【VIP专享】上海海事大学2012-2013第二学期线性代数期末A卷-------详细解答
2012-2013-2线性代数试题B
装订线 2012 至 2013 学年第 二 学期 课程名称： 考试时间： 120 分钟
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2 2 2 5. 若二次型 f x1 , x2 , x3 5x1 x2 ax3 4x1x2 2x1x3 2x2 x3 为正定
线 性 代 数
（ B ）卷 考试形式： （ 闭卷 ） ； 层次： （ 本 ）
a12 a22 a32
a13
4a11
2a11 3a12 2a21 3a22 2a31 3a32
（C） 24 ；
a13 a23 （ a33
） 是
1. 矩 阵
a31
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a23 1 ，则 4a21 a33 4a31
（B） 12 ； ）
1 4 0 0 1 1 A 3 10 y 2 7 1
中 M ij 是行列式位于第 i 行、第 j 列的元素的余子式） 。 学号
1 1 2 1 1 ， R A 2 ，求 a , b 的值。 3. （6 分）设 A 1 a 2 3 1 b 1
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3 0 1 2.（10 分）设矩阵 A 1 1 0 ，且满足 AB = A + 2 B ，求矩阵 B 。 0 1 4
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山东建筑大学试卷
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大学数学期末考试a卷试题及答案
大学数学期末考试a卷试题及答案大学数学期末考试A卷试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 极限lim（x→0）sin（x）/x的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为（）A. 2x+3B. x^2+3C. 2x^2+3xD. x+2答案：A3. 曲线y=x^3-3x+2在点（1，0）处的切线斜率为（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：C4. 定积分∫（0到1）x^2dx的值为（）A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：C5. 二重积分∬（D）xydA，其中D是由x=0，y=0，x+y=1围成的区域，其值为（）A. 1/12B. 1/8C. 1/6D. 1/4答案：D6. 微分方程y'+2y=3e^(-2x)的通解为（）A. y=e^(-2x)+Ce^(-2x)B. y=e^(-2x)-Ce^(-2x)C. y=e^(-2x)+Ce^(2x)D. y=e^(-2x)-Ce^(2x)答案：A7. 级数∑（n从1到∞）1/n^2的和为（）A. 1C. π^2/6D. e答案：C8. 矩阵A=[1 2; 3 4]的行列式为（）A. -2B. 2C. -5D. 5答案：D9. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的值域为（）A. [-1, 1]B. [0, 1]C. [-√2, √2]答案：C10. 向量α=(1, 2, 3)和β=(2, 3, 4)的点积为（）A. 6B. 10C. 12D. 14答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点为______。
答案：x=1, x=212. 曲线y=ln(x)在点（1，0）处的切线方程为y=______。
答案：x-113. 定积分∫（0到1）e^x dx的值为______。
答案：e-114. 微分方程y''-3y'+2y=0的通解为y=C1e^x+C2e^(2x)，其中C1和C2是常数。
上海海事大学试卷《高等数学A(一)》(A卷)
第 1 页 共 6 页上 海 海 事 大 学 试 卷2010 — 2011 学年第一学期期末考试 《 高等数学A （一）》（A 卷）解答一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分3小题, 每小题4分, 共12分).)( ;)(;2)( ; 0)(2coslim 120不存在，但不是无穷大为无穷大 等于 等于）（的值为、D C ••B A •••A••••••••••••••••xx x +→个不同的实根 有 有三个不同的实根 有唯一实根 无实根 ）（则方程适合、设5)()()()(0432,,53,,2352D C •••B A ••••B•••••c bx ax x b a b a =+++< 为正常数 恒为零 为负常数 不为常数 ）（则、设)()()()()(,)(32sin D C •••B A •••D•••••••••••x F dt e x F •x •xt ⎰+=π二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分2小题, 每小题4分, 共8分)1、的值为201lim x x e x x --→ 212、设a b c ,,均为非零向量，满足c b a a c b b a c ⨯=⨯=⨯=,,，b ++三 计算题（必须有解题过程，否则不给分） （本大题分10小题，每题6分，共 60分）1、极限xx xx 2)4(lim +∞→ 884)41(lim e xxx =+=⋅∞→原式 6分2、)0(,)cos()(y y xy e x y y xy '=+=求确定由方程设--------------------------------------------------------------------------------------装 订线第 2 页 共 6 页解：y xy y x y y x y e xy '='+-'+)sin()()(， 4分2)0(,2.,0='==y y x 时当 6分3、．