导数及其应用PPT优秀课件
合集下载
3.2导数的计算(27张PPT)
;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2
导数及其应用PPT课件
解：(1)
4.已知a>0,n为正整数。 (1)设y=(x-a)n, 证明y’=n(x-a)n-1; (2)设fn(x)=xn-(x-a)n , 对任意n≥a,证明：
小
求函数单调区间的步骤：
求函数极值的步骤：
结
(1)求导函数f ’(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ; (2)求方程f ’(x)=0的根；(3)检查f ’(x)在 方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处 取得最大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得最 小值。 求闭区间上函数的最值的方法：
y
极大值
极大值
x0
极小值
0
x
极小值
显然在极值处函数的导数为０．
【知识在线】:
１．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是_____________. ２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的 （B ）
A.充要条件
C.必要不充分条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
(0,2) 单调递增区 ３.函数y=x2 (x-3),则f(x)的单调递减区间是_____, (-∞,0) , (2,+∞) 。 间为______________
x
f(x)
极大值 极小值
由此可得，函数在ｘ＝－ ，处取得极大值２＋ ２
在ｘ＝ ，处取得极小值２- ２ ．草图如图
y
∵ａ＞０，显然极大值必为正，
故只要看极小值的正负即可。
－
０
x
y
方程x3-3ax+2=0有惟一的实根；
－
０ y
x
方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根 （其中有一个为二重根）；
导数及其应用导数的计算ppt
03 。
积分法
01
积分法是基于微积分基本定理的导数计算方法，通过求取函数的原函数（不定 积分），然后对原函数求导来计算导数。
02
积分法的优点是可以适用于各种类型的函数，包括多项式函数、三角函数、指 数函数等。
03
积分法的缺点是比较抽象，对于一些复杂函数的导数计算可能会比较困难。同 时，积分法需要掌握不定积分的基本知识，对于初学者可能会有一定的难度。
03
导数在几何中的应用
切线斜率
切线斜率
导数可以用来表示函数图像在某一点的切线斜率。当函数在某一点的导数不为零时，表示 在该点处存在切线，且切线的斜率等于该点的导数值。
导数几何意义
导数的几何意义表示函数图像在某一点处的切线斜率。对于函数y=f(x)，在点(x0,y0)处的 切线斜率等于该点的导数值f'(x0)。
增加数值稳定性，避免这种情况的发生。
03Biblioteka 数值收敛性导数的计算通常涉及迭代算法，因此需要判断迭代序列是否收敛。通
过使用导数的性质和收敛判据，可以判断迭代序列是否收敛并选择合
适的算法。
微分方程
常微分方程
导数是函数的变化率，因此可以用来求解常微分方程。常微分方程是描述系统变 化的数学模型，通过使用导数可以求解系统的变化趋势和行为。例如，在物理学 中，可以使用导数求解物体的运动方程和热传导方程。
最大化收益
导数也可以用来确定最大化收益的变量值。例如，在市场营销中，通过导数可以分析价格 与销售额之间的关系，以确定最佳价格以最大化销售额和收益。
最优路径规划
在交通、物流和旅行等领域，导数可以帮助确定最优路径规划，以最小化时间和成本。例 如，在地图导航中，通过导数可以计算出从起点到终点的最快路径。
积分法
01
积分法是基于微积分基本定理的导数计算方法，通过求取函数的原函数（不定 积分），然后对原函数求导来计算导数。
02
积分法的优点是可以适用于各种类型的函数，包括多项式函数、三角函数、指 数函数等。
03
积分法的缺点是比较抽象，对于一些复杂函数的导数计算可能会比较困难。同 时，积分法需要掌握不定积分的基本知识，对于初学者可能会有一定的难度。
