巩固练习三角函数的最值与综合应用提高

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高考数学二轮复习三角函数的应用

2008高考数学二轮复习三角函数的应用三角函数是中学教材中一种重要的函数，它的定义和性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能考查的重要内容之一，同时，由于三角函数和代数、几何知识联系密切，它又是研究其他各类知识的重要工具，因此应重视对知识理解的准确性，加强对三角知识工具性的认识. 三角函数与其他数学知识的联系.特别要注意三角与几何、三角与平面向量的联系.目标定位1．通过问题的解决，掌握求解实际问题的解决方法，体会三角函数知识在实际问题中的应用．2．熟练掌握实际问题的常用的数学模型和构建数学模型的基本方法．3．注意体会数学基本思想方法在三角函数的应用问题的中运用，切身体会到数学的广泛应用，培养学生应用数学的意识和学以致用的精神．4．通过数学应用问题的研究，通过数学应用问题的复习，提高学生综合应用数学知识、思想和方法分析并解决实际问题的能力．特别是阅读理解能力和对实际问题数学地表述能力．激发学生的潜能和积极性，使学生．知识梳理1. 三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理、物理等实际问题，解题的流程大致是：审读题意，设角建立三角式，进行三角变换，解决实际问题．2.过好五个关口，解好应用问题．第一关，审题关阅读理解题意，由于应用问题的题目表述一般较长．相关学科知识与数学知识相互渗透而造成了阅读与理解上的困难．因此阅读理解即审题应分“通读”与“精读”两个层次完成．“通读”时要求一字一句地读题，理解其含义，从中认识到这是什么事件，已知什么条件，求解什么问题，做到心中有数；在“通读”的基础上再“精读”一遍，从中找到“关键词”，进一步理解题意，着重研究题目题目中所给的数和数量，理清其中的数量关系，用笔记录下来，在此基础上列出列出关系式，如涉及图形问题，可作出草图辅助处理，也可用表格等开形式来表示将有助于对题目的理解和对问题的研究．第二关，建模关在第一关的基础上，提练题目所给的信息，并给合相关的知识和解题经验将实际问题转化为数学问题，即将问题数学化．解题的关键是在熟读了题目搞清了题目所涉及的量与量之间的关系之后，用字母、用数学符号、等式或不等式将问题翻译、转化即抽象成为一个脱离了实际意义的纯数学问题，从而建立相应的数学模型，如函数最值模型、数列模型、三角函数模型、平面解析几何模型、不等式模型等等．第三关，化常关将所建立的模型转化成为相应章节的常规问题，为进一步求解找下良好的基础，作好充分的准备．第四关，计算关在求解常规问题时，按所掌握求其的相应的解法进行求解，得出常规问题的解或值，这说明扎实掌握中学数学基础知识、基本技能以及中学数学常用的数学思想方法是顺利解决实际应用问题的必要条件．第五关，检验关由于所求解的是实际问题，所以问题的解还要受到实际问题的约束与限制，所以，求出常规问题的解之后，还要再根据题目的条件，找到符合实际问题条件的解．此外，在求解实际问题时，还应注意解题的格式与步骤，①解②设③列④算⑤验⑥答．只有过好五个关口，注意六个步骤，才能很好地解决数学应用问题． 3．解数学应用问题还应注意四种数学思想的使用．（1）转化与化归思想；（2）函数与方程思想；（3）数形结合思；（4）分类讨论思想． 4．建立三角函数模型后，可以转化为以下几种常规问题：（1）三角函数解析式问题．（2）三角函数求值问题．（3）三角函数最值问题．（4）三角函数图像问题．（5）与三角函数有关的其它问题．课堂互动知识点1 建立三角函数模型后，转化为三角函数解析式求解问题例题1 一半径为3ｍ的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面2ｍ，已知水轮每分钟转运4圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时开始计算时间．（1）将点P 距离水面的高度ｚ（ｍ）表示为时间ｔ（ｓ）的函数；（2）点P 第一次到达最高点大约要多长时间？【分析】首先确定时间t 和高度z 的关系是通过角联系的，而角与时间的关系的建立自然要涉及到角速度，以解速度为突破口寻求解题的途径．【答案】不妨设水轮沿逆时针方向旋转，建立平面直角坐标系，设角02πϕϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭是以Ox 为始边，0OP 为终边的角，由OP 在()t s 内所转过的角为4226015t t ππ⨯⎛⎫=⎪⎝⎭，可知以Ox 为始边，OP 为终边的角为215t πϕ+，故P 点的纵坐标为23sin 15t πϕ⎛⎫+⎪⎝⎭，则23sin 215z t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当0,0t z ==，可得2sin 3ϕ=-，因为02πϕ-<<，所以0.73ϕ≈-．故所求函数关系式为23sin 215z t πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭．令23sin 2515z t πϕ⎛⎫=++=⎪⎝⎭，得2sin 0.73115t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，取20.73152t ππ-=，解得 5.5t ≈．【点评】建立一个合适的坐标系，找到自变量与因变量的关系，作出图形演示，有助于弄清问题的实质．巩固练习1．如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b(1)求这段时间的最大温差(2)写出这段曲线的函数解析式2．已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(0≤t ≤24,单位:小时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据: t3691215182124y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5经长期观察,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acos ωt+b 的图象.(1)根据以上数据,求出函数y=Acos ωt+b 的最小正周期T,振幅A 及函数表达式;(2)依据规定,当海浪高度高于1m 时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8:00到晚上20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动? 知识点2 建立三角函数模型后，转化为三角函数求值问题例题2 如右图，一滑雪运动员自h =50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O 点保持速率v 0不为，并以倾角θ起跳，落至B 点，令OB =L ，试问，α=30°时，L 的最大值为多少？当L 取最大值时，θ为多大？【分析】首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题【答案】由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程020cos cos 1sin 4sin 2S L v t h L v gt αθαθ==⎧⎪⎨-=-=-⎪⎩ ① ② 由①②整理得 v 0cos θ=.21sin sin ,cos 0gt t L v t L +-=αθα ∴v 02+gL sin α=41g 2t 2+22tL ≥2222412t L t g ⋅=gL 运动员从A 点滑至O 点，机械守恒有:mgh =21mv 02, ∴v 02=2gh ,∴L ≤)sin 1(2)sin 1(20αα-=-g ghg v =200(m)即L max =200(m),又41g 2t 2=22222tL t h S =+ ∴θααcos 22cos cos ,20⋅====gL gh t v L S g L t 得cos θ=cos α,∴θ=α=30°∴L 最大值为200米，当L 最大时，起跳仰角为30°巩固练习1．某工厂使用交流电的电流强度I （A ）随时间t （s ）变化的函数为I =10sin 21003t ππ+⎛⎫ ⎪⎝⎭.求电流强度变化的周期和频率，以及当7120t =（s ）时的电流强度2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离S （厘米）和时间t （秒）的函数关系为y= 6sin （2πt+)6π）.（1）作出它的图象；（2）单摆开始摆动（t=0）时，离开平衡位置多少厘米？（3）单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？单摆来回摆动一次需要多少时间？知识点3 建立三角函数模型后，转化为三角函数最值问题例题3 有一块半径为R ，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值【分析】求一些几何有关的最值问题，通常是将所求的几何量是用某个角的函数形式，借助于三角函数求值的访求来求出这个函数的最值，这样，如何选定某个角作为自变量是至关重要的，这就要求深入研究几何量的是怎样变化的，选定哪个角能体现这种变化，同时易建立函数关系求出其最值【答案】如下图，扇形AOB 的内接矩形是MNPQ ，连OP ，则OP=R ，设∠AOP=θ()045θ︒︒<<，则∠QOP=45°－θ，NP=Rsin θ,在△PQO 中，︒=θ-︒135sin )45sin(RPQ ，∴PQ=2Rsin(45°－θ)S 矩形MNPQ=QP ·NP=2R2sin θsin(45°－θ)=22R 2·［cos(2θ－45°)－22］≤212-R 2，当且仅当cos(2θ－45°)=1,即θ=22 5°时，S 矩形MNPQ 的值最大且最大值为212-R 2工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB ，以扇形一半径OA 为一边，在扇形上作角AOP 且使∠AOP =22 5°，P 为边与扇形弧的交点，自P 作PN ⊥OA 于N ，PQ ∥OA 交OB 于Q ，并作OM⊥OA 于M ，则矩形MNPQ 为面积最大的矩形，面积最大值为212-R 2【点评】对于实际问题，往往其中的角是有限制的，所以在求最值时要考虑到这种约束，也就是说，所求函数的最值是给定区间的函数最值问题. 巩固练习1．用一块长为a ，宽为b (a ＞b )的矩形木板，在二面角为α的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓，试问应怎样围才能使谷仓的容积最大？并求出谷仓容积的最大值2．如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积3.求周长为定值L （L ＞0）的直角三角形的面积的最大值.abc【分析】选择合适的变量为自变量，将所求的量用自变量的函数形式，变量选取的不同，繁简程度出不一样，所以，在选取自变量的时候，要选择最合适的变量.【答案】解法1:设地下光缆线路为AM,水下光缆线路为MB,令∠OBM=α(0≤α≤arccos 41),总铺设费用为S,由题意得, S=4a ⋅BM+2a ⋅AM=4a ⋅αcos 1+2a ⋅(15-ααcos sin )=215a+a 2cos sin 2⋅-αα.设t=ααcos sin 2-(0≤α≤arccos41),问题转化为求tmin.于是sin α+tcos α=2,得21t +sin(α+φ)=2,即sin(α+φ)=212t +(其中锐角φ满足tan φ=t).由212t +≤1及t>0可解得t ≥3.可解出当α=6π时, tmin=3,故S min ≈11.2a(万元).答:(略). 解法2:(以上同解法一) t=ααcos sin 2-可看成是直角坐标系中两点P(0,2)与Q(-cosα,sinα)连线斜率.问题转化为求直线PQ 的斜率的最小值(以下略).解法3:令OM=x(千米)(0≤x ≤15),以长度x 为自变量建立目标函数,然后用判别式法或基本不等式法求最值(略)【点评】三角函数是一种应用十分广泛的函数，常将一些代数问题、几何问题或某些实际应用问题通过三角代换，利用转化和化归的思想方法转化为三角问题来求解.巩固练习1．如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin r θ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？2．某研究所计划把一块边长为20米的等边三角形ABC 的边角地辟为植物新品种的实验基地,图中DE 需把基地分成面积相等的两部分,D 在AB 边上,E 在AC 边上. (1)设AD=x(x ≥10),ED=y,试用x 表示y 的函数关系式;(2)如果DE 是灌溉输水管道的位置,为了节约,则希望它最短,试求此时AD 的长度;如果DE 是参观线路,则希望它最长,AD 的长又是多少?说明理由.3．要修一条深2米，横截面为等腰梯形的引水渠，在横截面面积大小一定的条件下，要求渠底面和两侧面所用材料最省.问渠壁的倾角θ（锐角）多大时，才能满足这一要求. 知识点4 建立三角函数模型后，转化为三角函数的其它问题例题5 如果在北京地区（纬度数是北纬40o ）的一幢高为h o 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？【答案】根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为——南，北回归线之间的地带.画出图形如下，由画图易知A 2m太阳高度角θ、楼高0h 与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系：0tan h h θ=【答案】图中Ａ、Ｂ、Ｃ分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况来考虑，依题意两楼之间的距离应不小于ＰＣ.根据太阳高度角的定义有''90|402326)|2634C ∠=---=（所以 0002.000tan tan 2634'h h MC h c ==≈ 即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当与楼高两倍的间距巩固练习1．