上海市黄浦区2016届高三第二次模拟考试数学试题(理)含答案

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2023届上海市黄浦区高三二模数学试卷及答案

1黄浦区2023年高考模拟考数学试卷2023年4月（完卷时间：120分钟满分：150分）

考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一

律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3．本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．设集合{1,3,5,7,9}A，{|25}Bxx，则ABI__________．2．函数4cos23yx的最小正周期为__________.3．若函数ayx

的图像经过点(2,16)与(3,)m，则m的值为_________．

4．已知复数12,zz在复平面内的对应点关于虚轴对称，且12iz(i为虚数单位)，则12zz

________．

5．以抛物线24yx的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为__________．6．已知m是2m与4的等差中项，且52345012345()mxaaxaxaxaxax，则3a

的值为

__________．7．已知函数()yfx是定义在R上的奇函数，且当0x时，()fxax

e

．若(ln2)f－4，则实数a的

值为__________．8．如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为10cm的圆柱挖去一个圆锥（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心，底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为_________cm2．9．若函数()yfx的图像可由函数3sin23cos2yxx的图像向右平移(0π)个单位所得到，

且函数()yfx在区间π[0 ]2，上是严格减函数，则__________．10．若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为__________．11．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，90ABC，2AD，1BC，点P是腰AB上的动点，则|2|PCPDuuuruuur的最小值为__________．12．已知实数,,abc满足：0abc++=与23abc-=，则abc的取值范围为__________．

2016届上海市虹口区高三4月高考练习(二模)数学(理)试题(2016.04)

（第11题图）CBOFAy xOBAC虹口区2016年高考模拟数学试卷（理合卷）2016.4考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设集合{}2M x x x ==，{}20N x log x =≤，则=N M __________.2．已知虚数1+2i 是方程20()x ax b a b R ++=∈、的一个根，则_______.a b += 3. 在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男、女生都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）. 4．已知复数z 在复平面上对应的点在曲线2y x=上运动，则z 的最小值等于__________. 5.已知函数()f x 的对应关系如下表：x2-1- 01 2()f x32-15m若函数()f x 不存在反函数，则实数m 的取值集合为___________. 6.在正项等比数列{}n a 中，132341,,3a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞+++= ___________.7.已知()2sin (0)f x x ωω=>在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则实数ω的最大值为___________.8.若行列式124cos()20116x π+-中的元素4的代数余子式的值等于32，则实数x 的取值集合为____________.9. 若二项式1(2)nx x-展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为__________.10 .已知A 、B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=，C 为该球面上的动点，若三棱锥ABC O -体积的最大值为323， ( 第10题图) 则球O的表面积为___________.11. 如图, 2222+1(0)x yA B a b a b =>>、为椭圆的两个顶点，过椭圆的右焦点F 作x 轴的垂线，与其交于点 C. 若//AB OC (O 为坐标原点)，则直线AB 的斜率为___________.12. 若经过抛物线 24y x =焦点的直线 l 与圆22(4)4x y -+= 相切，则直线l 的方程为___________.13.（理）假设某10张奖券中有一等奖1张，奖品价值100元；有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖. 现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值ξ 不少于其数学期望E ξ的概率为_________.14. （理）已知对任意的[](,0)(0,),1,1x y ∈-∞⋃+∞∈-，不等式222168210x xy y a x x+----≥恒成立，则实数a 的取值范围为_________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.15． 3a =“”是“直线2(2)0a a x y -+=和直线310x y ++=平行”的 ( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件16．（理）已知抛物线21:4C y x =的焦点F 恰好是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，且两条曲线12C C 与交点的连线过点F ，则椭圆2C 的长轴长等于 ( )（A ）21+ （B ）2 （C ） 222+ （D ）4 17. 在ABC ∆中，a b c 、、分别是内角A B C 、、所对的边，若2224ABC a b c S ∆+-=（其中)ABC S ABC ∆∆表示的面积，且0,AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭则ABC ∆的形状是 ( ) （第16题图）（A ）有一个角为30︒的等腰三角形（B ）等边三角形（C ）直角三角形（D ）等腰直角三角形18．（理）已知点列(,)()n n n A a b n N *∈均在函数(0,1)x y a a a =>≠的图像上，点列(,0)n B n 满足1.n n n n A B A B +=若数列{}n b 中任意连续三项能构成三角形的三边，则a 的取值范围为（）QA DCBP （第20题图）（A ）51510,,22⎛⎫⎛⎫-+⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （B ）5151,11,22⎛⎫⎛⎫-+⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（C ）31310,,22⎛⎫⎛⎫-+⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（D ）3131,11,22⎛⎫⎛⎫-+⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤. 19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分. 在锐角ABC ∆中， 2sin sin sin()sin().44A B B B ππ=++-(1) 求角A 的值；(2) 若12,AB AC ⋅=求ABC ∆的面积.20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分. （理）如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，2AB AD AP ===，1BC =.(1) 求点A 到平面PCD 的距离；(2) 若点Q 为线段BP 的中点，求直线CQ 与平面ADQ 所成角的大小.21．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分.已知函数131()log 1ax f x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭满足(2)1f -=，其中a 为实常数. （1）求a 的值，并判定函数()f x 的奇偶性；（2）若不等式1()2xf x t ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭在[]2,3x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.已知直线2y x =是双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线，点(1,0)(,)A M m n 、(0)n ≠（第22题图）P NQxOAMy都在双曲线C 上，直线AM 与y 轴相交于点P ，设坐标原点为O ．(1) 求双曲线C 的方程，并求出点P 的坐标（用m 、n 表示）； (2) 设点M 关于y 轴的对称点为N ，直线AN 与y 轴相交于点Q ．问：在x 轴上是否存在定点T ，使得TP TQ ⊥？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 若过点(0,2)D 的直线l 与双曲线C 交于R S 、两点，且OR OS RS +=，试求直线l 的方程．23. (本题满分18分)（理）本题共3个小题，每小题6分.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 且2(1)().n n n S a S n N *-=∈（1）求123S S S 、、的值，并求出n S 及数列{}n a 的通项公式；（2）设121(1)(1)(),n n n n b n a a n N +*+=-+⋅∈求数列{}n b 的前n 项和.n T（3）设(1)(),n n c n a n N *=+⋅∈在数列{}n c 中取出(,3)m m N m *∈≥为常数项，按照原来的顺序排成一列，构成等比数列{}n d .若对任意的数列{}n d ，均有123,m d d d d M ++++≤ 试求M 的最小值.虹口区2016年高考模拟数学试卷参考答案与评分标准2016年4月一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分）1．[]0,1 2． 3 3．125 4． 2 5． {}3,2,1,5- 6.92 7. 32 8． 2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭9. 64 10．64π 11．2212. 5102x y ±-=QA D CBP （第20题解答图）z yx 13．（理）23； 14．（理）(,842⎤-∞-⎦；二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15. A 16. C 17. D 18. B 三、解答题（本大题共5题，满分74分）19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分.()2222sin sin sin()sin()sin sin()cos()4444111sin sin(2)sin cos 1242222A B B B B B B B B B B πππππ=++-=+++=++=+=解：因分故由ABC ∆为锐角三角形，得.6A π=……6分（2）由（1）知3cos ,2A =由已知，有 312cos ,2AB AC cb A bc =⋅=⋅= 故8 3.bc = ……9分从而111sin 832 3.222ABC S bc A ∆=⋅=⋅⋅= ……12分20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分.（理）解：(1)以},,{AP AD AB 为正交基底建立空间直角坐标系xyz A -，则相关点的坐标为B （2,0,0），(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2).C D P ……2分设平面PCD 的法向量为(,,),n x y z =由(2,1,0),DC =- (0,2,2),DP =- (0,2,0).DA =-则202,2.220n DC x y y x z x n DPy z ìïì?-==ïïïÞ眄镲=?-+=ïîïî 令1x =，则(1,2,2)n = . ……5分所以点A 到平面PCD 的距离为：(0,2,0)(1,2,2)4.(1,2,2)3DA n d n×-?=== ……7分 (2) 由条件，得(1,0,1),Q =(0,2,0),(1,0,1),AD AQ ==且(1,1,1).CQ=-- 设平面ADQ 的法向量为0000(,,),n x y z = 则00000000200,.0n AD y y z x n AQ x z ìïì?==ïï镲Þ眄镲=-?+=ïïîî 令01x =，则0(1,0,1)n =-. ……10分设直线CQ 与平面ADQ 所成角为,θ则00026sin cos ,.332CQ n CQ n CQ n θ⋅=<>===⋅故直线CQ 与平面ADQ 所成角的大小为6sin.3arc ……14分注：第（1）小题也可用等积法来做.21．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分. 解：（1）由1312121(2)log 1,,2133a a f ++-==-=--得解得 1.a =- ……3分于是131()log 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭，其定义域为(,1)(1,).D =-∞-⋃+∞ ……4分对于任意的(,1)(1,),x ∈-∞-⋃+∞有111133331111()+()log log log log 10,1111x x x x f x f x x x x x +-++-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=⋅== ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭故()f x 为奇函数. ……7分（2）由1()2x f x t ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，得[]1()2,32xt f x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭在恒成立.由12111x x x +=+--在(,1)-∞-及(1,)+∞上均递减，且13()log g u u =在(0,)+∞上也递减，故函数()f x 在区间(,1)(1,)-∞-+∞及均单调递增. ……10分由()f x 及12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]2,3均单调递增，知[]1()()2,32xx f x ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在单调递增， ……12分故2min15()(2)(2).24x f ϕϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭因此，实数t 的取值范围为5(,).4-∞- ……14分22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.解：（1）由已知，得11,2,2a a b b a=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩故双曲线C 的方程为 22 1.4y x -= ……3分 (1,)AM m n =-为直线AM 的一个方向向量，∴直线AM 的方程为1,1x y m n -=-它与y 轴的交点为(0,).1nP m- ……5分（2）由条件，得(,),N m n -且(1,)AN m n =--为直线AN 的一个方向向量，故直线AN 的方程为1,1x ym n -=--它与y 轴的交点为(0,).1n Q m+ ……7分假设在x 轴上存在定点0(,0)T x ，使得TP TQ ⊥,则由0(,),1n TP x m =--0(,),1n TQ x m =--+ 及221,4n m -=得 0(,)1n T P T Q x m ⋅=-⋅- 22222000022(,)40.11(1)14n n n x x x x n m m --=-=-=-=+-+- 故02,x =±即存在定点T ，其坐标为(2,0)或(2,0),-满足题设条件. ……10分(3) 由OR OS RS +=知，以OR OS 、为邻边的平行四边形的对角线的长相等，故此四边形为矩形，从而.OR OS ⊥……12分由已知，可设直线l 的方程为2,y kx =+并设1122(,),(,),R x y S x y则由222,1,4y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得 22(4)480.k x kx -++= 由2221632(4)16(8)0,k k k ∆=--=->及240,k -≠得2284k k <≠且（*）由121212122248,,(2)(2),44k x x x x y y k x k x k k +=-==++-- ……14分得2222121212122228(1)84(2)(1)2()440444k k k OR OS x x y y k x x k x x k k k +-⋅=+=++++=-+==---故22,k =符合约束条件（*）.因此，所求直线l 的方程为2 2.y x =±+ ……16分 23.（理） (本题满分18分) 本题共3个小题，每小题6分. 解：（1）当1n =时， 22111111(1);2S a S S S -==⇒=当2n =时， 222222212(1)();23S a S S S S -==-⇒=当3n =时， 233333323(1)().34S a S S S S -==-⇒= ……2分由此，猜测： ().1n nS n N n *=∈+ 下面用数学归纳法证明：（i ）当1n =时，结论显然成立；（ii ）假设当()n k k N *=∈时，1k kS k =+；则当1n k =+时，由条件，得 21111111(1)().2221k k k k k k k k k k k S a S S S S S k S k k +++++++-==-⇒===-+-+即当1n k =+时，结论也成立.于是，由（i ），（ii ）可知，对任意的,.1n nn N S n *∈=+均有……4分当1112,.1(1)n n n n n n a S S n n n n --≥=-=-=++时又1111,212a S ===⨯ 于是数列{}n a 的通项公式为:1().(1)n a n N n n *=∈+ ……6分 (2)因 121111111(1)(1)(1)(1)(),(2)22n n n n n n b n a a n n n n ++++=-+⋅=-⋅=-⋅-++……8分当n 为奇数时， 12111111111111(1)()()()()()232435461121111111(1)?221222(1)(2)n n T b b b n n n n n n n n ⎡⎤=+++=---+---+--+-⎢⎥-++⎣⎦⎡⎤=-+-=+⎢⎥++++⎣⎦分当n为偶数时，12111111111111(1)()()()()()232435461121111111(1).221222(1)(2)n n T b b b n n n n n n n n ⎡⎤=+++=---+---++---⎢⎥-++⎣⎦⎡⎤=--+=-⎢⎥++++⎣⎦故111,(22(1)(2)11(1)=.22(1)(2)111,(22(1)(2)nnn n n T n n n n n ⎧⎡⎤+⎪⎢⎥++⎡⎤-⎪⎣⎦=-⎨⎢⎥++⎡⎤⎣⎦⎪-⎢⎥⎪++⎣⎦⎩当为奇数)当为偶数)……12分（3）因1(1),n n c n a n =+⋅=由于数列{}n c 的(3)m m ≥项子列{}n d 构成等比数列，设其公比为,q 则 211231(1).m m d d d d d q q q -++++=++++11,1,(),q Q q d a N a +*∈<=∈因且设(,,2,,).vq u v N u u v u *=∈≥且互质（i ）当1v =时，因11,2q u =≤故 2112312111111(1)12.2222m m m m d d d d d q q q ---++++=++++≤++++=- ……15分（ii ）当1v ≠时，因11111m m m m v d d q a u---==⋅是数列{}n c 中的项，故1().m a v a a N -*''=⋅∈2112311232211232211232211111(1)111111()111111111122323233121()321232(3).223213m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m d d d d d q q q a v v u v u vu u v v u v u vu u m --------------------++++=++++=+++++'≤+++++≤+++++⋅⋅⋅⎡⎤-⎢⎥⎣⎦==-<-≥- 从而综合（i ），（ii ），得：在数列{}n c 中的所有(3)m m ≥项等比子数列{}n d 中，其和最大的是：211111.222m - ，，，，故由题意知：M 的最小值为112.2m -- ……18分另解（3）：因1(1),n n c n a n =+⋅=由于数列{}n c 的(3)m m ≥项子列{}n d 构成等比数列，设其公比为,q 则 211231(1).m m d d d d d q q q -++++=++++11,1,().q Q q d a N a +*∈<=∈因且（i ）当1a =时，因1,2q ≤故 211232111111112.2222m m m m d d d d q q q ---++++=++++≤++++=- ……15分（ii ）当2a ≥时，因11,11a a q a a+≤=+ 故2112311111(1)111312(3).22m m m d d d d q q q a a a aa m --++++=++++<⋅=+-+≤<-≥综合（i ），（ii ），得：在数列{}n c 中的所有(3)m m ≥项等比子数列{}n d 中，其和最大的是：211111.222m - ，，，，故由题意知：M 的最小值为112.2m -- ……18分。