03
导数在几何中的应用
切线斜率
切线斜率
导数可以用来表示函数图像在某一点的切线斜率。当函数在某一点的导数不为零时，表示 在该点处存在切线，且切线的斜率等于该点的导数值。
导数几何意义
导数的几何意义表示函数图像在某一点处的切线斜率。对于函数y=f(x)，在点(x0,y0)处的 切线斜率等于该点的导数值f'(x0)。
增加数值稳定性，避免这种情况的发生。
03Biblioteka 数值收敛性导数的计算通常涉及迭代算法，因此需要判断迭代序列是否收敛。通
过使用导数的性质和收敛判据，可以判断迭代序列是否收敛并选择合
适的算法。
微分方程
常微分方程
导数是函数的变化率，因此可以用来求解常微分方程。常微分方程是描述系统变 化的数学模型，通过使用导数可以求解系统的变化趋势和行为。例如，在物理学 中，可以使用导数求解物体的运动方程和热传导方程。
最大化收益
导数也可以用来确定最大化收益的变量值。例如，在市场营销中，通过导数可以分析价格 与销售额之间的关系，以确定最佳价格以最大化销售额和收益。
最优路径规划
在交通、物流和旅行等领域，导数可以帮助确定最优路径规划，以最小化时间和成本。例 如，在地图导航中，通过导数可以计算出从起点到终点的最快路径。
高等数学与工程数学课件第四章导数应用.ppt
思考题 1.极值点与驻点的关系是什么? 2.说明极值与最值的区别. 3.极值存在的必要条件是什么?
答案 答案 答案
课堂练习题 1.求y = x2 2x 3的极值.
2.求出y x4 2x2 1的全部驻点.
答案 答案
第三节 函数的最大值和最小值
在工农业生产和科学实验中，常要遇到在一定条件下，怎 样用料最省、效率最高或性能最好等问题，这些问题归纳到 数学上，即为函数最大值或最小值问题.
在x 0处无极值以上三题中都有y'x0 0, y''x0 0,所以说情形(3)失 效,失效时必须用定理2来判定驻点是否为极值点.
例2 求函数f (x)(x2 1)3 1的极值.
解 因为f '(x) 6x(x2 1)2,令f '(x) 0,得驻点x 1,x 0,x 1
所以f ''(x) 6(x2 1)2 6x2(x2 1)2x 6(x2 1)(5x2 1). 又因为f ''(0)60,所以函数f (x)在x 0处取得极小值为f (0)0.
0
0
可导, 如果
(1)当x x0时, f '(x)0;当x x0时; f '(x)0,则函数f (x) 在点x0处取得极大值f (x0);
(2)当x x0时, f '(x)0;当x x0时; f '(x)0,则函数f (x) 在点x0处取得极小值f (x0);
(3)当x从x0时的左侧变化到右侧时, f '(x)不变号,则f (x) 在x0处无极值.
定理 设函数y f (x)在(a,b)内可导,若f '(x)0,x(a,b)则f (x)在 (a,b)上为增函数;若f '(x)0,x(a,b)则f (x)在(a,b)上为减函数.( 一阶导数符号和函数单调性是否为充要条件?)
《导数以及应用》PPT课件
就数学历史来看，两种理论都有一定的道理。其中实无限用了150年，后来极限论就是现在所 使用的。 • 光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争论的问题，后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现 代极限论还是150年前的理论，都不是最好的方法。
导数的应用- -！
(1)求 y = f(x) 的定义域D (2)求导数 f ( x). (3)解不等式;f ¢(x) > 0 或解不等式f ¢(x) < 0 . (4)与定义域求交集 (5)写出单调区间
↘
极小 值
↗
∴函数 f(x)在 x＝－2a 处取得极大值 f(－2a)，且 f(－2a)＝3ae－2a；f(x)在 x＝a－2 处取
得极小值 f(a－2)，且 f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
②若 a<23，则－2a＞a－2，当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a －2)
▲ 此类优化问题的解题步骤： 1. 选取适当的自变量建立函数模型； (勿忘定义域！) 2. 用导数求函数在定义域内的极值， 此极值即所求的最值. 3. 用实际意义作答.