求dx xx••⎰--1145 解：令 ，541452-==-x t x t () 1分 原式=-⎰185213()t dt4分 =166分 4、.d )1(arctan x x x x⎰+求解：x x x xd )1(arctan ⎰+)d(arctan arctan 2x x ⎰= 3分C x +=2)(arctan 6分（遗留C 扣1分）5、．点处的连续性和可导性在试讨论，，已知 0)( , 00cos )(20=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰x x f x •••x x tdt t x f •x •解：0)0(0lim )(lim )0(0cos lim )0(200====-==+--+→→→⎰f x x f f tdt t f x x xx 又 2分∴= 在点处连续f x x ()0 3分lim )0()(lim )0(0)cos (lim cos lim )0()(lim )0(200000==-='===-='--+++→→-→→→+⎰x x xf x f f x x xtdt t xf x f f x x x xx x 5分第 3 页 共 6 页'==f f x x ()()000，在点处可导． 6分．，试求： 斜率等于处的切线，且它在原点通过原点具有连续导数，又曲线、设函数xx dtt f •••x f y x f •x•x sin )(lim100)()(60⎰→=解：，，由题意知，1)0(0)0(='=f f 2分lim ()sin lim()sin cos x x x f t dt x x f x x x x→→⎰=+000 4分='-→lim()cos sin x f x x x x 02 5分='=12012f () 6分7、）为驻点，，使得点（中的试确定442,,,,23-+++=d c b a d cx bx ax y（1，—10）为拐点。
中国农业大学2012-2013(秋)《线性代数》期末考试试题解析
2012~2013学年秋季学期线性代数（B）课程考试试题解析一．填空题（本题满分15分，共5道小题，每道小题3分）1．设A 为3阶方阵，且||3A =，A *为A 的伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得到B ，则||BA *=27-．解析：||BA *=()2*-3-27==B A A注释本题知识点：1.互换行列式的两行，行列式改变符号。
2.*||=n -1AA 2．A 为n 阶矩阵，且()R A E n -<，则A 的一个特征值为1．解析：由于()R A E n -<，所以||=0A -E ，所以A 的一个特征值为1.注释本题知识点：1.()R A E n -<，知道A -E 不可逆，其行列式值为0.2.特征值的定义。
3．设A 为34⨯矩阵，()3R A =，且已知非齐次线性方程组Ax b =的两个解为121211,0124ηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则非齐次线性方程组Ax b =的通解为1112()0122k k R ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解析：由于()3R A =，对应的齐次线性方程组的基础解系有一个解向量，2112-=-12ηη⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭就是对应的齐次线性方程组的基础解系。
1η是非齐次线性方程组的特解。
所以非齐次线性方程组Ax b =的通解为k k R 1112()0122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注释本题知识点：1.基础解系的概念2.非齐次线性方程组解的构成。
4.若2221231231223(,,)2+2f x x x x x x x x tx x =+++为正定二次型，则t．解析：正定二次型对应的矩阵为t2t 22101101⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，它的各阶顺序主子大于零，所以t 2t 22101101>21102t->，所以t 注释本题知识点：1.二次型对应的矩阵是对称矩阵。
上海大学2012-2013高数期末模拟试题及答案