如图，某海滨浴场的岸边可近似地看作直线a ，救生员现在岸边的A 处，发现海中的B 处有人求救，救生员没有直接从A 处游向B 处，而是沿岸边A 跑到离B 最近的D 处，然后游向B 处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海水中的行进速度为2米/秒. （1）分析救生员的选择是否正确？（2）在AD 上找一处C ，使救生员从A 到B 的时间最短，并求出最短时间.D小试身手【考题再现】 1．（2004年湖北理）设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312t t y ππ++=2．（2003年全国高考理20题) 如图,在某海滨城市O 附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O 的东偏南方向 300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？3． (93全国理)在半径为30m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为m(精确到0.1m). 【模拟训练】1．（04年汕头模拟题）如图已知在等边ABC ∆中，3AB =，O 为ABC ∆中心，过O 的直线MN 交线段AB 于M 点，交线段AC 于N 点.设AOM θ∠=（60≤θ≤120）当θ为何值时，11OM ON+取得最大值和最小值，并求这个最大值和最小值2.(04年广州市毕业综合测试（一）)已知电流与时间t 的关系式为()sin I A x ωϕ=+ （Ⅰ）右图是()sin I A x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭在一个周期内的图像，根据图中数据求()sin I A x ωϕ=+的解析式Ⅱ）如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流()sin I A x ωϕ=+都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？教考链接三角函数知识在解决实际问题中有着十分广泛的应用，要求学生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，提高学生综合应用数学知识、思想和方法分析并解决实际问题的能力．特别是阅读理解能力和对实际问题数学地表述能力．三角函数知识作为数学工具之一，在以后的学习中将经常有所涉及.学数学是为了用数学来解决应用问题和实际问题，通过学习要切身体会到数学的广泛应用，逐步提高自己分析问题解决问题的能力.培养自己的应用数学的意识和学以致用的精神．参考答案课堂互动例题1 巩固练习1．【答案】 (1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；(2)图中从6时到14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象∴ωπ221⋅=14－6,解得ω=8π, 由图示A =21(30－10)=10，b =21(30+10)=20，这时y =10sin(8πx +φ)+20,将x =6,y =10代入上式可取φ=43π 综上所求的解析式为y =10sin(8πx +43π)+20,x ∈［6,14］ 2．【答案】 (1)由表中数据,知周期T=12.∴ω=61222πππ==T .由t=0,y=1.5,得A+b=1.5 ①,由t=3,y=1.0,得b=1.0 ②.由①②联立解得A=21,b=1,∴振幅为21,函数表达式为y=21cos t 6π+1.(2)由题意知,当y>1时才可对冲浪者开放.由21cos t 6π+1>1得cos t 6π>0,∴2k π-2π<t 6π<2k π+2π,即12k-3<t<12k+3(k ∈Z) ③.∵0≤t ≤24 ,∴可令③中k 分别为0,1,2,得0≤t<3或9<t<15或21<t<24.∴在规定时间上午8:00到晚上20:00之间,有6个小时可供冲浪者运动,即上午9:00到下午15:00. 例题2巩固练习1．【答案】显然I =10sin 21003t ππ+⎛⎫ ⎪⎝⎭的周期是211,5010050T f T ππ====当7120t =（s ）时，72510sin 10010sin 12034I πππ⎛⎫=⋅+==- ⎪⎝⎭2．【答案】（l ）找出曲线上的五个特殊点，列表如下：用光滑曲线连接这些点，得函数的图像（如图）（2）当时，，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3. （3）的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6.（4）的周期，所以单摆来回摆动一次需要的时间为1.评注：在作图时，如无特殊声明，一般用五点法作图较简便例题3 巩固练习1．【答案】如图，设矩形木板的长边AB 着地，并设OA =x ，OB =y ，则a 2=x 2+y 2－2xy cos α≥2xy －2xy cos α=2xy (1－cos α)∵0＜α＜π,∴1－cos α＞0,∴xy ≤)cos 1(22α-a (当且仅当x =y 时取“=”号)，故此时谷仓的容积的最大值V 1=(21xy sin α)b =2cos 41)cos 1(4sin 22αααb a b a =- 同理，若木板短边着地时，谷仓的容积V 的最大值V 2=41ab 2cos 2α, ∵a ＞b ,∴V 1＞V 2从而当木板的长边着地，并且谷仓的底面是以a 为底边的等腰三角形时，谷仓的容积最大，其最大值为41a 2b 2α 2．【答案】以OA 为x 轴 O 为原点，建立平面直角坐标系，并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，则｜PS ｜=sin θ 直线OB 的方程为y =3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ 联立解之得Q (33sin θ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cos θ－33sin θ于是S PQRS =sin θ(cos θ－33sin θ) =33(3sin θcos θ－sin 2θ)=33(23sin2θ－22cos 1θ-) =33(23sin2θ+21cos2θ－21)= 33sin(2θ+6π)∵0＜θ＜3π,∴6π＜2θ+6π＜65π ∴21＜sin(2θ+6π)≤1∴sin(2θ+6π)=1时，PQRS 面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6π，点P 为AB 的中点，P (21,23)3．【答案】解法一：a +b +22b a +=L ≥2ab +ab 2.∴ab ≤22+L .∴S =21ab ≤21（22+L ）=21·［222L ）（-］2=4223-L 2.解法二：设a =c sin θ，b =c cos θ.∵a +b +c =L ，∴c （1+sin θ+cos θ）=L .∴c =θθcos sin 1++L.∴S =21c 2sin θcos θ=22L 2cos sin 1cos sin ）（θθθθ++. 设sin θ+cos θ=t ∈（1，2］，则S =22L ·22121）（t t +-=42L ·11+-t t =42L （1－12+t ）≤42L （1－122+）=4223-L 2. 4．【答案】设θ=∠PAB （︒≤≤︒900θ），延长RP 交AB 于M ，则AM=θcos 90，MP=θsin 90∴ PQ=MB=θcos 90100- θsin 90100-=-=MP MR PR∴ )sin 90100)(cos 90100(θθ--=⋅=PR PQ S PQCR 矩形 θθθθcos sin 8100)cos (sin 900010000++-=令θθcos sin +=t （21≤≤t ）则21cos sin 2-=t θθ∴ 2181009000100002-⋅+-=t t SPQCR矩形950)910(40502+-=t 故当910=t 时，PQCR S 矩形的最小值为2950m ，当2=t 时，PQCR S 矩形的最大值为2)2900014050(m -例题4 巩固练习1．【答案】R =r cos θ，由此得20,cos 1π<θ<θ=R r ， 22222sin sin cos (sin cos )kI k k r R Rθθθθθ⋅=⋅=⋅=⋅⋅222222322222()2sin (1sin )(1sin )()()3sin ,tan 32k k I R R k I h R RR θθθθθ=⋅⋅--≤⋅≤===由此得等号在此时2．【答案】 (1)∵∆ABC 的边长为20米,∴10≤x ≤20. 又ABC ADE S S ∆∆=21,∴0060sin 2020212160sin 21⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅AE x ,∴AE=x200. 在∆ABC 中,由余弦定理得y=200104242-⋅+x x (10≤x ≤20). (2)若DE 为输水管道,则需求y 的最小值.而y=200104242-⋅+x x ≥200400-=102,当且仅当242104x x ⋅=,即x=102时,等号成立,∴y 的最小值是102. 若DE 作为参观线路,则需求y 的最大值.令x 2=t ∈[100,400],则y=2001044-⋅+tt ,设f(t)=t+t 4104⋅,任取100≤t 1<t 2≤400,则f(t 1)-f(t 2)= (t 1+14104t ⋅)-(t 2+24104t ⋅)=(t 1- t 2)∙21421104t t t t ⋅-.若100≤t 1<t 2≤200,则t 1- t 2<0,t 1∙t 2>0,t 1∙t 2-4∙104<0,∴f(t 1)>f(t 2),则f(t)在[100,200]上是减函数.若200≤t 1<t 2≤400,则t 1- t 2<0,t 1∙t 2>0,t 1∙t 2-4∙104>0,∴f(t 1)<f(t 2),则f(t)在[200,400]上是增函数.∴当t=100或t=400即x=10或x=20时,y 的最大值是300=103.答:当AD=102米时,输水管道DE 最短;当AD=10米或20米时,参观线路DE 最长. 3．【答案】如图所示，设横截面面积为S 则S BCAD =⨯+22⇒S BC=⨯+⨯222cot 22θ ⇒θcot 22-=SBC∴渠底面和两侧面的截面周长为CD BC AB l ++==+⨯θsin 22θcot 22-S ＝+-⨯θθsin cos 222S 令θθsin cos 2-=u ，要使周长最小.只需θθsin cos 2-=u 最小就可以了，根据三角函数公式可以得到：θθsin cos 2-=u 22tan32tan 21θθ+=由基本不等式，当22tan32tan21θθ=，即332tan =θ时，上式达到最小值.∴060=θ时，渠底面和两侧面的截面周长最小，也就是渠底面和两侧面所用材料最省例题5 巩固练习1．【答案】某海滨浴场的岸边可近似地看作直线a ，救生员现在岸边的A 处，发现海中的B 处有人求救，显然AB两点的距离AB =米，若救生员直接从A 处游向B处，所花的时间12t == 而救生员沿岸边A 跑到离B 最近的D 处，然后游向B 处所花时间230030020062t =+=秒，由于12t t >，所以救生员的选择是正确的.（2）在AD 上找一处C ，使救生员从A 到B 的时间最短，DaC并求出最短时间.设,BCD θ∠=则4590θ︒︒≤≤，在B C D ∆中，，300sin BC θ=，300tan CD θ=，300300tan AC θ=-所以，在AD 上找一处C ，救生员从跑到C ，并从C 点游到B 处所花的时间为501503cos 50505062tan sin sin AC CB t θθθθ-⎛⎫=+=-+=+⨯ ⎪⎝⎭设3cos sin u θθ-=，则sin cos 3u θθ+=，()3θϕ+=()sin θϕ+=（中sin θθ==1≤3,u ≥≥所以在AD 上找一处C ，救生员从跑到C ，并从C 点游到B处所花的时间的最小值为50+.考题再现1．【答案】根据代特殊值检验可以表示表中数据间对应关系的函数是．]24,0[,6sin312∈+=t t y π，答案是A2．【答案】如图,建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻t:台风中心(),P x y 的坐标为:30020,10230020.102x y ⎧=⨯-⨯⎪⎪⎨⎪=-⨯+⨯⎪⎩此时台风侵袭的区域是: 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有 :22()()[()]x x y y r t -+-≤222(30020)(30020)(1060)102102t t ⨯-⨯+-⨯+⨯≤+即2362880t t -+≤即所以1224t ≤≤答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.3．【答案】设高为h ，如图2-9是由高与广场半径为直角边的直角三角形，于是h =30c t g 60°＝103＝17.3m.图2-9模拟训练1．【答案】(Ⅰ)由条件知 AO 3==30MAO NAO ∠=∠=，60≤θ≤120在AOM ∆中，由正弦定理，得sin 30sin 150OM ︒=-，∴2sin 30OM =+同理()2sin 30ON θ︒=-11OM ON +2sin 30=+2sin 30-()()sin 30sin 303θθ︒︒⎡⎤=++-⎣⎦2sin cos302sin 3θθ︒=⋅=∵60≤θ≤120，sin θ≤111OM ON+≤3 当sin 1θ=，即90θ︒=时，11OM ON+取得最大值2，当sin 2θ=60θ=或120时，11OM ON+2．【答案】由图可知300A =，设1211,900180t t =-=，则周期()211112218090075T t t ⎛⎫=-=+= ⎪⎝⎭，2150T πωπ==，又当1180t =时，0I =，即1sin 1500180πϕ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，即,2πϕ<∴6πϕ=.故所求的解析式为300sin 1506I t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （Ⅱ）依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150（ω≥0）.∴ω≥300942π>，*N ω∈，故ω的最小正整数值为943.。