2. 可乐饮料罐的容积一定， 如何确定其高与底半径, 才能使它的用料最省？
[注意] 二元函数化为一元函数.
R h
3. 如图的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为E. 当外电阻R为多大时，才能使电功率最大？最大的 电功率是多少？
所以 f(x)在(0,1)和21a，＋∞上单调递增，在1，21a上单调递减；
► 探究点三 利用导数研究函数的极值、最值问题
例 4 已知函数 f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中 a∈R.
(1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a≠32时，求函数 f(x)的极值．
导数的应用- -！
(1)求 y = f(x) 的定义域D (2)求导数 f ( x). (3)解不等式;f ¢(x) > 0 或解不等式f ¢(x) < 0 . (4)与定义域求交集 (5)写出单调区间
↘
极小 值
↗
∴函数 f(x)在 x＝－2a 处取得极大值 f(－2a)，且 f(－2a)＝3ae－2a；f(x)在 x＝a－2 处取
得极小值 f(a－2)，且 f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
②若 a<23，则－2a＞a－2，当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a －2)
▲ 此类优化问题的解题步骤： 1. 选取适当的自变量建立函数模型； (勿忘定义域！) 2. 用导数求函数在定义域内的极值， 此极值即所求的最值. 3. 用实际意义作答.
2. 可乐饮料罐的容积一定， 如何确定其高与底半径, 才能使它的用料最省？
[注意] 二元函数化为一元函数.
R h
3. 如图的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为E. 当外电阻R为多大时，才能使电功率最大？最大的 电功率是多少？
所以 f(x)在(0,1)和21a，＋∞上单调递增，在1，21a上单调递减；
► 探究点三 利用导数研究函数的极值、最值问题
例 4 已知函数 f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中 a∈R.
(1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a≠32时，求函数 f(x)的极值．
《导数的概念及应用》课件
以判断函数的单调性。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
导数及其应用导数的计算ppt
最大增长率与种群密度
总结词
种群密度是影响生物生长和繁殖的关键因 素之一，导数可以用来描述种群密度的变 化率，即种群增长速度。
VS
详细描述
在生物学中，导数的计算可以帮助我们了 解种群密度的变化趋势和最大增长速率。 例如，在环境资源有限的情况下，种群数 量增长会受到限制，增长速度逐渐减慢。 通过计算导数，我们可以预测种群密度的 变化情况，从而采取相应的保护和管理措 施。
利用导数的概念和方法可以推导出电磁感应定 律的一般形式，从而更好地理解磁场中电流的 变化对导体产生的影响。
06
导数在数学中的应用
导数与切线方程
总结词
导数可以用来描述曲线的切线斜率，是研 究曲线在某一点处的变化趋势的重要工具 。
详细描述
在数学中，导数可以被用来计算曲线在某 一点的切线斜率。对于曲线 y = f(x) 而言 ，其在 x=x0 处的切线斜率为 f'(x0)，即该 点处函数值的变化率。通过导数的概念， 我们可以得到曲线在某一点处的变化趋势 ，从而更好地理解曲线的性质。
生物质能最优化问题
总结词
生物质能是绿色能源的重要组成部分，导数的计算可以帮助我们找到生物质 能的最优利用方案。