上海大学 2012～2013高等数学期末考试模拟试卷及解答一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设:020202x y z Ω≤≤≤≤≤≤，，，则三重积分xyzdV Ω=⎰⎰⎰ _8____.2. 交换二次积分的顺序2 22 0(,)yy dy f x y dx ⎰⎰= _________. 3. 函数22(,)4()f x y x y x y =---的极大值为__8____.4. 将1()6f x x =-展开成x 的幂级数为________.5. 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离为__________.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 函数xy x yz +=arcsin 的定义域是（ c ）（A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ；（B ）{}0,|),(≠≥x y x y x ；（C ）{}(,)|0,0x y x y x ≥≥≠{}0,0|),(≠≤≤x y x y x ； （D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x .2.设∑为由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成的立体的表面，则曲面积分22()x y dS ∑+⎰⎰= （ ）（A ）π22； （B ）π221+； （C ）2π； （D ）0.3.级数∑∞=+111n p n 发散，则（ a ）（A ）0≤p ；（B ）0>p ；（C ）1≤p ；（D ）1<p .4.设函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则在点（0，0）处 （ ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。
5.设123,,y y y 是常系数线性非齐次方程()y py qy f x '''++=的三个线性无关的解，则0y py qy '''++=的通解为 （ ）（A ）1122C y C y +； （B ）1223C y C y +；（C ）1122C y C y +33C y +；（D ）1122C y C y +123()C C y -+.三、计算题(共24分，每小题8分)1、设arctan x yz x y +=-，求z x ∂∂和2z x y ∂∂∂.2、判断级数1313n n n ∞=-∑的敛散性.3、求微分方程71212y y y x '''-+=的通解 四、解答题（一）(共24分，每小题8分) 1、设方程(,)0f xz yz =可确定z 是,x y 的函数，且(,)f u v 具有连续偏导数，求dz .2、计算曲线积分22(sin 2)()Lx y dx x y dy --+⎰，其中L 为由点(0,2)A 到(0,0)O 的左半圆周222x y y +=.3、求级数12nn n x n ∞=⋅∑的收敛域与和函数.五、解答题（二）(共16分，每小题8分)1、求椭球面2222349x y z ++=上点（1，1，1 ） 处的切平面方程和法线方程.2、利用高斯公式计算曲面积分()()()x y dydz y z dzdx z x dxdy ∑+++++⎰⎰,其中∑为平面0,0,0,1,1,1x y z x y z ====== 所围成的立体的表面的外侧.六、证明题(本题满分6分)设数列{}n a 单调减少，0n a >（1,2,n =）且1(1)nn n a ∞=-∑发散， 证明11()1nn n a ∞=+∑收敛.答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设:020202x y z Ω≤≤≤≤≤≤，，，则三重积分xyzdV Ω=⎰⎰⎰8.2. 交换二次积分的顺序2 22 0(,)yy dy f x y dx ⎰⎰=()402,dx f x y dy ⎰⎰.3. 函数22(,)4()f x y x y x y =---的极大值为8.4. 将1()6f x x =-展开成x 的幂级数为()10666n n n x x ∞+=-<<∑.5. 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离为.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 函数xy x yz +=arcsin 的定义域是（ C ）（A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ；（B ）{}0,|),(≠≥x y x y x ；（C ）{}(,)|0,0x y x y x ≥≥≠{}0,0|),(≠≤≤x y x y x ； （D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x .2.设∑为由曲面22y x z +=及平面1=z所围成的立体的表面，则曲面积分22()x y dS ∑+⎰⎰= （ B ） （A ）π22； （B ）π221+； （C ）2π； （D ）0. 3.级数∑∞=+111n p n 发散，则（A ）（A ）0≤p ；（B ）0>p ；（C ）1≤p ；（D ）1<p .4.设函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则在点（0，0）处 （ C ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。
