江苏启东东海中学2022初三寒假作业-数学
2022年江苏省南通市海安市、启东市中考数学一模试题及答案解析
2022年江苏省南通市海安市、启东市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 比−2小3的数是( )A. −5B. −1C. 1D. 52. 2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功“刹车”被火星“捕获”.在制动捕获过程中，探测器距离地球的距离为192000000公里．数字192000000用科学记数法表示为( )A. 19.2×107B. 19.2×108C. 1.92×108D. 1.92×1093. 下列运算正确的是( )A. a+a=a2B. (ab)2=ab2C. a2·a3=a5D. (a2)3=a54. 下列调查中，适宜采用全面调查(普查)方式的是( )A. 调查一批新型节能灯泡的使用寿命B. 调查“神舟十一号”飞船零部件的安全性能C. 调查一批炮弹的杀伤半径D. 调查我国中小学生的课外阅读时间5. 如图是某个几何体的三视图，该几何体是( )A. 三棱柱B. 圆柱C. 长方体D. 正方体6. 菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较长的对角线的长度是( )A. 20cmB. 5√3cmC. 5√3cm D. 5cm27. 《九章算术》卷八方程第七题原文为：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五直金八两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：现有5只牛、2只羊，共价值10两．2只牛、5只羊，共价值8两．那么每只牛、羊各价值多少？设每只牛、羊价值分别为x，y，则可列方程组为( )A. {2x +5y =105x +2y =8B. {15x +12y=1012y +15x =8 C. {5x +2y =102x +5y =8D. {12x +15y =1015y +12x =88. 如图，在数轴上表示√8的点在哪两个字母之间( )A. A 与BB. B 与CC. A 与CD. C 与D9. 如图，矩形ABCD 中，AB =8cm ，BC =4cm ，动点E 和F 同时从点A 出发，点E 以每秒2cm的速度沿A →D 的方向运动，到达点D 时停止，点F 以每秒4cm 的速度沿A →B →C →D 的方向运动，到达点D 时停止．设点F 运动x(秒)时，△AEF 的面积为y(cm 2)，则y 关于x 的函数的图象大致为( )A. B. C. D.10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y =ax 2+bx ，其中a −b <0.以下4个结论：①若这个函数的图象经过点(−2,0)，则它必有最小值； ②若这个函数的图象经过第四象限的点P ，则必有a <0； ③若a >0，则方程ax 2+bx =0必有一根小于−1，④若a <0，则当−1≤x ≤0时，必有y 随x 的增大而增大．正确的是( )A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②③④二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）11. 计算：√9−(−2022)0=______．12. 若一个正多边形的一个外角等于40°，则这个多边形是____边形． 13. 因式分解：4x 3−x =______．14. 如图，从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形BAC ，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是______m.15. 若关于x 的方程x 2+ax −2=0有一个根是1，则a =______．16. 如图，两座建筑物AB ，CD 的水平距离BC 为50m ，从A 点测得D 点的俯角∠MAD 为45°，测得C 点的俯角∠MAC 为60°.则建筑物CD 的高度为______m.(结果保留根号)17. 已知一次函数y =2x +3，则该函数图象关于直线y =x 对称的函数解析式为______．18. 如图，在△ABC 中，∠ABC =∠ACB ，点O 是△ABC 的外心，连接CO 并延长交边AB 于点P ，AP =3，BP =4，则cos ∠ABC 的值为______．三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。
2022年江苏南通市启东中考二模数学
2022年江苏南通市启东中考二模数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列实数中，最大的数是（ ）．A．2- B C ．π D ．32．2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，央视新闻网抖音号进行全程直播，共吸引300万多网友观看，数据300万用科学记数法表示为（ ）．A ．4310⨯B ．430010⨯C ．6310⨯D ．7310⨯3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）．A ．菱形B ．矩形C ．圆D ．等边三角形4．下列运算正确的是（ ）A ．523a a a ÷=B ．2333a a a +=C ．()325a a =D ．()211a a a +=+5．数据6，8，9中添加一个数据a 后，发现这组新数据的中位数恰好也是众数，则a 的值为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．66．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3的扇形，这个圆锥的底面圆的半径为（ ） A ．π B ．3 C ．2 D ．17．如图是由n 个相同的小正方体组合成的一个几何体的三视图，则n 的值为（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．78．若关于x 的一元二次方程2220ax bx +-=的一个根是2022x =，则一元二次方程()22212a x bx b +++=必有一根为（ ）．A ．2020B ．2021C ．2022D ．20239．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，4cm AC =，3cm BC =，动点P 沿折线CA AB -运动，到点B 停止，动点Q 沿BA AC -运动到点C 停止，点P 运动速度为2cm/s ，点Q 的运动速度为2.5cm/s ，设运动时间为()s t ，APQ 的面积为S ，则S 与()0 4.5t t ≤≤对应关系的的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．10．已知直线y kx b =+过点()2,2，并与x 轴负半轴相交，若32m k b =+，则m 的取值范围为（ ）． A ．34m <<B ．34m ≤<C ．45m <<D ．45m ≤<二、填空题11．x 的取值范围是_____．12．因式分解：4m 2﹣25＝_____．13．如图，已知矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形，P 是位似中心（在y 轴左侧），若点B 的坐标为（2，4），点E 的坐标为（−1，2），则点P 的坐标为______．14．如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB BD ⊥，60ACB ∠=︒，30ADB ∠=︒，并且点B ，C ，D 在同一条直线上．若测得30CD =米，则河宽AB 为______米．（结果保留根号）15．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀有x 两，每只燕有y 两，则可列方程组为 __16．如图，已知正方形ABCD 的面积为4，它的两个顶点B ，D 是反比例函数()0,0k y k x x=>>的图象上两点，若点D 的坐标是(),a b ，则-a b 的值为______．17．如图，以AB 为直径的半圆O ，绕点A 顺时针旋转45°，点B 的对应点为点C ，AC 交半圆O 于点D ，若AB =则图中阴影部分的面积为______．18．如图，在平面直角坐标系xoy 中，点()0,4B ，点A 是x 轴正半轴上的动点，以AB 为边在第一象限作矩形ABCD ，矩形ABCD 的面积为24，则OC 的最大值为______．三、解答题 19．（1）计算：()22111a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+÷++；（2）解不等式组：()1022133x x x ⎧+>⎪⎨⎪-+≥⎩．20．如图，ABC 的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上．(1)ABC ACB ∠+∠=______．(2)利用正方形网格，证明（1）中的结论．21．某校将学生体质健康测试成绩分为A ，B ，C ，D 四个等级，依次记为4分，3分，2分，1分．为了解各年级学生体质健康状况，拟抽样进行统计分析．某校部分学生体质健康测试成绩统计图学校共有七、八、九三个年级学生近千人，各段人数相近，每段男、女生人数相当，……(1)以下是两位同学关于抽样方案的对话：小红：“我想随机抽取七年级男、女生各60人的成绩；”小明：“我想随机抽取七、八、九年级男生各40人的成绩．”①根据如图所示的学校信息，请你简要评价小红、小明的抽样方案；①如果你来抽取120名学生的测试成绩，请给出抽样方案．(2)小明在与同伴交流后，完善了自己的抽样方案，并将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如图所示的统计图，请求出这组数据的平均数、中位数和众数．