高中数学必修1习题步步高第三章章末检测
人教B版高中数学必修一第三章章末测试(B).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第三章 基本初等函数(Ⅰ)(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知函数f (x )＝lg(4－x )的定义域为M ，函数g (x )＝0.5x －4的值域为N ，则M ∩N 等于( )A ．MB ．NC ．[0,4)D ．[0，＋∞)2．函数y ＝3|x |－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为( ) A ．[2,8] B ．[0,8] C ．[1,8] D ．[－1,8]3．已知f (3x )＝log 29x ＋12，则f (1)的值为( )A ．1B ．2C ．－1 D.124．21log 52 等于( )A ．7B ．10C ．6 D.925．若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．比较13.11.5、23.1、13.12的大小关系是( )A ．23.1<13.12<13.11.5B ．13.11.5<23.1<13.12C ．13.11.5<13.12<23.1D ．13.12<13.11.5<23.17．式子log 89log 23的值为( )A.23B.32 C ．2 D ．38．今有一组实验数据如下表，现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01A.y ＝log 2t B ．y ＝12log tC ．y ＝t 2－12D ．y ＝2t －29．四人赛跑，其跑过的路程f (x )和时间x 的关系分别是：f 1(x )＝12x ，f 2(x )＝14x ，f 3(x )＝log 2(x＋1)，f 4(x )＝log 8(x ＋1)，如果他们一直跑下去，最终跑到最前面的人所具有的函数关系是( )A ．f 1(x )＝12x B ．f 2(x )＝14xC ．f 3(x )＝log 2(x ＋1)D ．f 4(x )＝log 8(x ＋1)10．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(e,3)D ．(e ，＋∞)11．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}等于( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <－2或x >2}12．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( ) A ．f (－4)>f (1) B ．f (－4)＝f (1) C ．f (－4)<f (1) D ．不能确定题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答 案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ， x ≥4f (x ＋1)， x <4，则f (2＋log 23)的值为______．14．函数f (x )＝log a 3－x3＋x (a >0且a ≠1)，f (2)＝3，则f (－2)的值为________．15．函数y ＝12log (x 2－3x ＋2)的单调递增区间为______________．16．设0≤x ≤2，则函数y ＝124x -－3·2x ＋5的最大值是________，最小值是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知指数函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的反函数g (x )的解析式； (2)解不等式：g (x )≤log a (2－3x )．18．(12分)已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3,0]的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围．19．(12分)设函数f (x )＝log 2(4x )·log 2(2x )，14≤x ≤4，(1)若t ＝log 2x ，求t 的取值范围；(2)求f (x )的最值，并写出最值时对应的x 的值．20．(12分)已知f (x )＝log a 1＋x1－x(a >0，a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)求使f (x )>0的x 的取值范围．21．(12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋2是奇函数．(1)求b 的值；(2)判断函数f (x )的单调性；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．22．(12分)某林区1999年木材蓄积量200万立方米，由于采取了封山育林，严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.(1)若经过x 年后，该林区的木材蓄积量为y 万立方米，求y ＝f (x )的表达式，并求此函数的定义域；(2)作出函数y ＝f (x )的图象，并应用和图象求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米？第三章 基本初等函数(Ⅰ)(B)1．C [由题意，得M ＝{x |x <4}，N ＝{y |y ≥0}， ∴M ∩N ＝{x |0≤x <4}．]2．B [当x ＝0时，y min ＝30－1＝0， 当x ＝2时，y max ＝32－1＝8， 故值域为[0,8]．]3．D [由f (3x )＝log 29x ＋12，得f (x )＝log 23x ＋12，f (1)＝log 22＝12.]4．B [21log 52 ＝2·2log 52＝2×5＝10.]5．B [由100a ＝5，得2a ＝lg 5，由10b ＝2，得b ＝lg 2，∴2a ＋b ＝lg 5＋lg 2＝1.] 6．D [∵13.11.5＝1.5－3.1＝(11.5)3.1， 13.12＝2－3.1＝(12)3.1，又幂函数y ＝x 3.1在(0，＋∞)上是增函数， 12<11.5<2， ∴(12)3.1<(11.5)3.1<23.1，故选D.] 7．A [∵log 89＝log 232log 223＝23log 23，∴原式＝23.]8．C [当t ＝4时，y ＝log 24＝2，y ＝12log 4＝－2，y ＝42－12＝7.5，y ＝2×4－2＝6.所以y ＝t 2－12适合，当t ＝1.99代入A 、B 、C 、D 4个选项，y ＝t 2－12的值与表中的1.5接近，故选C.]9．B [在同一坐标系下画出四个函数的图象，由图象可知f 2(x )＝14x 增长的最快．]10．B [f (2)＝ln 2－22＝ln 2－1<1－1＝0，f (3)＝ln 3－23>1－23＝13>0.故零点所在区间为(2,3)．]11．B [∵f (x )＝2x－4(x ≥0)，∴令f (x )>0，得x >2.又f (x )为偶函数且f (x －2)>0，∴f (|x －2|)>0，∴|x －2|>2，解得x >4或x <0.]12．A [由f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，可知a >1，而f (－4)＝a |－4＋1|＝a 3，f (1)＝a |1＋1|＝a 2，∵a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)．] 13.124解析 ∵log 23∈(1,2)，∴3<2＋log 23<4， 则f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23log 312+⎛⎫ ⎪⎝⎭＝(12)3·12log 32-＝18×13＝124. 14．－3解析 ∵3－x3＋x>0，∴－3<x <3∴f (x )的定义域关于原点对称．∵f (－x )＝log a 3＋x 3－x ＝－log a 3－x3＋x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数． ∴f (－2)＝－f (2)＝－3. 15．(－∞，1)解析 函数的定义域为{x |x 2－3x ＋2>0}＝{x |x >2或x <1}， 令u ＝x 2－3x ＋2，则y ＝12log u 是减函数，所以u ＝x 2－3x ＋2的减区间为函数y ＝12log (x 2－3x ＋2)的增区间，由于二次函数u ＝x 2－3x ＋2图象的对称轴为x ＝32，所以(－∞，1)为函数y 的递增区间． 16.52 12 解析 y ＝124x -－3·2x ＋5＝12(2x )2－3·2x ＋5.令t ＝2x ，x ∈[0,2]，则1≤t ≤4，于是y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，1≤t ≤4.当t ＝3时，y min ＝12；当t ＝1时，y max ＝12×(1－3)2＋12＝52.17．解 (1)指数函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)， 则f (x )的反函数g (x )＝log a x (a >0且a ≠1)． (2)∵g (x )≤log a (2－3x )，∴log a x ≤log a (2－3x )若a >1，则⎩⎪⎨⎪⎧ x >02－3x >0x ≤2－3x ，解得0<x ≤12，若0<a <1，则⎩⎪⎨⎪⎧x >02－3x >0x ≥2－3x，解得12≤x <23，综上所述，a >1时，不等式解集为(0，12]；0<a <1时，不等式解集为[12，23)．18．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1，令t ＝2x ，x ∈[－3,0]，则t ∈[18，1]，故y ＝2t 2－t －1＝2(t －14)2－98，t ∈[18，1]，故值域为[－98，0]．(2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，等价于方程2ax 2－x －1＝0在(0，＋∞)上有解．记g (x )＝2ax 2－x －1，当a ＝0时，解为x ＝－1<0，不成立；当a <0时，开口向下，对称轴x ＝14a<0，过点(0，－1)，不成立；当a >0时，开口向上，对称轴x ＝14a>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，符合要求． 故a 的取值范围为(0，＋∞)．19．解 (1)∵t ＝log 2x ，14≤x ≤4，∴log 214≤t ≤log 24，即－2≤t ≤2.(2)f (x )＝(log 24＋log 2x )(log 22＋log 2x ) ＝(log 2x )2＋3log 2x ＋2， ∴令t ＝log 2x ，则y ＝t 2＋3t ＋2＝(t ＋32)2－14，∴当t ＝－32即log 2x ＝－32，x ＝322-时，f (x )min ＝－14.当t ＝2即x ＝4时，f (x )max ＝12.20．解 (1)由对数函数的定义知1＋x1－x>0，故f (x )的定义域为(－1,1)．(2)∵f (－x )＝log a 1－x 1＋x ＝－log a 1＋x1－x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(3)(ⅰ)对a >1，log a 1＋x 1－x >0等价于1＋x1－x>1，①而从(1)知1－x >0，故①等价于1＋x >1－x 又等价于x >0. 故对a >1，当x ∈(0,1)时有f (x )>0.(ⅱ)对0<a <1，log a 1＋x 1－x >0等价于0<1＋x1－x<1，②而从(1)知1－x >0，故②等价于－1<x <0. 故对0<a <1，当x ∈(－1,0)时有f (x )>0. 综上，a >1时，x 的取值范围为(0,1)； 0<a <1时，x 的取值范围为(－1,0)．21．解 (1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0， 即b －12＋2＝0⇒b ＝1.∴f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1. (2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x＋1， 设x 1<x 2则f (x 1)－f (x 2)＝12112121x x -++ ＝()()2112222121x x x x -++. 因为函数y ＝2x 在R 上是增函数且x 1<x 2， ∴22x －12x>0.又(12x ＋1)(22x＋1)>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数． (3)因为f (x )是奇函数，从而不等式：f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0. 等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，因f (x )为减函数，由上式推得：t 2－2t >k －2t 2. 即对一切t ∈R 有：3t 2－2t －k >0，从而判别式Δ＝4＋12k <0⇒k <－13.22．解 (1)现有木材蓄积量200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200(1＋5%)2. ∴经过x 年后木材蓄积量为200(1＋5%)x . ∴y ＝f (x )＝200(1＋5%)x .∵x 虽以年为单位，但木材每时每刻均在生长， ∴x ≥0且x ∈R .∴函数的定义域为[0，＋∞)．(2)作函数y ＝f (x )＝200(1＋5%)x (x ≥0)图象如图所示.x 0 1 2 3 …… y 200 210 220.5 231.5 ……年份0为1999年(附图)．作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图像交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)，所经过的时间x年的值．∵8<x0<9，则取x＝9.∴经过9年后林区的木材蓄积量能达到300万立方米．。
高中数学第三章函数的应用章末检测(B)新人教A版必修1
( 时间： 120 分钟 满分： 150 分)
一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 )
1．设方程 |x 2－ 3| ＝ a 的解的个数为 m，则 m不可能等于 (
)
A． 1
B． 2 C． 3
D． 4
2．将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个售出时，能卖出 400 个，已知该商品每个涨价 1
A．①④
B．②④
C．②③
D．①③
二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
log 2 x 13．已知函数 f(x) ＝ 3x
，且关于 x 的方程 f(x) ＋ x－ a＝ 0 有且只有
一个实根，则实数 a 的取值范围是 ______________．
14．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为
3 m，长与宽的和为 20 m，则仓库容
积的最大值为 ________．
2x－ 1，
x>0，
15．已知函数 f(x) ＝ －x2 －2x， x≤0.
