不定积分ppt课件
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高等数学-第七版-课件-8-1 不定积分概念与基本积分公式
高等教育出版社
dx 1 x
2
2
ln( x 1 x ) C ,
2
1 2 1 x dx x 1 x arcsin x C . 2
数学分析 第八章 不定积分
不定积分的几何意义
像是 f (x) 的一条积分曲线. y 所有的积分曲线都是
由其中一条积分曲线 沿纵轴方向平移而得 到的.
f ( x ) f ( x ) 0.
由第六章拉格朗日中值定理的推论, 即知
F ( x ) G( x ) C .
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§1 不定积分概念与基本积分公式
原函数
不定积分
定义2
不定 积分
不定积分的 几何意义
基本积分表
函数 f 在区间 I 上的全体原函数称为 f 在 I 上
5. e dx e C . x a x 6. a dx C. ln a
x x
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§1 不定积分概念与基本积分公式
原函数
不定 积分
不定积分的 几何意义
基本积分表
8. sin xdx cos x C .
9. sec xdx tan x C .
定理8.1（原函数存在性定理）
若函数 f 在区间 I 上连续, 则 f 在 I 上存在原函
数 F, 即
F ( x ) f ( x ).
在第九章中将证明此定理.
数学分析 第八章 不定积分
高等教育出版社
§1 不定积分概念与基本积分公式
原函数
不定 积分
不定积分的 几何意义
高等数学第四章 第四节 不定积分 课件
例3
解
计算由 y 2 2 x 和 y x 4所围图形的面积.
选 y 为积分变量
y x4
y2 2 x
y2 dA( y ) ( y 4) dy, y [2, 4] 2
4
A
4
2
dA( y )
2
y (y 4 )d y 18. 2 2
与 y 0 所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋转构成旋转 体的体积.
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
y( x )
a
Vx
2a
0
y 2dx
2a
a 2 (1 cost )2 d[a( t sint )]
0
2
5 2a 3 .
20/31
例 4
求摆线 x a( t sin t ) ， y a(1 cos t ) 的一拱
a 4 2 0 3 π ab
方法2 利用椭圆参数方程
y O
b
x
ax
则
V 2 π y 2 dx 2 π ab 2 sin 3t d t
0
a
2 2 π ab 1 3 4 π ab 2 3
2
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 π a . 3
a xxdx
b x
例 2
计算由曲线 y x 3 6 x 和 y x 2 所围成
的图形的面积.
解
A f1 ( x) f 2 ( x) dx
a
b
y x3 6x
两曲线的交点
y x 6x 2 y x
3
y x2
高等数学(第三版)课件：不定积分的积分方法
还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中,关 键是换元,若在被积函数中作变量代换 j(x) = u,还需要在
被积表达式中再凑出 j '(x)dx 即 dj(x),也就是 du ,这样才能
以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为
f j(x)dj(x) f (u) du Fj(x) C
在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第 一换元积分法也称为“凑微分”法.
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将 t j1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
定理2 设 x j(t) 是单调可导的函数，且
j(t) 0. 如果 f j(t)j(t) dt F(t) C,
则有
f (x) d x f j(t)j(t) d t F(t) C
3
1
2x
dx
1 u
1 2
du
=
1 2
1 du u
12 u C 2
3 2x C.
例4 求 x x2 4 dx.
解 令u x2 4，则du 2xdx，则
x
x2
4dx
1 2
udu
12 3
= 2 3u2 C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
例5
求
(lnx)2
dx x
解 1 dx d(ln x)， x
= sect dt
= ln | sect tant | C.
