高等数学同济教案
高等数学(同济大学版)课程讲解第一章习题课1讲课教案
九、授课效果分析 ：
第一章 函数与极限习题课
一、 主要内容
1. 函数
函数的概念与特性，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数
.
2. 极限
极限定义、运算、性质，两个重要极限，无穷小比较，极限存在准则
.
3. 连续
函数连续的概念，间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质，分段 函数的连续性 .
3. 求 0 或 型未定式的极限 0
例4
(x lim
h)3
x3
h0
h
解
3
3
lim ( x h) x
( x h) lim
x (x h)2
(x h)x x2
h0
h
h0
h
lim ( x h) 2 ( x h) x x2 3x2 .
h0
例 5 lim 2x 3 3 x3 x 1 2
解
lim
2x 3 3
(2 x 3) 9 ( x 1 2) lim
lim
a,
bx0
x0 x
x0 x
当 lim f ( x) lim f (x) f (0) 2 ，即 b 1.5, a 2 时， f (x) 在 x 0 处连续 .
x0
x0
12. 闭区间上连续函数性质的应用
例 22 证明方程 ln(1 ex ) 2 x 0 至少有一个小于 1 的正根 .
证 令 f (x) ln(1 ex ) 2x ,则 f ( x) 在 ( , ) 上连续 ,因而在 [0,1] 上连续 , 且
(e x 2 1) ~
1)2
，
2
2
(ex2 1)2 ( x2 )2 x4
高等数学教案同济大学第七版_0
高等数学教案同济大学第七版《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。
高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。
教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。
基本要求1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。
2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求第一章函数与极限通过本章学习1、理解函数的概念，了解函数的几种特性，掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。
3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。
4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。
5、掌握极限运算法则。
6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
高数同济7版教案第一章函数与极限
广西民族师范学院数计系《高等数学》课程教案课程代码：061041210总学时/周学时：_________ 51/3开课时间：2015年9月16日第3周至第18周授课年级、专业、班级：制药本152班使用教材：高等数学同济大学第7版教研室：数学与应用数学教研室授课教师:、课程教学计划表、教案正文第一章函数与极限（一）教学目的：1. 理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2•了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3•理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4•掌握基本初等函数的性质及其图形。
5•理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6•掌握极限的性质及四则运算法则。
7•了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8•理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9•理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理) ，并会应用这些性质。
(二)重点、难点1．重点函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。
2 ．难点函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。
三)教学方法、手段：教师讲授，提问式教学，多媒体教学第一节映射与函数一、映射1. 映射概念定义4.设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素X,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f : X Y.其中y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即y f(x),元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作D f ,即D f X。
同济高数 教案
第一章函数与极限教学目的:1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性.3、理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限.9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）,会判别函数间断点的类型.10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。
教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。
§1. 1 映射与函数一、集合1。
集合概念集合（简称集)：集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示.元素：组成集合的事物称为集合的元素。
a是集合M的元素表示为a∈M。
集合的表示:列举法: 把集合的全体元素一一列举出来。