若函数 g(x) ＝ f(x) － m有 3 个零点， 则实
数 m的取值范围为 ________． 16．若曲线 |y| ＝ 2x＋ 1 与直线 y＝ b 没有公共点，则 b 的取值范围是 ________．
)
A．至少有一实根
B．至多有一实根
C．没有实根
D．必有唯一实根
7．方程 x2－ (2 － a)x ＋ 5－a＝ 0 的两根都大于 2，则实数 a 的取值范围是 (
)
A． a<－ 2
B．－ 5<a<－ 2
C．－ 5<a≤－ 4
新版高一数学必修第一册第三章全部配套练习题(含答案和解析)
新版高一数学必修第一册第三章全部配套练习题（含答案和解析）3.1.1 函数的概念基 础 练巩固新知 夯实基础1．下列说法正确的是( )A ．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域可以是空集C ．函数的定义域和值域一定是数集D ．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了2．若函数y ＝f (x )的定义域M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．[1,2)∪(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1,2)D ．[1，＋∞)4．已知函数f (x )的定义域为[－1,2)，则函数f (x －1)的定义域为( )A ．[－1,2)B ．[0,2)C ．[0,3)D ．[－2,1)5．函数y ＝5x ＋4x －1的值域是( )A ．(－∞，5)B ．(5，＋∞)C ．(－∞，5)∪(5，＋∞)D ．(－∞，1)∪(1，＋∞) 6．函数y ＝x ＋1的值域为( )A ．[－1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(－∞，－1]7．已知函数f (x )＝x ＋1x，则f (2)＋f (－2)的值是( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 8．下列函数完全相同的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2x D ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋39．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝1x ＋1； (2)y ＝x 2－1＋1－x 2； (3)y ＝2x ＋3； (4)y ＝x ＋1x 2－1.10．求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1，x ∪{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∪[1,5)； (3)y ＝3－5x x －2； (4)y ＝x －x ＋1.能 力 练综合应用 核心素养11．已知等腰∪ABC 的周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，此函数的定义域为( )A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5}D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫52<x <5 12．函数f (x )＝1x 2＋1(x ∪R )的值域是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]13．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( )A ．必有一个B ．一个或两个C ．至多一个D ．可能两个以上 14．函数y ＝3－2x －x 2＋14－x 2的定义域为____________________(用区间表示)．15．函数y ＝1x －2的定义域是A ，函数y ＝x 2＋2x －3的值域是B ，则A ∩B ＝________________(用区间表示)．16．若函数f (2x －1)的定义域为[0,1)，则函数f (1－3x )的定义域为________． 17．若函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是________． 18．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13的值． (2)求证：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x 是定值．(3)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019的值．19．已知函数y ＝mx 2－6mx ＋m ＋8的定义域是R ，求实数m 的取值范围．20.已知函数f (x )＝3－x ＋1x ＋2的定义域为集合A ，B ＝{x |x <a }． (1)求集合A ；(2)若A ∪B ，求a 的取值范围；(3)若全集U ＝{x |x ≤4}，a ＝－1，求∪U A 及A ∩(∪U B )．【参考答案】1. C 解析 根据从集合A 到集合B 函数的定义可知，强调A 中元素的任意性和B 中对应元素的唯一性，所以A 中的多个元素可以对应B 中的同一个元素，从而选项A 错误；同样由函数定义可知，A 、B 集合都是非空数集，故选项B 错误；选项C 正确；对于选项D ，可以举例说明，如定义域、值域均为A ＝{0,1}的函数，对应关系可以是x →x ，x ∪A ，可以是x →x ，x ∪A ，还可以是x →x 2，x ∪A .2. B 解析 A 中定义域是{x |－2≤x ≤0}，不是M ＝{x |－2≤x ≤2}，C 中图象不表示函数关系，D 中值域不是N ＝{y |0≤y ≤2}．3. A 解析 由题意知，要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0即x ≥1且x ≠2.4. C 解析 ∪f (x )的定义域为[－1,2)，∪－1≤x －1<2，得0≤x <3，∪f (x －1)的定义域为[0,3)．5. C 解析 ∪y ＝5x ＋4x －1＝5(x －1)＋9x －1＝5＋9x －1，且9x －1≠0，∪y ≠5，即函数的值域为(－∞，5)∪(5，＋∞)．6. B 解析 由于x ＋1≥0，所以函数y ＝x ＋1的值域为[0，＋∞)．7. B 解析 f (2)＋f (－2)＝2＋12－2－12＝0.8. B 解析 A 、C 、D 的定义域均不同．9. 解 (1)要使函数有意义，即分式有意义，则x ＋1≠0，x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≠－1}．(2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1≥0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2≥1，x 2≤1.所以x 2＝1，从而函数的定义域为{x |x ＝±1}＝{1，－1}． (3)函数y ＝2x ＋3的定义域为{x |x ∪R }．(4)因为当x 2－1≠0，即x ≠±1时，x ＋1x 2－1有意义，所以原函数的定义域是{x |x ≠±1，x ∪R }．10. 解 (1)∪x ∪{1,2,3,4,5}，∪(2x ＋1)∪{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}．(2)y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2. ∪x ∪[1,5)，∪其图象如图所示， 当x ＝2时，y ＝2；当x ＝5时，y ＝11. ∪所求函数的值域为[2,11)．(3)函数的定义域为{x |x ≠1}，y ＝3－5x x －2＝－5(x －2)＋7x －2＝－5－7x －2，所以函数的值域为{y |y ≠－5}．(4)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域为{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是y ＝t 2－1－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－54，又t ≥0，故y ≥－54，所以函数的值域为{y |y ≥－54}． 11. D 解析 ∪ABC 的底边长显然大于0，即y ＝10－2x >0，∪x <5，又两边之和大于第三边，∪2x >10－2x ，x >52，∪此函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫52<x <5.12. B 解析 由于x ∪R ，所以x 2＋1≥1,0<1x 2＋1≤1，即0<y ≤1.13. C 解析 当a 在f (x )定义域内时，有一个交点，否则无交点．14. [－1,2)∪(2,3] 解析 使根式3－2x －x 2有意义的实数x 的集合是{x |3－2x －x 2≥0}即{x |(3－x )(x ＋1)≥0}＝{x |－1≤x ≤3}，使分式14－x 2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠±2}，所以函数y ＝3－2x －x 2＋14－x 2的定义域是{x |－1≤x ≤3}∩{x |x ≠±2}＝{x |－1≤x ≤3，且x ≠2}．15. [0,2)∪(2，＋∞) 解析 要使函数式y ＝1x －2有意义，只需x ≠2，即A ＝{x |x ≠2}；函数y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4≥0，即B ＝{y |y ≥0}，则A ∩B ＝{x |0≤x <2或x >2}．16. ⎝⎛⎦⎤0，23 解 因为f (2x －1)的定义域为[0,1)，即0≤x <1，所以－1≤2x －1<1.所以f (x )的定义域为[－1,1)．所以－1≤1－3x <1，解得0<x ≤23.所以f (1－3x )的定义域为⎝⎛⎦⎤0，23. 17. [3，＋∞) 解析 函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，则函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋3的值域要包括0，即最小值要小于等于0.则{ a >0，Δ＝4a 2－12a ≥0，解得a ≥3.所以a 的取值范围是[3，＋∞)．18. 解 (1)因为f (x )＝x 21＋x 2，所以f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1，所以f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…，f (2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019＝1. 所以f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019＝2018. 19. 解 ∪当m ＝0时，y ＝8，其定义域是R .∪当m ≠0时，由定义域为R 可知，mx 2－6mx ＋m ＋8≥0对一切实数x 均成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝(－6m )2－4m (m ＋8)≤0，解得0<m ≤1.由∪∪可知，m ∪[0,1]． 20. 解 (1)使3－x 有意义的实数x 的集合是{x |x ≤3}，使1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x |x >－2}． 所以，这个函数的定义域是{x |x ≤3}∩{x |x >－2}＝{x |－2<x ≤3}．即A ＝{x |－2<x ≤3}． (2)因为A ＝{x |－2<x ≤3}，B ＝{x |x <a }且A ∪B ，所以a >3.(3)因为U ＝{x |x ≤4}，A ＝{x |－2<x ≤3}，所以∪U A ＝(－∞，－2]∪(3,4]． 因为a ＝－1，所以B ＝{x |x <－1}，所以∪U B ＝[－1,4]，所以A ∩∪U B ＝[－1,3]．3.1.2 函数的表示法基 础 练巩固新知 夯实基础1.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )2．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( )A ．3x ＋2B ．3x －2C ．2x ＋3D ．2x －33.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∪[－1，0]，x 2＋1，x ∪0，1]，则函数f (x )的图象是( )4.已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则f [g (2)]的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 5.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A.RB.[0，＋∞)C.[0,3]D.{x |0≤x ≤2或x ＝3} 6.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，1，x ＝0，－1，x <0，则f (f (0))等于( )A.1B.0C.2D.－17．已知f (2x ＋1)＝3x －2且f (a )＝4，则a 的值为________．8．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．9．已知二次函数f (x )满足f (0)＝0，且对任意x ∪R 总有f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．10 (1)已知f (x ＋1x )＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x )＝3x ，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的解析式．能 力 练综合应用 核心素养11．如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1 12．已知x ≠0时，函数f (x )满足f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝x ＋1x (x ≠0) B ．f (x )＝x 2＋2(x ≠0)C ．f (x )＝x 2(x ≠0)D ．f (x )＝(x －1x)2(x ≠0)13.已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则使函数值为5的x 的值是( )A.－2或2B.2或－52C.－2D.2或－2或－5214.若f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( )A ．3x ＋2B ．3x －2C ．2x ＋3D ．2x －3 15．已知f (x －1)＝x 2，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x 2＋2x ＋1B ．f (x )＝x 2－2x ＋1C ．f (x )＝x 2＋2x －1D ．f (x )＝x 2－2x －116.已知f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f f n ＋5，n <10，则f (8)＝________.17．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x )＋x ，则f (x )的解析式为____________．18. 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2).(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域.19．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．【参考答案】1. C 解析 先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断．距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.2. B 解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，∪2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∪⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5k ＋b ＝1，∪⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－2，∪f (x )＝3x －2. 3. A 解析 当x ＝－1时，y ＝0，排除D ；当x ＝0时，y ＝1，排除C ；当x ＝1时，y ＝2，排除B. 4. B 解析 由函数g (x )的图象知，g (2)＝1，则f [g (2)]＝f (1)＝2.5. D 解析 当0≤x ≤1时，f (x )∪[0,2]，当1<x <2时，f (x )＝2，当x ≥2时，f (x )＝3， ∪值域是{x |0≤x ≤2或x ＝3}.6. C7. 5 解析 ∪f (2x ＋1)＝3x －2＝32(2x ＋1)－72，∪f (x )＝32x －72，∪f (a )＝4，即32a －72＝4，∪a ＝5.8. 解 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∪f (x )＝2x ＋7. 9. 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∪f (0)＝c ＝0，∪f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ， f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1.∪⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1. ∪⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∪f (x )＝12x 2＋12x .10. 解 (1)∪f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2＝(x ＋1x )2－2，且x ＋1x ≥2或x ＋1x ≤－2,∪f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)．