x
x2 a2
t
a
根据sec t x ,利用图所示三角形，易得 a
对边 tan t 邻边
x2 a2 ， a
高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分
如果一个函数存在原函数，那么这些原函数之间有什 么关系呢？
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
《高等数学》教学课件 第4章
〔4-3〕
例1 求 2exdx 。
解
2exdx 2 exdx 2ex C
性质2 两个函数代数和的积分等于它们积分的代数和，即
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
〔4-4〕
例2 求 (2x cos x)dx 。
解
(2x cos x)dx 2xdx cosxdx x2 sin x C
令us100
1
1
0.05 u 2du 0.1u 2 C
回代
1
0.1(s 100)2 C
又因为 Q(0) 0，得 C 1 ，故
1
Q 0.1(s 100)2 1
3
例2 求 (1 2x) dx 。
解 将dx凑成 dx 1 d(1 2x) ，则 2
(1
3
2x) dx
1 2
(1
2x)3
二、不定积分的概念
定义2 如果函数 F (x) 是 f (x) 的一个原函数，那么表达式 F (x) C
（ C为任意常数）称为 f (x) 的不定积分，记为 f (x)dx ，即
f (x)dx F (x) C
其中“ ”称为积分号，x 称为积分变量，f (x) 称为被积函
数，f (x)dx 称为被积表达式， C 称为积分常数。dx
1 2a
a
1
x
dx
a
1
x
dx
1 ( ln a x ln a x ) C 2a
1 ln a x C. 2a a x
同理有
1
1 xa
dx ln
C
x2 a2 2a x a
例10 求 csc xdx 。
解
csc xdx
换元法求不定积分 ppt课件
(a23t2a2 1)23 C (a32a2xx23)23 C
当 x < 0 时, 类似可得同样结果 .
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
(1 ) f(x,na x b )d x,令 tnaxb
(2)
f(x,nc ax x d b)dx,
令
t
n
axb cxd
(3 ) f(x, a 2 x 2)d x,令 xasitn或 x a ctos
解: 令 x a sti,tn ( 2 , 2 ),则
a 2 x 2a 2 a 2 s2 it n aco t s
dxaco tdts
ax
∴ 原式 acotsacotdsta2 co2tsdt
a 2t sin2t C
t
a2 x2
24 s2 it n 2 sti cn to 2 s x
5
3
例9.
求
dx 1 ex
.
解法1
dx
1 ex
(1ex)ex 1ex
dx
dx
d(1ex) 1ex
xln1 (ex)C
解法2
dx
1 ex
ex 1ex
dx
d(1ex) 1ex
ln 1 (ex)C
l1 n e x ( ) le n x ( e x [ 1 )] 两法结果一样
例10. 求secxdx.
∴
原式
asettcatndt atant
setcdt
ln ste tc a t n C 1
ln ax
x2a2 a
C 1
x x2 a2
t
a
lnxx2a2C(C C 1 ln a )
当 xa时 ,令 xu,则ua,于是
不定积分分部积分法PPT课件
t
x
C
4积分时要注意换元法和分部积分法的综合使用。
5利用分部积分求单个函数的不定积分 例8 求积分
1 解： ln xdx x ln x xdx x ln x x C . x
例9 求积分
x arctan x
ln xdx
xdx arctan x
1 x
2
dx
1 1 2 x arctan x d (1 x ) 2 2 1 x 1 x arctan x ln(1 x 2 ) C . 2
二、第四章复习
主要内容：直接积分法，换元法，分部积分法。 1、直接积分法中的基本函数积分表， 基本性质和基本的恒等变形。 2、第一换元法的四个步骤，关键在于第一步凑 微分。 3、第二换元法中的三个基本方法 4、分部积分法 5、几种方法的综合应用
例2 求积分 解
x xe dx
xe
x
dx .
xde x
xe x e x dx
xe e C .
x x
例3 求积分 x arctan xdx .
x2 解 x arctan xdx arctan xd 2
x2 x2 arctan x d (arctan x ) 2 2 x2 x2 1 arctan x dx 2 2 2 1 x x2 1 1 arctan x (1 )dx 2 2 2 1 x x2 1 arctan x ( x arctan x ) C . 2 2
课堂练习题
求下列不定积分
dx 1. 5x 7
2.
3. x 1 x 2 dx
1 5. dx 2 x ln x
x
C
4积分时要注意换元法和分部积分法的综合使用。
5利用分部积分求单个函数的不定积分 例8 求积分
1 解： ln xdx x ln x xdx x ln x x C . x
例9 求积分
x arctan x
ln xdx
xdx arctan x
1 x
2
dx
1 1 2 x arctan x d (1 x ) 2 2 1 x 1 x arctan x ln(1 x 2 ) C . 2
二、第四章复习
主要内容：直接积分法，换元法，分部积分法。 1、直接积分法中的基本函数积分表， 基本性质和基本的恒等变形。 2、第一换元法的四个步骤，关键在于第一步凑 微分。 3、第二换元法中的三个基本方法 4、分部积分法 5、几种方法的综合应用
例2 求积分 解
x xe dx
xe
x
dx .
xde x
xe x e x dx
xe e C .
x x
例3 求积分 x arctan xdx .
x2 解 x arctan xdx arctan xd 2
x2 x2 arctan x d (arctan x ) 2 2 x2 x2 1 arctan x dx 2 2 2 1 x x2 1 1 arctan x (1 )dx 2 2 2 1 x x2 1 arctan x ( x arctan x ) C . 2 2
课堂练习题
求下列不定积分
dx 1. 5x 7
2.
