北师大选修2-2 1.3 反证法
《综合法与分析法》课件1_(北师大版选修2-2)
例：有下列各式： 1 1> , 2 1 1 1+ + > 1, 2 3 1 1 1 1 1 1 3 1+ + + + + + > , 2 3 4 5 6 7 2 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + > 2 2 3 4 5 6 7 15 你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。
证 法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ，且abc = 1，
bc + ca ca + ab ab + bc = + + 2 2 2
>
abc +
2
a bc +
2
ab c =
2
a + b + c.
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证求 ：a + b + c < + + . a b c
证法2:∵a、b、c为 不相等正数 ，且abc = 1，
1 1 1 ∴ a+ b+ c = + + bc ca ab 1 1 1 1 1 1 + + + b c + c a + a b = 1 + 1 +1. < 2 2 2 a b c
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
综合法与分析法 (习题课）
数学北师大版高中选修2-2学数学常用的 解题方法
学数学常用的解题方法数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。
教师钻研习题、精通解题方法，可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提高解题技巧，积累教学资料，提高业务水平和教学能力。
下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。
1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
3.4反证法(北师大版)
2 -1
,求证:数列{bn}中任意三项
3
证明:假设数列{bn}存在三项 br,bs,bt(r<s<t)按某种顺序成等差数列,
2
3
2 -1
3
由于数列{bn}是首项为 1,公比为 的等比数列,于是有 br>bs>bt,则只
可能有 2bs=br+bt 成立,于是有 2
=
2 -1
3
+
2 -1
.
3
两边同乘 3t-1·21-r,
1
1
1
∴a+,b+ ,c+中至少有一个不小于 2.
答案:D
4.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”时应假设
为
.
解析:p且q的否定为非p或非q.
答案:x=a或x=b
-19-
课前预习案
基础梳理
5.已知数列{bn}的通项公式为 bn=
不可能成等差数列.
课堂探究案
专题整合
大于60°”时,假设正确的是(
)
A.假设三个内角都不大于60°
B.假设三个内角都大于60°
C.假设三个内角至多有一个大于60°
D.假设三个内角至多有两个大于60°
解析:根据反证法的定义,假设应使命题的反面成立,而“三角形的
内角中至少有一个不大于60°”的反面是“三个内角都大于60°”.
答案:B
-5-
1
4
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 中至少有一个小于等于 .
-15-
课前预习案
基础梳理
探究一
探究二
课堂探究案
专题整合
北师大版教材2-2与人教A版教材对比研究
北师大版教材（选修2－2）与人教A 版教材（选修2－2）对比研究一、对比内容按必修、选修模块顺序，逐一对比。
内容包括章节内容（可按章节细化成知识点进行对比，如集合，二次函数，指数函数，对数函数…）语言描述、符号表达等方面的区别 二、具体情况 模块 北师大教材人教A 版教材选修2-2共有五章，第一章 推理与证明；第二章 变化率与导数；第三章 导数应用；第四章 定积分；第五章 数系的扩充与复数的引入；（2）章节最后有一个探究活动及三个附录；（3）章节前面有一引言或图画且小目录在后，更细。
（1）共有三章，第一章 导数及其应用；第二章 推理与证明；第三章 数系的扩充与复数的引入；（2）章节前给出本书部分数学符号；（3）章节前面有一引言或图画且小目录在前。
本书部分数学符号 图的标注 图1-2图1.1-1目录§1变化的快慢与变化率 §2导数的概念及其几何意义 2.1导数的概念 2.2导数的几何意义 §3 计算导数§4导数的四则运算4.1导数的加法与减法法则 4.2导数的乘法与除法法则 §5简单复合函数的求导法则 1.1变化率与导数 1.1.1变化率问题 1.1.2导数的概念 1.1.3导数的几何意义 1.2导数的计算1.2.1几个常见函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则平均变化率平均变化率（average rate of change ）x ∆称作自变量的改变量x ∆看作是相对于1x 的一个“增量”瞬时速度瞬时速度（instantaneous velocity ）导数的概念设函数)(x f y =，当自变量x 从0x 变到1x 时，函数值从)(0x f 变到)(1x f ，函数值y 关于x 的平均变化率为xx f x x f x x x f x f x y ∆-∆+=--=∆∆)()()()(000101，当1x 趋于0x ，即x ∆趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数)(x f y =在0x 点的瞬时变化率，在数学中，称瞬时变化率为函数)(x f y =在0x 点的导数，通常用符号)(0x f '表示，记作xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='→∆→)()(lim )()(lim)(0000101001一般地，函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x y x x x ∆-∆+=∆∆→∆→)()(limlim00001，我们称它为函数)(x f y =在0x x =处的导数（derivative ），记作)(0x f '或0x x y ='，即xx f x x f x yx f x x x ∆-∆+=∆∆='→∆→)()(limlim)(000001信息技术应用：用割线逼近切线导函数的概念通过例题求一个函数多点处的导数抽象概括出导函数的概念：一般地，如果一个函数)(x f 在区间),(b a 上的每一点x 处都有导数，导数值记为)(x f '：xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(000，则)(x f '是关于x 的函数，称)(x f '为)(x f 的导函数，通常也简称为导数。
