． 2.4≈．若()2,XN µσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=．【答案】（Ⅰ）110，150；（Ⅱ）1587. 【分析】（Ⅰ）直接利用平均数和方差公式计算求解； （Ⅱ）分析得到()2~110,12X N ，再利用正态分布求解.【详解】（Ⅰ）由题意知：800.02900.091000.221100.331200.24x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1300.081400.02110+⨯+⨯=，()()()22222300.02200.09100.2200.33100.24s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯22200.08300.02150+⨯+⨯=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，110x μ==，12σ==≈， 所以()2~110,12X N ，而()()981220.6827P X P X μσμσ-<<+=<<=， 所以()10.68271220.158652P X -==， 因此估计该市10000名考生中数学成绩不低于122分的人数为0.15865100001587⨯≈． 【点睛】方法点睛：利用正态分布估计频数，一般先利用正态分布求出某范围内的概率p ，即得频数为np . 34．共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁－39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”．已知在“经常使用单车用户”中有56是“年轻人”．（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列22⨯列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X，求X的分布列与期望．参考数据：独立性检验界值表其中，22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++【答案】（1）列联表见解析，有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关；（2）分布列见解析，数学期望为0.3．【分析】（1）补全的列联表，利用公式求得2 2.083 2.072K≈>，即可得到结论；（2）由（1）的列联表可知，经常使用单车的“非年轻人”的概率，即可利用独立重复试验求解随机变量X 取每个数值的概率，列出分布列，求解数学期望.【详解】（1）补全的列联表如下：于是100a =，20b =，60c =，20d =，∴22200(100206020) 2.083 2.0721208016040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关． （2）由（1）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为20100%10%200⨯=， 即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1， ∵~(3,0.1)X B ，0,1,2,3X =∴3(0)(10.1)0.729P X ==-=，(1)0.243P X ==(2)0.027P X ==，3(3)0.10.001P X ===，∴X 的分布列为∴X 的数学期望()30.10.3E X =⨯=． 【点睛】本题主要考查了22⨯列联表,独立性检验，二项分布，二项分布的期望，属于中档题. 35．某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系？并指出是正相关还是负相关（2）求特征量y 关于x 的回归方程，并预测当特征量x 为12时特征量y 的值；（3）设特征量x 满足()2~,X N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，求()3.813.4P X <<.附：参考公式：相关系数()()niix x y y r -⋅-=∑()()()121niii nii x x y y b xx ==-⋅-=-∑∑，a y bx =-.1.414≈ 3.2= 1.8≈，若()2~,X N μσ，则()68.26%P X μσμσ-<<+=，()2295.44%P X μσμσ-<<+=【答案】（1）可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系；负相关；（2）ˆ0.5612.92yx =-+；12x =时，ˆ 6.2y =；（3）0.8185. 【分析】（1）根据题中数据，结合相关系数的公式，求出相关系数，即可判断出结论；（2）根据最小二乘法，求出ˆb，ˆa ，即可得出线性回归方程，从而可得预测值； （3）根据正态分布的对称性，根据题中条件，即可求出结果. 【详解】（1）由题意得51135755i i x x ====∑，51145955ii y y ====∑， 5511()()5212510889811757928iii ii i x x y y x y x y ==--=-=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=-∑∑，521()50ii x x =-=∑，521()16ii y y =-=∑，因而相关系数1()()0.99(niinii x x y y r y y =--===≈--∑∑ .由于||0.99r ≈很接近1，说明x ，y 线性相关性很强，因而可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系.由于0r <，故其关系为负相关.（2）由（1）知，121()()28ˆ0.5650()nii i nii x x y y bx x ==---===--∑∑，∴ˆˆ9(0.56)712.92a y bx=-=-⨯-=， 则所求的回归方程是ˆ0.5612.92yx =-+. 当特征量x 为12时，可预测特征量ˆ0.561212.92 6.2y=-⨯+=. （3）由（1）知，7x μ==，又由22222221[(27)(57)(87)(97)(117)]105s σ==-+-+-+-+-=，得 3.2σ≈，从而11(3.813.4)()(22)0.818522P X P X P X μσμσμσμσ<<=-<<++-<<+=. 【点睛】本题考查相关系数的计算以及线性相关性的判定，考查最小二乘法求回归方程，根据回归方程进行预测，考查正态分布指定区间的概率，属于常考题型.36．网上订外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分. M 外卖平台（以下简称M 外卖）为了解其在全国各城市的业务发展情况，随机抽取了100个城市，调查了M 外卖在今年2月份的订单情况，并制成如下频率分布表.（1）由频率分布表可以认为，今年2月份M 外卖在全国各城市的订单数Z （单位：万件）近似地服从正态分布2(,)N μσ，其中μ为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表），σ为样本标准差，它的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：①从全国各城市中随机抽取6个城市，记今年2月份M 外卖订单数Z 在区间(4.88,15.8]内的城市数为X ，求X 的数学期望（取整数）；②M 外卖决定在该月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国2月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市开展营销活动，若每接一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖。
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高考数学重点题型：参数取值题型与分析（Ⅰ）参数取值问题的探讨一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围 为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
例1．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范 围。
分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x ∈R ），另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。
解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。
f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3, ∴45-a -a+5>3即45-a >a+2上式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a ，解得≤54a<8.说明：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。