22．如图，ABC 是O 的内接三角形，75BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒，连接AO ，并延长交O 于点D ，过点C 作O 的切线，与BA 的延长线交于点E ．(1)求证：∥AD EC ；(2)若4=AD ，求线段AE 的长．23．2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员相互配合，为广大青少年再度带来一场“高能”的太空科普课，生动演示微重力环境下的“太空冰雪、液桥演示、水油分离、太空抛物”等四个实验，深入浅出讲解实验现象背后的科学原理．我们学校的全体学生也观看了这一节课．小杰的物理老师组织班级同学开展“我爱科学”活动，分享观看四个实验后的感想．老师将四个实验的名称分别写在四张完全相同的卡片上，背面朝上，每位同学随机选择其中一张，并向同伴分享对应实验的观看收获．(1)小杰抽到写有“太空抛物实验”卡片，并分享观后收获的概率为______；(2)通过列表或树状图，求出小杰和同桌小伟恰好都抽到写有“太空抛物实验”卡片，并分享观后收获的概率． 24．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABCD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1（单位：元）销售价y 2（单位：元）与产量x （单位：kg ）之间的函数关系．（1）求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式．（2）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？25．如图1，ABC 中，AB AC =，45ABC ∠>︒，BCD △是以BC 为斜边的等腰直角三角形．(1)求ADB ∠的度数；(2)将AB 绕点A 逆时针旋转90°得到AG ，连接BG ，GD ，GC ．①若4=AD ，1tan 2CGD ∠=，请在图2中补全图形，并求CD 的长； ①过点C 作CF BG ⊥，垂足为F ，请写出FD ，FB ，FC 之间的数量关系，并证明你的结论．26．若函数G 在()m x n m n ≤≤<上的最大值记为max y ，最小值记为min y ，且满足max min 1y y -=，则称函数G 是在m x n ≤≤上的“最值差函数”．(1)函数①1y x =；①1y x =+；①2y x ．其中函数______是在12x ≤≤上的“最值差函数”；（填序号）(2)已知函数()2:430G y ax ax a a =-+>．①当1a =时，函数G 是在1t x t ≤≤+上的“最值差函数”，求t 的值；①函数G 是在221m x m +≤≤+（m 为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k ，使得max miny k y =，求a 的取值范围．。
2022年江苏省启东中学数学九上期末检测模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数1002004001000“射中9环以上”的次数78158321801“射中9环以上”的频率0.780.790.80250.801根据表中数据，估计这位射击运动员射击一次时“射中9环以上”的概率为（ ） A ．0.78B ．0.79C ．0.85D ．0.802．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B 的对边分别是a 、b ，且满足2220a ab b --=，则tan A 等于（ ） A ．12B ．2C ．233D ．2323．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m 的竹竿的影长是0.8m ，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m ，又测得地面的影长为2.6m ，请你帮她算一下，树高是（ ）A ．4.25mB ．4.45mC ．4.60mD ．4.75m4．如图，圆锥底面半径为rcm ，母线长为5cm ，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图所示，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为（ ）A ．12B ．55C ．255D ．10106．已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，1sin 3A =，那么下列说法中正确的是（ ） A ．1cos 3B =B ．1cot 3A =C ．22tan 3A =D ．22cot 3B =7．某商店以每件60元的价格购进一批货物，零售价为每件80元时，可以卖出100件（按相关规定零售价不能超过80元）．如果零售价在80元的基础上每降价1元，可以多卖出10件，当零售价在80元的基础上降价x 元时，能获得2160元的利润，根据题意，可列方程为（ ） A ．x （100+10x ）＝2160 B ．（20﹣x ）（100+10x ）＝2160 C ．（20+x ）（100+10x ）＝2160 D ．（20﹣x ）（100﹣10x ）＝21608．反比例函数6y x=图象上的两点为()11,x y ，()22,x y 且12x x <，则下列表达式成立的是（ ） A ．1y y <B ．1y y =C ．1y y >D ．不能确定9．在同一直角坐标系中，函数y ＝kx ﹣k 与y ＝kx（k ≠0）的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．10．下列命题正确的是( )A ．1x -有意义的x 取值范围是1x >.B ．一组数据的方差越大，这组数据波动性越大.C ．若7255'a ∠=︒，则a ∠的补角为10745'.D ．布袋中有除颜色以外完全相同的3个黄球和5个白球，从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为38二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在ABC ∆中，3AB =，4AC =，6BC =，D 是BC 上一点，2CD =，过点D 的直线l 将ABC ∆分成两部分，使其所分成的三角形与ABC ∆相似，若直线l 与ABC ∆另一边的交点为点P ，则DP =__________．12．某工厂的产品每50件装为一箱，现质检部门对100箱产品进行质量检查，每箱中的次品数见表： 次品数 0 1 2 3 4 5 箱数5014201042该工厂规定：一箱产品的次品数达到或超过6%，则判定该箱为质量不合格的 产品箱.若在这100箱中随机抽取一箱，抽到质量不合格的产品箱概率为_______ 13．一元二次方程x 2﹣2x=0的解是 ．14．比较大小：cos30︒________tan 60︒．（填“>，<或=”）15．用半径为6cm ，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为_______cm ． 16．如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，CB CD =，30CAD ∠=︒，50ACD ∠=︒，则ADB =∠________．17．找出如下图形变化的规律，则第100个图形中黑色正方形的数量是_____．18．中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何？”译文为：已知长方形门的高比宽多6.8尺，门的对角线长为10尺，那么门的高和宽各是多少尺？设长方形门的宽为x 尺，则可列方程为___________. 三、解答题(共66分) 19．（10分）如图，O 的直径10AB =，点C 为O 上一点，连接AC 、BC .（1）作ACB ∠的角平分线，交O 于点D ；（2）在（1）的条件下，连接AD .求AD 的长. 20．（6分）如图，O 外接ABD ∆，点C 在直径AB 的延长线上，CAD BDC ∠=∠（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若3,2CD BC ==，求O 的半径21．（6分）已知关于x 的方程：（m ﹣2）x 2+x ﹣2＝0 （1）若方程有实数根，求m 的取值范围．（2）若方程的两实数根为x 1、x 2，且x 12+x 22＝5，求m 的值．22．（8分）已知x ＝1是一元二次方程（a ﹣2）x 2+（a 2﹣3）x ﹣a +1＝0的一个根，求a 的值． 23．（8分）计算题：（1）计算：2sin45°+cos 230°•tan60°﹣tan45°；（2）已知是锐角，()2sin 152a -︒=，求sin cos tan 23a aa --．24．（8分）（1）计算()213sin 6013605--+︒--+⨯（2）解不等式组：()56231531123x x x x ⎧+>-⎪⎨-+-≥-⎪⎩25．（10分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A （1，4），B （4，n ）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出当x ＞0时，的解集．（3）点P 是x 轴上的一动点，试确定点P 并求出它的坐标，使PA +PB 最小．26．（10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为40cm ，灯罩BC 长为30cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与底座构成的∠BAD =60°， 使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是多少cm ？