(2)∪2f (x )＋f (1x )＝3x ，∪把∪中的x 换成1x ，得2f (1x )＋f (x )＝3x .∪, ∪×2－∪得3f (x )＝6x －3x ，∪f (x )＝2x －1x (x ≠0)．(3)以－x 代x 得：f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x .与f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x 联立得：f (x )＝13x 2－2x .11. B 解析 令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则有f (t )＝1t1－1t ＝1t －1，故选B. 12. B 解析 ∪f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x)2＋2，∪f (x )＝x 2＋2(x ≠0)．13. C14. B 解析 设f (x )＝ax ＋b ，由题设有⎩⎪⎨⎪⎧ 2(2a ＋b )－3(a ＋b )＝5，2(0·a ＋b )－(－a ＋b )＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.所以选B.15. A 解析 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∪f (t )＝f (x －1)＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1，∪f (x )＝x 2＋2x ＋1.16. 7 解析 因为8<10，所以代入f (n )＝f (f (n ＋5))，即f (8)＝f (f (13))；因为13>10，所以代入f (n )＝n －3，得f (13)＝10，故得f (8)＝f (10)＝10－3＝7.17. f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0) 解析 ∪f (x )＝2f (1x )＋x ，∪∪将x 换成1x ，得f (1x )＝2f (x )＋1x .∪由∪∪消去f (1x )，得f (x )＝－23x －x3，即f (x )＝－x 2＋23x(x ≠0)．18.解 (1)∪当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x 2＝1；∪当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示.(3)由函数f (x )的图象知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3).19 .解 因为对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)． 又f (0)＝1，∪f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.3.2.1 第1课时 函数的单调性基 础 练巩固新知 夯实基础1．函数f (x )的定义域为(a ，b )，且对其内任意实数x 1，x 2均有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0，则f (x )在(a ，b )上( ) A ．增函数B ．减函数C ．不增不减函数D ．既增又减函数2．若函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，b )∪(b ，c )上( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或减函数D ．无法确定单调性3．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，那么对于任意的x 1，x 2∪[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论中不正确的是( ) A.f x 1－f x 2x 1－x 2>0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C ．若x 1<x 2，则f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b ) D.x 1－x 2f x 1－f x 2>0 4．对于函数y ＝f (x )，在给定区间上有两个数x 1，x 2，且x 1<x 2，使f (x 1)<f (x 2)成立，则y ＝f (x )( )A ．一定是增函数B ．一定是减函数C ．可能是常数函数D ．单调性不能确定5．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( ) A ．y ＝x 2－2 B ．y ＝3xC ．y ＝1＋2xD ．y ＝－(x ＋2)26．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝1，则( )A ．f (－1)<f (1)<f (2)B ．f (1)<f (2)<f (－1)C ．f (2)<f (－1)<f (1)D ．f (1)<f (－1)<f (2)7．若函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∪[－2，＋∞)时是增函数，当x ∪(－∞，－2)时是减函数，则f (1)＝________.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)x ＋5，x ≤1，2a x ，x >1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是 。
高中数学(人教版a版必修一)配套单元检测：第三章 函数的应用 章末检测a word版含解析
章末检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数y ＝1＋1x 的零点是( ) A ．(－1,0)B ．－1C ．1D ．02．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．某企业2010年12月份的产值是这年1月份产值的P 倍，则该企业2010年度产值的月平均增长率为( )A .P P －1B .11P －1C .11PD .P －1114．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④5．如图1，直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l ∶x ＝t 截此梯形所得位于l 左方图形面积为S ，则函数S ＝f(t)的图象大致为图中的( )图16．已知在x 克a%的盐水中，加入y 克b%的盐水，浓度变为c%，将y 表示成x 的函数关系式为( )A ．y ＝c －ac －b x B ．y ＝c －ab －c x C ．y ＝c －bc －axD ．y ＝b －cc －ax 7．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是( )(下列数据仅供参考：2＝1.41，3＝1.73，33＝1.44，66＝1.38) A ．38% B ．41% C ．44%D ．73%8．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R 是单位产量Q 的函数：R(Q)＝4Q －1200Q 2，则总利润L(Q)的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________．(总利润＝总收入－成本)( )A．250300 B．200300C．250350 D．2003509．在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：则x、y)() A．y＝a＋bx B．y＝a＋b xC．y＝ax2＋b D．y＝a＋b x10．根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展得很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨，有关专家预测，到2001年我国能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家是以哪种类型的函数模型进行预测的？() A．一次函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数11．用二分法判断方程2x3＋3x－3＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421875,0.6253＝0.24414)()A．0.25 B．0.375C．0.635 D．0.82512．有浓度为90%的溶液100g，从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)()A．19 B．20C．21 D．22二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．用二分法研究函数f(x)＝x3＋2x－1的零点，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次计算的f(x)的值为f(________)．14．若函数f(x)＝a x－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围为________．15．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n 年后这批设备的价值为________________万元．16．函数f(x)＝x2－2x＋b的零点均是正数，则实数b的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)华侨公园停车场预计“十·一”国庆节这天停放大小汽车1200辆次，该停车场的收费标准为：大车每辆次10元，小车每辆次5元．(1)写出国庆这天停车场的收费金额y(元)与小车停放辆次x(辆)之间的函数关系式，并指出x的取值范围．(2)如果国庆这天停放的小车占停车总辆数的65%～85%，请你估计国庆这天该停车场收费金额的范围．18．(12分)光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃后强度为y.(1)写出y关于x的函数关系式；(2)通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下？(lg3≈0.4771)19．(12分)某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服用药后每毫升中的含药量y(微克)与服药的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线AB是函数y＝ka t(t≥1，a>0，且k，a是常数)的图象．(1)写出服药后y关于t的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中的含药量不少于2微克时治疗疾病有效．假设某人第一次服药为早上6∶00，为保持疗效，第二次服药最迟应当在当天几点钟？(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后3小时，该病人每毫升血液中的含药量为多少微克(精确到0.1微克)?20．(12分)已知一次函数f(x)满足：f(1)＝2，f(2)＝3，(1)求f(x)的解析式；(2)判断函数g(x)＝－1＋lg f2(x)在区间[0,9]上零点的个数．21．(12分)截止到2009年底，我国人口约为13.56亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后，我国人口为y亿．(1)求y与x的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数y＝f(x)的定义域；(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义．22．(12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数的表达式； (3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)章末检测(A )1．B [由1＋1x ＝0，得1x ＝－1，∴x ＝－1.] 2．B [由题意x 0为方程x 3＝(12)x －2的根， 令f (x )＝x 3－22－x ，∵f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0， ∴x 0∈(1,2)．]3．B [设1月份产值为a ，增长率为x ，则aP ＝a (1＋x )11，∴x ＝11P －1.]4．A [对于①③在函数零点两侧函数值的符号相同，故不能用二分法求．] 5．C [解析式为S ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧12t ·2t (0≤t ≤1)12×1×2＋(t －1)×2(1<t ≤2)＝⎩⎨⎧t 2(0≤t ≤1)2t －1(1<t ≤2) ∴在[0,1]上为抛物线的一段，在(1,2]上为线段．]6．B [根据配制前后溶质不变，有等式a %x ＋b %y ＝c %(x ＋y )，即ax ＋by ＝cx ＋cy ，故y ＝c －ab －cx .] 7．B [设职工原工资为p ，平均增长率为x ， 则p (1＋x )6＝8p ，x ＝68－1＝2－1＝41%.] 8．A [L (Q )＝4Q －1200Q 2－Q －200＝－1200(Q －300)2＋250，故总利润L (Q )的最大值是250万元，这时产品的生产数量为300.]9．B [∵x ＝0时，bx 无意义，∴D 不成立． 由对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快， ∴A 不成立． ∵C 是偶函数，∴x ＝±1的值应该相等，故C 不成立． 对于B ，当x ＝0时，y ＝1， ∴a ＋1＝1，a ＝0；当x ＝1时，y ＝b ＝2.02，经验证它与各数据比较接近．]10．B [可把每5年段的时间视为一个整体，将点(1,8.6)，(2，10.4)，(3,12.9)描出，通过拟合易知它符合二次函数模型．]11．C [令f (x )＝2x 3＋3x －3，f (0)<0，f (1)>0，f (0.5)<0，f (0.75)>0，f (0.625)<0，∴方程2x 3＋3x －3＝0的根在区间(0.625,0.75)内， ∵0.75－0.625＝0.125<0.25，∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意．] 12．C [操作次数为n 时的浓度为(910)n ＋1，由(910)n ＋1<10%，得n ＋1>－1lg 910＝－12lg3－1≈21.8，∴n ≥21.] 13．(0,0.5) 0.25解析 根据函数零点的存在性定理． ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴在(0,0.5)存在一个零点，第二次计算找中点， 即0＋0.52＝0.25. 14．(1，＋∞)解析 函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，如下图，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有唯一交点，故a>1.15．a (1－b %)n解析 第一年后这批设备的价值为a (1－b %)；第二年后这批设备的价值为a (1－b %)－a (1－b %)·b %＝a (1－b %)2； 故第n 年后这批设备的价值为a (1－b %)n . 16．(0,1]解析 设x 1，x 2是函数f (x )的零点，则x 1，x 2为方程x 2－2x ＋b ＝0的两正根，则有⎩⎨⎧Δ≥0x 1＋x 2＝2>0x 1x 2＝b >0，即⎩⎨⎧4－4b ≥0b >0.解得0<b ≤1.17．解 (1)依题意得y ＝5x ＋10(1200－x ) ＝－5x ＋12000，0≤x ≤1200. (2)∵1200×65%≤x ≤1200×85%， 解得780≤x ≤1020，而y ＝－5x ＋12000在[780,1 020]上为减函数， ∴－5×1020＋12000≤y ≤－5×780＋12000. 即6900≤y ≤8100，∴国庆这天停车场收费的金额范围为[6 900,8 100]． 18．解 (1)依题意：y ＝a ·0.9x ，x ∈N *. (2)依题意：y ≤13a ，即：a ·0.9x≤a 3，0.9x ≤13＝0.91log 30.9，得x ≥log 0.913＝－lg32lg3－1≈－0.47710.9542－1≈10.42.答 通过至少11块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下． 19．解 (1)当0≤t <1时，y ＝8t ；当t ≥1时，⎩⎨⎧ka ＝8，ka 7＝1.∴⎩⎨⎧a ＝22，k ＝8 2.∴y ＝⎩⎨⎧8t ， 0≤t <1，82(22)t，t ≥1.(2)令82·(22)t ≥2，解得t ≤5.∴第一次服药5小时后，即第二次服药最迟应当在当天上午11时服药．(3)第二次服药后3小时，每毫升血液中含第一次所服药的药量为y 1＝82×(22)8＝22(微克)；含第二次服药后药量为y 2＝82×(22)3＝4(微克)，y 1＋y 2＝22＋4≈4.7(微克)．故第二次服药再过3小时，该病人每毫升血液中含药量为4.7微克．20．解 (1)令f (x )＝ax ＋b ，由已知条件得⎩⎨⎧a ＋b ＝22a ＋b ＝3，解得a ＝b ＝1， 所以f (x )＝x ＋1(x ∈R )．(2)∵g (x )＝－1＋lg f 2(x )＝－1＋lg (x ＋1)2在区间[0,9]上为增函数，且g (0)＝－1<0，g (9)＝－1＋lg102＝1>0，∴函数g (x )在区间[0,9]上零点的个数为1个．21．解 (1)2009年底人口数：13.56亿．经过1年，2010年底人口数：13．56＋13.56×1%＝13.56×(1＋1%)(亿)．经过2年，2011年底人口数：13．56×(1＋1%)＋13.56×(1＋1%)×1%＝13.56×(1＋1%)2(亿)．经过3年，2012年底人口数：13．56×(1＋1%)2＋13.56×(1＋1%)2×1%＝13.56×(1＋1%)3(亿)．∴经过的年数与(1＋1%)的指数相同．∴经过x 年后人口数为13.56×(1＋1%)x (亿)．∴y ＝f (x )＝13.56×(1＋1%)x .(2)理论上指数函数定义域为R .∵此问题以年作为时间单位．∴此函数的定义域是{x |x ∈N *}．(3)y ＝f (x )＝13.56×(1＋1%)x .∵1＋1%>1,13.56>0，∴y ＝f (x )＝13.56×(1＋1%)x 是增函数，即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．22．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．(2)当0<x ≤100时，P ＝60；当100<x <550时，P ＝60－0.02·(x －100)＝62－x 50；当x ≥550时，P ＝51.所以P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60， 0<x ≤10062－x 50，100<x <550，51，x ≥550(x ∈N )．(3)设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则L ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ， 0<x ≤10022x －x 250，100<x <550，11x ，x ≥550(x ∈N )． 当x ＝500时，L ＝6000；当x ＝1000时，L ＝11000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．。