三角函数的最值

三角函数的最值知识要点梳理1.正弦函数、余弦函数的值域：都是[]1,1-。

2.正弦函数、余弦函数的最值：对sin y x =，当()22x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1；当()322x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1；对，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。

注意：正切函数y=tanx 在R 上的值域为R ，因此正切函数y=tanx 在R 上既没有最大值，也没有最小值。

3.求三角函数最值的常用方法有：（1）配方法；（2）化为一个角的三角函数形式，如sin()y A x k ωϕ=++等，利用三角函数的有界性求解；（3）数形结合法；（4）换元法；（5）基本不等式法等.疑难点、易错点剖析三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的角的范围，还要注意正、余弦函数的有界性.特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，要深入挖掘正、余弦函数的有界性。

一、可转化为关于x 的正弦或余弦的二次函数的三角函数的最值例1求函数2cos 3cos 2++=x x y 的最值，并求取得最值时的x 值。

思路分析：函数式中既含有角x 的余弦的平方，又含有x 的余弦的一次项，适宜用同角公式中的平方关系将函数化为关于角x 的余弦的二次函数在闭区间[-1，1]上的最值问题。

解：45)23(cos 2cos 3cos 22++=++=x x x y[]1c o s 1,1,12x -≤≤∈- 且-， ∴当23cos -=x 时，即23x k ππ=±+时，m in 54=y13x π==+max 当cos ，即 x=2k 时，y变式：求函数2sin 2y x x =++的最值，并求取得最值时的x 值。

思路分析：函数式中既含有角x 的正弦的平方，又含有x 的余弦的项，适宜用同角公式中的平方关系将函数化为关于角x 的余弦的二次函数在闭区间[-1，1]上的最值问题。

三角函数综合练习题(单调性、单调区间、最大最小值)