参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论．【详解】∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.1附近，∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.1．故选：D．【点睛】本题考查利用频率估计概率，在相同的条件下做大量重复试验,一个事件A出现的次数和总的试验次数n之比,称为事件A在这n次试验中出现的频率．当试验次数n很大时,频率将稳定在一个常数附近．n 越大,频率偏离这个常数较大的可能性越小．这个常数称为这个事件的概率．2、B【分析】求出a=2b，根据锐角三角函数的定义得出tanA=ab，代入求出即可．【详解】解：a2-ab-2b2=0，（a-2b）（a+b）=0，则a=2b，a=-b（舍去），则tanA=ab=2，故选：B．【点睛】本题考查了解二元二次方程和锐角三角函数的定义的应用，注意：tanA=AA∠∠的对边的邻边.3、B【分析】此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高．【详解】如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得10.8CB BD =而CB=1.2， ∴BD=0.96，∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56，再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得13.560.8x =， ∴x=4.45， ∴树高是4.45m ．故选B ． 【点睛】抓住竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同是关键. 4、A【分析】直接根据弧长公式即可得出结论．【详解】∵圆锥底面半径为rcm ，母线长为5cm ，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形， ∴2πr=216360×2π×5，解得r=1． 故选A ． 【点睛】本题考查的是圆锥的相关计算，熟记弧长公式是解答此题的关键． 5、B【分析】连接CD ，求出CD ⊥AB ，根据勾股定理求出AC ，在Rt △ADC 中，根据锐角三角函数定义求出即可． 【详解】解：连接CD （如图所示），设小正方形的边长为1， ∵2211+2，∠DBC=∠DCB=45°， ∴CD AB ⊥，在Rt ADC 中，10AC =2CD =，则25sin 510CD A AC ===．故选B ． 【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角形函数的定义，等腰三角形的性质，直角三角形的判定的应用，关键是构造直角三角形． 6、A【分析】利用同角三角函数的关系解答． 【详解】在Rt △ABC 中，∠C=90°，1sin 3A =，则2122119sin A -- A 、cosB=sinA=13，故本选项符合题意． B 、cotA=2222313cosA sinA == ．故本选项不符合题意．C 、tanA=12322sinAcosA== ．故本选项不符合题意．D 、cotB=tanA=24．故本选项不符合题意． 故选：A ． 【点睛】此题考查同角三角函数关系，解题关键在于掌握（1）平方关系：sin 2A+cos 2A=1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比. 7、B【分析】根据第一句已知条件可得该货物单件利润为806020-=元,根据第二句话的已知条件,降价几个1元,就可以多卖出几个10件,可得降价后利润为()20x -元,数量为()10010x +件,两者相乘得2160元,列方程即可. 【详解】解:由题意得,当售价在80元基础上降价x 元时,()()20100102160x x -+=.【点睛】本题主要考查的是一元二次方程应用题里的利润问题,理解掌握其中的数量关系列出方程是解答这类应用题的关键.8、D【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到116=x y ，226=y x ，然后分类讨论：0＜1x ＜2x 得到12y y >；当1x ＜0＜2x 得到1y ＜2y ；当1x ＜2x ＜0得到12y y >． 【详解】∵反比例函数6y x=图象上的两点为()11,x y ，()22,x y ， ∴1122==6x y x y ， ∴116=x y ，226=y x ，当0＜1x ＜2x ，12y y >； 当1x ＜0＜2x ，1y ＜2y ； 当1x ＜2x ＜0，12y y >； 故选D. 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键. 9、B【分析】根据k 的取值范围，分别讨论k ＞0和k ＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．【详解】解：①当k ＞0时，一次函数y ＝kx ﹣k 经过一、三、四象限， 反比例函数的(0)ky k x=≠的图象经过一、三象限， 故B 选项的图象符合要求， ②当k ＜0时，一次函数y ＝kx ﹣k 经过一、二、四象限， 反比例函数的(0)ky k x=≠的图象经过二、四象限， 没有符合条件的选项． 故选：B ． 【点睛】此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k 值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y 轴的交点与一次函数的常数项相关． 10、B【分析】分别分析各选项的题设是否能推出结论，即可得到答案. 【详解】解：A.1x -有意义的x 取值范围是1x ≥，故选项A 命题错误；B. 一组数据的方差越大，这组数据波动性越大，故选项B 命题正确；C. 若7255'a ∠=︒，则a ∠的补角为1075'，故选项C 命题错误；D. 布袋中有除颜色以外完全相同的3个黄球和5个白球，从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为58，故选项D 命题错误； 故答案为B. 【点睛】本题考查了命题真假的判断，掌握分析各选项的题设能否退出结论的知识点是解答本题的关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、1，83，32【分析】根据P 的不同位置，分三种情况讨论，即可解答． 【详解】解：如图：当DP ∥AB 时∴△DCP ∽△BCA ∴DC DP BC AB =即263DP =，解得DP=1 如图：当P 在AB 上，即DP ∥AC∴△DCP ∽△BCA ∴BD DP BC AC =即6264DP -=，解得DP=83如图，当∠CPD=∠B ，且∠C=∠C 时,∴△DCP ∽△ACB ∴PD CD AB AC =即243DP =，解得DP=32故答案为1，83，32． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握分类讨论思想并全部找到不同位置的P 点是解答本题的关键．12、425【分析】由表格中的数据可知算出抽到质量不合格的产品箱频率后，利用频率估计概率即可求得答案.【详解】解：∵一箱产品的次品数达到或超过6%，则判定该箱为质量不合格的 产品箱.∴质量不合格的产品应满足次品数量达到：506%=3⨯ ∴抽到质量不合格的产品箱频率为：10+4+2164=10010025= 所以100箱中随机抽取一箱，抽到质量不合格的产品箱概率：425 故答案为：425. 【点睛】 本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，由此可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率的近似值，随着实验次数的增多，值越来越精确.13、12x 0x 2==，【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【详解】方程整理得：x （x ﹣1）=0，可得x=0或x ﹣1=0，解得：x 1=0，x 1=1．故答案为x 1=0，x 1=1.14、<【分析】比较cos30︒与tan 60︒的值即可.【详解】∵cos30=°， tan 60︒= < ∴cos30︒<tan 60︒，故答案为：<.【点睛】此题考查三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键.15、1．【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r ，根据题意得1πr=208161π⨯， 解得r=1，即圆锥的底面圆半径为1cm ．故答案为：1．【点睛】本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键．16、70°【分析】根据CB =CD ，得到30CAB CAD ∠=∠=︒，根据同弧所对的圆周角相等即可得到50ABD ACD ∠=∠=︒，根据三角形的内角和即可求出.【详解】∵CB =CD ，∴30CAB CAD ∠=∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∵50ABD ACD ∠=∠=︒，∴18070ADB BAD ABD ∠=︒-∠-∠=︒．故答案为70.︒【点睛】考查圆周角定理和三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.17、150个【分析】根据图形的变化寻找规律即可求解．【详解】观察图形的变化可知：当n 为偶数时，第n 个图形中黑色正方形的数量为（n +2n ）个； 当n 为奇数时，第n 个图形中黑色正方形的数量为（n +12n +）个． 所以第100个图形中黑色正方形的数量是150个．