3. x 1 x 2 dx
1 5. dx 2 x ln x
高等数学第四章 第二节不定积分 课件
1 x+ 1 例17 求 ∫ (1 − 2 )e x dx . x ′ 1 1 解 ∵ x + = 1− 2 , x x
1 ∴ ∫ (1 − 2 )e x = ∫e
x+ 1 x
x+
1 x
dx
1 x+ 1 d( x + ) = e x + C. x
例18 求 解
cot x dx ∫ ln sin x
同样可证
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
或
x 1 1 − cos x = ln tan + C = ln + C. 2 1 + cos x 2
1 dx . 例12 求∫ 1 + cos x 1 1 − cos x 解法一 ∫ dx = ∫ dx 1 + cos x (1+ cos x)(1− cos x) 1 − cos x 1 1 dx = ∫ 2 dx − ∫ 2 d (sin x ) =∫ 2 sin x sin x sin x 1 = − cot x + + C. sin x
x x
1 8) ∫ f ( x ) d x = 2∫ f ( x )d x x
1 9) ∫ f (arctan x) d x = ∫ f (arctan x)darctan x 2 1+ x
例7. 求
dln x 1 d(1+ 2ln x) 解: 原式 = ∫ = ∫ 1+ 2ln x 2 1+ 2ln x
其中 ψ − 1 ( x ) 是 x = ψ ( t ) 的反函数。 的反函数。
d (( ∫ f [ψ ( t )]ψ ′( t ) dt )
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1
( 1)
1 dx d (ln x)
x
ea
x
dx
1பைடு நூலகம்a
d
(ea
x)。
cos ax d x 1 d (sin ax) a
sin ax d x 1 d (co6s ax) a
精品ppt
sec2 x d x d (tanx)
sec xtan xd x d (secx)
1 1 x2
dx
d (arctan
不定积分
（内容提要） 一、 原函数与不定积分的概念
F (x) 为 f (x) 的一个原函数.
F(x) f (x)
f (x)dx F (x) C 。
二、 基本积分公式
(1) dx x C
(2)
x
dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
(4) exdx ex C
(5)
ax
1 x2
dx arcsin x C
a2 x2
a
dx
a2 x2
1 ln 2a
ax C ax
dx ln x x2 a2 C 。 x2 a2
三、 常见凑微分
5
d x 1 d(a x) 1 d(a x b)
a
a
精品ppt
x
dx
1 2
d(
x2
)
1 2a
d(ax2
b)
x d x 1 d ( x1)
dx
ax ln a
C
。
(6) cos xdx sin x C
(7) sin xdx cos x C
(8)
dx cos 2
x
sec
2
xdx
tan
x
C
(9)
d sin
x
2
x
csc2
xdx
cot
x
C
(10) sec x tan xdx sec x C
(11) csc x cot xdx csc x C
求 f ( x ) ，g ( x ) 的表达式.