北师大选修2-2 1.2综合法与分析法
例4. 求证 3 7 2 5
解:要证
3 7 2 5
( 3 7 ) 2 (2 5 ) 2
只需证
展开,只需证
21 5
只需证 21<25因为 Nhomakorabea21<25成立,所以
3 7 2 5
成立.
3.直接证明 直接从原命题的条件逐步推得命题成立.
（综合法和分析法是直接证明的两种基本方法） 注：直接证明的一般形式为：
ab
(a>0,b>0)的证明.
a+b 证明:要证; ab 2 只需证; a + b 2 ab
还原成综合法： 证明: 因为; ( a b ) 0
2
只需证; a + b 2 ab 0
只需证; ( a b ) 0
2
所以 a + b 2 ab 0
所以
a + b 2 ab
本题条件 已知定义 ⇒ A ⇒ B ⇒ C 已知公理 已知定理 ⇒ 本题结论
4.分析法和综合法的优缺点： 分析法的优点： 解题方向明确，容易找到解题的思路和方法； 缺点：思路逆行，叙述较繁.
综合法的优点： 从条件推出结论，较简捷地解决问题； 缺点：不便于思考.
注：解题时，一般用分析法寻找解题思 路，再用综合法写解题过程
数学归纳法
直 接 证 明
一.综合法 1.定义：从已知条件出发，以已知的定 义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出 要证明的结论为止.
其推证过程为：
P Q1
Q1 Q 2
Q2 Q3
…
Qn Q
2．综合法的推证过程 A命题的条件或已有的定义、公理、定理等 ⇒ 结论B ⇒ 结论C ⇒ 命题的结论D
北师大版高中数学选修2-2习题课(一) 推理与证明
习题课（一） 推理与证明1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.2．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －2B ．a n ＝n 2C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝4n －3解析：选B 求得a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2.3．在平面直角坐标系内，方程x a ＋y b＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋z c ＝1B.x ab ＋y bc ＋z ca ＝1C.xy ab ＋yz bc ＋zx ca ＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：选A 类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证．4．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( )A ．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B ．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C ．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D ．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：选A 分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B 选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D 选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C 选项，故选A.6．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AG GD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AO OM ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3. 7．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 .解析：分别观察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…归纳可知，第n 个叠放图形中共有n 层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列， 所以S n ＝n ＋[n (n －1)×4]÷2＝2n 2－n ，所以S 7＝2×72－7＝91.答案：918．用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n (3n ＋1)2(n ∈N ＋)的第二步中，当n ＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时的等式左边的差等于________．解析：当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)＋(k ＋3)＋…＋(2k ＋2)；当n ＝k 时，左边＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋2k ，其差为(2k ＋1)＋(2k ＋2)－(k ＋1)＝3k ＋2.答案：3k ＋29．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和310．已知|x |≤1，|y |≤1，用分析法证明：|x ＋y |≤|1＋xy |.