2023年上海市黄浦区高考数学二模试卷+答案解析(附后)

2023年上海市黄浦区高考数学二模试卷1. 设集合，，则______ .2. 函数的最小正周期为______ .3. 若函数的图像经过点与，则m的值为______ .4. 设复数、在复平面内的对应点关于虚轴对称，为虚数单位，则______.5. 以抛物线的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为______ .6. 已知m是与4的等差中项，且，则的值为______ .7. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，若，则实数a的值为______ .8. 如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为10cm的圆柱挖去一个圆锥此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面所得到的几何体，则该学具的表面积为______9. 若函数的图像可由函数的图像向右平移个单位所得到，且函数在区间上是严格减函数，则______ .10. 若每经过一天某种物品的价格变为原来的倍的概率为，变为原来的倍的概率也为，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为______ .11. 如图.在直角梯形ABCD中，，，，点P是腰AB上的动点，则的最小值为______ .12. 已知实数a，b，c满足：与，则abc的取值范围为______ .13.若直线与直线垂直，则实数a的值为( )A. B. C. D.14. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是( )A. 恰好有一个白球与都是红球B. 至多有一个白球与都是红球C. 至多有一个白球与都是白球D. 至多有一个白球与至多一个红球15. 如图，与都是等腰直角三角形.其底边分别为BD与BC，点E、F分别为线段BD、AC的中点.设二面角的大小为，当在区间内变化时、下列结论正确的是( )A. 存在某一值，使得B. 存在某一值，使得C. 存在某一值，使得D. 存在某一值，使得16. 设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”.关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”；②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件.下列判断正确的是( )A. ①和②都为真命题B. ①为真命题，②为假命题C. ①为假命题，②为真命题D. ①和②都为假命题17. 在中，求的值；若，求的周长和面积.18. 如图，多面体是由棱长为3的正方体沿平面截去一角所得到在棱上取一点E，过点，C，E的平面交棱于点求证：；若，求点E到平面的距离以及与平面所成角的大小.19. 将某工厂的工人按年龄分成两组：“35周岁及以上”、“35周岁以下”，从每组中随机抽取80人，将他们的绩效分数分成5组：分别加以统计，得到下列频率分布直方图.该工厂规定绩效分数不少于80者为生产标兵.请列出列联表，并判断能否有的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关：若已知该工厂工人中生产标兵的占比为，试估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比以及生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比.附：k20. 已知双曲线C的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在x轴上，离心率为3，过点的动直线l与双曲线C交于点A、设求双曲线C的渐近线方程：若点A、B都在双曲线C的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；关于求的最值，某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值若点A在双曲线C的左支上点A不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形.且AB边的长等于双曲线C的实轴长的2倍.21. 三个互不相同的函数，与在区间D上恒有或恒有，则称为与在区间D上的“分割函数”.设，，试分别判断、是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；求所有的二次函数，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；若，且存在实数k，b，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值.答案和解析1.【答案】【解析】解：，，故答案为：直接利用交集运算的定义得答案．本题考查交集及其运算，是基础题．2.【答案】【解析】解：函数的最小正周期故答案为：直接利用三角函数的周期公式求解．本题主要考查了三角函数的周期公式，属于基础题．3.【答案】81【解析】解：函数的图像经过点与，，解得，即m的值为故答案为：把点代入函数解析式求出a的值，再把代入即可求出m的值．本题主要考查了幂函数的定义，属于基础题．4.【答案】【解析】解：复数、在复平面内的对应点关于虚轴对称，，故答案为：利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义，属于基础题．5.【答案】【解析】解：因为抛物线的焦点，准线，故所求圆的圆心，半径为2，故圆的方程为故答案为：先确定出圆的圆心及半径，进而可求圆的方程．本题主要考查了抛物线的性质，直线与圆相切的性质，圆方程的求解，属于基础题．6.【答案】40【解析】解：由题意可得，解得，所以二项式为，则展开式中含的系数为，即故答案为：先利用等差中项的定义建立方程求出m的值，代入二项式，再根据二项式定理求出展开式中含的系数，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，涉及到等差中项的定义，属于基础题．7.【答案】【解析】解：因为函数是定义在R上的奇函数，所以，又当时，，所以，所以故答案为：由奇函数的性质，可知，代入已知条件中，根据指数和对数的运算法则，即可得解．本题考查函数奇偶性的应用，指数和对数的运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8.【答案】【解析】解：挖去圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面积为，故几何体的表面积为故答案为：先求得挖去的圆锥的母线长，从而得到圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，即可求解几何体的表面积．本题考查了几何体表面积的计算，属于基础题．9.【答案】【解析】解：由于函数的图像，由函数的图像向右平移个单位所得到，所以由于函数在区间上是严格减函数，，所以，，即，，故，，由于，故故答案为：首先利用函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：函数的关系式的变换正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．10.【答案】【解析】解：设物品原价格为1，因为，，，，故经过6天该物品的价格较原来价格增加的情况是6天中恰好是4天升高2天降低，5天升高1天降低和6天升高，则经过6天该物品的价格较原来的价格增加的概率为故答案为：由已知结合n次独立重复实验恰好发生k次的概率公式即可求解．本题主要考查了n次独立重复实验恰好发生k次的概率公式的应用，属于基础题．11.【答案】4【解析】解：在直角梯形ABCD中，，，，，则，则以A为原点，AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系，设，设，则，，，故，，所以，故，当且仅当即时取得等号，即的最小值为4，故答案为：建立平面直角坐标系，设，求得相关点坐标，求出的表达式，结合二次函数的性质即可求得答案．本题考查向量的坐标运算，属于基础题．12.【答案】【解析】解：由题意得，，因为，所以，解得，令，则，当或时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，所以的极大值，的极小值，又，，故abc的取值范围为故答案为：由已知，，结合基本不等式建立关于a的不等式，求出a的范围，然后把所求式子表示为关于a的函数，结合导数与单调性及最值关系可求．本题主要考查了导数与单调性关系在最值求解中的应用，属于中档题．13.【答案】B【解析】解：直线与直线垂直，则，解得故选：直接利用直线垂直的充要条件求出结果．本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．14.【答案】A【解析】【分析】本题考查了互斥事件应急对立事件的定义，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题．由题意可得总事件分别为红，白，红，红，白，白三种情况，根据互斥事件以及对立事件的定义再对应各个选项逐个分析即可求解．【解答】解：从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，表示的事件分别为红，白，红，红，白，白三种情况，故选项A互斥不对立，A正确，选项B：至多有一个白球表示的是红，白，红，红，与都是红球不互斥，故B错误，选项C：由选项B的分析可知互斥且对立，故C错误，选项D：至多有一个红球表示的是红，白，白，白，所以两个事件不互斥，故D错误，故选：15.【答案】D【解析】解：已知，对于A，若，又，且，平面ACD，可得，与矛盾，故A错误；对于B，是BD的中点，，若，又，平面AEF，即，由选项A可知，错误，故B错误；对于C，取BC中点G，连接EG，FG，则，可得，若，则，而，则平面BFD，即平面BFD，此时需要，在中，，F为AC的中点，由等面积法可知，，而，则，即不成立，故C错误；对于D，当平面平面BCD时，有，故D正确．故选：由直线与平面垂直的判定与性质结合反证法思想判断ABC错误；取时，可得D正确．本题考查二面角的应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】C【解析】解：令等差数列的公差为d，当时，，不符合题意，当时，，函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴，存在，使得，取不小于的正整数n，则有，即，不符合题意，综上，①为假命题；等比数列中，首项，为“K数列”，，，，，，，，依题意，任意的，，函数，在单调递减，值域是，，是为“K数列”的充要条件，故②是真命题．故选：利用等差数列的性质及“K数列”的定义判断命题①；利用等比数列的性质及“K数列”的定义和充要条件判断命题②．本题考查等差数列的性质、等比数列的性质及“K数列”的定义和充要条件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：在中，，又A，，则，则；，又，则由正弦定理得，则的周长为，的面积为【解析】利用两角和的正弦公式即可求得的值；先利用正弦定理求得的a，b的长，进而求得的周长和面积．本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式，属于中档题．18.【答案】解：证明：在正方体中，，且，所以四边形为平行四边形，所以，而面，面，所以面，又因为面，面面，所以，所以；点E到平面的距离即是E到面的距离，设为h，因为，在正方体中，B到面的距离为正方体的棱长3，又因为若，所以，因为面，所以，所以，所以，即，解得，所以E到面的距离为；，，设与平面所成角的大小为，，则，所以，即与平面所成角的大小为【解析】在正方体中可知，进而可证得面，再由线面平行的性质定理可得，进而可证得；由等体积法，可得E到面的距离，设线面角，可得角的正弦值，进而求出线面角的大小．本题考查线面平行的性质的应用及等体积法求点到面的距离，属于中档题．19.【答案】解：由频率分布直方图可知，在抽取的80名工人中，35周岁以上组中的生产标兵有人，35周岁以下组中的生产标兵有人，则列联表如下：生产标兵非生产标兵合计35周岁以上组20608035周岁以下组305080合计50110160则，没有的把握认为生产标兵与工人所在的年龄组有关；设35周岁以下的工人为事件A，生产标兵为事件B，由频率分布直方图可知，，，，则，估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比为，生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比为【解析】由频率分布直方图可得35周岁以上组中的生产标兵的人数，以及35周岁以下组中的生产标兵的人数，再列出列联表，求出即可．利用全概率公式求出，再利用条件概率公式求解即可．本题考查独立性检验的应用，全概率公式，条件概率公式的运用，属于中档题．20.【答案】解：因为双曲线C的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在x轴上，离心率为3，可得设双曲线的方程为，由，可得，即有渐近线的方程为；由可得，，所以双曲线的方程为，设，，因为点A，B都在双曲线C的右支上，所以，所以，当且仅当时取得等号，即，当时，，所以，所以轴且，又双曲线的方程为，可令，解得，可得，又，所以，证明：设直线l的方程为，将代入双曲线的方程，可得，设，，可得，，由，可得，故，又，同号，所以，即，所以，解得，此时直线l的斜率的绝对值为，可知直线l与双曲线的两支都相交，又，所以，则，它等于双曲线实轴长的2倍，此时，所以是等腰三角形．【解析】由双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b的关系，进而得到渐近线方程；设双曲线的方程为，，，运用基本不等式和双曲线的定义，锐角三角函数的定义和二倍角的正切公式，计算可得所求值；设直线l的方程为，将代入双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，以及双曲线的定义，等腰三角形的定义，可得证明．本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】解：因为恒成立，且恒成立，所以当时，恒成立，故是与在上的“分割函数”；又因为，当与1时，其值分别为1与，所以与在上都不恒成立，故不是与在上的“分割函数”；设是与在区间上的“分割函数”，则对一切实数x恒成立，又因为，当时，它的值为4，可知的图象在处的切线为直线，它也是的图象在处的切线，所以，可得，所以对一切实数x恒成立，即且对一切实数x恒成立，可得且，即，又时，与为相同函数，不合题意，故所求的函数为；关于函数，令，可得，，当与时，；当与时，，可知是函数极小值点，0是极大值点，该函数与的图象如图所示：由为与在区间上的“分割函数”，故存在使得且直线与的图象相切，并且切点横坐标，此时切线方程为，即，，设直线与的图象交于点，，则由，可得，所以，令，，则，当时，，所以在上单调递减，所以，所以，所以的最大值为【解析】根据题意可得当时，恒成立，结合“分割函数”的定义依次判断，即可求解；根据“分割函数”的性质，则对一切实数x恒成立，由导数的几何意义和恒成立可得且对一切实数x恒成立，结合图形即可求解；利用导数求出函数极值，则，，作出其函数与函数的图象，设直线与的图象交于点，，利用代数法求出弦长，结合导数研究函数，的性质即可求解．本题属于新概念题，考查了转化思想、数形结合思想、导数的综合运用，理解定义及作出图象是关键，属于难题．。