例如A={a，b，c, d, e, f, g}。
描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为A=｛a1, a2，⋅⋅⋅，a n｝，M={x ｜x具有性质P }。
例如M=｛(x，y)| x，y为实数, x2+y2=1}。
几个数集:N表示所有自然数构成的集合，称为自然数集。
同济大学高数教案
课时：2课时教学目标：1. 理解并掌握数系的概念和性质；2. 掌握实数的概念和性质；3. 掌握有理数和无理数的概念和性质；4. 理解实数在数轴上的表示方法；5. 培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。
教学重点：1. 数系的概念和性质；2. 实数的概念和性质；3. 有理数和无理数的概念和性质。
教学难点：1. 实数在数轴上的表示方法；2. 无理数的存在性和无理数的大小比较。
教学准备：1. 教学课件；2. 数轴；3. 多媒体设备。
教学过程：一、导入1. 回顾初等数学中的数系概念，如自然数、整数、有理数等；2. 提出问题：如何将初等数学中的数系扩展到实数域？二、新课导入1. 介绍实数的概念，包括实数的定义、性质和分类；2. 讲解实数在数轴上的表示方法；3. 讲解有理数和无理数的概念和性质；4. 举例说明实数在生活中的应用。
三、巩固练习1. 判断题：实数包括有理数和无理数；2. 选择题：找出下列数中的实数；3. 填空题：实数在数轴上的表示方法。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调实数的概念、性质和在数轴上的表示方法；2. 提出课后作业，巩固所学知识。
五、布置作业1. 完成课后习题，加深对实数概念的理解；2. 观察生活中实数的应用，撰写一篇短文。
教学反思：1. 本节课通过导入、新课导入、巩固练习、课堂小结和布置作业等环节，使学生对实数的概念、性质和表示方法有了全面的理解；2. 在讲解实数在数轴上的表示方法时，结合多媒体设备，使学生在直观、形象地理解实数的同时，提高他们的学习兴趣；3. 课后作业的设计有助于学生巩固所学知识，提高他们的实际应用能力。
同济大学课程教案
课程目标：1. 使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法；2. 培养学生运用高等数学解决实际问题的能力；3. 培养学生的逻辑思维和创新能力。
课程内容：一、绪论1. 高等数学的发展历程及意义；2. 高等数学的基本内容；3. 高等数学的学习方法。
二、一元函数微积分学1. 极限的概念与性质；2. 导数的概念与计算；3. 微分中值定理；4. 高阶导数与高阶微分；5. 原函数与不定积分；6. 定积分的概念与性质；7. 定积分的计算方法；8. 定积分的应用。
三、多元函数微积分学1. 多元函数的概念与性质；2. 偏导数与全微分；3. 多元函数的极值与条件极值；4. 重积分的概念与性质；5. 重积分的计算方法；6. 重积分的应用。
四、无穷级数论1. 级数的基本概念；2. 收敛级数的性质；3. 幂级数与泰勒级数；4. 函数展开与插值；5. 项级数与积分级数。
五、常微分方程1. 常微分方程的基本概念；2. 常微分方程的解法；3. 常微分方程的应用。
教学方法和手段：1. 讲授法：系统讲解高等数学的基本概念、基本理论和基本方法；2. 讨论法：引导学生积极参与课堂讨论，提高学生的思维能力和创新能力；3. 案例分析法：通过实际案例，使学生掌握高等数学的应用方法；4. 习题课：通过大量的习题训练，提高学生的解题能力；5. 网络教学平台：利用网络教学平台，提供教学资源，方便学生自主学习和交流。
教学进度安排：1. 绪论（2课时）2. 一元函数微积分学（12课时）3. 多元函数微积分学（10课时）4. 无穷级数论（8课时）5. 常微分方程（6课时）考核方式：1. 平时成绩（40%）：包括课堂表现、作业、小测验等；2. 期末考试（60%）：闭卷考试，全面检验学生对高等数学知识的掌握程度。
教学资源：1. 《高等数学》教材；2. 教学课件；3. 网络教学平台；4. 习题库。
通过本课程的学习，使学生具备扎实的高等数学基础，为后续专业课程的学习打下良好基础。
同济大学高等数学教案
教案标题：同济大学高等数学教学计划一、教学目标本课程旨在帮助学生掌握高等数学的基本概念、理论和方法，培养学生的逻辑思维能力、创新意识和实际应用能力。
通过本课程的学习，学生应能熟练运用高等数学知识解决实际问题，为后续专业课程的学习和科学研究打下坚实的基础。
二、教学内容1. 函数与极限1.1 函数的概念、性质和图像1.2 极限的定义和性质1.3 无穷小和无穷大1.4 极限的运算法则1.5 极限的存在性判断2. 导数与微分2.1 导数的定义和性质2.2 导数的运算法则2.3 高阶导数2.4 隐函数和参数方程函数的导数2.5 微分及其应用3. 微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔定理3.2 拉格朗日中值定理3.3 柯西中值定理3.4 泰勒公式3.5 导数在函数性质分析中的应用4. 不定积分4.1 不定积分的概念和性质4.2 基本积分公式4.3 换元积分法4.4 分部积分法4.5 不定积分在实际问题中的应用5. 定积分及其应用5.1 定积分的概念和性质5.2 定积分的运算法则5.3 定积分的换元法和分部法5.4 定积分的应用（如面积、体积、弧长等）6. 微分方程6.1 微分方程的概念和分类6.2 线性微分方程6.3 非线性微分方程6.4 微分方程的求解方法6.5 微分方程在实际问题中的应用三、教学方法1. 讲授法：通过系统、生动的讲解，使学生掌握高等数学的基本概念、理论和方法。
2. 案例分析法：结合具体实例，让学生了解高等数学在实际问题中的应用。
3. 练习法：布置适量的课后习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
4. 讨论法：组织学生进行课堂讨论，培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
5. 实验法：结合数学软件，让学生亲身体验高等数学的实践操作。
四、教学安排1. 授课时间：共计16周，每周2课时。
2. 课后习题：每节课后布置相应的习题，要求学生独立完成。
3. 课堂讨论：每学期组织2-3次课堂讨论，学生可就所学内容提出疑问或分享自己的见解。
《高等数学》(同济六版)教学★
平行 ? 写出其切线方程.