高中数学必修1第三章检测含答案
第三章《函数的应用》复习测试题（一）一、选择题1.(2012北京)函数的零点个数为( ).A.0B.1C.2D.3考查目的：考查函数零点的概念、函数的单调性和数形结合思想.答案：B.解析：(方法1)：令得，，在平面直角坐标系中分别画出幂函数和指数函数的图象，可知它们只有一个交点，∴函数的零点只有一个.(方法2)：∵函数在上单调递增，且，∴函数的零点只有一个.答案选B.2.(2010天津)函数的零点所在的一个区间是( ).A.(-2，-1)B.(-1，0)C.(0，1)D.(1，2)考查目的：考查函数零点的存在性定理.答案：B解析：∵，，∴答案选B.3.(2009福建)若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是( ).A. B.C. D.考查目的：考查函数零点的概念和零点存在性定理.答案：A.解析：的零点为，的零点为，的零点为，的零点为.下面估算的零点. ∵，，∴的零点.依题意，函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，∴只有的零点符合题意，故答案选A.4.在研制某种新型材料过程中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( ).1.95 3.00 3.94 5.10 6.120.97 1.59 1.98 2.35 2.61A. B. C.D .考查目的：考查几类不同增长类型函数模型与实际问题的拟合程度.答案：D.解析：通过检验可知，只有函数较为接近，故答案选D.5.已知函数，，的零点分别为，，则的大小关系是( ).A. B.C. D.考查目的：考查函数零点的定义，指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的图象，以及数形结合思想.答案：C.解析：由已知得，，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，由图象可知，，故答案选C.6.(2010陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数(表示不大于的最大整数)可以表示为( ).A. B. C.D.考查目的：考查函数的建模及其实际应用，意在考查分析问题与解决问题的能力.答案：B.解析：(方法1)：当除以的余数0，1，2，3，4，5，6时，由题设知，且易验证，此时.当除以10的余数为7，8，9时，由题设知，易验证，此时.综上得，必有，故选B.(方法2)：依题意知：若，则，由此检验知选项C，D错误.若，则，由此检验知选项A错误.故由排除法知，本题答案应选B.二、填空题7.(2009浙江)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超过50至200的部分0.598超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为千瓦时，低谷时间段用电量为千瓦时，则按这种计费方式，该家庭本月应付的电费为元(用数字作答).考查目的：考查分段函数在解决实际问题中的应用.答案：.解析：该家庭本月应付电费由两部分构成：高峰部分为，低谷部分为，这两部分电费之和为(元).8.(2009山东)若函数有两个零点，则实数的取值范围是__________．考查目的：考查函数零点的定义，指数函数与一次函数的图象，数形结合的思想.答案：.解析：设函数和函数，则函数有两个零点，就是函数的图象与函数的图象有两个交点.由图象可知，当时，两个函数的图象只有一个交点，不符合题意；当时，∵函数的图象过点(0，1)，而直线所过的点一定在点(0，1)的上方，∴两个函数的图象一定有两个交点，∴实数的取值范围是.9.某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2014年经营总收入要达到1690万元，且计划从2012年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，则2013年预计经营总收入为________万元.考查目的：考查增长率模型在实际问题中的应用和读题审题能力.答案：1300.解析：设年平均增长率为，则，∴，∴2013年预计经营总收入为×＝1300(万元).10.(2010全国I理15改编)若函数有四个零点，则实数的取值范围是 .考查目的：考查函数零点的定义，函数的图象与性质、不等式的解法，和数形结合思想.答案：.解析：在平面直角坐标系内，先画函数的图象.当时，，图象的顶点为，与轴交于点(0，-1)；当时，，图象的顶点为，与轴交于点(0，-1).是一条与轴平行的直线.当时，直线与函数的图象有4个交点，即当，函数有四个零点.11.为了预防流感，某段时间学校对教室用药熏消毒法进行消毒.设药物开始释放后第小时教室内每立方米空气中的含药量为毫克.已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(小时)成正比.药物释放完毕后，与的函数关系式为(为常数).函数图象如图所示.则从药物释放开始，每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(小时)之间的函数关系式为 .考查目的：考查待定系数法求指数函数、一次函数解析式的方法，以及阅读理解能力和分类讨论思想.答案：.解析：函数图象由一条线段与一段指数函数图象组成，它们的交点为(0.1，1).当时，由(毫克)与时间(小时)成正比设，∴，解得，∴.当时，将(0.1，1)代入得，∴，，∴函数关系式为.。
人教A版高中数学第一册(必修1)第三章 函数的概念与性质7：章末检测卷(三)
章末检测卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列所示的图形中，可以作为函数y ＝f (x )的图象是( )『解 析』 作直线x ＝a 与曲线相交，由函数的概念可知，定义域中任意一个自变量对应唯一的函数值，∴y 是x 的函数，那么直线x ＝a 移动中始终与曲线只有一个交点，于是可排除A ，B ，C ，只有D 符合，故选D. 『答 案』 D2.函数f (x )＝1＋x ＋1x 的定义域是( ) A.『－1，＋∞) B.(－∞，0)∪(0，＋∞) C.『－1，0)∪(0，＋∞)D.R『解 析』 ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，x ≠0，解得－1≤x <0或x >0，区间表示为『－1，0)∪(0，＋∞)，故选C. 『答 案』 C3.下列函数中，与函数y ＝x (x ≥0)有相同图象的一个是( )A.y ＝x 2B.y ＝(x )2C.y ＝3x 3D.y ＝x 2x『解 析』 y ＝x 2＝|x |，x ∈R ；y ＝(x )2＝x ，x ≥0；y ＝3x 3＝x ，x ∈R ；y ＝x 2x＝x ，x >0，所以选B. 『答 案』 B4.幂函数的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是( )A.(0，＋∞)B.『0，＋∞)C.(－∞，0)D.(－∞，＋∞)『解 析』 设幂函数y ＝x α，则2α＝14，解得α＝－2，所以y ＝x －2，故函数y ＝x－2的单调递增区间是(－∞，0).『答 案』 C5.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A.y ＝x B.y ＝|x |＋1 C.y ＝－x 2＋1D.y ＝－1x『解 析』 A ：y ＝x 是奇函数，故不符合题意；B ：y ＝|x |＋1是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，故正确；C ：y ＝－x 2＋1是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递减，不合题意，D ：y ＝－1x 是奇函数，不合题意.故『答 案』为B. 『答 案』 B6.已知f (x )是一次函数，且f 『f (x )』＝x ＋2，则f (x )＝( ) A.x ＋1 B.2x －1 C.－x ＋1D.x ＋1或－x －1『解 析』 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f 『f (x )』＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝1，kb ＋b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，故选A.『答 案』 A7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －7 （x ≤1），a x （x >1）是R 上的增函数，则a 的取值范围是( ) A.『－4，0) B.(－∞，－2』 C.『－4，－2』D.(－∞，0)『解 析』 ∵f (x )在R 上为增函数，∴需满足⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－1－a －7≤a ，即－4≤a ≤－2，故选C. 『答 案』 C8.已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且对任意x 1，x 2∈(－∞，0』，当x 1≠x 2时总有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则满足f (1－2x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13>0的x 的范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23『解 析』 由题意，f (x )在(－∞，0』上是增函数，又f (x )是定义域为R 的偶函数，故f (x )在『0，＋∞)上是减函数.由f (1－2x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13>0可得f (1－2x )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即f (|1－2x |)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，所以|1－2x |<13，解得13<x <23. 『答 案』 A二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)9.已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且在区间『a ，b 』(a <b <0)上的值域为『－3，4』，则在区间『－b ，－a 』上( ) A.有最大值4 B.有最小值－4 C.有最大值3D.有最小值－3『解 析』 法一 根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知，故选BC.法二 当x ∈『－b ，－a 』时，－x ∈『a ，b 』， 由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )， 即－3≤－f (x )≤4，∴－4≤f (x )≤3，即在区间『－b ，－a 』上f (x )min ＝－4，f (x )max ＝3， 故选BC. 『答 案』 BC10.已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋1的定义域为(－2，3)，则函数f (|x |)的单调递增区间是( ) A.(－∞，－1) B.(－3，－1) C.(0，1)D.(1，3)『解 析』 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋1的定义域为(－2，3)，对称轴为直线x ＝1，开口向下，所以函数f (|x |)满足－2<|x |<3，所以－3<x <3. 又f (|x |)＝－x 2＋2|x |＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，0≤x <3，－x 2－2x ＋1，－3<x <0，且y ＝－x 2－2x ＋1图象的对称轴为直线x ＝－1，所以由二次函数的图象与性质可知，函数f (|x |)的单调递增区间是(－3，－1)和(0，1).故选BC. 『答 案』 BC11.某位同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，x 1，x 2∈D .①若当f (x 1)＋f (x 2)＝0时，都有x 1＋x 2＝0，则函数y ＝f (x )是D 上的奇函数； ②若当f (x 1)<f (x 2)时，都有x 1<x 2，则函数y ＝f (x )是D 上的增函数. 则下列说法正确的有( ) A.①是真命题 B.①是假命题 C.②是真命题D.②是假命题『解 析』 对于命题①，由于函数的定义域是否关于原点对称不明确，因此不符合奇函数的定义，错误；对于命题②，由于x 1，x 2是否具有任意性不明确，不符合单调性的定义.所以两个都是假命题，故选BD. 『答 案』 BD12.已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0.若a ，b ∈R ，且f (a )＋f (b )的值为负值，则下列结论可能成立的有( ) A.a ＋b >0，ab <0 B.a ＋b <0，ab >0 C.a ＋b <0，ab <0D.以上都可能『解 析』 由函数f (x )为幂函数可知m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.当m ＝－1时，f (x )＝1x 3；当m ＝2时，f (x )＝x 3.由题意知函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，因此f (x )＝x 3，在R 上单调递增，且满足f (－x )＝－f (x ).结合f (－x )＝－f (x )以及f (a )＋f (b )<0可知f (a )<－f (b )＝f (－b )，所以a <－b ，即b <－a ，所以a ＋b <0.当a ＝0时，b <0，ab ＝0；当a >0时，b <0，ab <0；当a <0时，ab >0(b <0)或ab <0(0<b <－a )，故BC 都有可能成立.故选BC.『答 案』 BC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把『答 案』填在题中的横线上)13.若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. 『解 析』 由f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )， 即(x ＋a )(x －4)＝(－x ＋a )(－x －4)，解得a ＝4. 『答 案』 414.若函数f (x )＝x 2－x 12，则满足f (x )<0的x 的取值范围为________. 『解 析』 设函数y 1＝x 2，函数y 2＝x 12，则f (x )<0, 即y 1<y 2.在同一平面直角坐标系中作出函数y 1与y 2的图象，如图所示，则由数形结合得x ∈(0，1). 『答 案』 (0，1)15.图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (min)之间的函数关系的图象，根据图象判断：通话5 min ，需付电话费________元；如果t ≥3，那么电话费y (元)与通话时间t (min)之间的函数关系式是________(第一空2分，第二空3分).『解 析』 由题图知，通话5 min ，需付电话费6元.当t ≥3时，设y ＝kx ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧3.6＝3k ＋b ，6＝5k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.2，b ＝0，∴t ≥3时，y ＝1.2t .『答 案』 6 y ＝1.2t (t ≥3)16.若函数f (x )同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有f (x )＋f (－x )＝0；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0，则称函数f (x )为“理想函数”.给出下列四个函数中：①f (x )＝1x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝|x |；④f (x )＝⎩⎨⎧－x 2，x ≥0，x 2，x <0.能被称为“理想函数”的有________(填相应的序号).『解 析』 ①中，函数f (x )＝1x 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，所以不正确；②中，函数f (x )＝x 2为定义域上的偶函数，所以不正确；③中，函数f (x )＝|x |的定义域为R ，在定义域内不单调，所以不正确；④中，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2 （x ≥0），x 2（x <0）的图象如图所示，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，所以为“理想函数”，综上，『答 案』为④. 『答 案』 ④四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的『解 析』式； (2)画出函数f (x )的图象.