故答案为150个．【点睛】本题难度系数较大，需要根据观察得出奇偶数是不同情况，找出规律.18、222( 6.8)10x x ++=【分析】先用x 表示出长方形门的高，然后根据勾股定理列方程即可.【详解】解：∵长方形门的宽为x 尺，∴长方形门的高为()6.8x +尺，根据勾股定理可得：222( 6.8)10x x ++=故答案为：222( 6.8)10x x ++=. 【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用和勾股定理，根据勾股定理列出方程是解决此题的关键.三、解答题(共66分)19、（1）见解析；（2）52【分析】（1）以点C 为圆心，任意长为半径(不大于AC 为佳)画弧于AC 和BC 交于两点，然后以这两个交点为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径画两段弧交于一点，过点C 和该交点的线就是ACB ∠的角平分线；（2）连接OD ，先根据角平分线的定义得出45ACD ∠=︒，再根据圆周角定理得出90AOD ∠=︒，最后再利用勾股定理求解即可.【详解】解：（1）如图，CD 为所求的角平分线；（2）连接OD ，O 的直径10AB =，90ACB ∴∠=︒，5AO DO ==. CD 平分ACB ∠， 1452ACD ACB ∴∠=∠=︒. 290AOD ACD ∴∠=∠=︒.在Rt AOD ∆中，22225552AD AO DO =+=+=. 【点睛】本题主要考察基本作图、角平分线定义、圆周角定理、勾股定理，准确作出辅助线是关键.20、（1）见解析；（2）54，见解析 【分析】（1）根据AB 是直径证得∠CAD+∠ABD=90°，根据半径相等及CAD BDC ∠=∠证得∠ODB+∠BDC=90°，即可得到结论；（2）利用CAD BDC ∠=∠证明△ACD ∽△DCB ，求出AC ，即可得到答案.【详解】（1）∵AB 是直径，∴∠ADB=90°，∴∠CAD+∠ABD=90°，∵OB=OD ，∴∠ABD=∠ODB ，∵CAD BDC ∠=∠，∴∠ODB+∠BDC=90°，即OD ⊥CD ，∴CD 是O 的切线；（2）∵CAD BDC ∠=∠，∠C=∠C ，∴△ACD ∽△DCB ，∴2CD CB AC =⋅，∵3,2CD BC ==，∴AC=4.5，∴O 的半径=524AC BC -=. 【点睛】此题考查切线的判定定理，相似三角形的判定及性质定理，圆周角定理，正确理解题意是解题的关键.21、（1）m≥158；（2）m ＝3 【分析】（1）根据判别式即可求出答案；（2）根据根与系数的关系即可求出答案．【详解】解：（1）当m ﹣2≠0时，△＝1+8（m ﹣2）≥0，∴m≥158且m≠2， 当m ﹣2＝0时，x ﹣2＝0，符合题意， 综上所述，m≥158 （2）由根与系数的关系可知：x 1+x 2＝12m --，x 1x 2＝22m --， ∵x 12+x 22＝5，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝5， ∴21(2)m -+42m - ＝5， ∴12m -＝1或12m -＝﹣5， ∴m ＝3或m ＝95（舍去）． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．22、a ＝﹣2【分析】根据一元二次方程的解的定义将x ＝1代入方程即可求出答案．【详解】解：将x ＝1代入（a ﹣2）x 2+（a 2﹣3）x ﹣a+1＝0，得（a ﹣2）+（a 2﹣3）﹣a+1＝0，∴a 2﹣4＝0，∴a ＝±2， 由于a ﹣2≠0，故a ＝﹣2.【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．23、（1）4；（2）1﹣3【分析】（1）代入特殊锐角的三角函数值进行实数的运算便可；（2）由已知求出α的度数，再代入计算便可．【详解】解：原式21=+⎝⎭11=+=（2）∵()2sin15a-︒=∴()sin15a-︒=，∴1545a-︒=︒∴60a=︒，原式cos6030tan=-︒-︒12=-11221=-+=-【点睛】本题考查的是利用特殊角的三角函数值进行运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．24、（1）1092+（2）143x-<≤【分析】（1）先算乘方、特殊三角函数值、绝对值，再算乘法，最后算加减法即可．（2）分别解各个一元一次不等式，即可解得不等式组的解集．【详解】（1）()23sin601--+︒--119=+1032392=-+ 103392=+． （2）()56231531123x x x x ⎧+>-⎪⎨-+-≥-⎪⎩()5623x x +>-5626x x +>-312x >-解得4x >-1531123x x -+-≥- 315626x x ---≥-721x ≥ 解得13x ≤ 故解集为 143x -<≤． 【点睛】本题考查了实数的混合运算和解不等式组的问题，掌握实数的混合运算法则、特殊三角函数值、绝对值的性质、解不等式组的方法是解题的关键．25、（1），y ＝﹣x +5；（2）0＜x ＜1或x ＞4；（3）P 的坐标为（，0），见解析.【解析】（1）把A （1，4）代入y ＝，求出m ＝4，把B （4，n ）代入y ＝，求出n ＝1，然后把把A （1，4）、（4，1）代入y ＝kx+b ，即可求出一次函数解析式；（2）根据图像解答即可；（3）作B 关于x 轴的对称点B′，连接AB′，交x 轴于P ，此时PA+PB ＝AB′最小，然后用待定系数法求出直线AB′的解析式即可.【详解】解：（1）把A （1，4）代入y ＝，得：m ＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；把B（4，n）代入y＝，得：n＝1，∴B（4，1），把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；（2）根据图象得当0＜x＜1或x＞4，一次函数y＝﹣x+5的图象在反比例函数y＝的下方；∴当x＞0时，kx+b＜的解集为0＜x＜1或x＞4；（3）如图，作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，∵B（4，1），∴B′（4，﹣1），设直线AB′的解析式为y＝px+q，∴，解得，∴直线AB′的解析式为，令y＝0，得，解得x＝，∴点P的坐标为（，0）．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，利用图像解不等式，轴对称最短等知识.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，正确识图是解（2）的关键，根据轴对称的性质确定出点P的位置是解答（3）的关键.26、（203+17）cm．【分析】过点B作BM⊥CE于点M，BF⊥DA于点F，在Rt△BCM和Rt△ABF中，通过解直角三角形可求出CM、BF 的长，再由CE=CM+BF+ED即可求出CE的长．【详解】过点B作BM⊥CE于点M，BF⊥DA于点F，如图所示．在Rt△BCM中，BC=30cm，∠CBM=30°，∴CM=BC•sin∠CBM=15cm．在Rt△ABF中，AB=40cm，∠BAD=60°，∴BF=AB•sin∠3．∵∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，∴四边形BFDM为矩形，∴MD=BF，∴33（cm）．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是（3+17）cm．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及矩形的判定与性质，通过解直角三角形求出CM、BF的长是解题的关键．。
2022-2023学年江苏省南通市启东市长江中学九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2022-2023学年江苏省南通市启东市长江中学九年级（上）期末数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）若点M在抛物线y＝（x+3）2﹣4的对称轴上，则点M的坐标可能是（）A．（3，﹣4）B．（﹣3，0）C．（3，0）D．（0，﹣4）2．（3分）下列事件，是必然事件的是（）A．投掷一枚硬币，向上一面是正面B．同旁内角互补C．打开电视，正播放电影《英雄儿女》D．任意画一个多边形，其外角和是360°3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则sin B的值是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，在函数y＝的图象上有一点A（1，2），将点A先向右平移3k（k＞0）个单位，再向下平移k个单位后恰好又落在图象上，则k的值为（）A．B．C．D．5．（3分）温州是著名水乡，河流遍布整个城市．某河流上建有一座美丽的石拱桥（如图）．已知桥拱半径OC为5m，水面宽AB为m，则石拱桥的桥顶到水面的距离CD为（）A．4m B．7m C．5+m D．6m6．（3分）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm7．（3分）已知点A（0，3），B（﹣4，8），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的，点D与点B对应．则点D的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）或（1，﹣2）D．（2，﹣1）或（﹣2，1）8．（3分）对于向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，满足这样的关系式：h＝vt﹣gt2，其中h是上升高度，v是初始速度，g为重力加速度（g≈10m/s2），t为抛出后的时间．若v＝20m/s，则下列说法正确的是（）A．当h＝20m时，对应两个不同的时刻点B．