2023届上海黄浦区高三二模数学试题及答案

2023届上海黄浦区高三二模考试数学试卷一、填空题1．设集合{1,3,5,7,9},{25}A B x x ==≤≤∣，则A B = ___________．2．函数4cos 23y x =+的最小正周期为____________．3．若函数ay x =的图像经过点(2,16)与(3,)m ，则m 的值为____________．4．已知复数12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，且12i z =+（i 为虚数单位），则12z z =__________．5．以抛物线24y x =的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为____________．6．已知m 是2m -与4的等差中项，且52345012345()m x a a x a x a x a x a x +=+++++，则3a 的值为____________．7．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()ax f x e =．若(ln 2)4f =-，则实数a 的值为____________．8．如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为10cm 的圆柱挖去一个圆雉（此圆锥的顶点是圆柱的下底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为_________2cm ．9．若函数()y f x =的图像可由函数3sin 22y x x =的图像向右平移(0π)ϕϕ<<个单位所得到，且函数()y f x =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格减函数，则ϕ=__________．10．若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为____________．11．如图．在直角梯形ABCD 中．9021AD BC ABC AD BC ∠=︒==∥，，，，点P 是腰AB 上的动点，则|2|PC PD +的最小值为____________．12．已知实数a ，b ，c 满足：0a b c ++=与23a bc -=，则abc 的取值范围为____________．二、选择题13．若直线(1)10a x y -+-=与直线320x ay -+=垂直，则实数a 的值为（）A ．12B ．32C ．14D ．3414．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球．那么互斥而不对立的事件是（）A ．“恰好有一个白球”与“都是红球B ．“至多有一个白球”与“都是红球”C ．“至多有一个白球”与“都是白球D ．“至多有一个白球”与“至多有一个红球”15．如图．ABD △与BCD △都是等腰直角三角形．其底边分别为BD 与BC ，点E 、F 分别为线段BD 、AC 的中点．设二面角A BD C --的大小为α，当α在区间(0,π)内变化时、下列结论正确的是（）A ．存在某一α值．使得AC BD ⊥B ．存在某一α值．使得EFBD⊥C ．存在某一α值．使得EF CD⊥D ．存在某一α值，使得AB CD⊥16．设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若对任意的*n ∈N ，都有1n n S a +<，则称数列{}n a 为“K 数列”．关于命题：①存在等差数列{}n a ，使得它是“K 数列”；②若{}n a 是首项为正数、公比为q 的等比数列，则[2,)q ∈+∞是{}n a 为“K 数列的充要条件．下列判断正确的是（）A ．①和②都为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①和②都为假命题三、解答题17．在ABC △中，53cos ,cos 135A B =-=．（1）求sin C 的值；（2）若4AB =，求ABC △的周长和面积．18．如图，多面体111A C D ABCD 是由棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -沿平面11A BC 截去一角所得到在棱11A C 上取一点E ，过点1D ，C ，E 的平面交棱1BC 于点F ．（1）求证：1EF A B ∥；（2）若112C E EA =，求点E 到平面11A D CB 的距离以及1ED 与平面11A D CB 所成角的大小．19．将某工厂的工人按年龄分成两组：“35周岁及以上”、“35周岁以下”，从每组中随机抽取80人，将他们的绩效分数分成5组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，分别加以统计，得到下列频率分布直方图．该工厂规定绩效分数不少于80者为生产标兵．（1）请列出22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关：（2）若已知该工厂工人中生产标兵的占比为30%，试估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比以及生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比．附：22()()()()()n ad bc x a b c d a c b d -=++++．()2P x k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82820．己知双曲线C 的中心在坐标原点，左焦点1F 与右焦点2F 都在x 轴上，离心率为3，过点2F 的动直线l 与双曲线C 交于点A 、B ．设222||AF BF AB λ⋅=．（1）求双曲线C 的渐近线方程：（2）若点A 、B 都在双曲线C 的右支上，求λ的最大值以及人取最大值时1AF B ∠的正切值：（关于求λ的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：（1）利用基本不等式求最值；（2）设2||AF AB 为μ，建立相应数量关系并利用它求最值；（3）设直线l 的斜率为k ，建立相应数量关系并利用它求最值）（3）若点A 在双曲线C 的左支上（点A 不是该双曲线的顶点，且1λ=，求证：1AF B △是等腰三角形．且AB 边的长等于双曲线C 的实轴长的2倍．21．三个互不相同的函数(),()y f x y g x ==与()y h x =在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥或恒有()()()f x h x g x ≤≤，则称()y h x =为()y f x =与()y g x =在区间D 上的“分割函数”．（1）设12()4,()1h x x h x x ==+，试分别判断12()()y h x y h x ==、是否是222y x =+与24y x x =-+在区间上的“分割函数”，请说明理由；（2）求所有的二次函数，使得该函数是222y x =+与4y x =在区间(,)-∞+∞上的“分割函数”；（3）若[,][2,2]m n ⊆-，且存在实数k ，b ，使得y kx b =+为424y x x =-与2416y x =-在区间[,]m n 上的“分割函数”，求n m -的最大值．参考答案：一．填空题：1、{}3,5；2、π；3、81；4、5-；5、22(1)4x y -+=；6、40；7、2-；8、(300π+；9、2π3；10、1132；11、4；12、[]22-,；二．选择题：13、B ；14、A ；15、D ；16、C ；三．解答题：17、【答案】（1）1665；（2）周长32，面积24.【小问1详解】在ABC 中，53cos ,cos 135A B =-=，又(),0,πA B ∈，则124sin ,sin 135A B ===，则1235416sin sin()sin cos cos sin 13513565C A B A B A B ⎛⎫=+=+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭.【小问2详解】4c AB ==，又124sin ,sin 135A B ==，16sin 65C =，则由正弦定理得124sin sin 135415,4131616sin sin 6565A Ba cbc C C ==⨯====，则ABC 的周长为1513432++=ABC 的面积为1116sin 1513242265ab C =⨯⨯⨯=．18、【答案】（1）证明见解析（2）22，arcsin10【小问1详解】∵11A D BC ∥，且11A D BC =，∴四边形11A D CB 为平行四边形，∴11A B D C ∥，又1D C ⊄平面11A BC ，1A B ⊂平面11A BC ，∴1D C ∥平面11A BC ，又1D C ⊂平面1D EFC ，平面11A BC ⋂平面1D EFC EF =，∴1D C EF ∥，又11A B D C ∥，则1EF A B ∥.【小问2详解】以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(3,3,0),(0,3,0),(0,0,3),(2,1,3)B C D E ，11(3,0,0),(0,3,3),(2,2,3),(2,1,0)CB CD EC ED ==-=--=--，设平面11A D CB 的法向量为(,,)n x y z = ，则130330n CB x n CD y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取(0,1,1)n = ，则点E 到平面11A D CB的距离为22EC n d n⋅=== ；设1ED 与平面11A D CB 所成角为θ，则11110sin cos ,10ED n ED n ED nθ⋅===，则1ED 与平面11A D CB所成角为arcsin10.19、【答案】（1）列联表见解析，没有95%的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关；（2）40%,50%.【小问1详解】观察频率分布直方图知，35周岁及以上组，绩效分数不少于80的频率为(0.020.005)100.25+⨯=，因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80的人数为800.2520⨯=，绩效分数少于80的人数为60，35周岁以下组，绩效分数不少于80的频率为(003250005)100.375+⨯=..，因此35周岁及以上组，绩效分数不少于80的人数为800.37530⨯=，绩效分数少于80的人数为50，所以22⨯列联表为：生产标兵非生产标兵总计35周岁及以上组20608035周岁以下组305080总计50110160提出零假设0H ：是否为生产标兵与工人所在的年龄组无关，确定显著性水平0.05α=，2χ的观测值22160(20503060)323.84150110808011χ⨯-⨯==<⨯⨯⨯，而2( 3.841)0.05P χ≥≈，所以没有95%的把握认为是否为生产标兵与工人所在的年龄组有关.【小问2详解】令事件A 表示“在35周岁以下组”，B 表示“是生产标兵”，用样本估计总体知，(|)0.375P B A ≈，(|)0.25P B A ≈，()30%P B =，设()P A x =，则由|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+，得0.30.3750.25(1)x x ≈+-，解得40%x ≈，因此()(|)0.40.375(|)50%()0.3P A P B A P A B P B ⨯=≈=，所以估计该厂35周岁以下的工人所占的百分比，生产标兵中35周岁以下的工人所占的百分比分别为40%,50%.20、【答案】（1）y =±（2）max 14λ=，124tan 7AF B -∠=（3）证明见解析【小问1详解】设双曲线方程为22221x y a b-=(),0a b >，焦距为2c ，由3c e a ==，所以b a ==，所以双曲线的渐近线方程为y =±.【小问2详解】由（1）可得3c a =，b =，所以双曲线C 的方程为222218x y a a-=，设21AF t =，22BF t =，因为点A 、B 都在双曲线C 的右支上，所以12AB t t =+，所以()()2212122221214AF BF t t t t t t ABλ⋅==≤=+，当且仅当12t t =时取等号，即max 14λ=，当14λ=时12t t =，所以121122AF a t a t BF =+=+=，所以l x ⊥轴且1212AF F BF F ∠=∠，又双曲线C 的方程为222218x y a a -=，即22288x y a -=，由222388x a x y a =⎧⎨-=⎩，解得8y a =±，可知28AF a =，又126F F a =，所以2121284tan 63a AF F AF F F a ∠===，121122122tan 24tan tan 21tan 7AF F AF B AF F AF F ∠∠=∠==--∠.【小问3详解】设直线l 的方程为3x my a =+，将它代入22288x y a -=，可得()22228148640my may a -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得1224881am y y m +=--，21226481a y y m =-，由1λ=，可得222AF BF AB ⋅=，)21212y -=，又1y 、2y 同号，所以()21212y y y y =-，即()212125y y y y =+，所以2222644858181a am m m ⎛⎫= ⎪⎝--⎭⨯-，解得254m =，此时直线l 的斜率的绝对值为<l 与双曲线的两支都相交，又221226464819a a y y m ==-，所以()2212222296411649A a m y yB a AF BF =⋅==+=⨯，则4AB a =，它等于双曲线实轴长的2倍，此时211222422AF AF a BF a a BF a BF =-=+-=+=，所以1AF B △是等腰三角形.21、【答案】（1）1()y h x =是222y x =+与24y x x =-+在(,)-∞∞+上的“分割函数”；2()y h x =不是222y x =+与24y x x =-+在(,)-∞∞+上的“分割函数”；（2）2(42)(02)y ax a x a a =+-+<<；（3）.【小问1详解】因为222242(1)0x x x +-=-≥恒成立，且224(4)0x x x x --+=≥恒成立，所以当(,+)x ∈-∞∞时，222244x x x x +≥≥-+恒成立，故1()y h x =是222y x =+与24y x x =-+在(,)-∞∞+上的“分割函数”.又因为221(4)31x x x x x +--+=-+，当0x =与1时，其值分别为1与1-，所以22()4h x x x ≥-+与22()4h x x x ≤-+在(,)-∞∞+上都不恒成立，故2()y h x =不是222y x =+与24y x x =-+在(,)-∞∞+上的“分割函数”.【小问2详解】设2(0)y ax cx d a =++≠是222y x =+与4y x =在(,)-∞∞+上的“分割函数”，则222x +24ax cx d x ≥++≥对一切实数x 恒成立,由2(22)4x x '+=,当1x =时，它的值为4，可知222y x =+的图象在1x =处的切线为直线4y x =，它也是2y ax cx d =++的图象在1x =处的切线，所以244a c a c d +=⎧⎨++=⎩，可得42,.c ad a =-⎧⎨=⎩所以2222(42)4x ax a x a x +≥+-+≥对一切实数x 恒成立，即2(2)(1)0a x --≥且2(1)0a x -≥对一切实数x 恒成立，可得20a -≥且0a >，即02a <≤，又2a =时2(42)y ax a x a =+-+与222y x =+为相同函数，不合题意，故所求的函数为2(42)(02)y ax a x a a =+-+<<.【小问3详解】关于函数424y x x =-，令3480y x x '=-=，可得0,x =高中11当x∈(,∞-与x∈时,0'<y；当(x ∈与x∈)∞时,0'>y .可知是函数y =424x x -极小值点，0是极大值点,该函数与2416y x =-的图象如图所示.由y kx b =+为424y x x =-与2416y x =-在区间[m ,]n 上的“分割函数”，故存在0b 使得b 0b ≤且直线0y kx b =+与424y x x =-的图象相切，并且切点横坐标[2t ∈-∪2]，此时切线方程为324(48)43y t t x t t =-+-，即3240(48),43k t t b t t =-=-，设直线y kx b =+与2416y x =-的图象交于点1122(,),(,)x y x y ，则由2,416y kx b y x =+⎧⎨=-⎩可得24160x kx b ---=，所以12||x x-=====2([2,4])s t =∈，令32()7816k s s s s =-++([2,4])s ∈，2()3148(32)(4)0k s s s s s '=-+=--≤(仅当4s =时，()0k s '=),所以()k s 严格减，故()k s 的最大值为(2)12k =,可知12||x x -=，所以n m -的最大值为。