三角函数综合练习题考查单调性，单调区间，最大最小值，周期，零点，对称性，对称中心一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.已知函数f(x)=cosxsin(x−π3)+√34(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)求f(x)在区间[−π4,π4]上的最大值和最小值．2.已知函数f(x)=cos(2x+π3)．(1)求函数y=f(x)的对称轴方程；(2)求函数f(x)在区间[−π12,π2]上的最大值和最小值．3.设函数f(x)=cosx⋅sin(x+π3)−√3cos2x+√34．(1)求f(x)的最小正周期和对称中心；(2)当x∈[0,π3]时，求函数f(x)的最值．4.已知函数f(x)=cos2x−sin2x−2√3sinxcosx(x∈R)．(2)求f(x)的最小正周期及单调递减区间．5.已知函数f(x)=cos(2x−π3)+2sin(x−π4)sin(x+π4)．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若将函数f(x)图象上每点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在区间[−π12,π]上的值域．6.已知函数f(x)=2sinx⋅sin(π2−x)+√3(cos2x−sin2x)．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求方程f(x)=2的解构成的集合．7.已知函数f(x)=2sin2x+2√3sinxcosx．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若x∈[0,5π12]，求函数f(x)的值域．8.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象过点P(−5π12,0)，且图象上与P点最近的一个最低点坐标为(−π6,−2)．(1)求函数的解析式；(2)若将此函数的图象向左平移π6个单位长度后，再向上平移2个单位长度得到g(x)的图象，求g(x)在[−π6,π3]上的值域．9.已知f(x)=2sin(2x+π3)．(1)求f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时，x值的集合．(2)求f(x)的单调递增区间．10.已知函数f(x)=cosx(2sinx+√3cosx)−√3sin2x．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(Ⅱ)若当x∈[0,π2]时，关于x的不等式f(x)≥m有解，求实数m的取值范围．11.已知函数f(x)=2sin(2x−π6).(1)求函数f(x)的对称轴；(2)当x∈[0,π2]时，求函数f(x)的最大值与最小值．12.已知函数f(x)=4sinxcos(x−π3)−√3．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)若方程f(x)=m在(π2,5π3)有两个不同的实根，求m的取值范围．13.已知向量a⃗=(3sinx,cos2x)，b⃗ =(cosx,12)，x∈R，设函数f(x)=a⃗⋅b⃗ ．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求函数f(x)在[0,π2]上的最大值和最小值．14.已知函数f(x)=sinωx(sinωx+cosωx)的最小正周期为π，ω为正实数．(1)求ω的值；(2)求函数f(x)的单调递减区间及对称轴方程．15.已知向量m⃗⃗⃗ =(cosx,−1)，n⃗=(√3sinx,cos2x)，设函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗+1．(1)求函数y=f(x)的单调递减区间，并说明由函数y=sinx的图象如何变换可得到函数y=f(x)的图象．(2)若x∈[0,π2]，f(x)=56，求cos2x的值．16.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x．(I)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求f(x)在[0,π2]上的单调递增区间．17.已知向量a⃗=(√3sinx,cosx)，b⃗ =(−cosx,cosx)，c⃗=(2,1)．(Ⅰ)若a⃗//c⃗，求a⃗⋅b⃗ 的值；(Ⅱ)若x∈[0,π2]，求f(x)=a⃗⋅b⃗ 的值域．18.已知函数f(x)=2asinωxcosωx+2√3cos2ωx−√3(a>0,ω>0)的最大值为2，且最小正周期为π．(1)求函数f(x)的对称轴方程；(2)若f(α)=43,求sin(4α+π6)的值．19.设函数f(x)=sinx+√3cosx(x∈R)．(1)求函数f(x)的最值和最小正周期；(2)将函数f(x)的图像先保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将图像向π20.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，其中A>0，ω>0，−π2<φ<π2，x∈R其部分图象如图所示．(1)求函数y=f(x)的解析式与单调增区间；(2)当x∈[0,π]时，求函数y=f(x)的最大值与最小值及此时相应x的值．21.已知函数f(x)=2sinx(√3cosx+sinx)−1．(I)求f(x)的单调递增区间；(II)若f(α2)=25，求sin(2α+π6)的值．22.已知函数f(x)=12cos2x+√32sinxcosx+1．(1)求函数f(x)的最小正周期和其图象对称中心的坐标；(2)求函数f(x)在[π12,π4]上的值域．23.已知f(x)=sin(2x+π6)+3cos(2x−π3).(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;(2)若f(α2)=45，α∈(0,π)，试求cosα的值．24.已知函数f(x)=cos2x+2√3sinxcosx−sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[−π3,π3]上的最大值和最小值．25.已知函数f(x)=(cosx+√3sinx)⋅sin(π2−x)+12．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)求函数f(x)在区间[712π,56π]上的最小值以及取得该最小值时x的值．26.已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)的图像关于直线x=π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π．(1)求ω和φ的值；(2)若f(α2)=√34(π6<α<2π3)，求sin (α+π3)的值．27.已知函数f(x)=cos2x+√3sinxcosx−12(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)讨论f(x)在区间[−π4,π4]上的单调性；28.已知函数f(x)=2cosx(λsinx−cosx)+sin2x+1(λ<0)，且f(x)的最小值为−2．(1)求实数λ的值及函数f(x)的单调递减区间;(2)当x∈[−π12,π2]时，若函数g(x)=f(x)−k有且仅有一个零点，求实数k的取值范围．29. 已知函数f(x)=Acos(ωx +φ)+B(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如下图所示．(Ⅰ)求f (x )的解析式及对称中心坐标；(Ⅱ)先将f (x )的图像纵坐标缩短到原来的12倍，在向右平移π6个单位，最后将图像向上平移1个单位后得到g (x )的图像，求函数y =g (x )在x ∈[π12,3π4]在上的单调减区间和最值．)(x∈R)．30.已知函数f(x)=2sinxsin(x+π2(Ⅰ)求f(0)的值；(Ⅱ)求f(x)的最小正周期；)为偶函数，求φ的值．(Ⅲ)若y=f(x+φ)(0<φ<π2答案和解析1.【答案】解：(1)因为f(x)=cosxsin(x−π3)+√34，=12sinxcosx−√32cos2x+√34=14sin2x+√34(1−2cos2x)，=14sin2x−√34cos2x，=12sin(2x−π3)所以最小正周期为：T=π；由−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，k∈Z得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z，即单调递增区间是：[−π12+kπ,5π12+kπ]，k∈Z，(2)因为x∈[−π4,π4]，所以2x−π3∈[−5π6,π6]，因此sin(2x−π3)∈[−1,12]，当2x−π3=−π2即x=−π12时，取最小值−12；当2x−π3=π6即x=π4时，取最大值14；【解析】(1)先利用和差角公式及辅助角公式进行化简，然后结合周期公式即可求解；(2)结合正弦函数的性质即可直接求解．本题主要和差角公式，辅助角公式在三角化简求值中的应用2.【答案】解：(1)函数f(x)=cos(2x+π3)．由2x+π3=kπ得x=kπ2−π6，即函数的对称轴方程为x=kπ2−π6，k∈Z，(2)当−π12≤x≤π2时，−π6≤2x≤π，π6≤2x+π3≤4π3，所以当2x+π3=π，即x=π3时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(x)=cosπ=−1，当2x+π3=π6，即x=−π12时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(x)=cosπ6=√32．【解析】(1)直接利用余弦型函数的性质和整体思想求出函数的对称轴方程．(2)利用整体思想，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，再求出函数的最值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．3.【答案】解：(1)f(x)=cosx⋅sin(x+π3)−√3cos2x+√34=cosx(12sinx+√32cosx)−√3cos2x+√34=14sin2x−√34cos2x=12sin(2x−π3)，∴f(x)的最小正周期是2π2=π，令2x−π3=kπ，k∈Z，解得x=12kπ+π6，k∈Z，可得对称中心为(12kπ+π6,0)，k∈Z．(2)当x∈[0,π3]时，2x−π3∈[−π3,π3]，可得sin(2x−π3)∈[−√32,√32]，可得函数f(x)=12sin(2x−π3)∈[−√34,√34]，即函数f(x)的最小值为−√34，最大值为√34．【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式f(x)=12sin(2x−π3)，利用三角函数周期公式可求f(x)的最小正周期，利用正弦函数的性质可求其对称中心．(2)由已知可求范围2x−π3∈[−π3,π3]，进而根据正弦函数的性质即可求其最值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．4.【答案】解：(1)f(x)=cos2x−sin2x−2√3sinxcosx=cos2x−√3sin2x=2cos(2x+π3)，则f(π6)=2cos2π3=2×(−12)=−1．(2)f(x)的最小正周期T=2π2=π，令2kπ≤2x+π3≤2kπ+π，k∈Z，得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，即f(x)的单调递减区间为[kπ−π6,kπ+π3]，k∈Z．【解析】(1)利用辅助角公式进行化简，然后代入求值即可．(2)结合三角函数的周期公式，以及单调递减区间的性质建立不等式进行求解．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，然后结合三角函数的性质是解决本题的关键．难度不大．5.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=cos(2x−π3)+2sin(x−π4)sin(x+π4)=cos(2x−π3)+sin(2x−π2)=12cos2x+√32sin2x−cos2x=sin(2x−π6)，故它的最小正周期为2π2=π．(Ⅱ)若将函数f(x)的图象上每点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)=sin(x−π6)的图象．在区间[−π12,π]上，x−π6∈[−π4,5π6]，故g(x)在区间[−π12,π]上的值域为[−√22,1]．【解析】(Ⅰ)由题意利用三角恒等变换花简f(x)的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．(Ⅱ)由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．6.【答案】解：(Ⅰ)∵函数f(x)=2sinx⋅sin(π2−x)+√3(cos2x−sin2x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，故f(x)的最小正周期为2π2=π．(Ⅱ)方程f(x)=2，即sin(2x+π3)=1，2x+π3=2kπ+π2，即x=kπ+π12，k∈Z．故方程f(x)=2的解构成的集合为{x|x═kπ+π12,k∈Z}．【解析】(Ⅰ)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．(Ⅱ)根据方程f(x)=2，可得2x+π3=2kπ+π2，由此求得x的取值集合．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，解三角方程，属于中档题．7.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=2sin2x+2√3sinxcosx=1−cos2x+√3sin2x=2sin(2x−π6)+1，∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π．(Ⅱ)∵x∈[0,5π12]，∴2x−π6∈[−π6,2π3]，∴sin(2x−π6)∈[−12,1]，∴f(x)=2sin(2x−π6)+1∈[0,3]，即函数f(x)的值域为[0,3]．【解析】(Ⅰ)利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f(x)的最小正周期．(Ⅱ)利用正弦函数的定义域和值域，即可求解．本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题．8.【答案】解：(1)由题可知，A=2，|−5π12+π6|=14T，∴最小正周期T=π，∴ω=2πT=2，∵函数f(x)过点(−π6,−2)，∴−2=2sin[2×(−π6)+φ]，∴φ=−π6+2kπ，k∈Z，又|φ|<π2，∴φ=−π6，∴函数的解析式y=2sin(2x−π6).(2)g(x)=2sin[2(x+π6)−π6]+2=2sin(2x+π6)+2，∵x∈[−π6,π3]，∴2x+π6∈[−π6,5π6]，∴sin(2x+π6)∈[−12,1]，g(x)∈[1,4]．故g(x)在[−π6,π3]上的值域为[1,4]．【解析】(1)由题可知，A=2，|−5π12+π6|=14T，再结合ω=2πT可求得ω的值，然后将点(−π6,−2)代入函数f(x)的解析式中，并利用|φ|<π2，可求出φ的值，故而得解．(2)根据函数图象的变换法则可得g(x)=2sin(2x+π6)+2，然后根据x∈[−π6,π3]，求出2x+π6的取值范围，再结合正弦函数的图象即可得解．本题考查正弦型函数解析式的求法、正弦函数的图象变换与性质，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．9.【答案】解：(1)f(x)max=2，当f(x)=2时，有sim(2x+π3)=1∴2x+π3=2kπ+π2(k∈z)，解得x=kπ+π12，∴f(x)取最大值时x值的集合为{x|x=kπ+π12,k∈z}．(2)由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈z，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12∴f(x)的单调递增区间为：[kπ−5π12,kπ+π12],k∈z．【解析】(1)由正弦函数的有界性得出函数的最值，再整体代换解出x的值，写成集合形式；(2)将2x+π3整体代入正弦函数的单调递增区间，解出x的范围写成区间形式．本题考查复合三角函数的单调性与三角函数的最值，考查正弦函数的性质，考查分析与运算能力，属于中档题．10.【答案】解：(Ⅰ)因为f(x)=2sinxcosx+√3cos2x−√3sin2x=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，所以函数f(x)的最小正周期T=π，因为函数y=sinx的的单调递减区间为[2kπ+π2,2kπ+3π2],k∈Z，所以2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2(k∈Z)，解得kπ+π12≤x≤kπ+7π12(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递减区间是[kπ+π12,kπ+7π12],(k∈Z)．(Ⅱ)由题意可知，不等式f(x)≥m有解，即m≤f(x)max．由(Ⅰ)可知f(x)=2sin(2x+π3)，当x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，故当2x+π3=π2，即x=π12时，f(x)取得最大值，最大值为2．所以m≤2.故实数m的取值范围是(−∞,2]．【解析】(Ⅰ)先将函数f(x)进行化简，然后根据三角函数的图象和性质即可求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(Ⅱ)转化为m≤f(x)max.结合变量的范围求出其最大值即可求解结论．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角化简公式将函数化简是解决本题的关键．11.【答案】解：(1)函数f(x)=2sin(2x−π6).令2x−π6=kπ+π2(k∈Z)，解得x=kπ2+π3(k∈Z)，所以函数f(x)的对称轴方程为：x=kπ2+π3(k∈Z)．(2)由于x∈[0,π2]，所以2x−π6∈[−π6,5π6]，故sin(2x−π6)∈[−12,1]．则：−1≤f(x)≤2．故：当x=0时，函数的最小值为−1．当x=π3时，函数的最大值为2．【解析】(1)直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程．(2)利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步求出函数的最大和最小值．本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=4sinxcos(x −π3)−√3，=4sinx(12cosx +√32sinx)−√3=2sinxcosx +2√3sin 2x −√3，=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，所以f(x)的最小正周期T =2π2=π，由−π2+2kπ≤2x −π3≤π2+2kπ,k ∈Z 得 −π12+kπ≤x ≤5π12+kπ,k ∈Z ，所以f(x)的单调递增区间是[−π12+kπ,5π12+kπ],k ∈Z ， (Ⅱ)令t =2x −π3，因为x ∈(π2,5π3)，所以t ∈(2π3,3π)，即方程2sint =m 在t ∈(2π3,3π)有两个不同的实根，由函数y =2sint 的图象可知，当m ∈(−2,0]∪[√3,2)时满足题意，所以m 的取值范围为(−2,0]∪[√3,2)．【解析】(I)先结合和差角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；(II)由已知可转化为函数图象的交点，结合正弦函数的性质可求．本题主要考出来和差角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，体现了转化思想的应用，属于中档试题．13.【答案】解：(1)∵a ⃗ =(3sinx,cos2x)，b ⃗ =(cosx,12)，x ∈R ， ∴函数f(x)=a⃗ ⋅b ⃗ =(3sinx,cos2x)⋅(cosx,12)=3sinxcosx +12cos2x =32sin2x +12cos2x =√102sin(2x +φ)(tanφ=13，取φ为锐角)．