海南大学2011-2012《线性代数》 试题(A卷)
海南大学2011-2012学年度第2学期试卷科目：《线性代数》 试题(A 卷)（适用于48学时类）学院： 专业班级： 姓名： 学 号：阅卷教师： 2012年7月 日闭卷考试，可携带 笔 。
温馨提示:第三大题“7选4”第五大题“4选2”一、单项选择题（每小题3分，共15分。
）1、若三阶行列式123,,a ααα=，则1232,2,2ααα---=（D ）。
(A) 2a - (B) 2a (C) 8a (D) 8a -2、下列错误的命题是（ A ）（A ）若一个向量组线性相关，则向量组中必含有零向量；（B ）若一个向量组线性无关，则其中部分向量组成的向量组亦线性无关； （C ）若向量组中向量的个数多于该组向量的维数，则该向量组必线性相关； （D ）若向量组线性无关，则向量组中一定不含零向量。
2、设C B A ,,均为n 阶方阵，则下列正确的是（ A ）.(A) 22()()A E A E A E -=+- (B)T T T B A AB =)((C) ()111AB A B ---= (D) AA11=- 3、设A 是n 阶方阵，对n 元非齐次线性方程组)0(≠ββ=AX 及对应的齐次线性方程组0=AX 而言，下列正确的是（A ）． (A) n A R =)(时，0,==AX AX β均有唯一解 (B) n A R <)(时，0,==AX AX β均有无穷解 (C) ),()(βA R A R ≠时，0,==AX AX β均无解 (D) ),()(βA R A R =时，β=AX 有解，而0=AX 无解。
4、A 为n 阶可逆（非奇异）矩阵，则下列错误的是（B ）1()||0()()()()~(~)T A A B A A C R A nD AE -≠==等价5、设n 阶方阵B A ~（B A ,等价），则下列错误的是（D ）。
(A) )()(,,B R A R B A =且型相同 (B)B A 经初等变换可变为 (C)B PAQ Q P =使存在可逆的,, (D) )()(λλB A f f =二、填空题（每小题4分，共20分，请将答案填在横线上）1、 设A=001022303⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭, 则1*36.T A A A -=.2、 设12311023,12,()2,00313A B R AB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭那么3、 设A =7345987654321111,则4142434422220.A A A A +++=4、 设123234(,,)2,(,,)3R R αααααα====，则()1234,,,3R αααα=.5、 方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-001001101110111X 的解为111011X --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 三、计算题（注．:．本题．．7．题中任选做．．．．．4．题．.每小题10分，共40分）1、(10分) 已知3阶方阵A 的三个特征值分别为111-，，求E A A A ++--1*的值。
上海海洋大学2011-2012高数A(一)期末试卷A卷(部分解答)
上（本答卷不准使用计算器）姓名： 学号： 专业班名：一、选择题(1243=⨯')1、下列关于函数⎩⎨⎧<≥+=0sin 02)(x xx x x f 的判断正确的是（D ）A.)(x f 在0=x 处连续但不可导B. )(x f 在0=x 处可导C. )(x f 在定义域上连续D. )(x f 在0=x 以外的点上都连续 2、函数)1ln(x x y +-=当0>x 时是（ A ）A ．单调增加的B ．单调减少的C ．不是单调的D ．凸的 3、下列定积分的值为非零的是（ C ）A ．⎰-ππxdx x sin 4B ．⎰--+55242312sindx x x xx C ．⎰-++2222dx xx x D ．⎰--2224dx x x4、设2)(-=xe xf ，则在)1.0(内有（ C ） A.有多于一点的0x 使020x e x =- B.仅有一点0x 使020x ex =-C.不存在一点0x 使020x e x =- D.有多于一点0x 使020=-x e1、当0→x 时，2cos 1x -是x 的____4___阶无穷小2、=+dx x 123d (___3ln 2x+12___)3、设xe xf x-=1)(，则)(x f 的间断点为_____x=0______，它是_可去________间断点4、x e x C y -+=)(1（1C 为任意常数）____是_____(填“是”或“不是”)方程02=+'+''y y y 的解；____不是_____(填“是”或“不是”)方程02=+'+''y y y 的通解5、b a⎰(0)b >=_______2(b a )8π-_____（几何意义求解）__6、⎰=-21ln 1edx x ________2e-2______三、计算下列极限 (824=⨯')1、 ()x x x x -++∞→21lim 2、 32arctan limxdt t