解 (1)①由于函数f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0； ②当x <0时，－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－『(－x )2－2(－x )』＝－x 2－2x . 综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x ，x <0.(2)图象如图所示.18.(本小题满分12分)已知f (x )在R 上是单调递减的一次函数，且f (f (x ))＝9x －2. (1)求f (x )；(2)求函数y ＝f (x )＋x 2－x 在x ∈『－1，a 』上的最大值. 解 (1)由题意可设f (x )＝kx ＋b (k <0)， 由于f (f (x ))＝9x －2，则k 2x ＋kb ＋b ＝9x －2，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝9，kb ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝1，故f (x )＝－3x ＋1. (2)由(1)知，函数y ＝－3x ＋1＋x 2－x ＝x 2－4x ＋1＝(x －2)2－3， 故函数y ＝x 2－4x ＋1的图象开口向上，对称轴为x ＝2， 当－1<a ≤5时，y 的最大值是f (－1)＝6， 当a >5时，y 的最大值是f (a )＝a 2－4a ＋1， 综上，y max ＝⎩⎪⎨⎪⎧6 （－1<a ≤5），a 2－4a ＋1 （a >5）.19.(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数)，F (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0，(1)若f (－1)＝0且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈『－2，2』时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围.解 (1)由已知可知：⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ＋1＝0，a >0，b 2－4a ≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2， 则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，－x 2－2x －1，x <0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，则g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1， 则g (x )的对称轴为x ＝k －22.由于g (x )在『－2，2』上是单调函数， 故k －22≤－2或k －22≥2，即k ≤－2或k ≥6.即实数k的取值范围是(－∞，－2』∪『6，＋∞).20.(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋1bx＋c是奇函数(a，b都是正整数)，且f(1)＝2，f(2)<3.(1)求a，b，c的值；(2)当x<0时，f(x)的单调性如何？用单调性定义证明你的结论.解(1)由f(x)＝ax2＋1bx＋c是奇函数，得f(－x)＝－f(x)对定义域内x恒成立，则a（－x）2＋1b（－x）＋c＝－ax2＋1bx＋c⇒－bx＋c＝－(bx＋c)对定义域内x恒成立，即c＝0.f(1)＝a＋1b＝2，f(2)＝4a＋12b<3，又a，b是整数，得b＝a＝1.(2)由(1)知f(x)＝x2＋1x＝x＋1x，当x<0时，f(x)在(－∞，－1』上单调递增，在『－1，0)上单调递减，下面用定义证明.设x1<x2≤－1，则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1－⎝⎛⎭⎪⎫x2＋1x2＝x1－x2＋x2－x1x1x2＝(x1－x2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x1x2，因为x1<x2≤－1，x1－x2<0，1－1x1x2>0.f(x1)－f(x2)<0，故f(x)在(－∞，－1』上单调递增.同理可证f(x)在『－1，0)上单调递减.21.(本小题满分12分)已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝1，点O为段线AB的中点，动点P沿矩形ABCD的边从B逆时针运动到A.当点P运动过的路程为x时，记点P的运动轨迹与线段OP，OB 围成的图形面积为f(x).(1)求f(x)的『解析』式；(2)若f (x )＝2，求x 的值.解 (1)当x ∈『0，1』时，f (x )＝12·OB ·x ＝x ；当x ∈(1，5』时，f (x )＝（2＋x －1）×12＝12(x ＋1)； 当x ∈(5，6』时，f (x )＝4×1－12×2×(6－x )＝x －2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，12（x ＋1），1<x ≤5，x －2，5<x ≤6.(2)若f (x )＝2，显然1<x ≤5，所以f (x )＝12(x ＋1)＝2，解得x ＝3.22.(本小题满分12分)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，且当x >0时，f (x )<0恒成立.(1)证明函数y ＝f (x )是R 上的单调函数；(2)讨论函数y ＝f (x )的奇偶性；(3)若f (x 2－2)＋f (x )<0，求x 的取值范围.(1)证明 设x 1>x 2，则x 1－x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f 『(x 1－x 2)＋x 2』－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2).又当x >0时，f (x )<0恒成立，所以f (x 1)<f (x 2)，∴函数y ＝f (x )是R 上的减函数.(2)解 由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，即f (x )＋f (－x )＝f (0)，又由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，令a ＝b ＝0，得f (0)＝0，∴f (－x )＝－f (x )，又函数y ＝f (x )的定义域为R ，即函数y ＝f (x )是奇函数.(3)解法一由f(x2－2)＋f(x)<0得f(x2－2)<－f(x)，又y＝f(x)是奇函数，即f(x2－2)<f(－x)，又y＝f(x)在R上是减函数，所以x2－2>－x，解得x>1或x<－2.故x的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞).法二由f(x2－2)＋f(x)<0且f(0)＝0及f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，得f(x2－2＋x)<f(0)，又y＝f(x)在R上是减函数，所以x2－2＋x>0，解得x>1或x<－2.故x的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞).。
新教材高考数学第三章圆锥曲线的方程章末检测试卷三含解析新人教A版选择性必修第一册
章末检测试卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．双曲线3x 2－y 2＝9的焦距为( ) A. 6 B ．2 6 C ．2 3 D ．4 3 答案 D解析 方程化为标准方程为x 23－y 29＝1，∴a 2＝3，b 2＝9.∴c 2＝a 2＋b 2＝12，∴c ＝23，∴2c ＝4 3.2．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B .若|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，则该椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 23＋y 2＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 答案 A解析 因为|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，所以a ＝2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝ 3. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.3．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32 C ．1 D.3 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线3x －y ＝0的距离为|3×1－1×0|32＋12＝32，故选B. 4．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆的离心率为32，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 23＝1C.x 216＋y 212＝1 D.x 216＋y 24＝1 答案 D解析 由椭圆的定义知|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ＝16，所以a ＝4，又e ＝c a ＝32，所以c ＝23，所以b 2＝42－(23)2＝4，所以椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.5．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在双曲线上，则PF 1—→·PF 2—→等于( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4 答案 C解析 由渐近线方程为y ＝x ，知双曲线是等轴双曲线，所以双曲线方程是x 2－y 2＝2， 于是两焦点分别是F 1(－2,0)和F 2(2,0)，且P (3，1)或P (3，－1)．不妨取点P (3，1)， 则PF 1—→＝(－2－3，－1)，PF 2—→＝(2－3，－1)．所以PF 1—→·PF 2—→＝(－2－3，－1)·(2－3，－1)＝－(2＋3)(2－3)＋1＝0.6.如图，已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，OP ∥AB (O为原点)，则该椭圆的离心率是( )A.22 B.24 C.12 D.32答案 A解析 因为PF ⊥x 轴，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .又OP ∥AB ，所以b a ＝b 2ac，即b ＝c .于是b 2＝c 2， 即a 2＝2c 2.所以e ＝c a ＝22. 7．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k 等于( ) A.13 B.23 C.23 D.223答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64>0， 所以0<k <1， 所以x 1x 2＝4，① 根据抛物线的定义得，|FA |＝x 1＋p2＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2.因为|FA |＝2|FB |，所以x 1＝2x 2＋2，② 由①②得x 2＝1(x 2＝－2舍去)，所以B (1,22)，代入y ＝k (x ＋2)得k ＝223.8.如图所示，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )A ．2 B.15 C.13 D. 3 答案 C解析 ∵|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，不妨令|AB |＝3，|BF 2|＝4，|AF 2|＝5， ∵|AB |2＋|BF 2|2＝|AF 2|2，∴∠ABF 2＝90°，又由双曲线的定义得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 1|＋3－4＝5－|AF 1|，∴|AF 1|＝3，∴2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝2，∴a ＝1，|BF 1|＝6. 在Rt△BF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|BF 1|2＋|BF 2|2＝36＋16＝52， 又|F 1F 2|2＝4c 2，∴4c 2＝52， ∴c ＝13，∴e ＝13.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知方程mx 2＋ny 2＝1(m ，n ∈R )，则( ) A ．当mn >0时，方程表示椭圆 B ．当mn <0时，方程表示双曲线 C ．当m ＝0时，方程表示两条直线 D ．方程表示的曲线不可能为抛物线 答案 BD解析 A 项，取m ＝n ＝1，此时表示圆，错误；B 项，当mn <0时，方程表示焦点在x 轴或y 轴上的双曲线，正确；C 项，当m ＝0，n ＝0时，方程不成立，错误；D 项，方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，正确． 10．对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( ) A ．开口向上，准线方程为y ＝－116B ．开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116C ．开口向右，焦点为(1,0)D ．开口向右，准线方程为y ＝－1 答案 AB解析 抛物线可化为x 2＝14y ，故开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116.准线方程为y ＝－116.11．已知直线y ＝kx ＋1与双曲线x 2－y 24＝1交于A ，B 两点，且|AB |＝82，则实数k 的值为( )A ．±7B ．± 3C ．± 5D ．±413答案 BD解析 由直线与双曲线交于A ，B 两点，得k ≠±2. 将y ＝kx ＋1代入x 2－y 24＝1得(4－k 2)x 2－2kx －5＝0，则Δ＝4k 2＋4(4－k 2)×5＞0，即k 2＜5.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 4－k 2，x 1x 2＝－54－k 2，所以|AB |＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 4－k 22＋204－k 2＝82，解得k ＝±3或±413. 12．设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是( )A.||PF 1＋||PF 2＝2 2 B ．离心率e ＝62C ．△PF 1F 2面积的最大值为 2D ．以线段F 1F 2为直径的圆与直线x ＋y －2＝0相切 答案 AD解析 对于A 选项，由椭圆的定义可知||PF 1＋||PF 2＝2a ＝22，所以A 选项正确． 对于B 选项，依题意a ＝2，b ＝1，c ＝1，所以e ＝c a＝12＝22，所以B 选项不正确． 对于C 选项，||F 1F 2＝2c ＝2，当P 为椭圆短轴端点时，△PF 1F 2的面积取得最大值为12·2c ·b＝c ·b ＝1，所以C 选项错误．对于D 选项，线段F 1F 2为直径的圆的圆心为()0，0，半径为c ＝1，圆心到直线x ＋y －2＝0的距离为22＝1，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F 1F 2为直径的圆与直线x ＋y－2＝0相切，所以D 选项正确． 综上所述，正确的为AD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．以双曲线x 24－y 212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．答案x 216＋y 212＝1 解析 双曲线的焦点为(±4,0)，顶点为(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点为(±4,0)， 所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线x ＝14y 2的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为________，渐近线方程为__________．(本题第一空3分，第二空2分)答案 5x 2－54y 2＝1 y ＝±2x解析 抛物线x ＝14y 2的方程化为标准形式为y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)，则得a 2＋b 2＝1，又e ＝c a ＝5，易求得a 2＝15，b 2＝45，所以该双曲线的方程为5x 2－54y 2＝1，渐近线方程为y ＝±2x . 15．过点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0的直线与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点，若A为线段EB 的中点，且|AF |＝3，则p ＝________. 答案 4解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，|AF |＝x 1＋p2，又|AF |＝3，所以x 1＝3－p 2，由中点坐标公式，得⎩⎨⎧x 1＝x 2－p22，y 1＝y 2＋02，所以x 2＝6－p2，y 2＝2y 1，所以y 22＝4y 21，2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－p 2＝4y 21＝4×2px 1＝4×2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，结合p >0可得p ＝4.16．如图所示，已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且在x 轴的上方，过点A 作AB ⊥l 于B ，|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________．