上海市黄浦区2024届高三二模数学试题(含答案与解析)_8966

上海市黄浦区2024届高三二模试题数学（完成试卷时间：120分钟总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1. 若集合[]1,4A =，[]2,5B =，则A B ⋃=_________.2. 抛物线24y x =的焦点到准线的距离是_________________. 3. 若(3cos ,sin )a θθ= ，(cos ,3sin )b θθ= ，其中R θ∈，则a b ⋅= _________.4. 若一个圆柱的底面半径为2，母线长为3，则此圆柱的侧面积为_________.5. 若251()ax x +展开式中4x 的系数是80-，则实数=a _________.6. 在ABC 中，3cos 5A =-，1AB =，5AC =，则BC =_________.7. 随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，若()2 2.50.36P X <≤=，则()|2|0.5P X ->=_________. 8. 若实系数一元二次方程20x ax b ++=有一个虚数根的模为4，则a 的取值范围是_________. 9. 某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为_________. 10. 已知数列{}n a 是给定的等差数列，其前n 项和为n S ，若9100a a <，且当0m m =与0n n =时，m nS S -{}()*,|30,m n x x x ∈≤∈N 取得最大值，则0mn -的值为_________.11. 如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段,CE DF 与分别以,OC OD 为直径的半的圆弧组成）表示一条步道.其中的点,C D 是线段AB 上的动点，点O 为线段,AB CD 的中点，点,E F 在以AB 为直径的半圆弧上，且,OCE ∠ODF ∠均为直角.若1AB =百米，则此步道的最大长度为_________百米.12. 在四面体PABC 中，2PD PA PB =+u u u r u u r u u r ，523PE PB PC =+u u r u u r u u u r ，23PF PC PA =-+ ，设四面体PABC 与四面体PDEF 体积分别为1V 、2V ，则21V V 的值为_________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分.其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为（）A. 2515500300C C +B. 2515500300C C ⋅ C. 2020500300C C +D. 2020500300C C ⋅14. 函数212cos 4y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭（） A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2π奇函数D. 最小正周期为2π的偶函数15. 设函数()2220,4023,04x ax x f x ax x x ⎧-++-≤≤=⎨-+<≤⎩，若()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是（） A. ()1,+∞B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 5,116⎛⎫⎪⎝⎭D. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭16. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为“T数的是的列”.对于命题：①存在“T 数列”{}n a ，使得数列{}n S 为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数1a ，都存在实数d ，使得以1a 为首项、d 为公差的等差数列{}n a 为“T 数列”.下列判断正确的是（） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①是真命题，②是假命题D. ①是假命题，②是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. 设R a ∈，函数2()21x x af x +=-.（1）求a 的值，使得()y f x =为奇函数；（2）若(2)f a =，求满足()f x a >的实数x 的取值范围.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，点E 是棱PD 上的一点，//PB 平面AEC .（1）求证：点E 是棱PD 的中点；（2）若PA ⊥平面ABCD ，2AP =，AD =PC 与平面ABCD 所成角的正切值为13，求二面角D AE C --的大小.19. 某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格. 组别 [0,20)[20,40) [40,60) [60,80) [80,100]频数 926655347（1）该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放2个随机红包，不合格的发放1个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为20500.80.2⎛⎫⎪⎝⎭.若从这200个成年市民中随机选取1人，记X （单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求X 的分布及数学期望；（2）已知上述抽测中60岁以下人员合格率约为56%，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比.20. 如图，已知1Γ是中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，2Γ是以1Γ的焦点12,F F 为顶点的等轴双曲线，点54(,)33M 是1Γ与2Γ的一个交点，动点P 在2Γ的右支上且异于顶点.（1）求1Γ与2Γ的方程；（2）若直线2PF 的倾斜角是直线1PF 的倾斜角的2倍，求点P 的坐标；（3）设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，直线1PF 与1Γ相交于点,A B ，直线2PF 与1Γ相交于点,C D ，11||||AF BF ⋅m =，22||||CF DF n ⋅=，求证：121k k =且存在常数s 使得m n +sm n =.21. 若函数 ()y f x =的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数 ()y f x =的图象的“自公切线”，称这两点为函数 ()y f x =的图象的一对“同切点”.（1）分别判断函数1 ()sin f x x =与2 ()ln f x x =的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；（2）若R a ∈，求证：函数ππ()tan ((,))22g x x x a x =-+∈-有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；（3）设*N n ∈，ππ()tan π((,))22h x x x n x =-+∈-的零点为n x ，ππ(,)22t ∈-，求证：“存在(2π,)s ∈+∞，使得点(,sin )s s 与(,sin )t t 是函数sin y x =的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“t 是数列{}n x 中的项”.参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满的分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1. 若集合[]1,4A =，[]2,5B =，则A B ⋃=_________.【答案】[]1,5 【解析】【分析】由交集的定义求解即可.【详解】因为集合[]1,4A =，[]2,5B =，则A B ⋃=[]1,5. 故答案为：[]1,5.2. 抛物线24y x =的焦点到准线的距离是_________________. 【答案】2 【解析】【详解】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2.3. 若(3cos ,sin )a θθ= ，(cos ,3sin )b θθ= ，其中R θ∈，则a b ⋅=_________.【答案】3 【解析】【分析】利用平面向量数量积的坐标表示公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】223cos 3sin 3a b θθ⋅=+=，故答案为：34. 若一个圆柱的底面半径为2，母线长为3，则此圆柱的侧面积为_________. 【答案】12π 【解析】【分析】将圆柱的侧面展开，得到矩形的两边长，求出面积即可.【详解】将圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一边为3，另一边为2π24π⨯=，故侧面积为34π12π⨯=. 故答案为：12π5. 若251()ax x+的展开式中4x 的系数是80-，则实数=a _________. 【答案】2- 【解析】【分析】根据通项公式得到1034r -=，求出2r =，从而得到方程，求出2a =-. 【详解】通项公式为51025103155C C r r rr r r rr T a xx a x -----+=⋅=，令1034r -=，解得2r =，故235C 80a =-，解得2a =-. 故答案为：2-6. 在ABC 中，3cos 5A =-，1AB =，5AC =，则BC =_________.【答案】【解析】【分析】根据余弦定理建立方程，可得答案.【详解】在ABC 中，根据余弦定理可得：222cos 2+-=⋅⋅AB AC BC A AB AC ，设()0BC x x =>，则231255215x +--=⨯⨯，整理可得232x =，解得x =故BC =.故答案为：7. 随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，若()2 2.50.36P X <≤=，则()|2|0.5P X ->=_________. 【答案】0.28##725【解析】【分析】根据正态曲线的性质计算可得.【详解】因为2(2,)X N σ 且()2 2.50.36P X <≤=，所以()()1.522 2.50.36P X P X ≤<=<≤=，则()()1|2|0.512 2.520.36082.2P P X X ≤->=-<=-⨯=. 故答案为：0.288. 若实系数一元二次方程20x ax b ++=有一个虚数根的模为4，则a 的取值范围是_________. 【答案】(8,8)-【解析】【分析】因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共轭，可设两根分别为i m n +和i m n -，则2216m n +=，又()()22i i 16b m n m n m n =+-=+=，再由Δ0<可求a 的取值范围.【详解】设实系数一元二次方程20x ax b ++=的两个虚数根为i m n +和i m n -，则2216m n +=.所以()()22i i 16b m n m n m n =+-=+=.由Δ0<⇒24160a -⨯<⇒88a -<<. 故答案为：(8,8)-9. 某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为_________. 【答案】35##0.6 【解析】【分析】求出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的场数和抽签总共的可能场数，即可得出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率. 【详解】由题意，若甲第一个上场，乙则可以第3,4,5个上场，有1333C A 332118=⨯⨯⨯=种，若甲第二个上场，乙则可以第4,5个上场，有1323C A 232112=⨯⨯⨯=种，若甲第三个上场，乙则可以第1,5个上场，有1323C A 232112=⨯⨯⨯=种，若甲第四个上场，乙则可以第1,2个上场，有1323C A 232112=⨯⨯⨯=种，若甲第五个上场，乙则可以第1,2,3个上场，有1333C A 332118=⨯⨯⨯=种，共有181212121872++++=种，而所有的上场顺序有5554321120A =⨯⨯⨯⨯=种， ∴甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率：7231205P ==, 故答案为：35.10. 已知数列{}n a 是给定的等差数列，其前n 项和为n S ，若9100a a <，且当0m m =与0n n =时，m nS S -{}()*,|30,m n x x x ∈≤∈N 取得最大值，则00mn -的值为_________.【答案】21 【解析】【分析】不妨设数列{}n a 的公差大于零，不妨取m n >，则1mm n ii n S S a=+-=∑，设3030910ii k S S a ==-=∑，再分9,30n m >=和9,30n m <=两种情况讨论，可得出0n 的值，再讨论30m <，即可求出0m ，即可得解.【详解】不妨设数列{}n a 的公差大于零，由于9100a a <，得9100,0a a <>，且9n ≤时，0n a <，10n ≥时，0n a >，不妨取m n >，则1mm n ii n S S a=+-=∑，设3030910ii k S S a ==-=∑，若9,30n m >=，则030301n ii n S S ak =+-≤<∑，此时式子取不了最大值；若9,30n m <=，则09301n ii n S S a k =+-≤+∑，又9i ≤时，0i a <，因为09301n ii n S S a k k =+-≤+<∑，此时式子取不了最大值；因此这就说明09n n ==必成立. 若30m <，则0910m m ii S S ak =-≤<∑，这也就说明030m <不成立，因此030m =，所以0021m n -=. 故答案为：21.11. 如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段,CE DF 与分别以,OC OD 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点,C D 是线段AB 上的动点，点O 为线段,AB CD 的中点，点,E F 在以AB 为直径的半圆弧上，且,OCE ∠ODF ∠均为直角.若1AB =百米，则此步道的最大长度为_________百米.【解析】【分析】设半圆步道直径为x 百米，连接,AE BE ，借助相似三角形性质用x 表示CE ，结合对称性求出步道长度关于x 的函数关系，利用导数求出最大值即得.【详解】设半圆步道直径为x 百米，连接,AE BE ，显然90AEB ∠= ，由点O 为线段,AB CD 的中点，得两个半圆步道及直道,CE DF 都关于过点O 垂直于AB 的直线对称，则11,22AC x BC x =-=+，又CE AB ⊥，则Rt ACE ∽Rt ECB V ，有2CE AC BC =⋅，即有DF CE ==，因此步道长()ππf x x x =+=+，102x <<，求导得()πf x '=+，由()0f x '=，得x =当0x <<时，()0f x '>，函数()f x 12x <<时，()0f x '<，函数()f x 递减，因此当x =max ()f x ==，.12. 在四面体PABC 中，2PD PA PB =+u u u r u u r u u r ，523PE PB PC =+u u r u u r u u u r，23PF PC PA =-+，设四面体PABC 与四面体PDEF 的体积分别为1V 、2V ，则21V V 的值为_________. 【答案】720##0.35 【解析】【分析】根据空间向量的加法与数乘运算，可得点的位置并作图，利用三角形的等积变换可得底面的面积比，可得答案.【详解】由2PD PA PB =+u u u r u u r u u r，2PD PA PB PA PA =+-+ ，()2PD PA PB PA -=- ，则2AD AB = ；由523PE PB PC =+u u r u u r u u u r，52333PE PB PC PB PB =+-+ ，()()53PE PB PC PB -=- ，则53BE BC = ；由23PF PC PA =-+ ，2333PF PC PA PC PC =-+-+，()()23PF PC PA PC -=- ，则23CF CA = ；显然四面体PABC 与四面体PDEF 共顶点且底面共面，则其高相同可设为h ，结合题意可作图如下：在底面连接FB ，作图如下：由23CF CA = ，即23AC FC =，则23ABC FBC S AC S FC == ，易知13FAB FBCS S = ；由2AD AB = ，即12BD BA =，则12DBF ABF S BD S BA == ，易知16DBF FBC S S = ；由53BE BC = ，即25EC BC =，则25ECF BCFS EC S BC == ；由12BD BA =，35BE BC =，则1332510DEB ABC S S =⨯= ，易知3211035DBE FBC S S =⨯= ； 7130ECF FDE DBF DBE FBC FBC BCF FBC S S S S S S S S =---= ，73730220FDE ABC S S =⨯= ； 211731203DEF ABC hS V V hS == . 故答案为：720. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分.其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为（）A. 2515500300C C +B. 2515500300C C ⋅C. 2020500300C C +D. 2020500300C C ⋅ 【答案】B【解析】【分析】由分层抽样先求出初中部和高中部应抽取的学生，再由组合数公式和分步计数原理即可得出答案.【详解】该校初中部和高中部分别有500和300名学生，所以初中部应抽取50054040258008⨯=⨯=名学生，高中部应抽取30034040158008⨯=⨯=名学生，所以不同的抽样结果的种数为2515500300C C ⋅.故选：B.14. 函数212cos 4y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（） A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数【答案】A【解析】【分析】先利用二倍角公式和诱导公式化简函数，再利用三角函数的周期公式以及奇偶函数的定义即可求解. 【详解】2212cos 2cos 1cos 2sin 2442y x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为()()()sin 2sin 2f x x x f x -=--==-，所以为奇函数，周期22T ππ==，所以此函数最小正周期为π的奇函数，故选：A.15. 设函数()2220,4023,04x ax x f x ax x x ⎧-++-≤≤=⎨-+<≤⎩，若()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是（） A. ()1,+∞ B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 5,116⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】【分析】分40x -≤≤和04x <≤两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可.