xx ⎰→四、求导数(824=⨯') 1、设由参数方程⎩⎨⎧+==)1ln(arctan 2t y t x 确定了函数)(x y ，求)(x y '2、方程yx e xy +=确定了函数)(x y ，求y '1、⎰-dx xx1671； 2、⎰-+112/52)1(1dx x3、在被积函数的定义域内求dx x },1max{⎰4、dx xx ⎰+∞2ln 121223xc ,x 12m ax{1,}x c ,x <1xc ,x 12x dx ⎧+>⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪-+<-⎪⎩⎰由原函数的连续性得12321c c 23c c 2⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩所以22x1+c,x 122m ax{1,}x c,x 1x3+c,x 122x dx ⎧+>⎪⎪⎪=+≤⎨⎪⎪-+<-⎪⎩⎰六、（6分）当0>x 时，求函数xx y /1=的值域解：因为x x y /1=是定义域为(0,+∞)的连续函数。
线性代数期末考试试卷答案合集详解
线性代数期末考试试卷答案合集详解×××⼤学线性代数期末考试题⼀、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每⼩题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性⽅程组=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满⾜。
3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满⾜CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。
4．矩阵=323122211211a a a a a a A 的⾏向量组线性。
5．n 阶⽅阵A 满⾜032=--E A A ，则=-1A 。
⼆、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每⼩题2分，共10分）1. 若⾏列式D 中每个元素都⼤于零，则0?D 。
（）2. 零向量⼀定可以表⽰成任意⼀组向量的线性组合。
（）3. 向量组m a a a ，，，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成⽐例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。
（）4. ?=010*********0010A ，则A A =-1。
（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则11. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性⽆关的充要条件是（）。
① s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性⽆关② s ααα，，，Λ21中存在⼀个向量不能⽤其余向量线性表⽰③ s ααα，，，Λ21中任⼀个向量都不能⽤其余向量线性表⽰④ s ααα，，，Λ21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
①任意n 个1+n 维向量线性相关②任意n 个1+n 维向量线性⽆关③任意1+n 个n 维向量线性相关④任意1+n 个n 维向量线性⽆关4. 设A ，B 均为n 阶⽅阵，下⾯结论正确的是( )。
72海大成人高等教育线性代数期末考试复习试题及参考答案
4.证明：由 线性相关，所以存在一组不全为零的数 使得
。………………………………………………
若 ，则上式变为 ，而已知 线性无关，从而 ，与 不全为零矛盾。因此 。从而 ，即 可由 线性表出。…………
如果有两种表示方法 ， ，二式相减
得 ，由 无关，所以 ，
3.若方阵 与单位阵合同，则 。( )
4.若方阵 和 相似，则 和 有相同的特征值和特征向量。( )
5.设 是非齐次线性方程组 的导出组。若 仅有零解，则 有唯一解。( )
八、计算与证明题
1.已知向量组 ,
求(1)向量组的秩；(2)向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。（10分）
2．设 和 满足关系式 ，其中 ，求矩阵 。（15分
《线性代数》 复习资料1
五、填空题
1．设 ，则 __________________。
2．设 为三维列向量， 是 的转置。若 ，则 ________。
3．行列式 _________。
4．已知向量组 ， ， ， ，则该向量组的秩是_________。
线性代数期末考试复习题及参考答案
层次:(专/本)年级：专业：学号：姓名：分数：
一、填空题
1．设 ，则 __________________。
2．设 为三维列向量， 是 的转置。若 ，则 ________。
3．行列式 _________。
4．已知向量组 ， ， ， ，则该向量组的秩是_________。
4．设 元齐次线性方程组 的系数矩阵 的秩为 ，则 有非零解的充分必要
条件是( )。
A. B. C. D.
长江大学2012─2013学年第一学期《线性代数》课程考试试卷（A卷）