详细描述
生物质能转化成可利用能源的过程中，转化效率与生物质能本身的结构和组 成密切相关。通过导数的计算，我们可以分析不同组成成分的贡献和影响， 优化生物质能的利用方案，提高转化效率。
生态环境优化问题
03
导数在经济学中的应用
边际分析
边际效用
边际效用递减规律，总效用和 边际效用的关系
边际收益
边际收益递减规律，总收益和 边际收益的关系
边际成本
边际成本递增规律，总成本和 边际成本的关系
《导数的应用》课件
2
导数在求解函数极值中的应用
通过导数的应用，学习如何求解函数的最大值和最小值，解决实际生活和工作中
的问题。
四、导数在函数图像的研究中的应用
1
函数的凸凹性及拐点的概念
探讨函数的凸凹性和拐点的概念，了解
导数在研究函数图像中的应用
通过导数的分析研究，揭示函数图像的
特点和变化规律，为实际问题提供解决
《导数的应用》PPT课件
通过本次PPT课件，我们将一起探讨导数的应用。从介绍导数的概念和定义开
始，到深入研究导数在不同领域中的实际应用，让我们一同领略导数的魅力
与重性。
一、介绍导数
导数的概念及定义
探索导数的基本概念和数学定义，为后续的应用打下坚实的基础。
导数的几何意义和物理意义
深入理解导数在几何和物理领域中的意义，揭示导数的实际应用背后的奥秘。
导数在经济学中的应用案例
理解边际利润的概念和计算方法，揭示导数在
通过实际案例，探索导数在经济学领域中的广
经济学中的重要作用。
泛应用，展示数学与经济学的紧密联系。
七、导数在自然科学中的应用
1
自然科学中导数的应用案例
通过具体案例，展示导数在自然科学领域中的实际应用和价值。
2
数学与其他学科的交叉应用 ✨
思路。
2
导数在研究函数图像中的重要应用。
五、导数在曲线运动中的应用
曲线运动的基本概念及公式 ♀️⏱️
导数在曲线运动中的应用
介绍曲线运动的基本概念和运动方程，为导数在曲
探索导数在曲线运动中的实际应用，解析曲线运动
线运动中的应用打下基础。
的速度、加速度等关键概念。
六、导数在经济学中的应用
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1x2 (arccosx) 1
1x2
(arctanx) 11x2 (arccotx)11x2
◆函数的和差积商的求导法则
(uv)uv
(uv)uvuv 你记住了
吗？
(u)uvuv（v0）
v
v2
特别 (Cu)Cu
(1) v
vv2（v0）
(x) x1
记
(ax)ax lna
熟
、
(ex ) ex
记
牢
(loga
x)
1 xlna
、 记
(ln x) 1
准
x
(sinx)cosx
(cosx)sinx
(tanx)sec2 x
(cotx)csc2x
(secx)secxtanx
(cscx) cscxco tx (arcsinx) 1
24
sin
是常数
2
例3 设 f(x)x3sinx 求 f (x)
解 f(x)(x3sinx) (x3)sinxx3(sinx) 3x2sinxx3cosx
练一练 求下列函数的导数
(1) y x2 ln xcos x
y2xlnxco sxxco sxx2lnxsinx
u (v),v (x)均 可 导 ,则
链式法则
dy dy du dv dx du dv dx
Chain Rule
例6
设
y lnsinx,
求dy dx
解 因为 ylnsinx可 分 解 为 y ln u ,
u sinx
所以 dy dy du 1 c o s x 1 cos x cot x
1
1x2 x
1
x 1x2 1x2
1 x2
练一练
求下列函数的导数
(1) y1(arcsinxx1x2) 2
y1( 1 1x2x 2x )
2 1x2
21x2
1 x2
◆高阶导数 ——导函数的导数
函数 y f (x)
一阶导数 f(x)yf(x)dy
dx du dx u
sin x
代入
例7 设 y ex3 ,求 dy dx
解 y e x 3 可分解为 yeu, ux3.