另解：a+cos2x<5-4sinx+45-a 即a+1-2sin2x<5-4sinx+45-a ,令sinx=t,则t ∈[-1,1], 整理得2t2-4t+4-a+45-a >0,( t ∈[-1,1])恒成立。
设f(t)= 2t2-4t+4-a+45-a 则二次函数的对称轴为t=1,∴ f(x)在[-1，1]内单调递减。
∴ 只需f(1)>0,即45-a >a -2.(下同)例2．已知函数f(x)在定义域（-∞，1]上是减函数，问是否存在实数k ，使不等式f(k -sinx)≥f(k2-sin2x)对一切实数x 恒成立？并说明理由。
分析：由单调性与定义域，原不等式等价于k -sinx ≤k2-sin2x ≤1对于任意x ∈R 恒成 立，这又等价于⎪⎩⎪⎨⎧----≥+-----+≤)2()21(sin 41)1(sin 12222x k k x k 对于任意x ∈R 恒成立。
不等式（1）对任意x ∈R 恒成立的充要条件是k2≤(1+sin2x)min=1,即-1≤k ≤1----------(3)不等式（2）对任意x ∈R 恒成立的充要条件是k2-k+41≥[(sinx -21)2]max=49,即k ≤-1或k ≥2,-----------(4)由（3）、（4）求交集，得k=-1,故存在k=-1适合题设条件。
说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。
例3．设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，试求APPB 的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP PB =B Ax x -，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路1: 从第一条想法入手，AP PB =B Ax x -已经是一个关系式，但由于有两个变量B A x x ,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将B A x x ,转化为关于k 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y 得出关于x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.解1：当直线l 垂直于x 轴时，可求得51-=PBAP ； 当l 与x 轴不垂直时，设())(,,2211y x B y x A ，，直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得()045544922=+++kx x k ， 解之得.4959627222,1+-±-=k k k x因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形.当0>k 时，4959627221+-+-=k k k x ，4959627222+---=k k k x ，所以 21x x PBAP-==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k=25929181k -+-.由 ()049180)54(22≥+--=∆k k , 解得952≥k ，所以 51592918112-<-+-≤-k ，综上511-≤≤-PB AP .思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于21x x PBAP-=不是关于21,x x 的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于21,x x 的对称关系式.解2：设直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得()045544922=+++kx x k（*）则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+.4945,4954221221k x x k k x x 令λ=21x x ，则，.20453242122+=++k k λλ 在（*）中，由判别式,0≥∆可得952≥k ，从而有5362045324422≤+≤k k ，所以536214≤++≤λλ， 解得551≤≤λ.结合10≤<λ得151≤≤λ.综上，511-≤≤-PB AP .说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.二、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。
尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。
例4．已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D （0，1）.一质点从AB的中点P沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1< x4<2，则tan 的取值范围是（）(A))1,31( (B))32,31( (C))21,52((D))32,52(分析: 《高中数学课程标准》提倡让学生自主探索, 动手实践, 并主张在高中学课程设立“数学探究”学习活动,本题可以尝试用特殊位置来解，不妨设4P 与AB的中点P 重合（如图1所示），则P1、P2、P3分别是线段BC 、CD 、DA 的中点，所以1tan 2θ=．由于在四个选择支中只有C 含有12，故选C ．当然，本题也可以利用对称的方法将“折线”问题转化成“直线”问题来直接求解（如 图2所示）．说明 由本题可见, 探索猜想在数学学习中的地位．这也是选择题的应有特点．(0,0)A 1P 2P 3P 4P B(2,0)C(2,1)D(0,2)Px y 图1AB P 1P 2P 3P 4P 2'P 3P 3'P 4P4P 4'P CD yxH图2例5．当x∈(1,2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范围。
分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。
解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x∈(1,2),y1<y2恒成立，显然a>1,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。
故loga2>1,a>1,∴1<a ≤2.例6．函数y=(x -1)log 23a -6xlog3a+x+1，其中在x ∈[0,1]时函数恒正，求a 的范围。
解：排除对数log3a 的干扰，选x 为“主元”化函数为 y=f(x)=(log32a -6 log3a+1)x+1-log32a, x ∈[0,1]. 一次（或常数）函数恒正，被线段端点“抬在”x 轴的上方。
故有：.31log 1,3310)1(0)0(033<<-∴<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>>a a f f a说明：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有()0()0f m f n <⎧⎨<⎩例7．对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。
显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。
略解：不等式即(x -1)p+x2-2x+1>0,设f(p)= (x -1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3.例8.设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
分析：题目中要证明f(x)≥a 恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+∞)时恒大于0的问题。
解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)当∆=4（a -1)(a+2)<0时，即-2<a<1时，对一切x ∈[-1,+∞)，F(x)≥0恒成立；ⅱ）当∆=4（a -1)(a+2) ≥0时由图可得以下充要条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆,1220)1(0a f 即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥+≥+-,1030)2)(1(a a a a 得-3≤a ≤-2;综合可得a 的取值范围为[-3，1]说明：若二次函数y=ax2+bx+c=0(a ≠0)大于0恒成立，则有⎩⎨⎧<∆>00a若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。