答案 8解析 由题意知抛物线的焦点为F (2,0)，准线l 为x ＝－2，∴K (－2,0)，设A (x 0，y 0)(y 0＞0)，∵过点A 作AB ⊥l 于B ，∴B (－2，y 0)，∴|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， |BK |2＝|AK |2－|AB |2，∴x 0＝2，∴y 0＝4，即A (2,4)，∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分) 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，求椭圆C 的方程． 解 设椭圆的半焦距为c ，依题意， 得a ＝3且e ＝ca ＝63， 所以a ＝3，c ＝2， 从而b 2＝a 2－c 2＝1，因此所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.18．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (2,1)，离心率为22，过点B (3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆的方程；(2)若|MN |＝322，求直线MN 的方程．解 (1)由题意有4a 2＋1b 2＝1，e ＝c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝6，b ＝3，c ＝3，所以椭圆方程为x 26＋y 23＝1.(2)由直线MN 过点B 且与椭圆有两交点，可设直线MN 方程为y ＝k (x －3)， 代入椭圆方程整理得(2k 2＋1)x 2－12k 2x ＋18k 2－6＝0，Δ＝24－24k 2>0，得k 2<1. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12k 22k 2＋1，x 1x 2＝18k 2－62k 2＋1，|MN |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝k 2＋1x 1－x 22＝k 2＋1[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝322，解得k ＝±22，满足k 2<1， 所求直线方程为y ＝±22(x －3)． 19．(12分)已知椭圆x 24＋y 29＝1及直线l ：y ＝32x ＋m .(1)当直线l 与该椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求直线l 被此椭圆截得的弦长的最大值． 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋m ，x 24＋y29＝1，消去y ，并整理得9x 2＋6mx ＋2m 2－18＝0.①Δ＝36m 2－36(2m 2－18)＝－36(m 2－18)．因为直线l 与椭圆有公共点， 所以Δ≥0，解得－32≤m ≤3 2.故所求实数m 的取值范围为[－32，32]．(2)设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由①得x 1＋x 2＝－6m 9，x 1x 2＝2m 2－189，故|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322·⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 92－4×2m 2－189 ＝133·－m 2＋18， 当m ＝0时，直线l 被椭圆截得的弦长的最大值为26.20．(12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点P (1,1)．过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．(1)解 由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明 由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0.则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1 ＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝2k －2x 1x 2＋12x 2＋x 1x 2＝2k －2×14k 2＋1－k2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1， 即y 1－x 1＝x 1－y 2x 1x 2，即|AM |＝|BA |， 故A 为线段BM 的中点．21．(12分)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2100＋y 2b2＝1(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．解 (1)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝100(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)，∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为100. (2)12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2563.①由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，∴3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2.② 由①②得c ＝6， ∴b ＝8.22．(12分) 已知抛物线C ：y 2＝4x ，A ()1，2，B ()m ，0，其中m >0，过B 的直线l 交抛物线C 于M ，N .(1)当m ＝5，且直线l 垂直于x 轴时，求证：△AMN 为直角三角形； (2)若OP →＝OA →＋OB →，当点P 在直线l 上时，求实数m ，使得AM ⊥AN . (1)证明 由题意l ：x ＝5，代入y 2＝4x 中， 解得y ＝±25，不妨取M (5,25)，N (5，－25)， 则AM →＝(4,25－2)，AN →＝(4，－25－2)，所以AM →·AN →＝(4,25－2)·(4，－25－2)＝16－(20－4)＝0， 所以AM ⊥AN ，即△AMN 为直角三角形得证．(2)解 由题意可得四边形OAPB 为平行四边形，则k BP ＝k OA ＝2，设直线l ：y ＝2(x －m )，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －m ，y 2＝4x ，得y 2－2y －4m ＝0，由题意，判别式Δ＝4＋16m >0，y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝－4m ， 因为AM ⊥AN 则AM →·AN →＝0，又AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－1，y 1－2，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－1，y 2－2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－1＋(y 1－2)(y 2－2)＝0， 化简，得(y 1＋2)(y 2＋2)＋16＝0，即y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0，代入解得m ＝6. 故m ＝6时，有AM ⊥AN .。
高中数学选择性必修一第三章 圆锥曲线的方程章末检测B(解析版)
2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典第三章 圆锥曲线的方程 章末检测B 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注：本检测满分150分。
其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。
一、单选题1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 2F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若1AF B △的周长为C 的标准方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=【答案】A 【解析】 【分析】利用焦点三角形的周长求出a ，再根据离心率求出c ，由222b a c =-即可求解. 【详解】1AF B △的周长为则1122114AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==所以a =又c e a ==，所以1c =， 所以2222b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为：22132x y +=.故选：A 【点睛】本题考查了焦点三角形周长、利用离心率求椭圆的标准方程，属于基础题.2．如图所示，直线l 与双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若且AOB 的面积为的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D 5【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设02AOX πθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，由题中条件求出60θ=︒，再由双曲线的渐近线方程得到tan 3baθ==. 【详解】由题意，设02AOX πθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，因为6OA OB ⋅=-且AOB 的面积为33 所以cos 26OA OB θ=-，1sin 2332OA OB θ=， 所以tan 23θ=2120θ=︒，可得60θ=︒，又双曲线2222:1x y E a b-=的渐近线方程为b y x a =±，∴tan 3baθ== 所以212c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故选：C . 【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，属于基础题型.3．已知抛物线24,y x =上一点P 到准线的距离为1d ，到直线l :43110x y -+=为2d ，则12d d +的最小值为（ ）【解析】 【分析】利用抛物线的定义，将12d d +的最小值转化为焦点到直线43110x y -+=的距离即可求得． 【详解】解：抛物线上的点P 到准线的距离等于到焦点F 的距离， 所以过焦点F 作直线43110x y -+=的垂线， 则该点到直线的距离为12d d +最小值，如图所示；由(1,0)F ，直线43110x y -+=，所以12224011343d d -++==+，故选A.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质和点到直线距离公式的应用问题，是基础题．4．离心率为2的双曲线22221y x a b-=的渐近线方程是（ ）A ．0x y ±=B 30x y ±=C ．30x ±=D 50x y ±=【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的离心率221c b e a a ==+可求出b a ，又双曲线的渐近线方程为a y x b =±，可求出答案.【详解】由题意，双曲线22221y x a b -=的离心率为2212c b e a a ==+=，则223b a =，即3b a = 所以双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为33a y x xb =±=±，即30x ±=.故选：C.本题考查双曲线的渐近线、离心率，考查学生的计算求解能力，属于基础题.5．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为6，渐近线方程为13y x =±，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆()22:61E x y ++=上一点，则2MN MF +的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意得双曲线的方程为2219x y -=，再结合双曲线的定义得212MF a MF =+，故212MN MF a MN MF +=++，连接1EF ，交双曲线于M ，交圆于N ，此时1MN MF +取得最小值，再计算即可得答案. 【详解】由题意可得26a =，即3a =，渐近线方程为13y x =±，即有13b a =，即1b =，可得双曲线方程为2219x y -=，焦点为()110,0F -，()210,0F ，由双曲线的定义可得21126MF a MF MF =+=+，由圆()22:61E x y ++=可得()0,6E -，半径1r =，216MN MF MN MF +=++，连接1EF ，交双曲线于M ，交圆于N ，此时1MN MF +取得最小值，且为16104EF =+=， 则2MN MF +的最小值为6419+-=. 故选：B.本题考查双曲线方程的求解，双曲线上的点到定点的距离最值问题，考查数形结合思想，是中档题.6．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的（ ）A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】09k <<，则90k ->，250k ->，双曲线221259x y k-=-的实半轴长为5=离心率为5，双曲线221259x y k -=-，虚半轴长为3，焦距为=，因此，两双曲线的焦距相等， 故选D.7．已知点P （－1，0），设不垂直于x 轴的直线l 与抛物线y 2＝2x 交于不同的两点A 、B ，若x 轴是∠APB 的角平分线，则直线l 一定过点 A ．（12，0） B ．（1，0） C ．（2，0） D ．（-2，0）【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性，分析得出直线过的顶点应该在x 轴上，再设出直线的方程，与抛物线方程联立，设出两交点的坐标，根据角分线的特征，得到所以AP 、BP 的斜率互为相反数，利用斜率坐标公式，结合韦达定理得到参数所满足的条件，最后求得结果. 【详解】根据题意，直线的斜率不等于零，并且直线过的定点应该在x 轴上， 设直线的方程为x ty m =+，与抛物线方程联立，消元得2220y ty m --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，因为x 轴是∠APB 的角平分线，所以AP 、BP 的斜率互为相反数，所以1212011y y x x +=++， 结合根与系数之间的关系，整理得出12122(1)()0ty y m y y +++=，即2(2)220t m tm t -++=，2(1)0t m -=，解得1m =，所以过定点(1,0)， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关直线过定点问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的位置关系，韦达定理，角平分线的性质，两点斜率坐标公式，思路清晰是正确解题的关键. 8．已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222222:1(0,)x y C a b c a b a b+=>>=-，若圆1C ，2C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）A ．1[,1)2B ．1(0,]2C．[,1)2D．(0,2【答案】B 【解析】 【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标与半径，圆1C ，2C 都在椭圆内，可得圆2C 上的点(2,0)c ，(,)c c 都在椭圆内，由此列关于a ，c 的不等式组得答案． 【详解】由圆221:20C x cx y ++=，得222()x c y c ++=，得圆1C 的圆心为(,0)c -，半径为c ，由圆222:20C x cx y -+=，得222()x c y c -+=，得圆2C 的圆心为(,0)c ，半径为c ， 要使圆1C ，2C 都在椭圆内，则22222{1c ac c a b+，解得102ca <． ∴椭圆离心率的范围是1(0,]2．本题考查圆与椭圆的综合，考查数学转化思想方法，考查运算求解能力，是中档题．二、多选题9．在平面直角坐标系中，有两个圆22211:(2)++=C x y r 和22222:(2)-+=C x y r ，其中常数12,r r 为正数满足124r r +<，一个动圆P 与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是（ ） A ．两个椭圆B ．两个双曲线C ．一个双曲线和一条直线D ．一个椭圆和一个双曲线【答案】BC 【解析】 【分析】由题意得，圆1C 的圆心为1(2,0)C -，半径为1r ，圆2C 的圆心为2(2,0)C ，半径为2r ，所以124C C =，设动圆P 的半径为r ；分动圆P 可能与两圆①均内切，②均外切，③一个外切，一个内切，三种情况，根据圆与圆位置关系，即可结合双曲线的定义，即可判断出结果. 【详解】由题意得，圆1C 的圆心为1(2,0)C -，半径为1r ，圆2C 的圆心为2(2,0)C ，半径为2r ，所以124C C =，设动圆P 的半径为r ．当124r r +<时，两圆相离，动圆P 可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切． ①若均内切，则1122,PC r r PC r r =-=-， 此时1212PC PC r r -=-，当12r r ≠时，点P 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线， 当12r r =时，点P 在线段12C C 的垂直平分线上． ②若均外切，则1122,PC r r PC r r =+=+， 此时1212PC PC r r -=-，则点P 的轨迹与①相同．③若一个外切，一个内切，不妨设与圆1C 内切，与圆2C 外切，则11222112,,PC r r PC r r PC PC r r =-=+-=+．