证明：要证|x ＋y |≤|1＋xy |，即证(x ＋y )2≤(1＋xy )2，即证x 2＋y 2≤1＋x 2y 2，即证(x 2－1)(1－y 2)≤0，因为|x |≤1，|y |≤1，所以x 2－1≤0,1－y 2≥0，所以(x 2－1)(1－y 2)≤0，不等式得证．11．设函数f (x )＝e x ln x ＋2e x －1x ，证明：f (x )>1.证明：由题意知f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e. 设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，g ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增， 从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e. 设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x )．所以当x∈(0,1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－1 e.综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.12．各项都为正数的数列{a n}满足a1＝1，a2n＋1－a2n＝2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：1a1＋1a2＋…＋1a n≤2n－1对一切n∈N＋恒成立．解：(1)∵a2n＋1－a2n＝2，∴数列{a2n}为首项为1，公差为2的等差数列，∴a2n＝1＋(n－1)·2＝2n－1，又a n>0，则a n＝2n－1.(2)证明：由(1)知，即证1＋13＋…＋12n－1≤2n－1.①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，所以不等式成立．当n＝2时，左边<右边，所以不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即1＋13＋…＋12k－1≤2k－1，当n＝k＋1时，左边＝1＋13＋…＋12k－1＋12k＋1≤2k－1＋12k＋1<2k－1＋22k＋1＋2k－1＝2k－1＋2(2k＋1－2k－1)2＝2k＋1＝2(k＋1)－1.所以当n＝k＋1时不等式成立．由①②知对一切n∈N＋不等式恒成立．由Ruize收集整理。
反证法说课稿
反证法说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是“反证法”。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“反证法”是高中数学选修 2-2 第一章“推理与证明”中的重要内容。
推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。
反证法作为一种间接证明的方法，不仅在数学中有着广泛的应用，对于培养学生的逻辑思维能力和创新能力也具有重要的意义。
本节课是在学生已经学习了综合法和分析法这两种直接证明方法的基础上，进一步学习反证法这种间接证明方法。
通过本节课的学习，学生将完善证明方法的体系，提高逻辑推理能力。
二、学情分析学生在之前的学习中已经掌握了一定的逻辑推理基础，对于综合法和分析法有了一定的了解和运用。
但是，反证法这种思维方式对于学生来说可能较为陌生，需要通过具体的例子和引导，帮助学生理解和掌握。
此外，学生在学习过程中可能会遇到思维上的障碍，比如如何正确地提出反设，如何进行推理得出矛盾等。
因此，在教学过程中要注重启发引导，让学生积极参与思考和讨论。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤。
（2）能够运用反证法证明一些简单的命题。
2、过程与方法目标（1）通过对反证法的探究，培养学生的观察、分析、归纳和推理能力。
（2）让学生经历“提出问题分析问题解决问题”的过程，体会反证法的思维方式。
3、情感态度与价值观目标（1）激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
（2）通过合作学习，培养学生的团队合作意识。
四、教学重难点1、教学重点（1）理解反证法的概念和思维过程。
（2）掌握反证法的证明步骤，并能运用反证法证明简单命题。
2、教学难点（1）如何正确地提出反设。
（2）如何通过推理得出矛盾。
五、教法与学法1、教法（1）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考，启发学生的思维。
第2章-2.2.2 反证法
服/务/教/师
免/费/馈/赠
数学[新课标· 选修2-2]
用反证法证明否定性命题
设{an}是公比为 q 的等比数列．设 q≠1，证明：数 列{an＋1}不是等比数列．
【思路探究】
假设{an＋1}是等比数列，任取连续三项，
利用等比中项构建方程，推出含公比的方程无解或公比为 1.
服/务/教/师
免/费/馈/赠
A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c都是偶数 C．a、b、c中至少有两个偶数 D．a、b、c都是奇数或至少有两个偶数
服/务/教/师
免/费/馈/赠
返回菜单
数学[新课标· 选修2-2]
【解析】 “恰有一个偶数”的否定是“一个也没有或至 少有两个”．
【答案】 D
服/务/教/师
免/费/馈/赠
返回菜单
数学[新课标· 选修2-2]
应用反证法常见的“结论词”与“反设词” 当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易 入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的 “结论词”与“反设词”如下：
服/务/教/师
免/费/馈/赠
返回菜单
数学[新课标· 选修2-2]
结论词 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个
反设词 一个也没有 至少有两个 至多有n－1个 至少有n＋1个
服/务/教/师 免/费/馈/赠
返回菜单
数学[新课标· 选修2-2]
用反证法证明“至多”、“至少” 类 问题
(2013· 威海高二检测)已知a，b，c∈(0,1)，求证： 1 (1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于4.