【详解】当40x -≤≤时，2200x ax -++>恒成立，即220ax x >-恒成立，当0x =时，上式成立；当40x -≤<，20a x x <-，明显函数20y x x =-在[)4,0-上单调递增，所以min 20144y ---==，所以1a <；当04x <≤时，2230ax x -+>恒成立，即232a x x >-恒成立，令11,4t x ∞⎡⎫=∈+⎪⎢⎣⎭，则223a t t >-在1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，又223y t t =-开口向下，对称轴为11,34t ∞⎡⎫=∈+⎪⎢⎣⎭，所以223y t t =-的最大值为211123333⎛⎫⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以13a >，综上：实数a 的取值范围是1,13⎛⎫⎪⎝⎭.故选：D.16. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为“T 数列”.对于命题：①存在“T 数列”{}n a ，使得数列{}n S 为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数1a ，都存在实数d ，使得以1a 为首项、d 为公差的等差数列{}n a 为“T 数列”.下列判断正确的是（）A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①真命题，②是假命题D. ①是假命题，②是真命题【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合“T 数列”的定义，举出实例说明①②，即可得出答案.【详解】对于命题①，对于数列{}n a ，令21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，则11,12,2n n n S n -=⎧=⎨≥⎩，是数列{}n S 为公比不为1的等比数列，当1n =时，11S =是数列{}n a 中的项，当2n ≥时，12n n S -=是数列{}n a 中的项，所以对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，故命题①正确；对于命题②，等差数列{}n a ，令1a d =-，则()()112n a a n d n d =+-=-，则()()()123222n n n d n d n a a n n S d ⎡⎤-+-+-⎣⎦===，因21n -≥-且2Z n -∈， ()2313912228n n n -⎛⎫=--≥- ⎪⎝⎭，且()3N*,Z 2n n n -∈∈，所以对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，所以对于任意的实数1a ，都存在实数d ，使得以1a 为首项、d 为公差的等差数列{}n a 为“T 数列”，故命题②正确；故选：A .三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. 设R a ∈，函数2()21x x a f x +=-. （1）求a 的值，使得()y f x =为奇函数；（2）若(2)f a =，求满足()f x a >的实数x 的取值范围.【答案】（1）1a =（2）(0,2)【解析】【分析】（1）由奇函数的性质可得(1)(1)f f -=-，代入解方程即可得出答案；（2）由(2)f a =，可得2a =，则22221x x +>-，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案. 为小问1详解】由()f x 为奇函数，可知(1)(1)f f -=-，即(12)(2)a a -+=-+，解得1a =，当1a =时，212112(),()()212112x x xx x x f x f x f x --+++=-===----对一切非零实数x 恒成立，故1a =时，()y f x =为奇函数.【小问2详解】由(2)f a =，可得43a a +=，解得2a =，所以2224()201242121x x x x x f x a +->⇔>⇔<⇔<<-- 解得：02x <<，所以满足()f x a >的实数x 的取值范围是(0,2).18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，点E 是棱PD 上的一点，//PB 平面AEC .（1）求证：点E 是棱PD 的中点；（2）若PA ⊥平面ABCD ，2AP =，AD =PC 与平面ABCD 所成角的正切值为13，求二面角D AE C --的大小.【答案】（1）证明见解析（2）arctan【解析】【分析】（1）作出辅助线，由线面平行得到线线平行，结合点F 是BD 的中点，得到证明；（2）方法一：作出辅助线，得到PCA ∠就是PC 与平面ABCD所成角，从而根据正切值得到AB =，证明出线面垂直，得到CGD ∠是二面角D AE C --的平面角，求出各边长，从而得到arctan CGD ∠=；方法二：作出辅助线，得到PCA ∠就是PC 与平面ABCD 所成角，建立空间直角坐标系，得到平面的法向【量，利用法向量夹角余弦值得到二面角的大小.【小问1详解】连接BD ，它与AC 交于点F ，连接EF ，四边形ABCD 为矩形，F ∴为BD 的中点，//PB 平面AEC ，平面PBD 经过PB 且与平面AEC 交于EF ，//PB EF ∴，又点F 是BD 的中点，∴点E 是棱PD 的中点.【小问2详解】方法一：∵PA ⊥平面ABCD ，,,AC AD CD ⊂平面ABCD ，,,PA AC PA AD PA CD ∴⊥⊥⊥且PCA ∠就是PC 与平面ABCD 所成的角，故1tan 3PA PCA AC ∠===，解得AB =.四边形ABCD 为矩形，AD CD ∴⊥，又PA CD ⊥，PA 与AD 是平面PAD 内的两相交直线，CD \^平面PAD .在平面PAD 内作DG AE ⊥，垂足为G ，连接GF ，则CG AE ⊥，CGD ∴∠是二面角D AE C --的平面角.在直角三角形PAD 中，2,PA AD == ，点E 是PD 的中点，π6EAD ADE ∴∠=∠=，且πsin 6DG AD ==， CD ⊥ 平面,PAD DG ⊂平面PAD ，CD DG ∴⊥，故tan DC CGD DG ∠===，所以arctan CGD ∠=，故二面角D AE C --的大小为arctan .方法二：∵PA ⊥平面ABCD ，,,AC AD CD ⊂平面ABCD ，,,PA AC PA AD PA CD ∴⊥⊥⊥且PCA ∠就是PC 与平面ABCD 所成的角，又四边形ABCD 矩形，AB AD ∴⊥，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，设1,(,,1)AB t n x y == 是平面AEC 的一个法向量，二面角D AE C --的大小为θ，由1tan 3PA PCA AC ∠===，可得t =，为则0),AC AE == ，故()()11(,,1)0(,,1)10n AC x y n AE x y ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩ ，解得x =且y =，所以1n ⎫=⎪⎭，又2(1,0,0)n = 是平面AED 的一个法向量，且θ为锐角，故1cos 3θ，可得1arccos 3θ=. 所以二面角D AE C --的大小为1arccos 3.19. 某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格. 组别[0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100] 频数9 26 65 53 47（1）该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放2个随机红包，不合格的发放1个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为20500.80.2⎛⎫ ⎪⎝⎭.若从这200个成年市民中随机选取1人，记X （单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求X 的分布及数学期望；（2）已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比.【答案】（1）分布列见解析，39（2）36%，98:27【解析】【分析】（1）依题意，X 的所有可能取值为20,50,40,70,100，利用独立事件的概率乘法公式求解相应的概率，进而得到X 的分布，再结合期望公式求解即可；（2）利用全概率公式和条件概率公式求解.【小问1详解】随机抽取的200个成年市民的成绩合格率为534750%200+=， 21(100)0.20.022P X ==⨯=， 121(70)C 0.20.80.162P X⨯==⨯⨯=， 1(50)0.20.12P X==⨯=， 21(40)0.80.322P X==⨯=， 1(20)0.80.42P X ==⨯=，所以X 的分布为 X20 40 50 70 100 P 0.4 0.32 0.1 0.16 0.02()1000.02700.16500.1400.32200.439E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，即X 的数学期望为39；【小问2详解】设“从该社区成年市区随机抽取1人，此人年龄在60岁以下”为事件A ，“从该社区成年市民随机抽取1人，此人安全知识合格”为事件B ，则()70%,()30%P A P A ==，()56%,()50%P BA PB ≈≈∣，由()()()(()P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅∣∣，可得50%70%56%30%(P B A ≈⋅+⋅∣，所以()36%P B A ≈∣，所求比值()()()()70%56%98()()()()30%36%27P A B P A P B A P B P A B P B P A P B A ⋅⋅==⋅≈=⋅⋅∣∣∣∣. 估计60岁及以上人员的合格率约为36%，成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比约为98:27.20. 如图，已知1Γ是中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，2Γ是以1Γ的焦点12,F F 为顶点的等轴双曲线，点54(,)33M 是1Γ与2Γ的一个交点，动点P 在2Γ的右支上且异于顶点.（1）求1Γ与2Γ的方程；（2）若直线2PF 的倾斜角是直线1PF 的倾斜角的2倍，求点P 的坐标；（3）设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，直线1PF 与1Γ相交于点,A B ，直线2PF 与1Γ相交于点,C D ，11||||AF BF ⋅m =，22||||CF DF n ⋅=，求证：121k k =且存在常数s 使得m n +sm n =.【答案】（1）22154x y +=与221x y -= （2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设12ΓΓ、的方程分别为22221(0)x y a b a b +=>>与222(0)x y c c -=>，将点M 的坐标代入2Γ的方程可求出c ，利用椭圆的定义可求出a 的值，从而可得b ，进而可得12ΓΓ、的方程；（2）分点P 在第四象限和第一象限时两种情况讨论求出点P 的坐标；（3）利用两点的斜率公式及点P 在2Γ上即可证明211k k =，设1PF 的方程为(1)y k x =+，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示,m n ，化简11m n+为常数，即可得出答案. 【小问1详解】设12ΓΓ、的方程分别为22221(0)x y a b a b+=>>与222(0)x y c c -=>，由225433⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2c ，得1c =，故12,F F 坐标分别为(1,0),(1,0)-，的所以122a MF MF =+==故2a b ===，故1Γ与2Γ的方程分别为22154x y +=与221x y -=.【小问2详解】当点P 在第四象限时，直线12,PF PF 的倾斜角都为钝角，不适合题意；当P 在第一象限时，由直线2PF 的倾斜角是直线1PF 的倾斜角的2倍，可知2121F F P F PF ∠=∠，故2122PF F F ==，设P 点坐标为(,)x y ，可知22(1)4x y -+=且221(0,0)x y x y -=>>，解得2,x y ==，故点P的坐标为，【小问3详解】设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，点P ，A ，B 的坐标分别为()()()001122,,,,,x y x y x y ，则22220000001222000011,11111y y y x x y k k x x x x --==⋅===+---， 1PF 的方程为(1)y k x =+，代入22154x y +=可得()222458160k y ky k +--=，故21221645k y y k-=+，所以()21111222111611145k m AF BF y y k k +⎛⎫=⋅=+= ⎪+⎝⎭，同理可得()222216145k n k+=+，又211kk =，故()212116145k n k +=+，故()()22112211454511161161k k m n k k +++=+++()()212191916161k k +==+，即916m n mn +=，所以存在s ，使得m n smn +=. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21. 若函数 ()y f x =的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数 ()y f x =的图象的“自公切线”，称这两点为函数 ()y f x =的图象的一对“同切点”.（1）分别判断函数1 ()sin f x x =与2 ()ln f x x =的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；（2）若R a ∈，求证：函数ππ()tan ((,))22g x x x a x =-+∈-有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；（3）设*N n ∈，ππ()tan π((,))22h x x x n x =-+∈-的零点为n x ，ππ(,)22t ∈-，求证：“存在(2π,)s ∈+∞，使得点(,sin )s s 与(,sin )t t 是函数sin y x =的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“t 是数列{}n x 中的项”. 【答案】（1）函数1()f x 的图象存在“自公切线”；函数2()f x 的图象不存在“自公切线”，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由直线1y =切sin y x =的图象于点π5π(,1),(,1)22判断1 ()sin f x x =，由导数确定意见性判断2 ()ln f x x =.（2）利用导数探讨单调性结合零点存在性定理推理即得唯一零点，再假定存在“自公切线”，利用导数的几何意义求出切线方程，证明112sin 2x x =在π(0,2上无解即得.（3）求出在点(,sin )s s 与(,sin )t t 处的切线方程，利用（2）的结论，结合诱导公式，及充要条件的证明方法推理即得. 【小问1详解】显然直线1y =切sin y x =的图象于点π5π(,1),(,1)22，直线1y =是sin y x =的图象的一条“自公切线”，因此函数1()f x 的图象存在“自公切线”；对于221()ln ,()(0)f x x f x x x'==>是严格减函数，则2()f x 在不同点处的切线斜率不同，所以函数2()f x 的图象不存在“自公切线”. 【小问2详解】由22221sin ()1tan 0cos cos xg x x x x'=-==≥恒成立，且仅当0x =时()0g x '=，则()y g x =是ππ(,22-上的严格增函数，可得它至多有一个零点，令1ππ()sin ()cos ([,])22g x x x a x x =--∈-，由y =1()g x 的图象是连续曲线，且11ππ((1022g g -=-<，因此1()g x 在ππ(,22-上存在零点，即在ππ(,)22-上1()()cos g x g x x =存在零点，所以()g x 有唯一零点；假设()g x 的图象存在“自公切线”，则存在12ππ,(,)22x x ∈-且12x x ≠，使得()g x 的图象在1x x =与2x x =处的切线重合，即2212tan tan x x =，有21x x =-，不妨设1π(0,)2x ∈，切线211111:tan tan ()l y x x a x x x -+-=⋅-，222222:tan tan ()l y x x a x x x -+-=⋅-，有相同截距，即2211112222tan tan tan tan x x x x a x x x x a -+-+=-+-+，而21x x =-，则2211111111tan tan tan tan x x x x x x x x -+-=-+，即2111(1tan )tan x x x +=，则有111sin cos x x x =，即112sin 2x x =，令()sin ,0πx x x x ϕ=-<<，()1cos 0x x ϕ'=->，即函数()ϕx 在(0,π)上单调递增，()(0)0x ϕϕ>=，因此当π()0,x ∈时，sin x x >，即112sin 2x x =在π(0,)2上无解，所以()g x 的图象不存在“自公切线”. 【小问3详解】对给定的*n ∈N ，由（2）知()h x 有唯一零点，即n x 唯一确定，又()h x 在点(,sin )t t 处的切线方程为sin cos ()y t t x t -=-，即cos sin cos y x t t t t =+-，()h x 在点(,sin )s s 处的切线方程为cos sin cos y x s s s s =+-，若存在(2,)s π∈+∞，使得点(,sin )s s 与(,sin )t t 是函数sin y x =图象的一对“同切点”，则()cos cos sin cos sin cos s t s t s s s t t t⎧=≠⎨-=-⎩，又ππ(,22t ∈-，则cos 0t >，所以()cos cos tan tan s t s t s s t t⎧=≠⎨-=-⎩，cos cos s t =且tan tan s t =-，从而存在*n ∈N ，使得2πs n t =-，代入tan tan s s t t -=-，可得tan π0t t n -+=，则n x t =，即t 是数列{}n x 中的项；反之，若t 是数列{}n x 中的项，则存在*n ∈N ，使得n x t =，即tan π0t t n -+=，由（2）中的()g x 严格增，可知()h x 严格增，又(0)π0h n =>且()0h t =，可知0t <，令2πs n t =-，则(2π,)s ∈+∞且cos cos ,tan (tan )2(tan π)0s t s s t t t t n =---=--=，即tan tan s s t t -=-，可得sin cos sin cos s s s t t t -=-，所以存在(2π,)s ∈+∞，使得点(,sin )s s 与(,sin )t t 是函数sin y x =的图象的一对“同切点”.所以存在(2π,)s ∈+∞，使得点(,sin )s s 与(,sin )t t 是函数sin y x =图象的一对“同切点”的充要条件是“t 是数列{}n x 中的项”.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