同理，当与圆2C 内切，与圆1C 外切时，1212PC PC r r -=+．此时点P 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．本题主要考查动点的轨迹问题，熟记双曲线的定义以及圆与圆位置关系即可，属于常考题型.10．已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A ．1QF QP +的最小值为21a - B ．椭圆C 的短轴长可能为2 C ．椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．若11PF FQ =，则椭圆C【答案】ACD 【解析】 【分析】A. 将1QF QP +，利用椭圆的定义转化为12222+=-+≥-QF QP a QF QP a PF 求解；B.假设椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，与点P 在椭圆的内部验证；C. 根据点()1,1P 在椭圆内部，得到111a b+<，又1a b -=，解得a，再由=eD. 根据11PF FQ =，得到1F 为线段PQ 的中点，求得Q 坐标，代入椭圆方程求解. 【详解】A. 因为122F F =，所以()221,0,1=F PF ，所以1222221+=-+≥-=-QF QP a QF QP a PF a ，当2,,Q F P ，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，所以椭圆方程为22121x y +=，11121+>，则点P 在椭圆外，故错误；C. 因为点()1,1P 在椭圆内部，所以111a b +<，又1a b -=，所以1b a =-，所以1111+<-a a ，即2310a a -+>，解得(2136244++>==a>，所以12=<e ，所以椭圆C的离心率的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故正确；21190-+=a a ，解得()2517118522285244+++===a ，所以5172+=a ，所以椭圆C 的长轴长为517+，故正确. 故选：ACD 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，点与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.11．（多选）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，最终卫星在点P 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道III 绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴长，则下列式子正确的是（ ）A ．1122a c a c +=+B ．1122a c a c -=-C ．1212c a a c >D ．1212c c a a <【答案】BC 【解析】 【分析】A 选项结合图象以及不等式的性质进行判断；B 选项结合椭圆的几何性质进行判断；CD 选项根据B 选项的结论进行变形来判断. 【详解】由题图可得12121122,,>>∴+>+a a c c a c a c ，故A 不正确；11221122||,||,=-=-∴-=-PF a c PF a c a c a c ，故B 正确；由1122a c a c -=-得()()221221a c a c +=+，即22221112222122a c a c a c a c -+=-+，即22121122211221121222,,,+=+>∴>∴>c c b a c b a c b b a c a c a a ，故C 正确，D 不正确．故选：BC 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，属于中档题.12．已知椭圆C ：22142x y +=的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线()0y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ∠<︒C ．直线BE 的斜率为12k D ．90PAB ∠>︒【答案】ABC 【解析】 【分析】对A,根据椭圆对称性判断即可. 对B,根据12F PF ∠的最值判定即可. 对C,根据倾斜角的正切值判定即可.对D,根据椭圆中斜率的定值关系证明90PAB ∠=︒即可. 【详解】对A,根据椭圆的对称性可知,12,OF OF OA OB ==.故四边形12AF BF 为平行四边形. 故 A 正确.对B ,根据椭圆的性质有当P 在上下顶点时,OP b c ===.此时1290F PF ∠=︒.由题意可知P 不可能在上下顶点,故1290F PF ∠<︒.故B 正确. 对C, 如图,不妨设B 在第一象限,则直线BE 的斜率为122BD BD k ED OD ==,故C 正确. 对D, 设(),P x y 则2212121222121212AP BPy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-221222122222x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-12=-.又由C 可知直线BP 的斜率为12k ,故11212AP k k k -==-.所以11AP AB k k k k ⋅=-⋅=-. 故90PAB ∠=︒.故D 错误.故选：ABC 【点睛】本题主要考查了椭圆中的三角形与边角关系等的判定.需要根据题意根据椭圆的对称性以及斜率的定值性质求解.属于中档题.三、填空题13．如图，已知椭圆1C 和双曲线2C 交于1P 、2P 、3P 、4P 四个点，1F 和2F 分别是1C 的左右焦点，也是2C 的左右焦点，并且六边形121342PP F P P F 是正六边形．若椭圆1C 的方程为22142323x y +=+，则双曲线2C 的方程为____________．22142323=- 【解析】 【分析】先根据椭圆1C 的方程确定半焦距，再根据正六边形性质确定双曲线中,,.a b c 【详解】2221442423x c c =∴=+=∴=+设22222:1,(0,0)x y C a b a b-=>>22212||||21a P F P F a =-=∴=222241)b c a ∴=-=-=因此2221C =221-= 221= 【点睛】本题考查求双曲线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.14．已知双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，若∠260AF B =︒，则2AF B 的内切圆半径为______.【答案】3【解析】 【分析】设内切圆的圆心M ，设2AF B 三边与内切圆的切点，连接切点与圆心M 的线段，由内切圆的性质可得22AF AQ BF BQ -=-，再由双曲线定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，可得Q ，1F 重合，再由260AF B ∠=︒可得内切圆的半径的值.【详解】设内切圆的圆心为(),M x y ，设圆M 与三角形的边分别切于T ，Q ，S ，如图所示 连接MS ，MT ，MQ ，由内切圆的性质可得：22F T F S =，AT AQ =，BS BQ =， 所以222AF AQ AF AT F T -=-=，222BF BQ BF BS F S -=-=， 所以22AF AQ BF BQ -=-，由双曲线的定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，所以可得Q ，1F 重合，所以224TF a ==，所以圆的半径为2243tan23AF B r MT TF ∠===. 故答案为：433.【点睛】本题主要考查双曲线定义的应用，熟记双曲线的定义即可，属于常考题型.15．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．今有抛物线()2: 20C y px p =>(如图)一条平行x 轴的光线射向C 上一点P 点，经过C 的焦点F 射向C 上的点Q ，再反射后沿平行x 轴的方向射出，若两平行线间的最小距离是4，则C 的方程是____________．【答案】24y x = 【解析】 【分析】先由题意得到PQ 必过抛物线的焦点，设出直线PQ 的方程，联立直线PQ 与抛物线方程，利用韦达定理表示出弦长，得出PQ 的最小值，进而可求出p 的值，得出抛物线方程． 【详解】由抛物线的光学性质可得：PQ 必过抛物线的焦点(,0)2pF ， 当直线PQ 斜率不存在时，易得2PQ p =；当直线PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，11(,)P x y ，22(,)Q x y 由2 22p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得22224p k x px px ⎛⎫ ⎪⎭=⎝-+，整理得()222224480k x k p p x k p -++=， 所以221212224k p p p x x x x k ++==,，所以()2122222222kpPQ x x p p p kk ⎛⎫⎪⎝⎭+=++==+>； 综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短， 又因为两平行光线间的最小距离为4，故24p =， 所以抛物线方程为24y x =． 故答案为：24y x =． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线位置关系，解决这类问题通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于中档题．16．已知P 是双曲线221168x y -=右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，点,M N 满足()21220,,0PF PM F P PM PN PN F N PM PF λλμ⎛⎫⎪=>=+= ⎪⎝⎭⋅，若24PF =.则以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积为________. 【答案】64π 【解析】 【分析】延长2F N 交PM 于点Q ，由向量数量积和线性运算可知PN 为线段2F Q 的垂直平分线，结合双曲线定义可求得1FQ ，利用中位线性质可求得ON ，进而得到结果. 【详解】延长2F N ，交PM 于点Q ，如下图所示：22PF PM PN PM PF μ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭，PN ∴为2QPF ∠的角平分线， 又20PN F N ⋅=，2PN NF ∴⊥，PN ∴为线段2F Q 的垂直平分线，24PQ PF ∴==.由双曲线定义知：12248PF PF -=⨯=，18412PF ∴=+=，141216FQ ∴=+=， ,O N 分别为122,F F QF 中点，1182ON FQ ∴==， ∴以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积64S π=.故答案为：64π. 【点睛】本题考查双曲线性质和定义的综合应用，涉及到平面向量数量积和线性运算的应用；解题关键是能够通过平面向量的线性运算和数量积运算确定垂直和平分关系.四、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0B ，()2,0C -，设直线AB ，AC 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，记点A 的轨迹为E ．（1）求E 的方程；（2）若直线l ：1y x =+与E 相交于P ，Q 两点，求PQ ．【答案】（1）22142x y +=，（0y ≠）；（245【解析】 【分析】（1）先设点(,)A x y ，再建立方程12122+2y y x k x k ⋅=--=，最后得到E 的方程：22142x y +=，（0y ≠）；（2）先联立方程221142y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得到23420x x +-=，再得到12124323x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，最后求PQ 即可. 【详解】解：（1）设点(,)A x y ，则12y k x =-，2+2yk x =， 因为1212k k =-，则12122+2y y x k x k ⋅=--=， 整理得：22142x y +=，斜率存在，所以2x ≠±，所以E 的方程：22142x y +=，（0y ≠） （2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由221142y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到23420x x +-=，则2443(2)400∆=-⨯⨯-=>，所以12124323x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，则12PQ x =-=，所以PQ =【点睛】本题考查求点的轨迹方程、利用弦长公式求弦长，是中档题.18．在椭圆2222:1(20)x y C b a b a b+=>>>上任取一点P （P 不为长轴端点），连结1PF 、2PF ，并延长与椭圆C 分别交于点A 、B 两点，已知2APF ∆的周长为8，12F PF ∆. （1）求椭圆C 的方程；（2）设坐标原点为O ，当P 不是椭圆的顶点时，直线OP 和直线AB 的斜率之积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，值为920-. 【解析】（1）根据椭圆的定义，结合2APF ∆的周长为8，求出a 的值，设出点P 的坐标，结合三角形面积公式，椭圆的范围，12F PF ∆可以求出,c b 的关系，进而求出,a b 的值，最后求出椭圆C 的方程；（2）设出直线1PF 的方程与椭圆方程联立，利用解方程组，求出A 点坐标，同理求出B 的坐标，最后通过斜率公式，计算出直线OP 和直线AB 的斜率之积是定值. 【详解】（1）因为2APF ∆的周长为8，所以有11228482AF PF PF AF a a +++=⇒=⇒= 设00(,)P x y ，因为12F PF ∆所以1212y F F P ⋅当y P b =时，面积最大，因此有bc =a =，因为20b a b >>>，所以2,a b ==，所以椭圆标准方程为：22143x y +=；（2）当P 不是椭圆的顶点时，因此00120,0,(1,0),(1,0)x y F F ≠≠-. 直线1PF 的方程为：00(1)1y y x x =++，与椭圆的方程联立，得： ()()()022*********22000(1)484131201113412y y x y y y x x x x x x x y ⎧⎛⎫=+⎪+ ⎪⇒+++-=⎨ ⎪+++⎪⎝⎭+=⎩， ()2200000152********A x x xx x x x x -++∴⋅==-++，0000583,2525A Ax y x y x x +-∴=-=++， 同理直线2PF 的方程为：00(1)1y y x x =--，与椭圆的方程联立，得： ()()()022*********22000(1)484131201113412y y x y y y x x x x x x x y ⎧⎛⎫=-⎪- ⎪⇒+-+-=⎨ ⎪---⎪⎝⎭+=⎩200005825B x x x x x -⇒⋅=⇒-0000583,2525B B x y x y x x -==--，()00002200123208054B AB A x y x y y y kAB x x x x -∴===---， ()220022003394205453AB OPy y k k x y ∴⋅===-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭为定值.本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆的范围，考查了求椭圆的标准方程，考查了通过直线与椭圆的位置关系判断两直线斜率之积为定值，考查了数学运算能力.19．已知点A 是椭圆22:154x y E +=的上顶点，斜率为(0)k k >的直线交椭圆E 于A 、M 两点，点N 在椭圆E 上，且MA NA ⊥；（Ⅰ）当||||AM AN =时，求AMN 的面积； （Ⅱ）当2||||AM AN =时，求证：2152k <<． 【答案】（Ⅰ）40081；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由A 为椭圆的上顶点及||||AM AN =，可得M ，N 的纵坐标相等，横坐标互为相反数，又MA NA ⊥且0k >有1k =，可得直线AN 的斜率，求出直线AN 的方程，设N 的坐标，代入椭圆的方程求出N 的坐标，进而求出AMN 的面积；（Ⅱ）设直线AM 的方程与椭圆联立求出M 的坐标，进而求出||AM 的值，同理可得||AN 的值，由2||||AM AN =可得关于k 的方程32851040k k k -+-=，设函数32()85104f x x x x =-+-，求导，由函数的单调性可得k 的取值范围． 【详解】（Ⅰ）由对称性知点M 、N 的纵坐标相等，横坐标互为相反数，又MA NA ⊥且||||AM AN =有△AMN 为等腰直角三角形，即可知1k =，而(0,2)A ∴直线AN 的斜率为1-，则直线AN 的方程为：2y x =-+设点(,2)N t t -其中0t >，有22(2)154t t -+=，解得209t =∴220400981AMNS⎛⎫==⎪⎝⎭（Ⅱ）据题意，直线:2AM y kx =+，联立椭圆E ，得：2245(2)200x kx ++-=，即：22(45)200k x kx ++=则22045M k x k =-+，那么||AM =AN ==； 由2||||AM AN =，得：222(54)45k k k +=+，即：32851040k k k -+-=令32()85104f x x x x =-+-，则22525()24101024()1002424f x x x x =+=-+-'->， 所以()f x 单调增，又236()05125f =-<，13()024f =>，故()f x 存在唯一零点021(,)52x ∈，即2152k <<得证 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合，三角形面积求法和由求导得函数的单调性，属于中难题． 20．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为1(F ，且C经过点1)2P . （1）求C 的方程；（2）设C 与y 轴的正半轴交于点D ，直线l ：y kx m =+与C 交于A 、B 两点（l 不经过D 点），且AD BD ⊥.