三角函数大题综合训练Word版

三角函数大题综合训练1.已知函数()2sin()cos f x x x π=-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.2.设函数f (x )=cos(2x +3π)+sin 2x .（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.（2）设A ,B ,C 为∆ABC 的三个内角，若cos B =31，1()24c f =-，且C 为锐角，求sin A .3.已知函数2()sin cos cos 2.222x x xf x =+- （Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ωϕωϕπ++>>∈的形式，并指出()f x 的周期； （Ⅱ）求函数17()[,]12f x ππ在上的最大值和最小值4.已知函数()2sin cos 442x x x f x =+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由．5.已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域6.设2()6cos 2f x x x =-．（Ⅰ）求()f x 的最大值及最小正周期；Ⅱ）若锐角α满足()3f α=-4tan 5α的值．7.已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭的最小正周期，1tan 14αβ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，a (cos 2)α=，b ，且m =·a b ．求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值．8.设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2()π2－x 满足f ()－π3＝f (0)．求函数f (x )在[]π4，11π24上的最大值和最小值．9.已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+．（I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．10.已知函数()sin(),f x x ωϕ=+其中0ω>，||2πϕ<（I ）若coscos sinsin 0,44ππϕϕ3-=求ϕ的值； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若函数()f x 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于3π，求函数()f x 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数()f x 的图像象左平移m 个单位所对应的函数是偶函数。

11. 已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2π(Ⅰ)求f (8π)的值；(Ⅱ)将函数y ＝f (x )的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间. 12.22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π．（Ⅰ）求ω的值．（Ⅱ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到，求()y g x =的单调递增区间．1.解（Ⅰ）∵()()2sin cos 2sin cos sin 2f x x x x x x π=-==，∴函数()f x 的最小正周期为π. （Ⅱ）由2623x x ππππ-≤≤⇒-≤≤，∴3sin 212x -≤≤，∴()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为32-. 2解: （1）f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x.=1cos 213cos 2cos sin 2sinsin 233222x x x x ππ--+=- 所以函数f(x)的最大值为132+,最小正周期π.（2）()2c f =13sin 2C -=－41, 所以3sin C =, 因为C 为锐角, 所以3C π=,又因为在∆ABC 中, cosB=31, 所以 2sin 33B =, 所以 2113223sin sin()sin cos cos sin 232326A B C B C B C +=+=+=⨯+⨯=. 3.【解析】(Ⅰ)f (x )=21sin x +23)4sin(2223)cos (sin 2122cos 1-+=-+=-+πx x x x . 故f (x )的周期为2k π｛k ∈Z 且k ≠0｝.(Ⅱ)由π≤x ≤1217π，得πππ35445≤+≤x .因为f (x )＝23)4sin(22-+πx 在[45,ππ]上是减函数，在[1217,45ππ]上是增函数.故当x =45π时，f (x )有最小值－223+；而f (π)=－2，f (1217π)＝－466+＜－2，所以当x =π时，f (x )有最大值－2.4.【解析】（Ⅰ）()f x sin322x x =+π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．()f x ∴的最小正周期2π4π12T ==当πsin 123x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最大值2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =．()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭．∴函数()g x 是偶函数．5.()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=－＋－＋31cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =++-+2231cos 22sin cos 2x x x x =++-31cos22cos2sin(2)26x x x x π=-=- ∴周期22T ππ==.由2()62x k k Z πππ-=+∈，得()23k x k Z ππ=+∈.∴函数图象的对称轴方程为()23k x k Z ππ=+∈（II ）∵[,]122x ππ∈-，∴52[,]636x πππ-∈-.因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以当3x π=时，()f x 取得最大值1；又1()()1222f f ππ-=<=，∴当12x π=-时，()f x 取得最小值.函数()f x 在[,]122ππ-上的值域为[．6.【解析】（Ⅰ）1cos 2()622xf x x +=3cos 223x x =+12sin 232x x ⎫=-+⎪⎪⎭236x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．故()f x 的最大值为3；最小正周期22T π==π．（Ⅱ）由()3f α=-2336απ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭cos 216απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．又由02απ<<得2666απππ<+<π+，故26απ+=π，解得512α=π．从而4tan tan 53απ==． 7.解：因为β为π()cos 28f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期，故πβ=．因m =·a b ，又1cos tan 24ααβ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ab ··． 故1cos tan 24m ααβ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭·．由于π04α<<，所以222cos sin 2()2cos sin(22π)cos sin cos sin ααβαααααα++++=--22cos sin 22cos (cos sin )cos sin cos sin ααααααααα++==--1tan π2cos 2cos tan 2(2)1tan 4m ααααα+⎛⎫==+=+ ⎪-⎝⎭·8【解答】 f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a 2sin2x －cos2x .由f ()－π3＝f (0)得－32·a 2＋12＝－1，解得a ＝2 3. 因此f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin ()2x －π6.当x ∈[]π4，π3时，2x －π6∈[]π3，π2，f (x )为增函数，当x ∈[]π3，11π24时 ,2x －π6∈[]π2，3π4，f (x )为减函数．所以f (x )在[]π4，11π24上的最大值为f ()π3＝2.又因f ()π4＝3，f ()11π24＝2，故f (x )在[]π4，11π24上的最小值为f ()11π24＝ 2.9解：（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++．因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =，即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）．所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭， 当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=．（II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π3113cos 2sin 2sin 2262222x x x x ⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时，函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数，故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）． 10.【解析】方法一：（I ）由3coscos sinsin 044ππϕϕ-=得cos cos sin sin 044ππϕϕ-=即cos()04πϕ+=又||,24ππϕϕ<∴=（Ⅱ）由（I ）得，()sin()4f x x πω=+依题意，得23T π= 又2,T πω=故3,()sin(3)4f x x πω=∴=+函数()f x 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为()sin 3()4g x x m π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦()g x 是偶函数当且仅当3()42m k k Z πππ+=+∈ 即()312k m k Z ππ=+∈ 从而，最小正实数12m π=方法二：（I ）同方法一（Ⅱ）由（I ）得，()sin()4f x x πω=+ w 依题意，得23T π=又2T πω=，故3,()sin(3)4f x x πω=∴=+函数()f x 的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为()sin 3()4g x x m π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ ()g x 是偶函数当且仅当()()g x g x -=对x R ∈恒成立亦即sin[(33)]sin(33)44x m x m ππ-++=++对x R ∈恒成立sin(3)cos(3)cos(3)sin(3)44x m x m ππ∴-++-+sin 3cos(3)cos3sin(3)44x m x m ππ=+++ 即2sin 3cos(3)04x m π+=对x R ∈恒成立。