解:
令
得
相应
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线
平行旳切线方程分别为
即
故在原点 (0 , 0) 有铅直切线
四、 函数旳可导性与连续性旳关系
定理1.
证:
设
在点 x 处可导,
存在 ,
所以必有
其中
故
所以函数
在点 x 连续 .
注意: 函数在点 x 连续，但在该点未必可导.
证明中利用了两个主要极限
初等函数求导问题
本节内容
一、四则运算求导法则
定理1.
旳和、
差、
积、
商 (除分母
为 0旳点外) 都在点 x 可导,
且
下面分三部分加以证明,
并同步给出相应旳推论和
例题 .
此法则可推广到任意有限项旳情形.
证: 设
则
故结论成立.
例如,
(2)
证: 设
则有
故结论成立.
推论:
( C为常数 )
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导.
即
在点
旳某个右 邻域内
五、 单侧导数
若极限
则称此极限值为
记作
即
(左)
(左)
例如,
在 x = 0 处有
定义2 . 设函数
有定义,
存在,
定理2. 函数
在点
且
简写为
定理3. 函数
(左)
(左)
若函数
与
都存在 ,
则称
显然:
在闭区间 [a , b] 上可导
可导, 且
则
时, 有
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高等数学同济教案教案标题：高等数学同济教案
教案目标：
1. 理解高等数学的基本概念和原理。
2. 掌握高等数学的基本运算和方法。
3. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。
4. 培养学生的数学推理和证明能力。
教案内容：
课时一：导数与微分
1. 导数的定义和性质
2. 导数的计算方法和应用
3. 微分的定义和性质
4. 微分的计算方法和应用
课时二：不定积分与定积分
1. 不定积分的定义和性质
2. 不定积分的计算方法和应用
3. 定积分的定义和性质
4. 定积分的计算方法和应用
课时三：微分方程
1. 微分方程的基本概念和分类
2. 一阶常微分方程的解法
3. 二阶常微分方程的解法
4. 微分方程的应用
课时四：级数与数项级数
1. 级数的概念和性质
2. 数项级数的概念和性质
3. 数项级数的收敛性判定
4. 数项级数的求和方法
教学方法：
1. 讲授结合实例：通过具体的例子引入新的概念和原理，帮助学生理解和记忆。
2. 案例分析：选取一些实际问题，引导学生运用所学知识解决问题，培养学生
的应用能力。
3. 互动讨论：鼓励学生在课堂上提问和讨论，促进学生的思维活跃和合作学习。
4. 课堂练习：安排一定数量的练习题，巩固学生的基本运算和方法。
评估方式：
1. 课堂表现：学生在课堂上的积极参与和回答问题的能力。
2. 作业完成情况：学生按时完成作业并正确计算和解答问题的能力。
3. 小测验：定期进行小测验，检验学生对所学知识的掌握程度。
4. 期末考试：综合考察学生对整个学期所学内容的理解和应用能力。
教学资源：
1. 教材：《高等数学同济版》
2. 多媒体教学资源：投影仪、电脑、PPT等
3. 额外练习题和习题解析：辅助教材、习题集等
教学建议：
1. 鼓励学生主动思考和解决问题，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
2. 注重理论与实践的结合，通过实际问题的引入，增加学生对数学知识的兴趣和应用意识。
3. 给予学生足够的练习机会，巩固基本运算和方法，提高他们的计算和解题能力。
4. 鼓励学生合作学习和互助互动，培养他们的团队合作和交流能力。
希望以上教案建议和指导能对您的教学工作有所帮助。
祝您教学顺利！。