数学建模论文

易拉罐形状和尺寸的最优设计

摘 要

易拉罐饮料是平时常喝的饮料。单个易拉罐的形状无关大局，但是成千上万易拉罐的形状就直接影响生产销售的成本利益。因此，对易拉罐的形状、尺寸进行优化设计具有重要的现实意义。

对于容量一定的易拉罐的形状和尺寸的最优化设计问题，本文采用多元函数求极值的方法以及利用求条件极值的方法算出了易拉罐的规格尺寸，通过与实际测量的规格尺寸的对照比较知道所建立模型是合理的。根据所建的模型，本文设计出了正椭圆形的易拉罐。有关结果如下：

对于一个355毫升的可口可乐易拉罐来说，它从盖顶到盖底的高度约为12.2cm ，中间胖的部分的高度约为10.2cm ，顶盖的直径约为6.1cm ，中间胖的部分直径约为

6.6cm ，罐壁的厚度约为0.01cm ，顶盖的厚度约为0.03cm ，易拉罐上部分圆台的高度约为1cm ，（以上数据均为本组亲手测量）。

对于问题二，本文建立了表面用料的体积的函数表达式和易拉罐容量体积约束条件，由条件极值计算得14

r h =，实际测量值 6.1/2112.24r h ==，得出理论计算值与实际测量数据相吻合，由此说明本文建立的模型比较合理。

对于问题三，本文结合问题二，进一步建立表面用料体积函数式，仍由条件极值算得1h =1.1 1.0cm cm ≈ 3.4 3.3R cm cm =≈与实际测量数据也基本相吻合，进一步说明所建立的模型的合理性。

对于问题四，本文设计的易拉罐的形状是正椭圆柱形状。当它的容积V 一定，若长

轴a 是短轴b 的k 倍，即a kb =，则短轴b 与高H 的比例为

1.5(1)4k k

+。这就是本文所设计的正椭圆柱形的易拉罐的尺寸和比例

对于问题五，我们根据以前的学习经验和现在参加数学建模的体验，谈了自己对数学建模的认识。我们认为建模的难点是模型的假设，关键步骤是模型的建立。建模的实质就是将实际问题转化翻译成数学语言，然后归结为某一种方法来求解，再由实际中的数据检验这种方法求解问题的精确性，精确度高的可将这种方法，也就是数学模型推广到实际中去应用。

关键词：易拉罐最优设计条件极值

一、问题重述

销量很大的饮料（例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。

研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。

1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，测量它的各部分的直径、高度、密度，并列表说明；如果数据是查阅资料得到的，那么注明出处。

2．设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。3．设易拉罐的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。求它的最优设计。同样把所求结果与测量结果进行比较。

4．根据你对易拉罐的洞察和想象能力，自己设计一种易拉罐的形状和尺寸。5．根据你们以前的学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述一下数学建模，它的关键步骤和难点。

二、问题分析

对于容积一定的容器，怎样设置它的规格尺寸，使该容器的表面用料最省。这一类问题可以转化为条件极值问题[1]。建立关于表面用料参量的优化函数表达式（或者是表面用料表面积或者是表面的用料的体积）和容器容积的约束函数，利用条件极值求出易拉罐各部分的尺寸，与测量尺寸进行比较，说明其结果的合理性。同样，我们用条件极值问题自己设计了一种易拉罐的形状和尺寸。实际中的易拉罐各部分的直径、高度、厚度，我们可以用千分尺和游标卡尺测得。

三、模型假设

1、对于问题二，我们假设易拉罐是一个正圆柱体。

2、对于问题三，我们假设易拉罐上面部分是一个正圆台，下面是一个正圆柱体。

四、符号说明

V表示容量的容积

h表示盖顶到盖底高度

r表示顶盖的半径

R表示中间胖的部分的半径

d表示罐壁的厚度

h表示上部分圆台的高度

1

Vs 表示易拉罐壳的用料体积

S 表示正椭圆柱的表面积

C 表示正椭圆柱椭圆的周长

a 表示椭圆的长轴

b 表示椭圆的短轴

H 表示正椭圆柱的高

五、模型的建立

对于问题2,设易拉罐为正圆柱体.罐壁的厚度0.01d cm =,则顶盖的厚度则为30.3d cm =,如图1（源程序见附录）

图1

我们进行如下建模: 设易拉罐所用材料的体积为Vs ,易拉罐的容积为V ,则

221(,)(())Vs r h r d r h ππ=+- 2(,)V r h r h π= 因为b r ≤所以带2b 的项可以忽略,因此

2(,)24Vs r h rhd r d ππ=+

记2(,)g r h r h V π=-

于是我们可以建立以下的数学模型:

min (,)

0,0

(,)0Vs r h r h s t g r h >>⋅⋅=

其中Vs 是目标函数, (,)0g r h =是约束条件,V 是已知的.

对于问题3,此时易拉罐上部分为正圆台[2],下部分是一个正圆柱,如图2（源程序见附录）

设圆台的高为1h ,下部分圆柱盖底的半径为R ,同样可列出

图2

2211222111(,)[()]32()

(,)()()3Vs R h R r R d r d R h h V R h h R r Rr R h h ππππ

π=++⨯++-=+++-

将6,12,0.01r h d === 代

入上式,得

211(,)[(6)]0.01 1.082(12)0.01Vs R h R R R h πππ=++⨯++-⨯