上海市闵行区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷--含答案

闵行区2016学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考生号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有21道试题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果． 1. 方程()3log 212x +=的解是． 2. 已知集合{}{}11,1,0,1,M x x N =+≤=-则MN = ．3. 若复数122,2z a i z i =+=+（i 是虚数单位），且12z z 为纯虚数，则实数a =．4. 直线23x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩t 为参数）对应的普通方程是．5. 若()1(2),3n n n x x ax bx c n n -*+=++++∈≥N ，且4b c =，则a 的值为．6. 某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的侧面积是．7. 若函数()2()1xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是．8. 在约束条件123x y ++-≤下，目标函数2z x y =+的最大值为．9. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是．10. 已知椭圆()222101y x b b+=<<，其左、右焦点分别为12F F 、，122F F c =．若此椭圆上存在点P ，使P 到直线1x c=的距离是1PF 与2PF 的等差中项，则b 的最大值为．11. 已知定点(1,1)A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP '=，O 是坐标原点，则PQ 的取值范围是．12. 已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =___．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 设a b 、分别是两条异面直线12l l 、的方向向量，向量a b 、的夹角的取值范围为A ，12l l 、所成的角的取值范围为B ，则“A α∈”是“B α∈”的 ( )(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 14. 将函数sin 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图像上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位，得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则( )(A) 12t =，s 的最小值为6π(B) t =，s 的最小值为6π(C) 12t =，s 的最小值为12π (D) 2t =，s 的最小值为12π15. 某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如下图所示（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则 ( )(A) ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ） (B) ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） (C) ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） (D) ④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）16. 设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题：（1）若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数；（2）若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数；（3）若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数；（4）若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点．其中正确的命题共有 ( ) (A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）直三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AC AB ⊥，2==AC AB ，41=AA , M 是侧棱1CC 上一点，设h MC =．（1）若C A BM 1⊥，求h 的值；（2）若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．18. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设函数()2xf x =，函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称．（1）若()4()3f x g x =+，求x 的值；（2）若存在[]0,4x ∈，使不等式(+)(2)3f a x g x --≥成立，求实数a 的取值范围．BMBA B CPQ D19. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中120=∠PAQ ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．(1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB 和AC的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？20. (本题满分16分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)设直线l 与抛物线24y x =相交于不同两点A B 、，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．(1) 若AOB △是正三角形（O 为坐标原点），求此三角形的边长；(2) 若4r =，求直线l 的方程；(3) 试对()0,r ∈+∞进行讨论，请你写出符合条件的直线l 的条数（只需直接写出结果）．21. (本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分)已知()y f x =是R 上的奇函数，(1)1f -=-，且对任意(),0x ∈-∞，()11x f x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭都成立． (1) 求12f ⎛⎫-⎪⎝⎭、13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2) 设1()n a f n n*=∈N ，求数列{}n a 的递推公式和通项公式；(3) 记121321n n n n n T a a a a a a a a --=++++，求1limn n nT T +→∞的值．闵行区2016学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．4x =； 2．{1,0}-； 3．1； 4．10x y +-=； 5．16； 6．； 7．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 8．9； 9．29； 10．2； 11．； 12．1009；二. 选择题 13．C ； 14．A ； 15．B ； 16．B ．三. 解答题17．[解]（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则)0,0,2(B ,)4,0,0(1A ，)0,2,0(C ，),2,0(h M ……………………2分),2,2(h -=，)4,2,0(1-=C A ……………………4分由C A BM 1⊥得01=⋅C A BM ，即0422=-⨯h解得1=h ． ……………………6分 (2) 解法一：此时(0,2,2)M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-……………8分设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =由00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00x y z =⎧⎨+=⎩所以(0,1,1)n =- ……………………10分设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ则11sin 52n BA n BA θ⋅===⋅ ……………12分所以arc θ= 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为arc ………………14分解法二：联结1A M ，则1AM AM ⊥， 1,AB AC AB AA ⊥⊥，AB∴⊥平面11AAC C …………………8分 1AB A M ∴⊥1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； ……………………10分在1A BM Rt △中，11A M A B ==所以111sin 5A M A BM AB ∠===……………………12分所以1arcsin5A BM ∠= 所以直线1BA 与平面ABM所成的角为arc ………………14分 18．[解]（1）由()4()3f x g x =+得2423xx-=⋅+ ……………………2分223240x x ⇒-⋅-=所以21x =-（舍）或24x =， ……………………4分所以2x = ……………………6分（2）由()(2)3f a x g x +--≥得2223a xx +-≥ ……………………8分2223a x x +≥+2232a x x -⇒≥+⋅ ……………………10分而232xx-+⋅≥，当且仅当[]4232,log 30,4x x x -=⋅=∈即时取等号…12分所以2a ≥211log 32a ≥+．………………………………14分 19．[解]（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=，即23000x y +=， ………………………………2分1sin1202ABC S x y ∆=⋅⋅y x ⋅⋅=43 …………………………4分 y x ⋅⋅=28322283⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤y x=2m 当且仅当y x =2，即750,1500x y ==时等号成立，所以当ABC △的面积最大时，AB 和AC 的长度分别为750米和1500米……6分（2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m ==．由2133AD AB AC =+ …………………………8分得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22919494AC AC AB AB +⋅+= …………………………10分 2244117507501500()15009929=⨯+⨯⨯⨯-+⨯250000= ||500AD ∴=， …………………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分解法二：在ABC ∆中， 120cos 222AC AB AC AB BC ⋅-+==7750= ………8分在ABD ∆中，ACAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222775075021500)7750(750222⨯⨯-+=772= …………………………10分在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 222⋅-+=772)7250(7502)7250(75022⋅⨯⨯-+==500 …………12分 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,750(B)120sin 1500,120cos 1500( C ,即)3750,750(-C ，设),(00y x D ………8分由2CD DB =，求得⎪⎩⎪⎨⎧==325025000y x ，所以(D …………10分所以，22)03250()0250(||-+-=AD 500=……………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分20．[解] (1)设AOB △的边长为a ，则A的坐标为1,)2a ±………2分所以214,2a ⎛⎫±= ⎪⎝⎭所以a =此三角形的边长为 ……………………………4分 (2)设直线:l x ky b =+当0k =时，1,9x x ==符合题意 ……………………………6分当0k ≠时，224404x ky by ky b y x =+⎧⇒--=⎨=⎩…………………8分222121216()0,4,42(2,2)k b y y k x x k b M k b k ∆=+>+=+=+⇒+11,AB CM AB k k k k⋅=-= 2223225CM k k k b k k b ∴==-⇒=-+- 22216()16(3)003k b k k ∴∆=+=->⇒<<4r ===()230,3k ∴=∉，舍去综上所述，直线l 的方程为：1,9x x == ……………………………10分 (3)(][)0,24,5r ∈时，共2条；……………………………12分()2,4r ∈时，共4条； ……………………………14分[)5,r ∈+∞时，共1条． ……………………………16分21．[解]（1）对等式()11x f x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭，令11(1)12x f f ⎛⎫=-⇒-=-=-⎪⎝⎭所以112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ……………………………2分令1111222233x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以1132f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭……………………………4分（2）取1x n =-，可得111()()1f f n n n =--+，………………6分即111()()1f f n n n=+，所以11()n n a a n n *+=∈N1(1)(1)1,a f f ==--=所以数列{}n a 的递推公式为1111,()n n a a a n n*+==∈N ……………………………8分故()13212211111111221!n n n n n a a a a a a a a a a n n n ---⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=--- ………………10分所以数列{}n a 的通项公式为1(1)!n a n =-． …………………12分（3）由（2）1(1)!n a n =-代入121321n n n n n T a a a a a a a a --=++++得111110!(1)!1!(2)!2!(3)!3!(3)!(1)!0!n T n n n n n =+++++⋅-⋅-⋅-⋅--⋅……14分1(1)!(1)!(1)!(1)!11(1)!1!(2)!2!(3)!3!(3)!(2)!1!n n n n n T n n n n n ⎡⎤----⇒=++++++⎢⎥-⋅-⋅-⋅--⋅⎣⎦101232111111112(1)!(1)!n n n n n n n n n n T C C C C CCn n ---------⎡⎤⇒=++++++=⎣⎦--……16分12!nn T n +⇒=则12limlim 0n n n nT T n +→∞→∞== ……………………………18分。

上海市2016届高三3月月考数学(理)试题 Word版含答案

2015学年第二学期高三数学理科试卷考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1. 已知集合{}{}032,lg 2<--===x x x B x y x A ，则A B = _______________.2.复数(1i)(1i)a ++是实数，则实数a =_______________.3. 方程22log (x 1)2log (x 1)-=-+的解集为_________.5.已知0y x π<<<，且tan tan 2x y ⋅=，sin sin 3x y ⋅=，则x y -= . 6. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7=42S ,则237a a a ++= .7.圆22(2)4C x y -+=：, 直线1:l y =，2:1l y kx =-，若12,l l 被圆C 所截得的弦的长度之比为1:2，则k 的值为_________.9. 已知()ln()f x x a x=+-，若对任意的R m ∈，均存在00x >使得0()f x m =，则实数a 的取值范围是．10.直线=(1)(0)y k x k +>与抛物线2=4y x 相交于,A B 两点，且,A B 两点在抛物线的准线上的射影分别是,M N ，若2BN AM =，则k 的值是． 11.在极坐标中，直线sin 3ρθ=被圆4sin ρθ=截得的弦长为 .12.一射手对靶射击，直到第一次中靶为止．他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗弹子，射击结束后尚余子弹数目ξ的数学期望E ξ= ． 13. 已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B C A B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆的一个“友好”三角形.在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是_______：（请写出符合要求的条件的序号）①90,60,30A B C === ；②75,60,45A B C ===； ③75,75,30A B C === .14.如图，在△ABC 中，90ACB ︒∠=，2AC =，1BC =，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大距离是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分 15．已知数列{}n a 中，1111,1n na a a +==+，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是( ) A ．2014≤n B ．2016n ≤ C ．2015≤n D ．2017n ≤A ．2a b c +=B ．2a b c +≤C ．2a b c +<D ．2a b c +≥17．已知集合22{(,)|1}M x y x y =+≤，若实数,λμ满足：对任意的(,)x y M ∈，都有(,)x y M λμ∈，则称(,)λμ是集合M 的“和谐实数对”.则以下集合中，存在“和谐实数对”的是 ( ) A ．}4|),{(=+μλμλB ．}4|),{(22=+μλμλ C ．}44|),{(2=-μλμλD ．}4|),{(22=-μλμλ18. 已知正方体''''ABCD A B C D -，记过点A 与三条直线,,'AB AD AA 所成角都相等的直线条数为m , 过点A 与三个平面．．',,'AB AC AD 所成角都相等的直线的条数为n ，则下面结论正确的是( )A ．1,1m n ==B ．4,1m n == C. 3,4m n == D ．4,4m n ==三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分． π点的位置才能使得总造价最低？ 21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题6分，第(2)小题8分.已知椭圆2222:1(a b 0)x y C a b+=>>的右顶点、上顶点分别为A 、B ，坐标原点到直线ABa =. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 交椭圆于M 、N 两点，且该椭圆上存在点P ，使得四边形MONP （图形上字母按此顺序排列）恰好为平行四边形，求直线l 的方程.22.（本题满分16分）本题共有3个小题.第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分.对于函数(x)f ，若在定义域内存在实数x ，满足(x)(x)f f -=-，称(x)f 为“局部奇函数”.（1）已知二次函数2(x)24(R)f a x x a a =+-∈，试判断(x)f 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）若(x)2xf m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（3）若12(x)423xx f m m +=-⋅+-是定义在R 的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题①满分6分，第(2)小题②满分8分.已知等比数列{}n a 的首项12015a =，数列{}n a 前n 项和记为n S ，前n 项积记为n T . (1) 若360454S =，求等比数列{}n a 的公比q ； (2) 在(1)的条件下，判断|n T |与|1n T +|的大小；并求n 为何值时，n T 取得最大值；(3) 在(1)的条件下，证明：若数列{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为12,,,n d d d ，则数列{}n d 为等比数列.2015学年第二学期考试参考答案和评分标准一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分）1． )3,0( 2．-1 3．4．92 5．3π6. 187.12 8．8π 9. ),4[+∞ 1011．（理）（文）6 12. （理）1.89（文）3+ 13．② 14．（理）1 （文）22(1)(1)1x y -+-=二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15. C 16. B 17. C 18. D三、解答题（本大题共5题，满分74分）19．（本题满分12分）本题共2个小题，每小题6分. 解：（理）（1）B AEFC V -=111(42)224332AEFC S AB =⋅=⋅⋅+⨯⨯=……6分（2）建立如图所示的直角坐标系，则)0,0,0(A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)E ,(2,0,4)F ，(2,0,2)EF = ,(0,2,2)EB =-……………………7分设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z = ，则22011,1220n E F x z z x y n E F y z ⎧⋅=+=⎪⇒==-=⎨⋅=-=⎪⎩取得，所以(1,1,1)n =-……………………………9分平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n =，则11cos n n n n θ⋅===⋅ 所以BEF ∆所在半平面与ABC ∆所在半平面所成二面角θ12分解：（文）（1）111111111111142223323A B C F F A B C A B C V V S C F --∆==⋅=⋅⋅⨯⨯= …6分（2）连接CE ,由条件知1//CE FA ,所以CEB ∠就是异面直线BE 与1A F 所成的角．8分在CEB ∆中，BC CE BE ===60CEB ∠=， ………………10分所以异面直线BE 与1A F 所成的角为60． …………………………………12分20．（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分. 解：（1） BC 与圆O 相切于A ，∴OA ⊥BC,在∆ABC 中，tan AB r θ=……2分同理，可得3tan()4AC r πθ=-………4分 223tan tan()4y m aAB aAC m ar ar πθθ∴=+=+- 23[tan tan()],(,)442y ar m πππθθθ∴=+-∈………6分（2）由（1）得2231tan [tan tan()]ar[m tan ]41tan y ar m πθθθθθ--=+-=+- 222[m (tan 1)m 1]tan 1ar θθ=-+++-…………9分(,),tan 1042ππθθ∈∴-> ∴22m (tan 1)tan 1θθ-+≥-………12分当且仅当tan 1θ=-时取等号，又m =，所以tan 3πθθ== 即A 点在O 东偏南3π的方向上，总造价最低。