解: x 0 时，f ( x ) g(x)1 f ( x ) g ( x) x C 1 C 1 0
f (2x) g ( 2 x) 1 2 x2 1 f ( x ) g(x)3x2 1
f ( x ) g(x) x3xC2 C 2 2 x 0 时， f (x) 2x1
精品ppt
若分母含因式 (x a)k，则对应的部分因式为
A1 xa
(x
A2 a)2
…
(x
Ak a)k
若分母含既约因式 (x2 p x q)k，则对应的部分因式为
… B1x C1 B2x C2 Bk x Ck
x2 p x q (x2 p x q)2
(x2 p x q)k
tanx
sinx
12sin2x1sisni2nx2x
1 sin2
x
2sin2
x
f (x) 1 2x x
f ( x ) (1x 2x)dx ln|x|x2C
例2
f ( x ) 在 [0,) 上定义，在 (0,) 内可导，
13
g ( x ) 在(,) 内定义且可导，f(0)g(0)1
精品ppt
x 0 时， f ( x ) g(x)3x2 f (2x) g ( 2 x) 1 2 x2 1
。
精品ppt
六. 分部积分公式 10 u dv u v v du uv uvd x 注：下列题型用分部积分法 xn ea xd x； x n sin a x d x.； x n cos a x d x. x lnn x dx； x arctan x dx ； x arcsin x dx ；
ea x sin bx dx ； ea x cos bx dx 。
不定积分
11
精品ppt
（典型例题）
一、由 例1
f ( x) 求 f ( x )
12
f(sin2x)cos2x( 1)2 ，求 f ( x )
tanx
精品ppt
解： f(sin2x)cos2x( 1)2 12sin2x(cosx)2
g(x) x 1 g(x) x3x1
例2
f ( x ) 在 [0,) 上定义，在 (0,) 内可导，
14
g ( x ) 在(,) 内定义且可导，f(0)g(0)1
x 0 时， f ( x ) g(x)3x2 f ( x ) g(x)1 f (2x) g ( 2 x) 1 2 x2 1
求 f ( x ) ，g ( x ) 的表达式。
x2 a2 令 x asect
ax2 bx c 先配方，再作适当变换
(有时用倒代换 x 1 简单）。 t
五、有理函数真分式的积分:
R(x) P(x) Q(x)
a0xn a1xn1 an b0xm b1xm1 bm
9
(n m)
a0xn a1xn1 an
分母在实数范围内因式分解
的关系，用同一个常数 C 表示。
例3 m in{x2,x6}dx
解:
y x2
x 6, x 2
2
m in{x2,x6} x 2 , 2 x 3
x
6
,
x3
1 2
x2
6x
C1
x2
m in{x2,x6}dx
1 3
x3
C2
2x3
1 2
x2
6x
C3
x3
精品ppt
y16 x6 3
1 2
x2
6x
C1
精品ppt
答案：
f(x ) 2 x 1 ,(x 0 ) x1, x0
g(x)x3x1, x0
二、分段函数求不定积分：
15
例3
m in{x2,x6}dx
精品ppt
分段函数不定积分的求法： (1) 各段分别积分，常数用不同 C1， C2 等表示； (2) 根据原函数应该在分段点连续确定 C1、 C2
x2
m in{x2,x6}dx
1 3
x3
C2
2x3
17
精品ppt
1 2
x2
6x
C3
x3
在 x2 连续，
212C1
8 3
C
2
C1
22 3
C2
在 x 3 连续，
9C2
9 2 18 C3
C3
27 2
tan xdx ln cos x C cot xdx ln sin x C。
sec xdx ln sec x tan x C
4
精品ppt
csc xdx ln csc x cot x C
dx
1 x2
arctan
x
C
dx a2 x2
1 arctan x
a
a
C
dx arcsin x C
x)
1 dx d (arcsin x)
1 x2
一般地： f (x) dx d ( f (x)) 。
四、第二类换元法
1. 被积函数含
naxb
令
n axb cxd
令
7
n axb t
n
axb cxd
t
。
精品ppt
精品ppt
2. 被积函数含 8 a2 x2 令 x asin t a2 x2 令 x a tant
( 1)
1 dx d (ln x)
x
ea
x
dx
1பைடு நூலகம்a
d
(ea
x)。
cos ax d x 1 d (sin ax) a
sin ax d x 1 d (co6s ax) a
精品ppt
sec2 x d x d (tanx)
sec xtan xd x d (secx)
1 1 x2
dx
d (arctan
不定积分
（内容提要） 一、 原函数与不定积分的概念
F (x) 为 f (x) 的一个原函数.
F(x) f (x)
f (x)dx F (x) C 。
二、 基本积分公式
(1) dx x C
(2)
x
dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
(4) exdx ex C
(5)
ax
1 x2
dx arcsin x C
a2 x2
a
dx
a2 x2
1 ln 2a
ax C ax
dx ln x x2 a2 C 。 x2 a2
三、 常见凑微分
5
d x 1 d(a x) 1 d(a x b)
a
a
精品ppt
x
dx
1 2
d(
x2
)
1 2a
d(ax2
b)
x d x 1 d ( x1)
dx
ax ln a
C
。
(6) cos xdx sin x C
(7) sin xdx cos x C
(8)
dx cos 2
x
sec
2
xdx
tan
x
C
(9)
d sin
x
2
x
csc2
xdx
cot
x
C
(10) sec x tan xdx sec x C
(11) csc x cot xdx csc x C
求 f ( x ) ，g ( x ) 的表达式.