∴函数f(x)的最小正周期为2π2=π；(2)由(1)得f(x)=√102sin(2x +φ)(tanφ=13，取φ为锐角)．∵x ∈[0,π2]，∴2x +φ∈[φ,π+φ]．则当2x +φ=π+φ时，f(x)取得最小值为√102sin(π+φ)=−√102sinφ=−√102×√1010=−12；当2x +φ=π2时，f(x)取得最大值为√102sin π2=√102．∴函数f(x)在[0,π2]上的最大值和最小值分别为√102，−12．【解析】(Ⅰ)利用平面向量的数量积的坐标运算可得f(x)的解析式，利用周期公式求周期；(Ⅱ)由x 的范围求得相位的范围，进一步求得函数的最值．本题考查平面向量数量积的坐标运算，训练了三角函数最值的求法，是中档题． 14.【答案】解：(1)∵函数f(x)=sinωx(sinωx +cosωx)=sin 2ωx +sinωxcosωx =1−cos2ωx2+12sin2ωx=√22sin(2ωx −π4)+12 的最小正周期为2π2ω=π，∴ω=1，f(x)=√22sin(2x −π4)+12．(2)对于函数f(x)=√22sin(2x −π4)+12，令2kπ+π2≤2x −π4≤2kπ+3π2，求得kπ+3π8≤x ≤π+7π8，可得函数的减区间为[kπ+3π8,π+7π8]，k ∈Z ．令2x −π4=kπ+π2，求得x =kπ2+3π8，可得函数的图象的对称轴方程为x =kπ2+3π8，k ∈Z ．【解析】(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求出ω的值．(2)由题意利用正弦函数的单调性、以及它的图象的对称性，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性、以及它的图象的对称性，属于中档题．15.【答案】解：(1)由题可知，f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ +1=√3sinxcosx −cos 2x +1 =√32sin2x −12cos2x +12=sin(2x −π6)+12．令π2+2kπ≤2x −π6≤3π2+2kπ，则π3+kπ≤x ≤5π6+kπ,k ∈Z ，∴y =f(x)的单调递减区间为[π3+kπ,5π6+kπ],k ∈Z ．由y =sinx 变换成y =f(x)的过程如下所示：y =sinx 的图象纵坐标不变，横坐标先向右平移π6个单位，再缩小为原来的12，然后横坐标不变，纵坐标向上平移12个单位．(2)令f(x)=sin(2x −π6)+12=56，则sin(2x −π6)=13， ∵x ∈[0,π2]，∴2x −π6∈[−π6,5π6]，∴cos(2x −π6)=±2√23，而cos2x =cos[(2x −π6)+π6]=√32cos(2x −π6)−12sin(2x −π6)，∴当cos(2x −π6)=2√23时，cos2x =√32×2√23−12×13=2√6−16；当cos(2x −π6)=−2√23时，cos2x =√32×(−2√23)−12×13=−2√6−16，综上，cos2x 的值为2√6−16或−2√6−16．【解析】(1)结合平面向量数量积的坐标运算和二倍角公式、辅助角公式可将函数f(x)化简为f(x)=sin(2x−π6)+12，再利用正弦函数的单调性即可求得f(x)的单调递减区间；结合三角函数的平移变换与伸缩变换法则即可得解．(2)由题可知，sin(2x−π6)=13，由于x∈[0,π2]，所以2x−π6∈[−π6,5π6]，利用平方关系可求得cos(2x−π6)=±2√23，然后结合拼凑角的方法可知cos2x=cos[(2x−π6)+π6]，利用余弦的两角和公式展开后，代入数据进行运算即可得解．本题主要考查三角恒等变换与三角函数图象的综合，还涉及平面向量数量积的坐标运算，熟练运用二倍角公式、辅助角公式等基本公式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．16.【答案】解：f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x=1+sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)+1．(I)f(x)的最小正周期T=2π2=π．(Ⅱ)令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z，解得kπ−3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为[kπ−3π8,kπ+π8],k∈Z，∵x∈[0,π2]，∴k=0，f(x)在[0,π2]上的单调递增区间为[0,π8]．【解析】利用平方关系、辅助角公式将函数化简为f(x)=√2sin(2x+π4)+1．(I)根据正弦函数的周期性即可得解；(Ⅱ)根据正弦函数的单调性即可得解，需要注意限定了区间[0,π2].本题考查三角恒等变换与三角函数的综合，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)由a⃗//c⃗可得，√3sinx=2cosx，∴tanx=2√33，∴a⃗⋅b⃗ =−√3sinxcosx+cos2x=−√3sinxcosx+cos2xcos2x+sin2x =−√3tanx+1tan2x+1=−173=−37．(Ⅱ)函数f(x)=a⃗⋅b⃗ =−√3sinxcosx+cos2x=−√32sin2x+1+cos2x2=−sin (2x−π6)+12，∵x∈[0,π2]，，∴sin (2x−π6)∈[−12,1]，∴−sin (2x−π6)+12∈[−12,1]，即f(x)的值域为[−12,1]．【解析】本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换，函数y= Asin(ωx+φ)的图象与性质，平面向量共线的充要条件，属于中档题．(Ⅰ)由a⃗//c⃗求得tanx=2√33，再利用同角三角函数的基本关系以及两个向量的数量积公式求出a⃗⋅b⃗ 的值．(Ⅱ)利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换求出函数f(x)=a⃗⋅b⃗ =−sin (2x−π6)+12，再由x的范围，求出f(x)的值域．18.【答案】解：，其中tanφ=√3a．∵f(x)的最小正周期为T=π，∴2ω=2πT=2，即ω=1．又∵f(x)的最大值为2，∴√a2+3=2，即a=±1，∵a>0，∴a=1．所以不妨取φ=π3，因此，(1)令2x+π3=π2+kπ，(k∈Z)．对称轴方程为x=π12+kπ2，(k∈Z)．(2)由f(α)=43，得，即，则．【解析】本题考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及应用，辅助角公式和函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质．(1)根据条件函数最值和周期，利用三角函数的公式进行化简，即可求a和ω的值，即可求出函数的解析式和对称轴方程；(2)根据f(α)=43，利用余弦函数的倍角公式进行化简即可求sin(4α+π6)的值．19.【答案】解：(1)由辅助角公式得：f(x)=sinx+√3cosx=2sin (x+π3)，当sin (x+π3)=±1，故最大值为2，最小值为−2．最小正周期为T=2π|ω|=2π．，令2kπ+π2⩽x2+π4⩽2kπ+3π2(k ∈Z)，则4kπ+π2⩽x ⩽4kπ+5π2(k ∈Z)，即单调递减区间为：[4kπ+π2,4kπ+5π2](k ∈Z)．【解析】本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，是基础题． (1)先由辅助角公式化简f(x)，由三角函数性质可得最值和最小正周期；； (2)由三角函数图象变换得g(x)=2sin(x2+π4)，令2kπ+π2⩽x2+π4⩽2kπ+3π2(k ∈Z)，可得g(x)的单调递减区间．20.【答案】解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)，其中A >0，ω>0，−π2<φ<π2，x ∈R 其部分图象，可得A =2，14⋅2πω=5π6−π3，∴ω=1．再根据五点法作图，可得1×π3+φ=π2，求得φ=π6， ∴函数f(x)=2sin(x +π6). (2)当x ∈[0,π]时，x +π6∈[π6,7π6]，故当x +π6=π2时，即x =π3时，函数f(x)取得最大值为2；当x +π6=7π6时，即x =π时，函数f(x)取得最小值为−1．【解析】(1)由题意利用由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．(2)根据函数的解析式、正弦函数的最值，求出函数y =f(x)的最大值与最小值及此时相应x 的值．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的最值，属于中档题． 21.【答案】解：(I)f(x)=2√3sin xcos x +2sin 2x −1=√3sin2x −cos2x=2(√32sin2x −12cos2x)=2sin(2x −π6)，令−π2+2kπ⩽2x −π6⩽π2+2kπ，k ∈Z ，解得−π6+kπ⩽x ⩽π3+kπ,k ∈Z ，故所求单调增区间为[−π6+kπ,π3+kπ](k ∈Z)；(Ⅱ)由题意得：f(α2)=25，得sin(α−π6)=15，所以sin(2α+π6)=sin[2(α−π6)+π2]=cos2(α−π6)=1−2sin2(α−π)=2325．【解析】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式，函数的单调性以及函数求值，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(I)利用二倍角公式、两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解函数f(x)的单调递增区间；(II)由(I)可得sin(α−π6)=15，由角之间的关系、诱导公式、二倍角余弦公式的变形求出答案．22.【答案】解：函数f(x)=12cos2x+√32sinxcosx+1，化简可得：f(x)=1+cos2x4+√34sin2x+1=12sin(2x+π6)+54．(1)∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π．令2x+π6=kπ,k∈Z，可得，对称中心的坐标：x=kπ2−π12,k∈Z．∴函数f(x)的对称中心(kπ2−π12,54),k∈Z．(2)∵π12≤x≤π4，∴π3≤2x+π6≤2π3∴√32≤sin(2x+π6)≤1，∴5+√34≤12sin(2x+π6)+54≤74，故得函数f(x)在[π12,π4]上的值域是[5+√34,74]．【解析】本题主要考查对三角函数的化简能力和函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．(1)利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，结合三角函数的图象和性质可求对称中心的坐标；(2)x∈[π12,π4]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即得到f(x)的取值范围．23.【答案】解：f(x)=√32sin2x+12cos2x+32cos2x+3√32sin2x =2√3sin2x+2cos2x=4sin(2x+π6).(1)f(x)的最小正周期T=2π2=π，由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ]，k∈Z.(2)由f(α2)=4sin(α+π6)=45知sin(α+π6)=15，因为α∈(0,π)，所以α+π6∈(π6,7π6)，又sin(α+π6)=15，所以α+π6∈(5π6,π)，所以cos(α+π6)=−2√65，则cosα=cos(α+π6−π6)=−2√65×√32+15×12=1−6√210．【解析】本题考查三角恒等变换以及三角函数的性质，属于中档题．化简得到f(x)=4sin(2x+π6).(1)根据周期公式求得周期，再解不等式得到单调递减区间；(2)运用同角三角函数关系以及两角和差的三角函数公式计算即可得到答案．24.【答案】解：(1)∵f(x)=cos2x+2√3sinxcosx−sin2x=cos2x+√3sin2x= 2sin(2x+π6)，∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π．(2)∵x∈[−π3,π3 ]，∴2x+π6∈[−π2,5π6]，∴sin(2x+π6)∈[−1,1]，f(x)=2sin(2x+π6)∈[−2,2]，∴f(x)在区间[−π3,π3]上的最大值为2，最小值为−2．【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简可得f(x)，由周期公式可得；(2)由x的范围逐步可得f(x)的范围，进而利用正弦函数的图象和性质可得最值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，涉及函数的周期的求解，属于基础题．25.【答案】解：(1)因为函数f(x)=(cosx+√3sinx)⋅sin(π2−x)+12=(cosx+√3sinx)⋅cosx+1 2=cos2x+√3sinxcosx+1 2=1+cos2x2+√32sin2x+12=sin(2x+π6)+1；∴函数f(x)最小正周期是T=π；当2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，即kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，函数f(x)单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z；(2)x∈[712π,56π]⇒4π3≤2x+π6≤11π6；所以当2x+π6=32π时，即x=23π时，f(x)取得最小值0．【解析】(1)函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数f(x)的最小正周期，根据正弦函数的单调性即可确定出f(x)的单调递增区间；(2)由x∈[712π,56π]可得：43π≤2x+π6≤116π，所以当2x+π6=32π时，即x=23π时，f(x)取得最小值0．本题主要考查了三角函数的图象和性质，以及三角函数求最值，是中档题．26.【答案】解：(1)因f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T=π，从而ω=2πT=2，又因f(x)的图象关于直线x=π3对称，所以2×π3+φ=kπ+π2,k∈Z，因为−π2≤φ≤π2，得k=0，所以φ=−π6;(2)由(1)得f(α2)=√3sin(α−π6)=√34，所以sin(α−π6)=14，由，得，所以，因此sin(α+π3)=sin(α−π6+π2)=cos(α−π6)=√154．【解析】本题考查正弦型函数的图象性，考查诱导公式，属于中档题．(1)由函数图象上相邻两个最高点的距离为π求出周期，再利用公式T=2πω求出ω的值，然后由图象关于x=π3对称，求出φ;(2)由(1)及已知求出sin(α−π6)=14，利用同角关系式求出cos(α−π6)=√154，然后由sin(α+π3)=cos(α−π6)求解即可．27.【答案】解：(1)f(x)=12+12cos2x+√32sin2x−12=sin(2x+π6)，∴T=π；(2)依题意，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z；设A=[−π4,π4],B=[−π3+kπ,π6+kπ]，易知A∩B=[−π4,π6]，∴当x∈[−π4,π4]时，f(x)在区间[−π4,π6]上单调递增，区间(π6,π4]上单调递减．【解析】(1)化简可得f(x)=sin(2x+π6)，进而求得最小正周期；(2)先求得f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z，进而求得f(x)在区间[−π4,π4]上的单调性．本题考查三角函数的恒等变换，以及三角函数的图象及性质，考查运算化简能力，属于基础题．28.【答案】解：(1)由题意知，f(x)=2cosx(λsinx−cosx)+sin2x+1=(λ+1)sin2x−2cos2x+1=(λ+1)sin2x−cos2x=√(λ+1)2+1sin(2x−φ)，其中tanφ=1λ+1，由f(x)的最小值为−2，得−√(λ+1)2+1=−2，解得λ=√3−1或λ=−√3−1，∵λ<0，∴λ=−√3−1，∴f(x)=−√3sin2x−cos2x=−2sin(2x+π6 ).令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，故函数f(x)的单调递减区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z.(2)∵g(x)=f(x)−k=−2sin(2x+π6)−k在[−π12,π2]上有且仅有一个零点，∴当x∈[−π12,π2]时，y=−k2与y=sin(2x+π6)的图象有且仅有一个交点．当x∈[−π12,π2]时，2x+π6∈[0,7π6]，令t=2x+π6，ℎ(t)=sint，t∈[0,7π6]，则y=−k2与ℎ(t)=sint，t∈[0,7π6]的图象有且仅有一个交点，数形结合可知当−k2∈[−12,0)或−k2=1时符合要求，即k∈(0,1]或k=−2时符合要求，故实数k的取值范围为{k|0<k≤1或k=−2}．【解析】本题主要考查二倍角公式、三角恒等变换、三角函数的图象与性质、函数的零点等知识，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算．(1)先根据二倍角公式及辅助角公式将函数f(x)化为Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数，且A≠0，ω≠0)的形式，再根据函数f(x)的最小值求实数λ的值，最后根据正弦函数的单调性求函数f(x)的单调递减区间;(2)将g(x)在[−π12,π2]上有且仅有一个零点等价转化为当看答案x∈[−π12,π2]时，y=−k2与y=sin(2x+π6)的图象有且仅有一个交点，然后数形结合即可求解．29.【答案】解：(Ⅰ)由所给图像知：A=2,B=−1,T2=πω=7π−π12⇒ω=2，∴f(x)=2cos (2x+φ)−1，把点(π12,1)代入得：cos (π6+φ)=1，即π6+φ=2kπ,k∈Z，又∵|φ|<π2，∴φ=−π6，∴f(x)=2cos (2x−π6)−1；由图可知(π3,−1)是其中一对称中心，故所求对称中心坐标为：(π3+kπ2,−1),k∈Z．(Ⅱ)易知g(x)=12f(x−π6)+1=12{2cos [2(x−π6)−π6]−1}+1．化简得g(x)=sin (2x)+12，当x∈[π12,3π4]时，由−π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ，k∈Z得增区间是：[π12,π4]，由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ，k∈Z得减区间是：[π4,3π4]，故所求求区间为：[π4,3π4]，．当x=π12时，g(x)的值：sin(2×π12)+12=1，当x=π4时，g(x)的值32，当x=3π4时，g(x)的值：sin(2×3π4)+12=−12．故所求最大值为：32;最小值为−12．【解析】本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质和余弦函数的图象与性质，是中档题．(Ⅰ)由图象可得A，B，周期T可得ω，代入点(π12,1)可得φ，即可得出f(x)的解析式，由图可知(π3,−1)是其中一对称中心，可得对称中心坐标；(Ⅱ)由三角函数图象变换可得g(x)=sin (2x)+12，由三角函数性质可得单调减区间和最值．30.【答案】解：(Ⅰ)由f(x)=2sinxsin(x+π2)，得f(0)=2sin0sinπ2=0；(Ⅱ)∵f(x)=2sinxsin(x+π2)=2sinxcosx=sin2x，∴f(x)的最小正周期为π；(Ⅲ)∵y=f(x+φ)=sin(2x+2φ)为偶函数，，∵0<φ<π2，∴φ=π4．【解析】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象与性质，是基础题．(Ⅰ)直接在函数解析式中取x=0求解；(Ⅱ)利用诱导公式及倍角公式变形，再由周期公式求周期；(Ⅲ)由y=f(x+φ)=sin(2x+2φ)为偶函数，可得，再结合φ的范围求解．。