上海市崇明区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷与答案及评分标准--含答案

崇明区2016学年第二次高考模拟考试试卷数学考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1．函数212sin (2)y x =-的最小正周期是 ▲ ．2．若全集U R =，集合{}{}10A x x x x =<≥∪，则U C A = ▲ ． 3．若复数z 满足2iz i i++=（i 为虚数单位），则z = ▲ ． 4．设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m = ▲ ．5．已知正四棱锥的底面边长是2，则该正四棱锥的体积为 ▲ ．6．若实数,x y 满足10304x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥≤，则目标函数2z x y =-的最大值为 ▲ ．7．若1nx ⎫⎪⎭的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则展开式中的常数项的值为▲ ．8．数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，若122a a +=，231a a +=-，则lim n n S →∞= ▲ ．9．若函数1()42x x f x +=+的图像与函数()y g x =的图像关于直线y x =对称，则(3)g = ▲ ．10．甲与其四位朋友各有一辆私家车，甲的车牌尾数是0，其四位朋友的车牌尾数分别是0, 2, 1, 5，为遵守当地4月1日至5日5天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案总数为 ▲ ．11．已知函数[)22sin(),0(),0,23cos(),0x x x f x x x x παπα⎧++>⎪=∈⎨⎪-++<⎩是奇函数，则α= ▲ ．12．已知ABC ∆是边长为PQ 为ABC ∆外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆边上的动点，则PM MQ ⋅的最大值是 ▲ ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】13．一组统计数据12345,,,,x x x x x 与另一组统计数据1234523,23,23,23,23x x x x x +++++相比较 (A)标准差相同(B)中位数相同(C)平均数相同(D)以上都不相同14．2b <是直线y b =+与圆2240x y y +-=相交的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件15．若等比数列{}n a 的公比为q ，则关于,x y 的二元一次方程组132421a x a y a x a y +=⎧⎨+=⎩的解的情况下列说法正确的是 (A)对任意(0)q R q ∈≠，方程组都有唯一解 (B)对任意(0)q R q ∈≠，方程组都无解(C)当且仅当12q =时，方程组有无穷多解 (D)当且仅当12q =时，方程组无解 16．设函数()x x x f x a b c =+-，其中0,0c a c b >>>>．若a 、b 、c 是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的个数是①对于一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >；②存在0x >使,,x x x xa b c 不能构成一个三角形的三边长；③若ABC ∆为钝角三角形，则存在(1,2)x ∈，使()0f x =． (A)3个(B)2个(C)1个(D)0个三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）在三棱锥C ABO -中，OA 、OB 、OC 所在直线两两垂直，（1）求三棱锥C ABO -的高；ABCO D（17题图）18.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）设12F F 、分别为椭圆22221(0)x y a b a bC +=>>:的左、右焦点，点A 为椭圆C 的左顶点，点B 为椭圆C的上顶点，且AB =12BF F ∆为直角三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线2y k x =+与椭圆交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，求实数k 的值．19.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD 内举行机器人拦截挑战赛，在E 处按EP 方向释放机器人甲，同时在A 处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q 处成功拦截机器人甲．若点Q 在矩形区域ABCD 内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知18AB =米，E 为A B 中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记EP 与EB 的夹角为θ．（1）若60θ=︒，AD 足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到0.1︒）（2）如何设计矩形区域ABCD 的宽AD 的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲？E20.（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”．()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；（2）设()2x f x m =+是定义在[]1,1-上的“M 类函数”，求实数m 的最小值；（3）若22,2log (2)(),23x x mx f x x ⎧-⎪=⎨<-⎪⎩≥为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围．21.（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）已知数列{}n a 满足111,,*nn n a a a p n N +=-=∈．（1）若1p =，写出4a 所有可能的值；（2）若数列{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值；（3）若12p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．崇明区2016学年第二次高考模拟高三数学参考答案及评分标准一、填空题1.2π; 2.[0,1);4.16;5.43； 6.2； 7.15； 8.83； 9.0； 10.64； 11.76π； 12.3二、选择题13.D ； 14.A ； 15.C ； 16.A三、解答题17.解：（1）因为,OC OA OC OB ⊥⊥，所以OC AOB ⊥平面...............................2分设(1,03)([0,1])E λλλ-∈，则11(1,1,3),(,,0)BE OD λλ=--=BE 与OD 所成的角为θ，则||1cos 4||||BE OD BE OD θ⋅=⋅ (12) (13)分18.解：（1）||AB ==，所以223a b +=因为12BF F ∆为直角三角形，所以b c =..........................................................................3分又222b c a +=，...............................................................................................................4分所以1a b ==，所以椭圆方程为2212x y +=........................................................6分（2）由22122x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：22(12)860k x kx +++=.............................................8分由22(8)4(12)60k k ∆=-+⋅>，得：232k >..........................................................9分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则有12122286,1212k x x x x k k +=-⋅=++.......................10分因为OP OQ ⊥所以1212OP OQ x x y y ⋅=⋅+⋅2212122610(1)2()44012k k x x k x x k-=+⋅+++=+=+.....12分所以25k =，满足232k >........................................................................................13分所以k =分 19.解：（1）AEQ 中，2,120AQ EQ AEQ =∠=︒............................................2分由正弦定理，得：sin sin EQ AQQAE AEQ=∠∠所以sin QAE ∠=............................................................................................4分所以arcsin25.74QAE ∠=≈︒所以应在矩形区域ABCD 内，按照与AB 夹角为25.7︒的向量AQ 方向释放机器人乙，才能挑战成功.............................................................................................................6分（2）以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴，建平面直角坐标系，设(,)(0)Q x y y ≥...........................................................................................8分由题意，知2AQ EQ =，所以22(3)36(0)x y y -+=≥..................................................................11分即点Q 的轨迹是以(3,0)为圆心，6为半径的上半圆在矩形区域ABCD 内的部分所以当6AD ≥米时，能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲...........................................14分20.解（1）由()()f x f x -=-分分00()()f x f x -=-M 类函数”.....................................................4分(2)因为()2f x m =+是定义在[]1,1-上的“M 类函数”，所以存在实数0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-，即方程2220x xm -++=在[]1,1-上有解,.....................................................5分令12,22xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦.............................................................................................6分则11()2m t t=-+ 因为11()()2g t t t =-+在1[,1]2上递增,在[1,2]上递减..............................8分所以当12t =或2t =时，m 取最小值54-....................................................9分（3）由220x mx ->对2x ≥恒成立，得1m <...........................................10分因为若22,2log (2)(),23x x mx f x x ⎧-⎪=⎨<-⎪⎩≥为其定义域上的“M 类函数”所以存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-①当02x ≥时，02x -≤-，所以22003log (2)x mx -=--，所以00142m x x =- 因为函数14(2)2y x x x=-≥是增函数，所以1m ≥-..............................12分 ②当022x -<<时，022x -<-<，所以-3=3，矛盾.............................13分③当02x ≤-时，02x -≥，所以2200log (2)3x mx +=，所以00142m x x =-+ 因为函数14(2)2y x x x=-+≤-是减函数，所以1m ≥-.............................15分综上所述，实数m 的取值范围是[1,1)-.....................................................16分 21.（1）4a 有可能的值为-2024，，，...............................................................4分（2）因为数列{}n a 是递增数列，所以11.nn n n n a a a a p ++-=-=而11a =，所以2231,1a p a p p =+=++.............................................6分又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+.....................................8分所以230p p -=.解得13p =或0p =当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，所以13p =...........10分（3）因为{}21n a -是递增数列，所以2+1210n n a a -->，所以()()2+122210n n n n a a a a --+-> ① 但2211122n n -<，所以2+12221n n n n a a a a --<- ② 由①，②知，2210n n a a -->，所以()221221211122nn n n n a a ----⎛⎫-==⎪⎝⎭③......13分因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-< 所以()21221221122n nn n na a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭④由③，④知，()1112n n nna a ++--==.............................................................16分所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()()()11211111111412111222233212n n nnnn -+-----=+-++=+=+⋅+ 所以数列{}n a 的通项公式为()1141332nn n a --=+⋅...........................................18分。

上海市崇明县2016届高三第二次高考模拟考试数学理试卷含答案

崇明县2015-2016学年第二次高考模拟考试试卷高三数学（理卷）(考试时间120分钟，满分150分)考生注意：1．每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料,所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效； 2．答卷前,考生务必将姓名、准考证号码等相关信息在答题纸上填写清楚；3．本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题(本大题共14小题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分,否则一律得零分。

1．已知全集U R =，{}2|20A x x x =-<,{}|1B x x =≥，则U AC B =．2．设复数z 满足 (4)32i z i-=+（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为．3．若函数2cos y x ω=(0)ω>的最小正周期是π，则ω= ．4．圆22:2440C xy x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = ．5．已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为15πcm 2,则此圆锥的体积为 cm 2．6．已知,x y R +∈,且满足134x y+=,则xy 的最大值为．7焦点与抛物线216y x=的焦点相同，则双曲线的标准方程为．8．已知函数22,0(),0xa x f x x ax x ⎧+⎪=⎨-<⎪⎩≥，若()f x 的最小值是a ，则a = ．9．从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，若这个小组中必须男女医生都有，共有种不同的组建方案(结果用数值表示）．10．若数列{}na 是首项为1，公比为32a -的无穷等比数列,且{}na 各项的和为a ，则a 的值是．11．设0a ≠,n 是大于1的自然数，1nx a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式为2012nn aa x a x a x ++++．若13a =,24a =，则a = ．12．某种填数字彩票，购票者花2元买一张小卡片，在卡片上填10以内（0，1,2，…,9）的三个数字（允许重复)．如果依次填写的三个数字与开奖的三个有序的数字分别对应相等,得奖金1000元．只要有一个数字不符（大小或次序），无奖金．则购买一张彩票的期望收益是元．13．矩形ABCD 中，2,1AB AD ==，P 为矩形内部一点，且1AP =．若AP AB AD λμ=+(,)R λμ∈,则2λ+的最大值是．14．已知函数()f x 是定义在[)1,+∞上的函数,且123,12()11,222x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎩≤≥，则函数2()3y x f x =-在区间(1,2016)上的零点个数为．二、选择题（本大题共4小题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