解: x 0 时，f ( x ) g(x)1 f ( x ) g ( x) x C 1 C 1 0
f (2x) g ( 2 x) 1 2 x2 1 f ( x ) g(x)3x2 1
f ( x ) g(x) x3xC2 C 2 2 x 0 时， f (x) 2x1
精品ppt
若分母含因式 (x a)k，则对应的部分因式为
A1 xa
(x
A2 a)2
…
(x
Ak a)k
若分母含既约因式 (x2 p x q)k，则对应的部分因式为
… B1x C1 B2x C2 Bk x Ck
x2 p x q (x2 p x q)2
(x2 p x q)k
tanx
sinx
12sin2x1sisni2nx2x
1 sin2
x
2sin2
x
f (x) 1 2x x
f ( x ) (1x 2x)dx ln|x|x2C
例2
f ( x ) 在 [0,) 上定义，在 (0,) 内可导，
13
g ( x ) 在(,) 内定义且可导，f(0)g(0)1
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x 0 时， f ( x ) g(x)3x2 f (2x) g ( 2 x) 1 2 x2 1
。
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六. 分部积分公式 10 u dv u v v du uv uvd x 注：下列题型用分部积分法 xn ea xd x； x n sin a x d x.； x n cos a x d x. x lnn x dx； x arctan x dx ； x arcsin x dx ；
ea x sin bx dx ； ea x cos bx dx 。
不定积分
11
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（典型例题）
一、由 例1
f ( x) 求 f ( x )
12
f(sin2x)cos2x( 1)2 ，求 f ( x )
tanx
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解： f(sin2x)cos2x( 1)2 12sin2x(cosx)2
g(x) x 1 g(x) x3x1
例2
f ( x ) 在 [0,) 上定义，在 (0,) 内可导，
14
g ( x ) 在(,) 内定义且可导，f(0)g(0)1
x 0 时， f ( x ) g(x)3x2 f ( x ) g(x)1 f (2x) g ( 2 x) 1 2 x2 1
求 f ( x ) ，g ( x ) 的表达式。
x2 a2 令 x asect
ax2 bx c 先配方，再作适当变换
(有时用倒代换 x 1 简单）。 t
五、有理函数真分式的积分:
R(x) P(x) Q(x)
a0xn a1xn1 an b0xm b1xm1 bm
9
(n m)
a0xn a1xn1 an
分母在实数范围内因式分解
的关系，用同一个常数 C 表示。
例3 m in{x2,x6}dx
解:
y x2
x 6, x 2
2
m in{x2,x6} x 2 , 2 x 3
x
6
,
x3
1 2
x2
6x
C1
x2
m in{x2,x6}dx
1 3
x3
C2
2x3
1 2
x2
6x
C3
x3
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y16 x6 3
1 2
x2
6x
C1
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答案：
f(x ) 2 x 1 ,(x 0 ) x1, x0
g(x)x3x1, x0
二、分段函数求不定积分：
15
例3
m in{x2,x6}dx
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分段函数不定积分的求法： (1) 各段分别积分，常数用不同 C1， C2 等表示； (2) 根据原函数应该在分段点连续确定 C1、 C2
x2
m in{x2,x6}dx
1 3
x3
C2
2x3
17
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1 2
x2
6x
C3
x3
在 x2 连续，
212C1
8 3
C
2
C1
22 3
C2
在 x 3 连续，
9C2
9 2 18 C3
C3
27 2
tan xdx ln cos x C cot xdx ln sin x C。
sec xdx ln sec x tan x C
4
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csc xdx ln csc x cot x C
dx
1 x2
arctan
x
C
dx a2 x2
1 arctan x
a
a
C
dx arcsin x C
x)
1 dx d (arcsin x)
1 x2
一般地： f (x) dx d ( f (x)) 。
四、第二类换元法
1. 被积函数含
naxb
令
n axb cxd
令
7
n axb t
n
axb cxd
t
。
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2. 被积函数含 8 a2 x2 令 x asin t a2 x2 令 x a tant