当h＝25m时，对应一个时刻点C．当h＝15m时，对应两个不同的时刻点D．h取任意值，均对应两个不同的时刻点9．（3分）如图，△ABC三个顶点分别在反比例函数y＝，y＝的图象上，若∠C＝90°，AC∥y轴，BC∥x轴，S△ABC＝8，则k的值为（）A．3B．4C．5D．610．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为（）A．B．C．D．2二．填空题（本大题共8小题，11～12每小题3分，13～18每小题3分，共30分）11．（3分）抛掷六个面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子两枚，向上一面的点数之和为5的概率为．12．（3分）已知一个圆锥的母线长为10cm，将侧面展开后所得扇形的圆心角是144°，则这个圆锥的底面圆的半径是cm．13．（4分）抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴是直线x＝﹣1，若y≥3，则x的取值范围是．14．（4分）如图，AB为⊙O的直径，CB为⊙O的切线，AC交⊙O于D，∠C＝38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是．15．（4分）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该直角三角形内切圆的直径为步．16．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝3时，该函数取得最小值﹣4，设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，若x1＞5，则a的取值范围是．17．（4分）如图，∠XOY＝45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB＝2，那么OC的最大值为．18．（4分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA，使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标为．三．解答题（本大题共8小题，共90分）19．（10分）计算：（1）（3﹣π）0﹣3﹣2+||+2sin60°；（2）．20．（10分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC ＝∠ADB．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．21．（10分）小明、小颖和小凡做“剪刀、石头、布”游戏．游戏规则如下：由小明和小颖做“剪刀、石头、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，布胜石头，剪刀胜布”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同．（1）利用画树状图或列表的方法表示小明和小颖做“剪刀、石头、布”游戏的所有可能出现的结果（其中剪刀、石头、布分别用序号①、②、③表示）；（2）在（1）的基础上，试说明该游戏对三人是否公平？22．（10分）如图，点M为△ABC内切圆的圆心，⊙O是△ABC的外接圆，BM的延长线交AC于点N，交⊙O于点D，连接CD，过点D作直线DE，使∠CDE＝∠ABD．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）求证：CD＝DM；（3）若DN＝2，BN＝4，求DM的长．23．（10分）校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB 向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE＝24米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，≈1.73，sin53°≈，（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）求广告牌CD的高度．24．（13分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1．（1）b＝；（用含a的代数式表示）（2）当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2+bx+c＝0在﹣4＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；（3）若抛物线过点（﹣1，﹣1），当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．25．（13分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，F、G分别为AB、DC边上的动点，连接GF，沿GF将四边形AFGD翻折至四边形EFGP，点E落在BC上，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．（1）写出GF与AE之间的位置关系是：；（2）求证：AE＝2GF；（3）连接CP，若sin∠CGP＝，GF＝，求CE的长．26．（14分）在平面直角坐标系中，若对于任意两点A（x1，y1）、B（x2，y2），都有x1+x2＝y1+y2，则称A、B两点互为“友好点”．已知点A（1，4）．（1）若B（2，1）、C（0，﹣3）、D（2，﹣2），则点A的“友好点”是；（2）若A（1，4）、P（m，n）都在双曲线上，且A、P两点互为“友好点”．请求出点P的坐标；（3）已知抛物线y＝ax2+2bx+3c（a≠0，a，b，c为常数）．顶点为D点，与x轴交于A、B两点，与直线y＝bx+2c交于P、Q两点．若满足①抛物线过点（0，﹣3）；②△DAB 为等边三角形；③P、Q两点互为“友好点”．求（b﹣a﹣199c）的值．2022-2023学年江苏省南通市启东市长江中学九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．【分析】由抛物线解析式可求得其对称轴，则可求得M点的横坐标，可求得答案．【解答】解：∵y＝（x+3）2﹣4，∴抛物线对称轴为x＝﹣3，∵点M在抛物线对称轴上，∴点M的横坐标为﹣3，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．2．【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，必然事件发生的概率为1．【解答】解：A．投掷一枚硬币，向上一面是正面是随机事件，不合题意；B．同旁内角互补是随机事件，不合题意；C．打开电视，正播放电影《英雄儿女》是随机事件，不合题意；D．任意画一个多边形，其外角和是360°是必然事件，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是对必然事件的概念的理解．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin B的值．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴sin B＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．4．【分析】用含有k的代数式表示点A移动后所得到的点的坐标，再代入函数关系式进行计算即可．【解答】解：将点A（1，2）先向右平移3k（k＞0）个单位，再向下平移k个单位后所得到点的坐标为（1+3k，2﹣k），又点（1+3k，2﹣k）在函数y＝的图象上，所以（1+3k）（2﹣k）＝2，解得，k＝0（舍去），或k＝，故选：B．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，表示出移动后的点坐标是解决问题的前提．5．【分析】由于CD为拱桥的桥顶到水面的距离，即CD⊥AB，则根据垂径定理得到AD＝AB ＝2，在Rt△OAD中，利用勾股定理计算出OD＝1，于是得到CD＝OC+CD＝6m．【解答】解：连接OA，如图，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝•4＝2，在Rt△OAD中，OA＝5，OD＝＝＝1，∴CD＝OC+CD＝5+1＝6（m）．故选：D．【点评】本题考查了径定理的应用：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．6．【分析】先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．【解答】解：根据已知条件得下半身长是165×0.60＝99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：＝0.618，解得：y≈8cm．故选：C．【点评】本题主要考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比，难度适中．7．【分析】根据位似变换的性质计算得到答案．【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的，点B的坐标为（﹣4，8），∴点D的坐标为（﹣4×，8×）或，即（﹣1，2）或（1，﹣2）．故选：C．【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似变换的性质是解题的关键．8．【分析】把v＝20m/s，g≈10m/s2代入h＝vt﹣gt2，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得函数的最大值，则问题得解．【解答】解：∵h＝vt﹣gt2，v＝20m/s，g≈10m/s2，∴h＝20t﹣5t2＝﹣5（t2﹣4t）＝﹣5（t﹣2）2+20，∴当t＝2s时，h有最大值为20m，即物体能达到的最大高度为20m，且h＝20m时，只有一个时刻，∴A、B、D均不正确．