上海市徐汇区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷与答案及评分标准--含答案

2016学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科2017．4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 设全集{}1,2,3,4U =，集合{}2|540,A x x x x Z =-+<∈，则U C A =____________．2. 参数方程为22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）的曲线的焦点坐标为____________．3. 已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围是____________．4. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*21()3n n S a n N =-∈，则lim n n S →∞=____________．5. 若*1()(4,)2nx n n N x+≥∈的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n =_____． 6. 把12345678910、、、、、、、、、分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示）7. 若行列式124cossin 022sin cos822x xx x 中元素4的代数余子式的值为12，则实数x 的取值集合为____________．8. 满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是____________．9. 已知函数2log 02()25()239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，，．若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k的取值范围是____________．10. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元．11. 如图：在ABC ∆中，M 为BC 上不同于,B C 的任意一点，点N 满足2AN NM=．若AN x AB y AC =+，则229x y +的最小值为____________．12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”．已知定义域为[],a b 的函数2()3h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=___________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. “1x >”是“11x<”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件 14. 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（）（A ）21斛（B ）34斛（C ）55斛（D ）63斛 15. 将函数1y x=-的图像按向量(1,0)a =平移，得到的函数图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像的所有交点的横坐标之和等于（）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）816. 过椭圆221(4)4x y m m m +=>-右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（）（A ）一条射线（B ）两条射线（C ）双曲线的一支（D ）抛物线三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图：在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AD ==．（1）求异面直线PC 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，求证：EF ⊥平面PBC ．18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数41()2x xm f x ⋅+=是偶函数．（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，求实数k 的取值范围．19. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A 点处，乙船在中间的B 点处，丙船在最后面的C 点处，且:3:1BC AB =．一架无人机在空中的P 点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得030APB ∠=，090BPC ∠=．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）B20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）如图：椭圆2212x y +=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12F F 、，它们在y 轴右侧有两个交点A 、B ，满足220F A F B +=．将直线AB 左侧的椭圆部分（含A ,B 两点）记为曲线1W ，直线AB 右侧的双曲线部分（不含A ,B 两点）记为曲线2W ．以1F 为端点作一条射线，分别交1W 于点(,)p p P x y ，交2W 于点(,)M M M x y (点M 在第一象限),设此时F 1=1m F P ⋅.（1）求2W 的方程; （2）证明:1p x m=，并探索直线2MF 与2PF 斜率之间的关系; （3）设直线2MF 交1W 于点N ，求1MF N ∆的面积S 的取值范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）现有正整数构成的数表如下：第一行： 1 第二行： 1 2 第三行： 1 1 2 3第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5 …… …… ……第k 行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,⋯,直至按原序抄写第1k -行,最后添上数k .（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.将按照上述方式写下的第n 个数记作n a (如11a =,21a =,32a =,41a =,⋯,73a =,⋯,14153,4,a a ==)．（1）用k t 表示数表第k 行的数的个数，求数列{}k t 的前k 项和k T ；（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用0n a 表示第8行中的第73个数，试求0n 和0n a 的值；若不是，请说明理由；（3）令123n n S a a a a =++++，求2017S 的值．参考答案一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1. {}1,42. (1,0)3. []1,34. 15. 86. 7107. |2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭8. 2- 9. 5(,1)9 10. 8800 11. 25 12. 1二、选择题：(共20分，每题5分)13. A 14. A 15. D 16. C 三、解答题 17、解：（1）以点A 为原点，以AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)P A B C D ,--------2分所以，(2,2,2),(2,0,0)PC AB =-=,--------4分设,PC AB 的夹角为α，则cos 32PC AB PC ABα⋅===⋅分所以，,PC AB的夹角为arccos3，即异面直线PC 与AB 所成角的大小为arccos3.--------6分（2）因为点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，可得(0,1,0)E ，(1,1,1)F ，所以(1,0,1)EF =，--------8分又(0,2,0)BC =，(2,2,2)PC =-，--------10分计算可得0,0EF PC EF BC ⋅=⋅=，--------12分所以，,EF PC EF BC ⊥⊥，又PCBC C =，所以EF ⊥平面PBC .--------14分18、(1) 因为函数41()2x xm f x ⋅+=是定义域为R 的偶函数，所以有()()f x f x -=，-2分即414122x x x xm m --⋅+⋅+=，即44122x x x xm m +⋅+=， ------------------------------4分故m =1. -----------------------------------------6分(2)241()0,3102x xf x k +=>+>，且22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，故原不等式等价于22131()k k f x >+在(,0)-∞上恒成立，--------------------8分又x ∈(,0)-∞，所以()()2,f x ∈+∞， -------------------------------------10分所以110,()2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，----------------------------11分从而221312k k ≥+，----------------------------12分因此，1,13k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. -------------------------------------------------------------------14分19、(1)在APB ∆中，由正弦定理，得1sin sin 2AP AB ABABP APB==∠∠，-----------2分在BPC ∆中，由正弦定理，得s i n s i n 1C P B C B CC B P C P B ==∠∠，-----------4分又31BC AB =，s i ns i n A B P C B P ∠=∠，--------------------------------------------6分故23AP CP =.即无人机到甲、丙两船的距离之比为23.-----------------------7分C B A P(2)由:3:1BC AB =得AC =400，且0120APC ∠=， ------------------------------9分由(1)，可设AP =2x ，则CP =3x ， ---------------------------------------------10分在APC ∆中，由余弦定理，得160000=(2x )2+(3x )2-2(2x )(3x )cos1200，------12分解得x19=，即无人机到丙船的距离为CP =3x275≈米. ----14分 20、解：（1）由条件，得2(1,0)F ，根据220F A F B +=知，F 2、A 、B 三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知，A 、B 关于x 轴对称，故AB 所在直线为x =1，从而得A，(1,B .--------------2分所以，221112a b-=,又因为2F 为双曲线的焦点，所以221a b +=，解得2212a b ==. ---------------------------------------------------------------3分因此，2W 的方程为2211122x y -=(1x >). ------------4分 (2) 由P (x p ,y p )、M (x M ,y M )，得1F P =(x p +1,y p )，1F M =(x M +1,y M )，由条件，得1(1)M p M p x m x y my +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即1M p Mp x mx m y my =+-⎧⎪⎨=⎪⎩， ---------------5分由P (x p ,y p )、M (x M ,y M )分别在曲线1W 和2W 上，有2222122(1)2()1p p p p x y mx m my ⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩，消去y p ，得2234(1)140p p m x m m x m +-+-= (*) ---------------7分将1m 代入方程(*)，成立，因此(*)有一根1p x m=,结合韦达定理得另一根为143p m x m -=，因为1m >,所以143p mx m-=<-1，舍去. 所以，1p x m=. -----------------------------------------------------8分从而P 点坐标为(1m)，所以，直线2PF的斜率2PF k =，-------------------------------------9分由1M p x mx m m =+-=,得M (m所以，直线2MF的斜率2MF k =.--------------------10分因此，2MF 与2PF 斜率之和为零. ---------------------------------11分（3）由(2)知直线2PF 与2NF 关于x 轴对称，结合椭圆的对称性知点P 与点N 关于x 轴对称，故N (m 1,1m-212-m ), -----------------------------12分因此，S=21⨯|F 1F 2|(|y M |+|y N |)=21⨯2(212-m +m 1212-m ) =212-m +2211m -，-----------14分因为S 在()1,+∞上单调递增, ----------------------------------15分所以,S的取值范围是)+∞.----------------------------------------------------16分21、解：（1）当2k ≥时，1211k k t t t t -=+++，----------------------------------------------------------------2分 1121k k t t t t +=+++，于是1k k k t t t +-=，即12k k t t +=，又2112,1t t t ==， ---------------------3分所以12k k t -=，故21122221k k k T -=++++=-. ---------------4分（2）由12k k t -=得第8行中共有27=128个数，所以，第8行中的数超过73个，-------6分70773*******n T =+=-+=，-----7分从而，020073n a a a ==，由26-1=63<73，27-1=127>73，所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数，同上过程知7310a a ==2，--------------------------------------------------------9分所以，02n a =.--------------------------------------------------------------10分（3）由于数表的前n 行共有21n -个数，于是，先计算21n S -.方法一：在前21n-个数中，共有1个n ，2个1n -，22个2n -，……，2n -k个k ，……，2n-1个1， ---------------------------------------------------12分因此21n S -=n ×1+(n -1)×2+…+ k ×2n -k +…+2×2n -2+1×2n -1 则2×21n S -=n ×2+(n -1)×22+…+ k ×2n-k+1+…+2×2n-1+1×2n两式相减，得21n S -=n -+2+22+…+2n-1+2n ＝2n+1-n -2. ------------15分方法二：由此数表构成的过程知，121212n n S S n ---=+，---------------12分则21n S -+n +2=2(121n S --+n +1)，即数列{21n S -+n +2}是以S 1+1+2=4为首项，2为公比的等比数列, 所以21n S -+n +2＝4×2n-1，即21n S -=2n+1-n -2. ------------------------------15分 S 2017=1021S -+S 994 -----------------------------------------------------------------16分=1021S -+921S -+S 483=1021S -+921S -+821S -+S 228＝1021S -+921S -+821S -+721S -+S 101 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+S 38 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+521S -+S 7=(211-12)+(210-11)+(29-10)+(28-9)+(27-8)+(26-7)+(24-5)=3986. ------------------------------------------------------------------------18分。

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黄浦区2016年高考模拟考数学试卷（理科）（2016年4月）考生注意： 1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效； 2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

1．已知集合{1,3,21}Am，集合2{3,}Bm．若BA，则实数m ．

2．计算：131lim32nnnn ． 3．函数3()1fxx的反函数1()fx ． 4．函数2()(sincos)fxxx的最小正周期为． 5．在极坐标系中，直线(cos2sin)1与直线sin1的夹角大小为（结果用反三角函数值表示）．

6．已知菱形ABCD，若||1AB，3A，则向量AC在AB上的投影为． 7．已知一个凸多面体的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如右图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V ．

8．已知函数32()lg(1)fxxxx，若()fx的定义域中的a、b满足

f(-a)+f(-b)-3=f(a)+f(b)+3，则()()fafb ．

9．在代数式5221(425)1xxx的展开式中，常数等于． 10．若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则该椭圆的短轴长为．

第7题 11．有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各3个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2和3，现任取出3个，它们的颜色与号码均不相同的概率是（结果用最简分数

表示）． 12．设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，()Pkakb（1,2,3k），若的数

学期望73E，则ab ．

13．正整数a、b满足1ab，若关于x、y的方程组24033,|1|||||yxyxxaxb有且只有一组解，则a的最大值为． 14．数列{}na中，若10a，2iak（*iN，122kki≤，1,2,3,k），则满足2100iiaa≥ 的i的最小值为．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0laxbyc，2222:0laxbyc，

那么“11220abab”是“两直线1l、2l平行”的[答] ( )． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

16．复数i1imz（mR，i为虚数单位）在复平面上的点不可能位于[答] ( )． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．若△ABC的三条边a，b，c满足()()()7910abbcca∶∶∶∶，则△ABC[答] ( )．

A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 18．若函数()lg[sin()sin(2)sin(3)sin(4)]fxxxxx的定义域与区间[0,1]的交集由n个开区间组成，则n的值为[答] ( )． A．2 B．3 C．4 D．5 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）如图，小凳凳面为圆形，凳脚为三根细钢管．考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P与凳面圆形的圆心O的连线垂直于凳面和地面，且P分细钢管上下两段的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60．若A、B、C是凳面圆周的三等分点，18AB厘米，求凳子的高度h及三根细钢管的总长度（精确到0.01）．

20．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．已知函数()sincosfxaxbx，其中a、b为非零实常数．

（1）若24f，()fx的最大值为10，求a、b的值．（2）若1a，6x是()fx图像的一条对称轴，求0x的值，使其满足0()3fx，且0[0,2]x．

21．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．已知函数2()1xxfxax，其中1a．（1）证明：函数()fx在(1,)上为增函数．（2）证明：不存在负实数0x使得0()0fx．

ABCPO22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知数列{}na的通项公式为12()()nanknk，其中*nN，1k、2kZ．

（1）试写出一组1k、2k的值，使得数列{}na中的各项均为正数．（2）若11k，*2kN，数列{}nb满足nnabn，且对任意的*mN（3m），均有3mbb，写出所有满足条件的2k的值．（3）若12kk，数列{}nc满足||nnncaa，其前n项和为nS，且使0ijcc（i、*jN，ij）的i和j有且仅有4组，1S、2S、„、nS中有至少3个连续项的值相等，其它项的值

均不相等，求1k、2k的最小值．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

对于双曲线(,)abC：22221xyab（,0ab），若点00(,)Pxy满足2200221xyab，则称P在(,)abC

的外部；若点00(,)Pxy满足2200221xyab，则称P在(,)abC的内部．（1）若直线1ykx上点都在(1,1)C的外部，求k的取值范围．（2）若(,)abC过点(2,1)，圆222xyr（0r）在(,)abC内部及(,)abC上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围．（3）若曲线2||1xymx（0m）上的点都在(,)abC的外部，求m的取值范围．黄浦区2016年高考模拟考数学试卷（文理）参考答案一、填空题(本大题满分56分)

1．1 2．13 3．3(1)x，xR 4． 5．25arccos5

6．32 7．332 8．3 9．（理）15（文）123n 10．（理）103（文）15 11．（理）114 （文）103 12．（理）16 （文）2

13．（理）2016（文）114 14．（理）128（文）2016 二、选择题(本大题满分20分) 15．B 16．D 17．C 18．C 三、解答题(本大题满分74分) 19．(本题满分12分) [解] 联结PO，AO，由题意，PO平面ABC，因为凳面与地面平行，所以PAO就是PA与平面ABC所成的角，即60PAO．（2分）在等边三角形ABC中，18AB，得63AO，（4分）在直角三角形PAO中，318OPAO，（6分）

由0.618OPhOP，解得47.13h厘米．（9分）

三根细钢管的总长度3163.25sin60h厘米．（12分） 20．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分． [解]（1）因为22()sincossin()fxaxbxabx（其中22sinbab，

22cosaab），

所以()fx的最大值为22ab．由2210ab，（2分）及222422fab，（4分）解得1a，3b或3a，1b．（6分）（2）易知，当6x时，取得最大值21b或最小值21b，

于是2131622fbb，解得3b．（8分）于是()sin3cos2sin()3fxxxx，（10分）当()3fx时，解得2xk或23xk（kZ）．（12分）因为0[0,2]x，故所求0x的值为0，3，2．（13分） 21．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分． [证明]（1）任取121xx，1212121222()()11xxxxfxfxaaxx

121212121212

223()()()11(1)(1)xxxxxxxxaaaaxxxx



．（3分）

因为121xx，1a，所以12xxaa，110x，210x，120xx，于是120xxaa，12123()0(1)(1)xxxx，得12()()0fxfx，即12()()fxfx．因此，函数()fx在(1,)上为增函数．（6分）（2）（反证法）若存在负实数0x（01x），使得0()0fx，即方程201xxax有负实数根．（8分）对于21xxax，当00x且01x时，因为1a，所以0

110,,1xaaa



，（10分）

而000

231(,1)(2,)11xxx

．（13分）

因此，不存在负实数0x使得21xxax，得证． 22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（理）[解]（1）11k、22k（答案不唯一）．（4分）

（2）由题设，22(1)nnakbnknn．（6分）

当21k，2时，2()kfnnn均单调递增，不合题意，因此，23k≥．当23k≥时，对于2()kfnnn，当2nk≤时，()fn单调递减；当2nk≥时，()fn单调递增．由题设，有123bbb，34bb．（8分）于是由23bb及43bb，可解得2612k．因此，2k的值为7，8，9，10，11．（10分）

（3）2,0,||0,0.nnnnnnaacaaa≤ 其中2121212()()()nanknknkknkk，且12kk．当120kk≤时，{}na各项均为正数，且单调递增，2nnca，也单调递增，不合题意；