长江大学2012─2013学年第一学期《线性代数》课程考试试卷（A卷）2012─2013学年第一学期《线性代数》课程考试试卷(A 卷) 考试方式：闭卷学分：2.5 考试时间：110 分钟1. 排列3421的逆序数为______.2. 设A 为三阶方阵,*A 为其伴随矩阵, ||2,A = 则*|3|A =______.3. 设n 个未知量的齐次线性方程组0Ax =，()R A r =，则0Ax =有非零解的充要条件______ .4. 设B 可逆，()3R C =,A BC =，则矩阵A 的秩()R A = .5. 设1012,,1134A B == ? ?则AB = __________ .6. 设1,2,3是三阶矩阵A 的特征值，则2|-5|A A = ___________ .7. 设方阵A 满足 2,A A = 则1(2)A E --=___________(用A 的多项式表示).8. 122112121A ?? ?=- ? ?-??，则122232A A A ++=___________.9. 设12,,s ααα ,是非齐次线性方程组Ax b =的解，若1122+++s s C C C ααα 也是Ax b =的一个解，则12+++s C C C = 10. 若1234,,,αααα线性无关,则12233441,,,αααααααα++++线性 . A 卷第1页共4页二（1,2,3）、计算题 (30分) 1、(8分)计算行列式22=22111a abb D a a b b +.2、 (10分) 设21-3111222013225A B -???? ? ?=-= ? ? ? ?--????，, 求解矩阵方程AX B = .３、(12分) 求非齐次线性方程组的通解及其对应的齐次线性方程组的基础解系． -=+-+-=-+=-+-62421351134543214214321x x x x x x x x x x x二(4,5)、计算题 (24分)4、(10分) 已知矩阵20000101A x =??与20000001B y =??-相似.求x 与y .5、(14分) 设二次型222123123121323(,,)553266f x x x x x x x x x x x x =++-+-，（1）写出f 对应的对称矩阵A ；（2）求一个正交变换，化二次型为标准型.三、证明题(16分)1、 (8分)向量组T 1:(0,1,1),A α＝T 2(1,1,0);α＝T 1:(1,0,1)B β-＝, T 2(1,2,1),β＝T 3(3,2,1)β-＝.证明A 组与B 组等价.(8分) 证明：设A 是n 阶方阵，若存在正整数k ，使得线性方程组0=x A k 有解向量α，且01≠-αk A.证明：向量组ααα1,,,-k A A 是线性无关的.A 卷第4页共4页。
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故该向量组的秩为 3； ， ， 为一个极大无关组
显然
因此
二计算题
4.
方程组的系数矩阵为行列式为
||
1
1
1
11
1 （第二第三行同时加到第一行）
1
11
3 λ3 λ3 λ
1 1 λ 1 (把第一行3 提出)
1
1 1λ
11
1
3
11
1 （第一行乘以-1 加到第二第三行）
111
111
3
0
03
00
方程组有唯一解的充要条件为系数矩阵行列式不为零。即
00 0 1 1 2 10
~
0 0
1 0
00 10
0 1/3 2/3 1 0 0 1/3 2
00 01
00
01
因此
12 0 1/3
00 00
10 2/3 1
1/3 2 01
∗ || 9
∗
故∗
1 6 9 12 036 9 00 36 00 01
1 2 10
0 1/3 2/3 1
0 0 1/3 2
00 0 1
3 且 0 方程组有唯一解
余下的情形只有λ 3 或 0
若
3相应的方程组的增广矩阵为
21 1 1
,
1 21 3
1 1 29
05 15
~1 2 1 3
00 0 7
1 21 ~0 5 1
00 0
即秩
2秩，
3 5 7
3 ，此时方程组无解。
若 0相应的方程组的增广矩阵为
111 1
,
111 0
111 0
111 1
1 1
1
⋮
111⋯1
⋯⋯
⋮⋮⋮⋱⋮ ⋯
11
1
0
0
00
⋮⋮
⋮
00
0
1⋯
⋯ ⋯
⋮
⋱
⋯
⋯1
⋯
0
⋯0
⋱
⋮
⋯
1 ⋮
把上面a 换成a λ则得
|
|
1
因此 的特征值为：
1，
⋯
为正定矩阵的充要条件是特征值为全大于零，
因此 当
1 0 且 时， 为正定矩阵。
二 计算题
2.
1 6 9 12 1 0 0 0
,
036 9 0100 00 36 0010
1相应的两个相互正交特征向量 ,
1 2， 0
, 单位化可得
‖‖
1 √5
1 2 0
,
〈，〉 〈，〉
1 0 2
1 5
1 2 0
1 5
4 2 10
‖‖
1 √30
2 1 5
5的特征向量
所满足的齐次线性方程组的系
数矩阵为
22 2 11 1 5 2 5 1~2 5 1
2 15 2 15 1 1 1 11 1 10 2 ~0 3 3~0 1 1~0 1 1 0 3 3 00 0 00 0
1 的系数
31 1 1
10 0 0
20 1 3
1 53 4
1 11
1
013
53 4
1 14
1 0 10
5 35
1 5 20
15
3. 设 因为 故
因此 即
，则
40
40
32 0
1
3
2
2
13 22
13 1 22 2
31 22
1 2
4.