∵h＝20t﹣5t2为开口向下的二次函数，h有最大值为20m，∴当h＝15m时，对应两个不同的时刻点．∴C正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．9．【分析】设点C的坐标为（m，），则点A的坐标为（m，），点B的坐标为（km，），＝8，即可求出k值，取由此即可得出AC、BC的长度，再根据三角形的面积结合S△ABC其正值即可．【解答】解：设点C的坐标为（m，），则点A的坐标为（m，），点B的坐标为（km，），∴AC＝﹣＝，BC＝km﹣m＝（k﹣1）m，＝AC•BC＝（k﹣1）2＝8，∵S△ABC∴k＝5或k＝﹣3．∵反比例函数y＝在第一象限有图象，∴k＝5．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，设出点C的坐标，表示出点A、B的坐标是解题的关键．10．【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，然后根据△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP′，∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，∴△CAB∽△CP′O，∴，∴，∴OP′＝，∴则PQ的最小值为2OP′＝，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线各种相似三角形．二．填空题（本大题共8小题，11～12每小题3分，13～18每小题3分，共30分）11．【分析】列表得出所有等可能的结果数和向上一面的点数之和为5的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：共有36种等可能的结果，其中向上一面的点数之和为5的有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种结果，∴向上一面的点数之和为5的概率为＝．故答案为：．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．12．【分析】由于圆锥的母线长为10cm，侧面展开图是圆心角为144°扇形，利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即可求解．【解答】解：设圆锥底面半径为rcm，那么圆锥底面圆周长为2πrcm，所以侧面展开图的弧长为cm，则2πr＝，解得：r＝4，故答案为：4．【点评】本题主要考查了有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：①圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；②圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．13．【分析】由抛物线对称性及经过点（0，3）求解．【解答】解：由图象可得抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∵抛物线经过点（0，3），由对称性可得抛物线经过点（﹣2，3），∴y≥3时x的取值范围是﹣2≤x≤0．故答案为：﹣2≤x≤0．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，由抛物线对称性求解．14．【分析】接BD，由AB是⊙O的直径得∠ADB＝90°，由CB为⊙O的切线得∠ABC＝90°，根据同角的余角相等求出∠ABD＝38°，则∠AED＝∠ABD＝38°．【解答】解：如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD+∠BAC＝90°，∵CB为⊙O的切线，∴CB⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠BAC＝90，∴∠ABD＝∠C＝38°，∴∠AED＝∠ABD＝38°，故答案为：38°．【点评】此题考查圆的切线的性质、同角或等角的余角相等、圆周角定理及其推论等知识，正确的作出所需要的辅助线是解题的关键．15．【分析】如图，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O为Rt△ABC的内切圆，分别与三边切于D、E、F，连接OD、OE，如图，设⊙O的半径为r，根据切线的性质得到OD⊥BC，OE⊥AC，再证明矩形ODCE为正方形得到CD＝CE＝OD＝r，所以BF＝BF＝5﹣r，AE ＝AF＝12﹣r，所以5﹣r+12﹣r＝13，解方程求出r，从而得到⊙O的直径．【解答】解：如图，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，⊙O为Rt△ABC的内切圆，分别与三边切于D、E、F，连接OD、OE，如图，设⊙O的半径为r，∵AC、BC与⊙O相切，∴OD⊥BC，OE⊥AC，∴四边形ODCE为矩形，而CD＝CE，∴矩形ODCE为正方形，∴CD＝CE＝OD＝r，∴BD＝5﹣r，AE＝12﹣r，∵BD＝BF，AF＝AE，∴BF＝5﹣r，AF＝12﹣r，∵AB＝＝13，∴5﹣r+12﹣r＝13，解得r＝2，∴⊙O的直径为4．故答案为4．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的性质．16．【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝3时，该函数取得最小值﹣4，可以写出该函数的顶点式，得到a＞0，再根据该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，x1＞5，可知，当x＝5时，y＜0，即可得到a的取值范围，本题得以解决．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝3时，该函数取得最小值﹣4，∴a＞0，该函数解析式可以写成y＝a（x﹣3）2﹣4，∵设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，x1＞5，∴当x＝5时，y＜0，即a（5﹣3）2﹣4＜0，解得a＜1，∴a的取值范围为0＜a＜1，故答案为：0＜a＜1．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．17．【分析】根据题意得到当两个顶点A、B分别在OX、OY上移动时，即为点O在以AB 为弦所含的圆周角为45°的弧上运动，设A，B，O三点所在圆的圆心为M，当O，M，C三点共线时，OC的值最大，如图，连接AM，BM，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：∵AB＝2为定线，∠XOY＝45°为定角，∴当两个顶点A、B分别在OX、OY上移动时，即为点O在以AB为弦所含的圆周角为45°的弧上运动，设A，B，O三点所在圆的圆心为M，当O，M，C三点共线时，OC的值最大，如图，连接AM，BM，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∵AM＝BM，∴OC垂直平分AB，∵∠AOB＝45°，∴∠AMB＝90°，∵AB＝2，∴AM＝，DM＝AD＝BD＝1，∴OM＝，CD＝，∴OC＝OM+DM+CD＝+1，故答案为：+1．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确的作出图形是解题的关键．18．【分析】确定抛物线表达式，再证明△ANM≌△MQP（AAS），则MN＝PQ，MQ＝AN，即可求解．【解答】解：∵直线y＝x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，∴A（0，﹣3），∵B（﹣4，﹣5），∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣3，如图，过点M作直线l∥y轴，过点A作AN⊥l于N，过点P作PQ⊥l于Q，∵PM⊥AB且AM＝PM，则∠NAM+∠NMA＝90°，∠NMA+∠PMQ＝90°，∴∠PMQ＝∠NAM，而∠ANM＝∠MQP＝90°，∴△ANM≌△MQP（AAS），∴MN＝PQ，MQ＝AN，设M（m，m﹣3），∵A（0，﹣3），∴N（m，﹣3），∴Q（m，m﹣3），∴PQ＝MN＝﹣m＝x P﹣x Q＝x P﹣m，∴x P＝，MQ＝AN＝﹣m＝y M﹣y P＝m﹣3﹣y P，∴y P＝m﹣3，∴m﹣3＝（m）2+×m﹣3，∴m＝﹣3或m＝0（舍），∴P（﹣，﹣），故答案为（﹣，﹣）．【点评】本题考查的是二次函数的性质，主要考查函数图象上点的坐标特征和三角形全等，有一定的综合性，难度适中．三．解答题（本大题共8小题，共90分）19．【分析】（1）先计算零指数幂和负整数指数幂，再化简绝对值，代入特殊角的函数值算乘法，最后算加减；（2）先代人特殊角的函数值，再计算分子、分母，最后利用除法法则得结论．【解答】解：（1）（3﹣π）0﹣3﹣2+||+2sin60°＝1﹣+2﹣+2×＝1﹣+2﹣+＝；（2）＝＝＝．【点评】本题主要考查了实数的运算，掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的函数值及绝对值的意义是解决本题的关键．20．【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC＝∠ADB可得出∠ADE＝∠C，结合∠DAE ＝∠CAD即可证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD＝AB即可得出AB的长．【解答】（1）证明：∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∠ADB＝∠DAE+∠C，∠DEC＝∠ADB，∴∠ADE＝∠C．