证明：直线l 经过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析，直线l 经过定点3(0,)5-. 【解析】 【分析】（1）根据一个焦点坐标得出另一个焦点坐标，结合椭圆的定义可得方程；（2）联立椭圆和直线的方程，结合AD BD ⊥，求出m 的值，从而可得定点的坐标. 【详解】（1）由题意，设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，则c =)2F ，由椭圆定义得12712422a PF PF =+=+=，2a =，1b ==， 所以C 的方程2214x y +=.（2）由已知得()0,1D ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222148440k x kmx m +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122814km x x k -+=+，21224414m x x k-=+， ()121222214m y y k x x m k +=++=+，()()2212122414m k y y kx m kx m k-=++=+， 由AD BD ⊥得()()1212110DA DB x x y y ⋅=+--=，整理得22523014m m k--=+， 所以，25230m m --=，解得1m =或35m =-， ①当1m =时，直线l 经过点D ，舍去； ②当35m =-时，显然有>0∆，直线l 经过定点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查椭圆的方程求解及定点问题，已知椭圆焦点及椭圆所过点常用椭圆的定义进行求解，直线过定点问题一般是求解直线方程中的斜率与截距的关系，侧重考查数学运算的核心素养.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，)2F ，离心率为2.（1）若P 为椭圆C 上任意一点，且横坐标为0x ，求证：2022PF x =-； （2）不经过1F 和2F 的直线():0,0l y kx m k m =+<>与以坐标原点为圆心，短半轴为半径的圆相切，且与椭圆C 交于M ，N 两点，试判断2MF N 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）是，定值为4. 【解析】 【分析】（1）根据题意，先求出椭圆方程，设()00,P x y ，根据两点间距离公式，以及椭圆的性质，即可得出结论成立；（2）先由直线与圆相切，得到221m k =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，根据弦长公式，求出241MN k =-+，再由（1）的结论，得到2122MF x =-，2222NF x =-，进而可求出周期，即可得出结果. 【详解】（1）由题意，可得c =，又2c e a ==，∴2a =，1b =，所以椭圆22:14x C y +=；设()00,P x y ，则202PF x ==-.∵022x -≤≤，∴202PF =. （2）记以坐标原点为圆心，短半轴为半径的圆的半径为r ， 则1r b ==，因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线距离为11=，∴221m k =+.设()11,M x y ，()22,N x y ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()()222418410k x kmx m +++-=， 则()()()222222264164111641480k m k m k m k ∆=-+-=-+=>，122841kmx x k +=-+，()21224141m x x k -=+，因此12MN x =-===由（1）得2122MF x =-，2222NF x =-，所以)2212244241MF NF x x k +=-+=++， 因此2MNF的周长为2244MF NF MN ++=+=； 即2MNF 周长为定值4. 【点睛】本题主要考查椭圆的简单应用，考查求椭圆的方程，考查椭圆的弦长的求法，考查椭圆中的定值问题，属于常考题型.22．在直角坐标系xOy 中，点()1,0F ，D 为直线l ：1x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)24y x =；(2)是，()1,0-和()3,0.【解析】 【分析】(1)根据抛物线的定义直接判定求解方程即可.(2)设直线PQ 的方程为1x my =+,联立与抛物线的方程,再根据韦达定理求得以AB 为直径的圆的方程,进而化简求解定点即可. 【详解】(1)连接MF ,则MD MF =, 则根据抛物线的定义,点M 的轨迹是以()1,0F 为焦点,直线1x =-为准线的抛物线. 则点M 的轨迹的方程为24y x =.(2)设直线PQ 的方程为1x my =+,()11,P x y ,()22,Q x y ,联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩整理得：2440y my --=,216160m ∆=+>, 124y y m +=,124y y =-,直线OP 的方程为1114y y x x x y ==, 同理：直线OQ 的方程为24y x y =, 令1x =得,141,A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,241,B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 设AB 中点T 的坐标为(),T T x y ,则1T x =,()12121244222T y y y y y my y ++===-, 所以()1,2T m -.122112444A y y y y y yB -==-==.圆的半径为2r =.所以以AB 为直径的圆的方程为()()2221244x y m m -++=+. 展开可得()22144x y my -++=,令0y =,可得()214x -=,解得3x =或1x =-. 所以以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.(2)①当直线PQ 不与x 轴垂直时,设其方程为()()10y k x k =-≠,()11,P x y ,()22,Q x y ,由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得,()2222240k x k x k -++=, 所以()224224416160k k k ∆=+-=+>,212224k x x k++=,121=x x . 所以()()()22121212121114y y kx x k x x x x =-⎡⎤⎣-=++⎦-=-,()()2112211211x y x y kx x kx x +=-+-()121242k x x x x k=-+=-⎡⎤⎣⎦, 直线OP 的方程为11y y x x =,同理可得,直线OQ 的方程为22y y x x =, 令1x =得,111,y A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,221,y B x ⎛⎫⎪⎝⎭, 所以以AB 为直径的圆的方程为()2121210y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即()22212112121210x y x y y yx y y x x x x +-+-+=,即()220144y x y k++-=-, 令0y =,可得()214x -=,解得3x =或1x =-. 所以以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.②当直线PQ 与x 轴垂直时,()1,2A ,()1,2B -,以AB 为直径的圆的方程为()2214x y -+=,也经过点()1,0-和()3,0.综上,以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0. 【点睛】本题主要考查了根据抛物线的定义求解抛物线方程的方法以及联立直线与抛物线方程求解韦达定理解决定点的问题.属于难题.。
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章末检测 一、选择题 1.函数y＝1＋1x的零点是( ) A.(－1,0) B.－1 C.1 D.0 2.设函数y＝x3与y＝(12)x－2的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 3.某企业2010年12月份的产值是这年1月份产值的P倍,则该企业2010年度产值的 月平均增长率为( )
A.PP－1 B.11P－1 C.11P D.P－111 4.如图所示的函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 ( )
A.①③ B.②④ C.①② D.③④ 5.如图,直角梯形OABC中,AB∥OC,AB＝1,OC＝BC＝2,直线l：x＝t截此梯形 所得位于l左方图形面积为S,则函数S＝f(t)的图象大致为图中的( ) 6.已知在x克a%的盐水中,加入y克b%(a≠b)的盐水,浓度变为c%,将y表示成x 的函数关系式为( ) A.y＝c－ac－bx B.y＝c－ab－cx C.y＝c－bc－ax D.y＝b－cc－ax 7.若方程f(x)－2＝0在(－∞,0)内有解,则y＝f(x)的图象是( )
8.在一次数学实验中,运用图形计算器采集到如下一组数据： x －2 －1 0 1 2 3 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则x、y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a、b为待定系数)( ) A.y＝a＋bx B.y＝a＋bx C.y＝ax2＋b D.y＝a＋bx 9.根据统计资料,我国能源生产自1986年以来发展得很快,下面是我国能源生产总量 (折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨,5年后的1991年10.4亿吨,10 年后的1996年12.9亿吨,有关专家预测,到2001年我国能源生产总量将达到16.1亿 吨,则专家是以哪种类型的函数模型进行预测的？( ) A.一次函数 B.二次函数 C.指数函数 D.对数函数 10.用二分法判断方程2x3＋3x－3＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.2)可以是(参考数据： 0.753＝0.421 875,0.6253＝0.244 14)( ) A.0.25 B.0.375 C.0.635 D.0.825 11.有浓度为90%的溶液100 g,从中倒出10 g后再倒入10 g水称为一次操作,要使浓 度低于10%,这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0,lg 3＝ 0.477 1) ( ) A.19 B.20 C.21 D.22 二、填空题 12.用二分法研究函数f(x)＝x3＋2x－1的零点,第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其 中一个零点x0∈________,第二次计算的f(x)的值为f(________). 13.若函数f(x)＝ax－x－a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围为________. 14.一批设备价值a万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低b%,则n年后这批 设备的价值为________万元. 15.函数f(x)＝x2－2x＋b的零点均是正数,则实数b的取值范围是________. 三、解答题 16.华侨公园停车场预计“十·一”国庆节这天停放大小汽车1 200辆次,该停车场的收 费标准为：大车每辆次10元,小车每辆次5元. (1)写出国庆这天停车场的收费金额y(元)与小车停放辆次x(辆)之间的函数关系式,并指 出x的取值范围. (2)如果国庆这天停放的小车占停车总辆数的65%～85%,请你估计国庆这天该停车场收 费金额的范围. 17.光线通过一块玻璃,其强度要损失10%,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来 的强度为a,通过x块玻璃后强度为y. (1)写出y关于x的函数关系式； (2)通过多少块玻璃后,光线强度减弱到原来的13以下？(lg 3≈0.477 1) 18.某医药研究所开发一种新药,据监测,如果成人按规定的剂量服用,服用药后每毫 升中的含药量y(微克)与服药的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线,其中OA是 线段,曲线AB是函数y＝kat(t≥1,a>0,且k,a是常数)的图象. (1)写出服药后y关于t的函数关系式； (2)据测定,每毫升血液中的含药量不少于2微克时治疗疾病有效.假设某人第一次服药 为早上6∶00,为保持疗效,第二次服药最迟应当在当天几点钟？ (3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药,则第二次服药后3小时,该病人每毫升血液中 的含药量为多少微克(精确到0.1微克)? 19.某公司试销一种新产品,规定试销时销售单价不低 于成本单价500元/件,又不高于800元/件.经试销调查, 发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看做一次函 数y＝kx＋b的关系(图象如右图所示). (1)根据图象,求一次函数y＝kx＋b的表达式； (2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价) 为S元, ①求S关于x的函数表达式； ②求该公司可获得的最大毛利润,并求出此时相应的销售单价. 20.截止到2009年底,我国人口约为13.56亿,若今后能将人口平均增长率控制在1%, 经过x年后,我国人口为y亿. (1)求y与x的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数y＝f(x)的定义域； (3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义. 21.某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元.该厂为鼓励销 售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单 价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元. (1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元？ (2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数的表达式； (3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个,利 润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本) 答案 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.B 7.D 8.B 9.B 10.C 11.C 12.(0,0.5) 0.25 13.(1,＋∞) 14.a(1－b%)n 15.(0,1] 16.解 (1)依题意得y＝5x＋10(1 200－x) ＝－5x＋12 000,0≤x≤1 200. (2)∵1 200×65%≤x≤1 200×85%, 解得780≤x≤1 020, 而y＝－5x＋12 000在[780,1 020]上为减函数, ∴－5×1 020＋12 000≤y≤－5×780＋12 000. 即6 900≤y≤8 100, ∴国庆这天停车场收费的金额范围为[6 900,8 100]. 17.解 (1)依题意：y＝a·0.9x,x∈N*. (2)依题意：y≤13a, 即：a·0.9x≤a3,0.9x≤13＝0.9log0.913, 得x≥log0.913＝－lg 32lg 3－1 ≈－0.477 10.954 2－1≈10.42. 答 通过至少11块玻璃后,光线强度减弱到原来的13以下. 18.解 (1)当0≤t<1时,y＝8t；
当t≥1时, ka＝8，ka7＝1.∴ a＝22，k＝82.
∴y＝ 8t， 0≤t<1，8222t， t≥1. (2)令82·(22)t≥2,解得t≤5. ∴第一次服药5小时后,即第二次服药最迟应当在当天上午11时服药. (3)第二次服药后3小时,每毫升血液中含第一次所服药的药量为y1＝82×(22)8＝22 (微克)；含第二次服药后药量为y2＝82×(22)3＝4(微克),y1＋y2＝22＋4≈4.7(微克). 故第二次服药再过3小时,该病人每毫升血液中含药量为4.7微克.
19.解 (1)由 400＝k×600＋b300＝k×700＋b⇒k＝－1,b＝1 000, ∴y＝－x＋1 000(500≤x≤800). (2)①由(1),S＝x×y－500y＝(－x＋1 000)(x－500) ＝－x2＋1 500x－500 000(500≤x≤800). ②由①可知,S＝－(x－750)2＋62 500,其图象开口向下,对称轴为x＝750, ∴当x＝750时,Smax＝62 500,即该公司可获得的最大毛利润为62 500元,此时相应 的销售单价为750元/件. 20.解 (1)2009年底人口数：13.56亿. 经过1年,2010年底人口数： 13.56＋13.56×1%＝13.56×(1＋1%)(亿). 经过2年,2011年底人口数： 13.56×(1＋1%)＋13.56×(1＋1%)×1% ＝13.56×(1＋1%)2(亿). 经过3年,2012年底人口数： 13.56×(1＋1%)2＋13.56×(1＋1%)2×1%＝13.56×(1＋1%)3(亿). ∴经过的年数与(1＋1%)的指数相同. ∴经过x年后人口数为13.56×(1＋1%)x(亿). ∴y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x. (2)理论上指数函数定义域为R. ∵此问题以年作为时间单位. ∴此函数的定义域是{x|x∈N*}. (3)y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x. ∵1＋1%>1,13.56>0, ∴y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x是增函数,