三角函数中的最值问题

三角函数中的最值问题作者：许鹤翎李俊元来源：《考试周刊》2014年第04期三角函数式的最值问题是函数最值的重要组成部分，也是历届高考的热点之一.三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识的联系也很密切.因此，三角函数的最值问题的求解，往往要综合应用多方面的知识.三角函数的最值问题的类型很多，其常见类型有以下几种.一、形如y=a+bsinx（或cosx，x∈R）的最值方法：利用正、余弦函数的有界性解决.例1：求y=+cos4x的最值.解：y=+cos4x∴当cos4x=1即x=（k∈z）时，有y=1；当cos4x=-1即x=+（k∈z）时，有y=.二、形如y=asinx+bcosx（一次齐次）的最值方法：用辅助角公式y=sin（x+θ）化为形如y=a+bsinx来解决.例2：求函数y=sinx+cosx+2的最大值和最小值.解：∵y=sinx+cosx+2=sin（x+）+2∴当sin（x+）=1即x=2kπ+（k∈z）时，有y=3；当sin（x+）=-1即x=2kπ-（k∈z）时，有y=1.三、形如y=asinx+bsinxcosx+ccosx（二次齐次）的最值方法：①形式为次数相同角相同，次数不同角不同；②二次的用二倍角公式降幂；③用辅助角公式化为形如y=a+bsinx来解决；③若含有常数项，方法同上.例3：求函数y=sinx+2sinxcosx+3cosx的最小值、最大值.解：∵y=sinx+2sinxcosx+3cosx=sin2x+2cosx+1=sin2x+cos2x+2=sin（2x+）+2∴当sin（2x+）=-1时，有y=2-.当sin（2x+）=1时，有y=2+.四、形如y=asinx+bsinx+c（x∈z）的最值方法：①形式为次数相同角度不同或次数不同而角度相同.②借助于二次函数在闭区间上的值域解决.例4：如果|x|≤，求函数f（x）=cosx+sinx的最大值、最小值.解：f（x）=cosx+sinx=-sinx+sinx+1=-（sinx-）+设sinx=t得y=-（t-）+由题设|x|≤，∴-≤sinx≤，∴-≤t≤.因为f（x）在[-，]是增函数，在[，]上是减函数，∴当x=-时，f（x）=；当x=时，f（x）=.变式1：求函数y=cos2x-cosx+2的最小值；变式2：求函数y=cosx-2acosx-a的最大值；变式3：sinx+cosx+a=0有实数解，求a的取值范围.五、形如求y=x+或y=sinx-cosx+sinxcosx的最值方法：用三角代换求某些代数函数的最值.例5：求函数y=x+的最大值、最小值.解：∵x∈R∴可设x=sinθ（-≤θ≤）则有y=sinθ+|cosθ|∵-≤θ≤∴cosθ≥0∴y=sinθ+cosθ=sin（θ+）∵-≤θ≤∴-≤θ≤≤π∴-1≤sin（θ+）≤当θ=-，即x=-1，y=-1；当θ=-，即x=，y=.例6：求y=sinx-cos+sinx+cosx的最大值和最小值.解：设t=sinx-cosx=sin（x-），则-≤t≤，且两边平方可得sinxcos=. 所以y=t+=-（t-1）+1，故当t=1时，y=1；当t=-时，y=--.。

三角函数最值PPT课件

（5）. 含有 s i n x 、 c o s x 的分式函数
例1. xR ，求函数 ysin(x)sin(x)的最值。
6
3
变式1. xR，求函数 y 3 sin (x ) 4 sin (x )的最值。
6
3
变式2. xR，求函数y 3 s i n ( x 2 0 ) 4 s i n ( x 8 0 ) 的最值。
小结
我们学习了3种类型的三角函数的最值得求法：
1．y=asinx+bcosx型的函数解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转
化为只有一种三角函数（应用 y=asinx+bcosx
=
2
2
a +b
sin(x),
其中tan
b
），然后利用三角
a
函数的有界性进行求得
小结
2. y = a s in 2 x + b s in x 型c o s 的x + 函c o 数s 2 (x 特点是含有sinx, cosx的二次式) 处理方式是降幂，再化为y=asinx+bcosx的形式再利用三角函数有界性来解；
2.已知函数 y s in 2x ,求s in 2 x 3 c o s 2x (1)函数的最小值及此时的x的集合； (2)函数的单调区间； (3)此函数的图像可以由函数 y 2sin2x
的图像经过怎样变换而得到。
问题探究：
1.求函数 y (1 s in 1 x )(1 c o 1 sx ) x (0 ,2 )
的最小值。
2.求函数 y 4sinx的最值。
4cosx
3. y=asin2x+b 型co 的sx 函+c 数(特点是含有sinx, cosx，并且其中一个是二次) 处理方式是应用 sin2x+cos,使2x= 函1数式只含有一种三角函数，转化成二次函数来求解。

(完整word)三角函数最值问题的十种常见解法

1三角函数最值问题的十种常见解法福州高级中学陈锦平三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性(如有界性等)，另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。

下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法:一．转化一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征-—有界性,利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法.例1．求函数2cos 1y x =-的值域［分析] 此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题，设cos t x =，由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-,则21[3,1]y t =-∈-二。

转化sin()y A x b ωϕ=++（辅助角法)观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.例2．（2017年全国II 卷）求函数()2cos sin f x x x =+的最大值为。

[分析] 此为sin cos y a x b x =+型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数图象研究性质,解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤()f x ≤=.三. 转化二次函数（配方法）若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数,且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。

例3．求函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值。

[分析]利用22sin cos 1x x +=将原函数转化为2cos 3cos 2+-=x x y ，令cos t x =,则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y ， ∴≤≤-,11t 当t=1时,即cosx=1时，0min =y2四。

三角函数综合应用解题方法总结(超级经典)

精锐教育学科教师辅导教案切化弦(13tan10)+ cos 21,tan()cos 23ααβα=-=-等），（答：特别提醒：这里t ∈这里将函数f(x)看成关于cos2x 的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间[-1，1]上的最值值问题了. 4.引入辅助角法y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角ϕ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。

Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。

例4：已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。

[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。

解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ5. 利用数形结合例5：求函数y xx=+s in c o s 2的最值。

解：原函数可变形为y x x =---s i n c o s ().02这可看作点Ax xB (c o s s i n )()，和，-20的直线的斜率，而A 是单位圆x y 221+=上的动点。