【思路探究】 “不能都大于”的含义为“至少有一个小 于或等于”其对立面为“全部大于”．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
这与垂线性质矛盾，即假设不成立
所以，弦AB、CD不被P平分。
例3
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
A O P C B D
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于 点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、 CD不被P平分.
证法二
假设弦AB、CD被P平分， 证明：连结 AD、BD、BC、AC,
自相矛盾
例3
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
A O
已知：如图，在⊙O中，弦AB、 CD交于点P，且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分.
证法一 证明：假设弦AB、CD被P平分，
P
D
C
B 由于P点一定不是圆心O，连结OP， 根据垂径定理的推论，有 与已有定理 OP⊥AB，OP⊥CD， 矛盾 即过点P有两条直线与OP都垂直，
1.3
反证法
复习：直接证明
(1)综合法——由因导果
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 … Qn Q
(2)分析法—— 执果索因
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
引入：
从前有个聪明的孩 子叫王戎。他7岁时,与 小伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满了 果子.小伙伴们纷纷去 摘取果子,只有王戎站 在原地不动.
假设方程ax-b 0(a 0)至少存在两个根
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b，ax2 = b
∴ax1 = ax2
∴ax1 - ax2 = 0
∴a（x1 - x2） =0
∵x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0
与已知条 件矛盾
∴ a = 0 与已知a ≠ 0矛盾,
有人问王戎为什么，
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?
他运用了怎样的推理方法?
王戎推理方法是:
假设“李子甜” 树在道矛盾
假设 “李子甜”不成立
所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的
间接证明
不是直接从原命题的条件逐步推得命 题成立的证明方法就为间接证明。
反证法是一种常用的间接证明的方法。
反证法：
假设命题结论的反面成立，经过正确 的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从 而证明原命题成立,这样的证明方法叫反 证法。
反证法的思维方法：
正难则反
一般地，假设原命题不成立， 经过正确 因此说明假设错 的推理，最后得出矛盾。 这样的证明 误，从而证明了原命题成立， 方法叫做反证法（归谬法）。 其过程包括：
反设——假设命题的结论不成立；
归谬——从假设出发，经过一系列正确的 推理，得出矛盾； 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从 而肯定原结论成立。
归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。
例1
已知a≠0，证明x的方程ax=b
有且只有一个根。
b 证：由于a 0，因此方程至少有一个根x a
这与已知条件矛盾，即假设不成立 所以，弦AB、CD不被P平分。
练习
用反证法证明 : 如果a b 0, 那么 a b .
或者 a b
证明: 假设 a不大于 b , 则或者 a b ,
因为a 0, b 0, 所以 a b a a b a与 a b b b a b 或 a bab
故假设不成立，结论成立。
应用反证法的情形： (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
正难则反!
常见否定用语 是－－－不是 有－－－没有 等－－－不等 成立－－不成立 都是－－不都是，即至少有一个不是 都有－－不都有，即至少有一个没有 都不是－部分或全部是，即至少有一个是 唯一－－至少有两个 至少有一个有（是）－－全部没有（不是） 至少有一个不－－－－－全部都
这些都同已知条件a b 0矛盾, 所以 a b
总结提炼 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设 ②归谬 ③结论
2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?
用反证法在归谬中所导出的矛盾可以 是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、 公理、定理矛盾，自相矛盾等．
推理 合情推理 （归纳、类比） 证明 直接证明 （分析法、综合法） 间接证明 （反证法） 演绎推理 （三段论）
因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ACBD是平行四边形 所以 ACB ADB, CAD CBD 因为 ABCD为圆内接四边形 所以 ACB ADB 180 , CAD CBD 180 因此 ACB 90 , CAD 90 所以，对角线AB、CD均为直径，
数学—公理化思想
练习 已知直线a，b和平面， 如果a ，b ，且a / /b， 求证：a / /
a
b
p
作业： P15 习题1-3 第（3），（5）题
例2 求证：2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n 2 2 ∴ m = 2n ∴ m = 2n
2 2 2 2
∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k = 2n ，即n = 2k ∴n2也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是无理数成立