⋯
⋯
⋯
⋯
所以当且仅当
⋯
0时，
0
即
为齐次方程
0解的充要条件为
⋯
0
5. 设 则
5
因此， 的特征值为
1，
5；
1的特征向量
所满足的齐次线性方程组
的系数矩阵为 故
4 2 2
2 1 1
21
1 1
~
0 0
1 2 0 0
1 2 0 0
0 , 为非自由变量， , 为自由变量）
令 2,
2
则得该齐次方程通解
1
1
2
2
0
2
0
2
基础解系为
1 2， 0
1 0 ，就是与特征值 2
1相应的
两个线性无关的特征向量,把它们正交化可得的与特征值
10 2 1/3
00 00
1 2/3 1/3 0
0
1
21
二计算题 3.
1 0 4 13
11 1 5
17 1 9
3 9 1 19
1 0 4 13
~
0 0
1 7
38 54
0 9 11 20
1 0 4 13
~
0 0
1 0
38 16 52
0 0 16 52
10 0 0
~
0 0
1 0
0 7/4 1 13/4
000 0
2012 — 2013 学年第二学期线性代数期末考试卷详解
一、 填空题 1.
321 10 6 4 2
963
注：使用矩阵结合律，并且注意
是常数。
2.
1
0
0
1
31 12
10 0 1 201 1
1 53 3
31 12
注：把
51 3 4 20 1 1
1 53 3
的第二行元素换成第二行代数余子式线性组合
1
0
0
00 01 0001
1 6 9 0 1 0 0 12
~
0 0
3 0
6 3
0 0
010 00 1
9 6
00 01 00 0 1
160 0 10 36
~
0 0
3 0
0 3
0 0
01 23 001 6
00 01 000 1
10 0 0 1 2 1 0
~
0 0
3 0
00 30
0 1 23 00 1 6
00 01 10 0 0
, 1010 0101 0110 1001
1010
Det
Det
0101 0110
0
1001
秩秩 即
秩
4
线性相关。
注： 假如
,
且 Det
0，此时则有 秩
秩
秩
因此，此时如果
线性相关（即 不是列满秩），
则
也线性相关(即 也不是列满秩)；如果
线性无关（即 是列满秩），则
也
线性无关(即 也是列满秩)。
6.
的行数 秩 秩 ，
~0 0 0 1
000 0
即秩
1 秩 ， 2 ，此时方程组亦无解。
因此，当
3 且 0 方程组有唯一解；
当
3 或 0 方程组有无解；
方程组不存在有无穷多解得情形。
二计算题
5.
i
⋯
ii
的特征多项式为
|
|
32 2
2
1 （第二第三行同时加到第一行）
2
1
1
1
1
2
1
2
1
11 1
12
1
21
11
1
10
2
3
0
3
2
1
的行数
故 秩 秩 ， 所以方程
一定有解
7.
设
如果 是 的特征值,则如果
是 的特征值.
1，‐1，2，是 的特征值,因此 的特征值为 1 ，
所以
|
|
1， 2。
||
1 12
3
3
10
1 2
94
8.
二次型 , , 的矩阵为
2
2
5 4 因此 正定的充要条件为
24 4
2 5
2
2
0, 且
54
24 4
0
故 10
0, 且 4 3
注:
12
2√
2
1
1
0 √
0
05 100
√
√
√
√
√
12 2 2 11 05 1
00
√
0 0
1 √30
0
0
1 √6
1 0 0
0 1 0
00
√
0 0 5
0
1 √30
0
0
0
1 √6
1 2 2 1/5 0 2 1 1 0 1/30 05 1 0 0
0
12 2
0
2 11
故
2
0 0
, 为非自由变量， 为自由变量）
令
则
2，
故得该齐次方程通解
2
2
1
1 2
因此与
5 相对应的特征向量为
1
1
单位化可得
‖‖
1 √6
2 1 1
所求的正交矩阵为
，，
√√
√√
0 √
√
√, Λ
√
10 01 00
0 0 使得 5
Λ
从而
Λ
Λ
√ √ √ 10 0
√√
√
00
√√
0
√ 01 0
√√
00 5 0
√
10
即 √10
√10, 且 1
3
因此二次型 , , 正定的充要条件为
1
3
9.
2 56
4
6,
77 7
700 0 20 00
与 相似，故对角线上的元素之和相同，且行列式相等