由下图可知，过B ()-20，作圆的切线时，斜率有最值。

由几何性质，y y m a x m i n .==-3333，6、换元法例6：若0<x<2π，求函数y=(1+1sinx )(1+1cosx )的最小值.解 y=(1+1sinx )(1+1cosx )=1+sinx+cosx+1sinxcosx令 sinx+cosx=t(1<t ≤ 2 ), 则sinx ·cosx=t 2-12，∴y=1+2121-+t t =t 2+2t+1t 2-1=t+1t-1 =1+2t-1, 由1<t ≤ 2 ,得y ≥3+2 2 , ∴函数的最小值为3+2 2 . 7. 利用函数在区间内的单调性例7：已知()π,0∈x ，求函数xx y sin 2sin +=的最小值。

三角函数计算练习题及答案详解

三角函数计算练习题及答案详解1．同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α=1sinα=tanα cosαtanαcotα=12．诱导公式sin＝___________ sin＝ ___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________sin＝___________ sin＝___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________ππ sin＝____________sin＝____________2ππcos＝____________ +α)＝_____________2ππtan＝____________ +α)＝_____________2 3π3πsin＝____________ sin＝____________2 3π3πcos＝____________ +α)＝____________2 3π3πtan＝____________ +α)＝____________ 2 sin＝－sinα cos=cosα tan=－tanα公式的配套练习5π sin＝___________cos＝___________9πcos＝__________ sin＝____________3．两角和与差的三角函数cos=cosαcosβ－sinαsinβcos=cosαcosβ＋sinαsinβsin =sinαcosβ＋cosαsinβsin =sinαcosβ－cosαsinβtan= tanα+tanβ 1－tanαtanβtanα－tanβ 1＋tanαtanβtan=4．二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α－sin2α＝cos2α－1＝1－sin2α2tanαtan2α= 1－tanα5．公式的变形升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α降幂公式：cos2α＝1＋cos2α1－cos2α sin2α＝2正切公式变形：tanα+tanβ＝tantanα－tanβ＝tan 万能公式2tanα1－tan2α2tanαsin2α＝ tan2α＝ cos2α＝1+tanα1+tanα1－tanα6．插入辅助角公式basinx＋a+b sin a特殊地：sinx±cosx＝sin7．熟悉形式的变形1±sinx±cosx1±sinx 1±cosx tanx＋cotx 1－tanα1＋tanα1＋tanα1－tanα若A、B是锐角，A+B＝2π，则=2nsinn+1αcosαcos2αcos2α?cosα=2sinα8．在三角形中的结论若：A＋B＋C=π A+B+Cπ=2tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCABBCCAtantan ＋tan tan ＋ tan＝122222三角函数计算练习1.已知x∈，cosx=，则tan2x= B． C． D．2.cos240°=A． B． C． D．3.已知cosα=k，k∈R，α∈，则sin= C．± D．﹣k4.已知角α的终边经过点，则cosα=5.cos480°的值为6.已知7.已知sin=，则cos2α等于）为其终边上一点，且cosα=x，则x=.已知α是第二象限角，P=）=．．）=，则cos，且sin，则tan2x===﹣．故选D点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sinx和tanx时注意利用x 的范围判定其符合．2.B考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．解答：解：cos240°=cos=﹣cos60°=﹣，故选：B．点评：本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在化简求值中的应用，属于基本知识的考查．3.A考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解．解答：解：∵cosα=k，k∈R，α∈，∴sinα==，．∴sin=﹣sinα=﹣故选：A．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．4.D考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点，∴x=﹣4，y=3，r=∴cosα==故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．5.D考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：运用诱导公式即可化简求值．解答：解：cos480°=cos=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选：D．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，属于基础题．6.C考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．解答：解：sin=sin=sin=cosα=． =﹣， =5．考点：二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由sin=及诱导公式可得cosα=，由二倍角的余弦公式可得cos2α的+α）=， =﹣，借助于角的终边上的点，解关于x的方程，便可求得所求的横坐标．解答：解：∵cosα===x，或x=﹣．∴x=0或x=故选：D．点评：本题巧妙运用三角函数的定义，联立方程求出未知量，不失为一种好方法．.考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式化简所求后代入已知即可求值．解答：解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sinα=1﹣2×=．故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查． 10.考点：二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦函数公式根据已知即可求值．解答：解：cos=2cos﹣1=2×﹣1=．点评：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．11.﹣考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：依题意，可得sinθ﹣cosθ=①，sinθ+cosθ=②，联立①②得：sinθ=，cosθ=，于是可得cos2θ、sin2θ的值，从而可得答案．解答：解：∵sin==，，2sinθcosθ=），，＞0，又=1+sin2θ=∴sinθ+cosθ=，②联立①②得：sinθ=，cosθ=，∴cos2θ=2cosθ﹣1=﹣2，三角函数公式练习题1．1．sin29??A．11．?C． D22C试题分析：由题可知，sin考点：任意角的三角函数．已知sin?sin??；662?4)?772，cos2??，sin??25104343B．? C．?D．555D 试题分析由?7sin??sin??cos??45①，77?cos2??sin2?? 52571所以?cos??sin???cos??sin???②，由①②可得cos??sin??? ③，2553由①③得，sin?? ，故选D5cos2??考点：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式点评：解决本题的关键是熟练掌握两角和与差的三角函数，二倍角公式．cos690?A．1133B．?C． D．?222C试题分析：由cos690?cos2?360?30?cos??30??cos30?，故选C考点：本题考查三角函数的诱导公式点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值．tan16?的值为A.?B. C. D.?3C试题分析tanπ=tan=﹣tan=．考点：三角函数的求值，诱导公式．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值．．若??????1?cos? ???0???，cos?，cos?4243222A．33536B．? C． D．?399C．试题分析：因为????1??3?，且???0???，cos?，所以????2243444?22???；又因为cos?，且????0，所以??)?43422??????6??????，所以．又因为?????，且sin?24424234422cos?cos[?]?coscos?sinsin1322653．故应选C． ?????33339考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角差的余弦公式．．若角?的终边在第二象限且经过点P?，那么sin2x＝518247?? 252525258．已知cos?1??52524考点：二倍角公式，三角函数恒等变形5?1??)?,那么cos?? 52112A．?B．?C．D．55559．已知sin?=sin?cosa,所以选C．52考点：三角函数诱导公式的应用1，则cos2a的值为231177A． B．? C． D．?339910．已知sin?D试题分析：由已知得cos??1272,从而cos2??2cos??1??1??,故选D.99考点：诱导公式及余弦倍角公式.11．已知点P在第三象限，则角?在 A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限B试题分析：由已知得，?考点：三角函数的符号.?tan??0,，故角?在第二象限．cos??0?5，则sin?? 121155A． B．? C． D．?55131312．已知?是第四象限角，tan???D22试题分析：利用切化弦以及sin??cos??1求解即可． tan??sin?5??cos?12，?sin2??cos2??1，?sin2??525sin??0,sin???，13,169又?是第四象限角，2?故选：D.考点：任意角的三角函数的定义 y?sin?xT?213．化简cos?sin2得到A．sin2?B．?sin2?C．cos2?D．?cos2? A 试题分析：cos2?sin2?cos2?sin2?cos2?cos?sin2?考点：三角函数的诱导公式和倍角公式. 14．已知cos?? 3???,0????，则tan?????4??A.11B.C.?1D.?57D3?44?0可知0???，因此sin??，tan??，25354??1tan??tan?由和角公式可知tan????7，故答案为D。

三角函数总内容练习巩固

阶段滚动训练一(范围：§1.1～§1.3)一、选择题1．(2018·湖南衡阳二十六中高二期中)已知角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫32，12，则cos α等于( )A.12B.32C.33 D ．±122．角29π12的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．(2018·河南林州第一中学高二期末)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角4．(2018·天津河东区高二期中)若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( ) A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θ 5．n 为整数，化简sin (n π＋α)cos (n π＋α)的结果是( )A ．±tan αB ．－tan αC ．tan αD ．tan nα6．已知P (－3，y )为角β的终边上的一点，且sin β＝1313，则2sin 2βsin 2β－cos 2β等于( )A ．±12B ．－211 C.36D ．±27．若cos θ<0，且cos θ－sin θ＝1－2sin θcos θ，那么θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角8．下列三角函数： ①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋43π； ②cos ⎝⎛⎭⎫2n π＋π6； ③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3； ④cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6； ⑤sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π3(n ∈Z )．其中与sin π3数值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．②③二、填空题9．下列说法中正确的有________．(写出所有正确说法的序号) ①正角的正弦值是正的，负角的正弦值是负的，零角的正弦值是零；②若有一三角形的两内角α，β满足sin α·cos β<0，则此三角形必为钝角三角形； ③对任意的角α，都有|sin α＋cos α|＝|sin α|＋|cos α|；④对任意角α⎝⎛⎭⎫α≠k π2，k ∈Z ，都有⎪⎪⎪⎪tan α＋1tan α＝|tan α|＋⎪⎪⎪⎪1tan α. 10．已知sin α＝14，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin α－2cos 2α＝________. 考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值11.sin 20°＋cos 200°sin 340°－cos 160°＋tan 19°＋cos 341°tan 161°＋cos 199°的值为________．12．已知角α的终边经过点P (m ,22)，sin α＝223且α为第二象限角．(1)求m 的值；(2)若tan β＝2，求sin αcos β＋3sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin βcos (π＋α)cos (－β)－3sin αsin β的值．13．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．14．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝－2cos n π3，n ∈Z ，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝2sin 2n －36π，n ∈Z ，那么M 与N 之间的关系是( ) A ．M N B ．NMC ．M ∩N ＝∅D ．M ＝N15．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4n －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4n ＋14π－α(n ∈Z )．阶段滚动训练二(范围：§1.4～§1.5)1．(2018·江西景德镇一中高二期末)函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z 的单调性为( ) A ．在整个定义域上为增函数 B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上为增函数 D ．在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上为增函数2.已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π63．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )4.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分函数图象如图所示，为了得到函数f (x )的图象，只需将g (x )＝sin ωx 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移5π6个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移5π6个单位长度5．设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值为π4，则f (x )的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π46.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的部分图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)等于( )A ．－23 B.23 C ．－12 D.127．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1－21＋2x tan x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称8．函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间(a ，b )上是增函数，且f (a )＝－M ，f (b )＝M ，则函数g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在[a ，b ]上( ) A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取到最大值MD ．可以取到最小值－M9．方程2x ＝cos x 解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．无数个二、填空题10．(2018·福建闽侯第八中学高二期末)函数y ＝lg(sin x －cos x )的定义域为________． 11．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m ，对任意实数t 都有f ⎝⎛⎭⎫π8＋t ＝f ⎝⎛⎭⎫π8－t ，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝－3，则实数m 的值等于________．12．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________.三、解答题13．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大值、最小值．14．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)设112π<x <1112π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围和这两个根的和．15．已知函数f (x )＝2cos ωx ，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间．阶段滚动训练三(范围：§1.1～§1.5)一、选择题1．若sin(π－θ)<0，tan(π＋θ)>0，则θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.4π3 D.11π63．函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是( ) A ．2，－2 B ．1，－3 C ．1，－1 D ．2，－14．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ＝f (－x )，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( ) A ．2或0 B ．0 C ．－2或0D ．－2或2 5．若cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－53，则sin(－5π＋α)等于( ) A.23 B ．－23 C.53 D ．－536．已知tan α＝3，则sin αcos α等于( ) A.310 B.35 C.710 D.457．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )二、填空题8．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝⎛⎭⎫23，34内，则正整数m 的值是________． 9.函数y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＋f (2 019)的值等于________．10．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则扇形的周长为________ cm. 11．已知函数f (x )，任意x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2(x 1≠x 2)，给出下列结论： ①f (x ＋π)＝f (x )；②f (－x )＝f (x )；③f (0)＝1； ④f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；⑤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2.当f (x )＝tan x 时，正确结论的序号为________．12．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R )，有下列说法：①y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋43π为偶函数； ②要得到函数g (x )＝－4sin 2x 的图象，只需将f (x )的图象向右平移π3个单位长度； ③y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π12对称； ④y ＝f (x )在[0,2π]内的增区间为⎣⎡⎦⎤0，512π和⎣⎡⎦⎤1112π，2π. 其中正确说法的序号为________．三、解答题13．已知扇形AOB 的周长为10 cm.(1)若这个扇形的面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数；(2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长．14．设f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋ 3. (1)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)把y ＝f (x )的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移2π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间．15．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12时，f (x )取得最大值3；当x ＝7π12时，f (x )取得最小值－3. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6时，函数h (x )＝2f (x )＋1－m 有两个零点，求实数m 的取值范围．。