又∵∠DAE＝∠CAD，∴△AED∽△ADC．（2）∵△AED∽△ADC，∴＝，即＝，∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB，∴AB＝2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长．21．【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数；（2）找出小明与小颖获胜的情况数，求出两人获胜的概率，继而得出小凡获胜的概率，比较即可得到结果．【解答】解：（1）列出表格，如图所示：②①③②（②，②）（①，②）（③，②）①（②，①）（①，①）（③，①）③（②，③）（①，③）（③，③）由列表可知所有等可能的情况有9种；（2）小明获胜的情况有3种，小颖获胜的情况有3种，∴P（小明获胜）＝P（小颖获胜）＝＝，∴P（小凡获胜）＝，∴这个游戏对三人公平．【点评】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．22．【分析】（1）连接OD，交AC于点F，根据已知可得BM平分∠ABC，从而可得∠ABD ＝∠CBD，进而可得＝，然后利用垂径定理的推论可得OD⊥AC，然后再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ABD＝∠ACD，从而可得∠ACD＝∠CDE，进而可得AC∥DE，最后利用平行线的性质可得OD⊥DE，即可解答；（2）连接CM，根据已知可得CM平分∠BCA，从而可得∠BCM＝∠ACM，再利用（1）的结论可得∠ACD＝∠CBD，然后再利用三角形的外角性质以及角的和差关系可得∠MCD＝∠CMD，从而利用等角对等边即可解答；（3）根据已知可得BD＝6，然后再利用两角相等的两个三角形相似可得△DCN∽△DBC，从而利用相似三角形的性质可得DC＝2，最后利用（2）的结论即可解答．【解答】（1）证明：连接OD，交AC于点F，∵点M为△ABC内切圆的圆心，∴BM平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴OD⊥AC，∵∠CDE＝∠ABD，∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠CDE，∴AC∥DE，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴直线DE是⊙O的切线；（2）证明：连接CM，∵点M为△ABC内切圆的圆心，∴CM平分∠BCA，∴∠BCM＝∠ACM，∵∠ABD＝∠CBD，∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠CBD，∵∠MCD＝∠ACM+∠ACD，∠CMD＝∠CBD+∠BCM，∴∠MCD＝∠CMD，∴DC＝DM；（3）解：∵DN＝2，BN＝4，∴BD＝DN+BN＝6，∵∠CDN＝∠CDB，∠ACD＝∠CBD，∴△DCN∽△DBC，∴＝，∴DC2＝DN•DB＝2×6＝12，∴DC＝2，∴DM＝DC＝2，∴DM的长为2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．【分析】（1）根据坡度的意义，求出∠BAM＝30°，再利用直角三角形的边角关系求出答案；（2）在Rt△ABM中求出AM，进而求出ME，即BN，再在Rt△BCN中，得出CN＝BN，在Rt△ADE中由边角关系求出DE，最终求出CD，取近似值得出答案．【解答】解：（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝12米，AE＝24米，∵i＝1：＝＝tan∠BAM，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝6（米），即点B距水平地面AE的高度为6米；（2）在Rt△ABM中，∴NE＝BM＝AB＝6（米），AM＝AB＝6（米），∴ME＝AM+AE＝（6+24）米，∵∠CBN＝45°，∴CN＝BN＝ME＝（6+24）米，∴CE＝CN+NE＝（6+30）米，在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝24米，∴DE＝AE•tan53°≈24×＝32（米），∴CD＝CE﹣DE＝6+30﹣32＝6﹣2≈8.4（米）答：广告牌CD的高约8.4米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键．24．【分析】（1）x＝﹣＝﹣1，即可求解；（2）该方程在在﹣4＜x＜1的范围内有解，则△＝4+4c≥0，即可求解；（3）抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，即该点坐标为（1，4）或（1，﹣4），即可求解．【解答】解：（1）x＝﹣＝﹣1，故b＝2a，故答案为：2a；（2）当a＝﹣1时，函数表达式为：y＝﹣x2﹣2x+c，方程为：x2+2x﹣c＝0，该方程在在﹣4＜x＜1的范围内有解，则△＝4+4c≥0，即c≥﹣1；同时要满足：当x＝﹣4时，y＜0或x＝1时，y＜0，即﹣16+8+c＜0或﹣1﹣2+c＜0，故c＜8或c＜3，故c＜8，故﹣1≤c＜8；（3）抛物线过点（﹣1，﹣1），该点是抛物线的顶点，则函数的表达式为：y＝a（x+1）2﹣1，当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，而顶点到x轴的距离为1，则x＝1时，该点的y坐标为4或﹣4，即该点坐标为（1，4）或（1，﹣4），将点（1，4）或（1，﹣4），代入函数表达式得：4＝a（1+1）2﹣1或﹣4＝a（1+1）2﹣1，解得：a＝或﹣．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，代表的意义及函数特征等．25．【分析】（1）由折叠的性质容易得出结论；（2）过G作GM⊥AB于M，证△ABE∽△GMF，得＝＝＝＝2，即可得出结论；（3）过P作PK⊥BC，交BC的延长线于K，由折叠的性质得AF＝EF，∠FEP＝∠FAD ＝∠D＝∠EPG＝90°，再证出∠BFE＝∠PEC＝∠CGP，则sin∠BFE＝＝，设BE ＝3x，则AF＝EF＝5x，BF＝4x，AB＝AF+BF＝9x，然后在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）解：由折叠的性质得：∠AOF＝∠EOF，∵∠AOF+∠EOF＝180°，∴∠AOF＝∠EOF＝90°，∴GF⊥AE，故答案为：GF⊥AE；（2）证明：过G作GM⊥AB于M，如图1所示：则∠FMG＝90°，四边形ADGM是矩形，∴AD＝GM，∠MFG+∠MGF＝90°，由（1）得：GF⊥AE，∴∠MFG+∠FAO＝90°，∴∠BAE＝∠MGF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°＝∠FMG，∴△ABE∽△GMF，∴＝＝＝＝2，∴AE＝2GF；（3）解：过P作PK⊥BC，交BC的延长线于K，如图2所示：由折叠的性质得：AF＝EF，∠FEP＝∠FAD＝∠D＝∠EPG＝90°，∴∠CGP+∠GHP＝90°，∵∠PEC+∠EHC＝90°，∠GHP＝∠EHC，∴∠PEC＝∠CGP，∵∠BFE+∠BFE＝∠BEF+∠PEC＝90°，∴∠BFE＝∠PEC＝∠CGP，∵sin∠CGP＝，∴sin∠BFE＝＝，设BE＝3x，则AF＝EF＝5x，∴BF＝＝＝4x，∴AB＝AF+BF＝9x，∵AE＝2GF，GF＝，∴AE＝2，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2，即（9x）2+（3x）2＝（2）2，解得：x＝或x＝﹣（舍去），∴AB＝9x＝6，BE＝3x＝2，∵AB＝2BC，∴BC＝3，∴CE＝BC﹣BE＝3﹣2＝1．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、翻折变换的性质以及勾股定理是解题的关键．26．【分析】（1）利用互为“友好点”的定义进行逐一判断即可得出结论；（2）利用待定系数法求得k值，利用互为“友好点”的定义列出关于m的方程，解方程求得m值即可得出结论；（3）利用待定系数法求得c值，利用△DAB为等边三角形得到b2+3a＝3，将抛物线与直线联立得到ax2+bx﹣1＝0，设P（x1，bx1﹣2），Q（x2，bx2﹣2），利用一元二次方程根与系数的关系得到；利用P、Q两点互为“友好点”，得到x1+x2＝bx1﹣2+bx2﹣2，整理得到b2＝b﹣4a，将此式子代入b2+3a＝3中即可得出b﹣a值，将b﹣a，c值代入运算即可得出结论【解答】解：（1）∵1+2≠1+4，∴点A与点B不是互为“友好点”；∵1+0＝4+（﹣3），∴点A与点C是互为“友好点”；∵1+2≠4+（﹣3），∴点A与点D不是互为“友好点”，综上，点A的“友好点”是点C，故答案为：C（0，﹣3）；（2）∵A（1，4）在双曲线上，∴k＝4．∴P（m，）．∵A、P两点互为“友好点”，∴1+m＝4+，解得：m＝﹣1或m＝4．∴P（﹣1，﹣4）或（4，1）；（3）∵抛物线y＝ax2+2bx+3c过点（0，﹣3），∴3c＝﹣3，∴c＝﹣1．∵抛物线y＝ax2+2bx+3c与x轴交于A、B两点，∴AB＝．∵抛物线y＝ax2+2bx+3c的顶点为D点，∴D（﹣，）．则△DAB中AB边上的高为||．∵△DAB为等边三角形，∴||＝×，∴（2b）2﹣12ac＝12，∵c＝﹣1，∴b2+3a＝3．∵抛物线y＝ax2+2bx+3c与直线y＝bx+2c交于P、Q两点，∴，∴ax2+bx﹣1＝0．设P（x1，bx1﹣2），Q（x2，bx2﹣2），则x1，x2是方程ax2+bx﹣1＝0的两个根，∴．∵P、Q两点互为“友好点”，∴x1+x2＝bx1﹣2+bx2﹣2，∴＝b×（）﹣4，∴b2＝b﹣4a．∴b﹣4a+3a＝3．∴b﹣a＝3．∴b﹣a﹣199c＝3+199＝202．【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，等边三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义的意义是解题的关键．。
