定积分及其应用PPT课件

第一步 分割. 任取分点T1=t0<t1<t2<…<tn-1<tn=T2，把［T1，T2］分成n个小段，每小 段长为Δti=ti-ti-1（i=1,2,…,n）; 第二步 取近似. 把每小段［ti-1，ti］上的运动视为匀速，任取时刻ξi∈［ti-1，ti］，做乘 积v（ξi）Δti，显然这小段时间所走路程Δsi可近似表示为 Δsi≈v（ξi）Δti,i=1,2,…,n 第三步 求和. 把n个小段时间上的路程相加，就得到总路程s的近似值，即
第
六
定源自文库分及其应用
章
6.1 定积分的概念与性质 6.2 微积分的基本公式 6.3 定积分的计算 *6.4 广义积分 6.5 定积分的应用 6.7 数学实验六
目录
6.1 定积分的概念与性质
在科学技术和现实生活的许多问题中，经 常需要计算某些“和式的极限”.定积分就是 从各种计算“和式的极限”问题中抽象出的数 学概念，它与不定积分是两个不同的数学 概念.但微积分基本定理却把这两个概念联 系起来，解决了定积分的计算问题，使定 积分得到了广泛的应用.
当λ→0，即n→∞时（现在λ=1n），上式两端取极限即得
6.1 定积分的概念与性质
6.1.3 定积分的几何意义与几何性质 1. 定积分的几何意义 在求曲边梯形面积的问题中，我们看到，如果f（x）>0，图像在x轴之上，积分值为正， 有∫baf（x）dx=A;如果f（x）≤0，那么图像位于x轴下方，积分值为负，即∫baf（x） dx=-A. 如果f（x）在［a，b］上有正有负时，则积分值就等于曲线y=f（x）在x轴上方部分与 下方部分面积的代数和（见图6-2）有∫baf（x）dx=A1-A2+A3 这就是定积分的几何意义.
定理6.1 若函数f（x）在区间［a，b］上连续，则f （x）在［a，b］上可积．
定理6.2 若函数f（x）在区间［a，b］上有界，且 只有有限个间断点，则f（x）在［a，b］上可积．
6.1 定积分的概念与性质
例 【例6-1】利用定积分的定义计算定积分∫10x2dx. 解 因为被积函数f(x)=x2在积分区间［0，1］上连续，而连续函数一定可积，所以定积分 的值与区间［0，1］的分法及点ξi的取法无关，因此，为了便于计算，不妨把区间［0，1］ 分为n等份，这样，每个小区间［xi+1，xi］的长度Δxi=1/n，分点为xi=i/n，取ξi=xi，由此 得到积分和式
6.1 定积分的概念与性质
定义6.1 设函数f（x）在［a，b］上有界，在［a，b］中任意插入n-1个分点
a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b，把区间［a，b］分成n个小区间，其长度Δxi=xi-xi-1（i=1，2，…，n），
在每个小区间［xi，xi-1］上任取一点ξi，做积f（ξi）Δxi（i=1，2，…，n），
6.1 定积分的概念与性质
6.1.1 引例 1. 曲边梯形的面积 设曲线y=f（x）在x轴的上方且连续，由这条曲 线和直线x=a，x=b，y=0所围成的图形（见图 6-1）称为曲边梯形，其中曲线称为曲边.由于曲 边梯形在底边上的高f（x）在区间［a，b］上是 变化的，所以它的面积不能直接运用初等数学方 法计算出来，于是我们采用如下方法来解决：
做和式
（称为积分和）；记λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}，
若极限
存在，则称f（x） 在［a，b］上可积，并称以上的极限值为函数f（x）在［a，b］
上的定积分，记作∫baf（x）dx，即 其中称f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，x为积分变量，［a，b］为积分区间，a为积分下
限，b为积分上限，∫ 为积分号．
6.1 定积分的概念与性质
第三步 求和. 把n个小矩形面积相加就得到曲边梯形面积的 近似值，即
第四步 取极限.
为了保证全部Δxi都无限缩小，我们要求小区间 长度中最大值
趋向于零，这时和式
的极限就是曲
边梯形面积A的精确值，即
（6-1）
6.1 定积分的概念与性质
2. 变速直线运动的路程 设物体做变速直线运动，已知速度v=v（t）是时间间隔［T1，T2］上的连续函数，且v （t）≥0，试计算这段时间内所走的路程.
图 6-1
6.1 定积分的概念与性质
第一步 分割. 任取分点a=x0<x1<x2<…<xn1<xn=b，把底边［a，b］分成n个 小区间［xi-1，xi］（i=1，2，3，…， n），小区间的长度记为Δxi=xi-xi-1 （i=1，2，3，…，n）;
第二步 取近似. 在每个小区间［xi-1，xi］上任取一点 ξi，竖起高线为f（ξi），则得小曲边梯 形面积ΔAi的近似值为ΔAi≈f（ξi）Δxi （i=1，2，3，…，n）;
第四步 取极限. 记
，则
（6-2）
6.1 定积分的概念与性质
6.1.2 定积分的概念 以上两个实例有不同的实际意义，前者是几何 量，后者是物理量，但计算这些量使用的方法 是相同的．抛开两个问题的实际意义，比较式 （6-1）和式（6-2），从表达式在数量关系上 的共同特征，抽象出定积分的定义．
微课：定积分的概念
6.1 定积分的概念与性质
6.1.4 定积分的性质
图 6-2
6.1 定积分的概念与性质
2. 定积分的几何性质
（1）若f(x)在［－a，a］上连续，且f(x)为奇函数，则
（2）若f(x)在［－a，a］上连续，且f(x)为偶函数，则
例
【例6-2】 求
.
解 由定积分的几何意义知，
积，故
表示以原点为圆心，a为半径的上半圆的面
【例6-3】 计算
.
解 因为f(x)=x2sinx在［－π，π］上是奇函数，所以
注意：定积分∫baf（x）dx是乘积和的极限，它是一个数，与函数f（x）和区间［a，b］有关，而与积分变量的选 择无关，即∫baf（x）dx=∫baf（t）dt=∫baf（u）du
6.1 定积分的概念与性质
由定积分的定义，前面两个实例可分别表述为： 由曲线y=f（x）（≥0），直线x=a，x=b和x轴围成的曲边梯形面积为 以速度v（t）（≥0）做变速直线运动的物体，从时刻T1到T2通过的路程为 下面我们不加证明地给出函数f（x）在区间［a，b］上可积的两个充分条件.