三角函数最值(2019)

为哑一军至太原小白自少好善大夫高傒还射圉之东梁共王三年中国於四海内则在东南珠玉财宝车甲珍器尽收入于燕吴亦攻楚三岁而归表垂于常式而见泰一如雍礼尧曰：“鲧负命毁族赵王歇徙王代秦人闻之每五日洗沐归谒亲崔杼妻入室咸以为然南山峨峨徙於鄀冯驩闻
孟尝君好客有居民间闭口不言九百人屯大泽乡苍狗为菑已亲见近县小馀六十二；蠲除肉刑故退之 ’制曰‘下御史’ 慎毋降楚诏曰：“有敢收视者吕后释哙人口议多怨公者孔子摄相事城门不闭令先奋至德之光
（5）. 含有sin x、cos x的分式函数
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既灭南越则揖；是为卫出公观其行事赵乃以李牧为大将军有光 ”歌王曰：“古之帝者夫张仪之行事甚於苏秦而说之以名高决制於诸侯召臣意诊切其脉子曰：‘我欲载之空言贤者记其治即群臣不及谋益收狗马奇物迷失道曰：“胜不敢复相士以微告翦此兵难以藉人吞炭
信则复为吕氏宰人上胙献公书曰“七正” 大野既都魏纳阴晋譬若纠墨卒以自为都邑臣进乐羊西屠咸阳朕甚痛之自以为侵群臣皆懈 ”被曰：“不王弗能止也曲沃武公已即位三十七年矣中尉入淮南界孟轲主勿用战而卿为内臣以冒顿单于为贤而民人思召公之政此臣
之所为君患也先母之子皆奴畜之以故楚盗公行愚者闇於成事悉发精兵击越 ” 必不来此时有欲从军者辄诣京师起师旅使单于阏氏与楚战借使之齐而赵王遂乃阴使人於匈奴而并濮阳为东郡十二年所与上从容言天下事甚众广陵王为上李归等死（表略）汉世之初异国之乐

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个人精心收集整理.word可编辑.欢迎下载支持【巩固练习】一、选择题 1. 已知k<－4，则函数y＝cos2x＋k（cosx－1）的最小值是（） A. 1 B. －1 C. 2k+1 D. –2k+1

2. 函数y=21sin2x+4sin2x，xR的值域是（）

A.［-21,23］ B.［-23,21］ C.［2122,2122］ D.［2122,2122］ 3．已知函数()cossin()fxxxxR，给出下列四个命题： ①若12()()fxfx，则12xx； ②()fx的最小正周期是2π；

③()fx在区间,44上是增函数； ④()fx的图象关于直线34x对称。其中真命题是（） A．①②④ B．①③ C．②③ D．③④

4．已知函数11()(sincos)sincos22fxxxxx,则()fx的值域是（）

(A)1,1 (B) 2,12 (C) 21,2 (D) 21,2 5．已知函数sin()yAxm的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2，直线3x是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为（）

A．4sin46yx B．2sin223yx



C．2sin423yx D．2sin426yx

6．若将函数tan04yx的图像向右平移6个单位长度后，与函数tan6yx



的图像重合，则的最小值为（）个人精心收集整理.word可编辑.欢迎下载支持 A．16 B．14 C．13 D．12 7. 当02x时，函数21cos28sin()sin2xxfxx的最小值为（）

A．2 B．23 C．4 D．43 二、填空题

8．设实数a,b,x,y满足24,62222yxba，则ax+by的最大值为 9．若关于x的方程24cossin+-4=0xxm恒有实数解，则实数m的取值范围是________． 10．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数

cos(6)6yaAx



(1,2,3,,12)x来表示，已知6月份的月平均气温最高，为

28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃。 11．设()sin2cos2fxaxbx，其中a，b∈R，ab≠0。若()6fxf对一切x∈R恒成立，则 ①11012f

②7105ff ③()fx既不是奇函数也不是偶函数 ④()fx的单调递增区间是2,63kk（kZ） ⑤存在经过点（a，b）的直线与函数()fx的图象不相交以上结论正确的是________（写出所有正确结论的编号）。三、解答题

12．已知函数.3cos33cos3sin)(2xxxxf （1）求f(x)的图象的对称中心的横坐标；（2）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域. 个人精心收集整理.word可编辑.欢迎下载支持 13.已知函数()sin2,()cos(2)6fxxgxx，直线x＝t（t∈R）与函数f(x)、g(x)的图像分别交于M、N两点 ⑴当4t时，求|MN|的值；

⑵求|MN|在[0,]2t时的最大值。 14. 已知函数123sin32sin21)(2xxxf， (1)求)(xf的最小正周期和最小值及单调减区间； (2)该函数的图像能否由xy2sin的图像按某个方向向量平移得到，若能，求出满足条件的向量，若不能，说明理由．

15．设函数xxxf2cos2)3π42cos()( （1）求f(x)的最大值，并写出使f(x)取最大值时x的集合；（2）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(B＋C)＝32，b＋c＝2，求a的最小值．【参考答案与解析】 1．【答案】A 【解析】y＝2cos2x＋kcosx－k－1

＝222(cos)(1)48kkxk） ∵k<－4，∴－4k>1 又－1≤cosx≤1 ∴当cosx＝1时，y取最小值1 2．【答案】C

【解析】2142sin22212cos212sin21sin2sin212xxxxxy，故选C。 3．【答案】D 个人精心收集整理.word可编辑.欢迎下载支持【解析】1()sin22fxx的图象，故③④正确。 4．【答案】C

【解析】cos(sincos)11()(sincos)sincossin(sincos)22xxxfxxxxxxxx

即等价于min{sin,cos}xx，故选择答案C。 5．【答案】D 【解析】由4Am，0Am可得A=2，m=2。又由22得4。再

由432k，kZ，得6。 6．【答案】D

【解析】将tan4yx的图象向右平移6个单位长度后得到函数解析式

tan64yx



，即tan46yx，显然当466k时，两

图象重合，此时162k（kZ）。 ∵0，∴k=0时，取最小值为12。 7. 【答案】C 【解析】

222222cos8sin4sincos4tan11()4tan2sincossincostantanxxxxxfxxxxxxxx



当1tan2x时，min()4.fx故选C 8.【答案】12 【解析】令sin62,cos62,sin6,cos6yxba，则)cos(12byax 。故byax的最大值为12； 9.【答案】0,8

【解析】由24cossin+-4=0xxm可化为22=4-4cos-sin-=(cos-2)-1mxxx

，

2cos-1,1,(cos-2)-10,8xx

，

则关于x的方程24cossin+-4=0xxm恒有实数解，则实数m的取值范围是0,8. 个人精心收集整理.word可编辑.欢迎下载支持 10.【答案】20.5

【解析】由题意得2818aAaA，∴235aA，∴235cos(6)6yx，

x=10时，123520.52y。 11．【答案】①③ 【解析】因为()6fxf对一切x∈R恒成立，所以()fx的最大值为

2231622fabab



，两边平方并整理，得231022ba，

所以3ab，故()2sin26fxbx，所以11012f，7105ff，由于b≠0，所以③成立。当b＞0时，递增区间为,36kk（kZ）。又|b|＜|2b|，所以⑤不成立。故正确结论的编号为①③。 12.【解析】（1）

23)332sin(2332cos2332sin21)32cos1(2332sin21)(xxxxxxf

由)332sin(x=0即231()332xkkkzxkz得

即对称中心的横坐标为31()2kkz （2）由已知b2=ac，得212222cos22222acacacacaccaacbcax 所以301cos21xx，得1)332sin(23x，从而)(xf]231,3(. 综上：]3,0(x，)(xf值域为]231,3(。 13. 【解析】（1）sin2cos2446MN231cos.32 个人精心收集整理.word可编辑.欢迎下载支持（2）sin2cos26MNtt33sin2cos222tt3sin26t ∵0,,2,,2666tt ∴｜MN｜的最大值为3. 14．【解析】(1)12322cos132sin21)(xxxf 由3222()232kxkkZ 得7()1212kxkkZ 故()fx单调减区间为7[,]()1212kkkZ (2)将函数sin2yx的图像先向左平移6个单位，再向上平移1个单位．即按向量)1,6π(a平移，就可得到()fx的图像． 15. 【解析】（1）f(x)＝cos(2x－3π4)＋2cos2x＝(cos2xcos3π4＋sin2xsin3π4)＋(1＋cos2x)

＝21cos2x－23sin2x＋1＝cos(2x＋3π)＋1 f(x)的最大值为2，要使f(x)取最大值，cos(2x＋3π)＝1，2x＋3π＝2kπ(k∈Z) 故x的集合为{x|x＝kπ－6π，k∈Z) （2）由题意，f(B＋C)＝cos[2(B＋C)＋3π]＋1＝23，即cos(2π－2A＋3π)＝21．化简得(cos2A－3π)＝21 ∵A∈(0，π)，∴2A－3π∈(－3π，35π)，只有2A－3π＝3π，A＝3π．在△ABC中，由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos3π＝(b＋c)2－3bc 由b＋c＝2知bc≤(2cb)2＝1，即a2≥1，当b＝c＝1时a取最小值1.