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江苏启东东海中学2022初三寒假作业-数学 一、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1.已知a为实数，那么2a的值为（ ）
A.a B.-a C.-1 D.0 2.若32x，54y，则yx22的值为（ ）
A.53 B.-2 C.553 D.56
3.已知m，n是方程x2－2x－1＝0的两根，且（7m2－14m＋a）（3n2－6n－7）＝8，则a的值等于（ ） A.-5 B.5 C.-9 D.9 4.在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（ ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 5.如图，过边长为1的等边三角形ABC边AB上的一点P，作PE垂直AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A.31 B.21 C.32 D.不能确定
第5题 第6题 第7题 6.二次函数cbxaxy2的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（ ） A．21yy B．21yy C．21yy D．不能确定 7.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD=（ ） A.70 B.60 C.50 D.40 8.甲理想者打算用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙理想者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提早3天完成任务，则甲理想者打算完成此项工作的天数是（ ） A.8 B.7 C.6 D.5 9.将抛物线y=2x2-12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ） A.y=-2x2-12x+16 B.y=-2x2+12x-16 C.y=-2x2+12x-19 D.y=-2x2+12x-20 10.如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在 正方形的相邻的两边上同时滑动．假如Q点从A点动身，沿图中所 示方向按A→B→C→D→A滑动到A点，同时点R从B点动身，沿图 中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B点.在那个过程中，线段QR 的中点M所通过的路线围成的图形的面积为（ ） A.2 B.4-π C.π D.π-1 二、填空题（每小题3分，满分24分）
11.若关于x的分式方程131xxax无解，则a= .
12.已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，如此的三角形一共能作出 个．
13.若关于x的一元二次方程012)2(222kxkx有实数根α，β，设kt，
则t的最小值是 . 14.如图，⊙A、⊙B的圆心A、B在直线l上，两圆半径都为1cm，开始时圆心距AB=4cm，现⊙A、⊙B同时沿直线l以每秒2cm的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙A运动的时刻为 秒.
第14题 第16题 第18题 15.在一次数学测验中，某校有100名同学参加测试，测试结果显示，该校男生的优分率为60%，女生的优分率为40%，全校的优分率为49.6%．则甲校参加测试的男生人数是 .
16.如图，直线y=kx+b通过A（2，1），B（-1，-2）两点，则不等式x21＞kx+b＞-2的解集
为 . 17.使不等式组axaxxx)1(343450312恰有两个整数解，则实数a的取值范畴是 .
18.如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为43，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地运算出n4343434332= .
三、解答题（本大题共10小题，满分96分） 19.（10分）已知：)210321(3121， )321432(3132， )432543(3143， 由以上三个等式相加，可得 .2054331433221 读完以上材料，请你运算下列各题： （1）1110433221
（2）)1(433221nn
（3）987543432321 20.（8分）已知x1，x2是方程x2-2x+a=0的两个实数根，且x1+2x2=3-2（1）求x1，x2及a的值； （2）求x13-3x12+2x1+x2的值． （1）表中m和n所表示的数分别为：m= ，n= ； （2）请在图中，补全频数分布直方图； （3）竞赛成绩的中位数落在哪个分数段； （4）假如竞赛成绩80分以上（含80分）能够获得奖励，那么获奖率是多少？
22.（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE＝23，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半径； （2）求图中阴影部分的面积．
23.（8分）如图，正比例函数y=x21的图象与反比例函数y=xk（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1． （1）求反比例函数的解析式； （2）假如B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合）， 且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小． 24.（8分）小沈预备给小陈打 ，由于保管不善， 本上的小陈手机号码中，有两个数字已模糊不清．假如用x、y表示这两个看不清的数字，那么小陈的手机号码为139x370y580（手机号码由11个数字组成），小沈记得这11个数字之和是20的整数倍． （1）求x+y的值； （2）求小沈一次拨对小陈手机号码的概率．
25.（9分）在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口动身，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为y1、y2（km），y1、y2与x的函数关系如图所示． （1）填空：A、C两港口间的距离为 ，a= ； （2）求图中点P的坐标，并说明该点坐标所表示的实际意义； （3）若两船的距离不超过10km时能够相互望见，求甲、乙两船能够相互望见时x的取值范畴. 26.（10分）如图，已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A．二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上． （1）求点A与点C的坐标； （2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y=ax2+bx的关系式．
27.（12分）如图在△ABC和△CDE中，AB=AC=CE，BC=DC=DE，AB＞BC，∠BAC=∠DCE=∠α，点B、C、D在直线l上，按下列要求画图（保留画图痕迹）； （1）画出点E关于直线l的对称点E′，连接CE′、DE′； （2）以点C为旋转中心，将（1）中所得△CDE′按逆时针方向旋转，使得CE′与CA重合，得到△CD′E″（A）．画出△CD′E″（A）．并解决下面问题： ①线段AB和线段CD′的位置关系是 ． ②求∠α的度数．
28.（14分））（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你能够按这一思路证明，也能够选择另外的方法证明． 证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．因为正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE． （下面请你完成余下的证明过程） （2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由． （3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，请你作出猜想：当∠AMN= 时，结论AM=MN仍旧成立．（直截了当写出答案，不需要证明） 2020-2020寒假作业答案 一、DACBB CDADB
20.(1)x1=1+2, x2=1-2,a=-1 (2)1 21.（1）90,0.3 （3）70-80 （4）40% 22.(1)r=2; （2）-2
23.（1）x2y （2）P(35,0)
24.(1)4 (2)51 25.(1)120,2 (2)P(1,30),意义为：两船动身1 h后，甲船追上乙船， 现在两船离B港的距离
为30 km．
(3)3432X
26.(1)A(1,-2),C(2,0) (2)y=-2x2+4x 27.(1)图略
(2)①平行， 理由：∵∠D6E=∠D6E′=∠D′6A=∠α， ∴∠aAC=∠D′CA=∠α， ∴AB∥CD′． ②∵AB∥1D′， ∴∠ABC=∠D′CD=2∠α，
在△AEM和△MCN中：∵ ∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN （2）仍旧成立． 在边AB上截取AE=MC，连接ME
∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°， ∴∠ACP=120°． ∵AE=MC，∴BE=BM
∴∠BEM=∠EMB=60°
∴∠AEM=120°．