所以 dy dy du dx du dx
也可以不写出中间变量
3x2ex3
dy dx
(e x3 )
e x3
( x 3 ) 3x2ex3
例8 设 ylncos(ex), 求dy dx
解 dy [lncos(ex)] dx
1 cos(ex
)
[cos(ex)]
cos1(ex)(sinex)(ex)
cos1(ex)(sinex)ex
ex tan(ex)
由外及 里，环 环相扣
y ln u
ucosv
v ex
练一练
求下列函数的导数
(1)y 312x2
例1 设 y2x35x23x7求 y
解
y(2x35x23x7)
(2x3)(5x2)(3 x)(7 )
23x252x30
6x210x3
例2 f(x)x34cosxsin ，求f(x) 及f()
2
2
解 f(x)3x24sinx f() 32 4
1
y [(12x2)3]
1(12x2)23(4x)
3
sin 1
(2) y e x
sin 1
y (e x )
sin1
e x
cos
1x(x12
)
(3)y (arcsin x)2 2
(4)y 1ln2 x
y 2arcsin x 1 1 2 1(x)2 2 2
(2 ) y ln x x
y 1 ln x x2
◆复合函数的求导法则
如果函数ug(x)在x点可导,而y f (u)在 对应点ug(x)处可导, 则复合函数yf[g(x)] 在点x处可导，且其导数为
dydydu f(u)(x)
dx du dx
推广 对 于 复 合 函 数 yf{ [(x)]} ， 设 yf(u ),
导数及其应用
◆导数 Derivative的概念
函数 自变量 函数
y f (x)
x0 D f
x0 x0 x x xx0
f(x0)f(x0x)
y f( x ) f( x 0 ) f( x 0 x ) f( x 0 )
导数 f(x 0 ) lix m 0 y x lix m 0f(x 0 x x ) f(x 0 )
所以 y x2 4
如果将式中的定点x=2改为任意点x,则有如下结果
lim y lim x x 2 x 2 lim 2 x x 2 x
x x 0 x 0 x
x 0
其结果表示是x的函数，称之为导函数。
◆基本导数公式
(c) ' 0
其它形式
f(x0)lhi m 0f(x0hh)f(x0)
f(x0)xli m x0 f(xx) xf0(x0)
例题 设 y x 2，求 y x 2
解 y 2 x 2 2 2 4 x x 2
y 4 x x
y lim 4 x0 x
2 1x2
21x2
1 x2
y 1 1x2 2 x x
dx
二阶导数
f(x)
yf(x)d2y dx2
三阶导数 f(x)yf(x)ddx3y3
n阶导数 f(n1)(x)y(n)f(n)(x)=d dx nn y
练一练
求下列函数的二阶导数
(1) y1(arcsinxx1x2) 2
解 y1( 1 1x2x 2x )
y 1 2lnx1
2 1ln2x
x
例9
y
x3 3x
,求
y
解 y(x3)3(x3x)x23(3x)
3x2
3x x3 3x (3x)2
ln3
3x2
x3 ln 3 3x
例10 yln(x 1x2),求 y
解 y
1
1
2x
x 1x2 2 1x2
1x2
(arctanx) 11x2 (arccotx)11x2
◆函数的和差积商的求导法则
(uv)uv
(uv)uvuv 你记住了
吗？
(u)uvuv（v0）
v
v2
特别 (Cu)Cu
(1) v
vv2（v0）
(x) x1
记
(ax)ax lna
熟
、
(ex ) ex
记
牢
(loga
x)
1 xlna
、 记
(ln x) 1
准
x
(sinx)cosx
(cosx)sinx
(tanx)sec2 x
(cotx)csc2x
(secx)secxtanx
(cscx) cscxco tx (arcsinx) 1
24
sin
是常数
2
例3 设 f(x)x3sinx 求 f (x)
解 f(x)(x3sinx) (x3)sinxx3(sinx) 3x2sinxx3cosx
练一练 求下列函数的导数
(1) y x2 ln xcos x
y2xlnxco sxxco sxx2lnxsinx
u (v),v (x)均 可 导 ,则
链式法则
dy dy du dv dx du dv dx
Chain Rule
例6
设
y lnsinx,
求dy dx
解 因为 ylnsinx可 分 解 为 y ln u ,
u sinx
所以 dy dy du 1 c o s x 1 cos x cot x
1
1x2 x
1
x 1x2 1x2
1 x2
练一练
求下列函数的导数
(1) y1(arcsinxx1x2) 2
y1( 1 1x2x 2x )
2 1x2
21x2
1 x2
◆高阶导数 ——导函数的导数
函数 y f (x)
一阶导数 f(x)yf(x)dy
dx du dx u
sin x
代入
例7 设 y ex3 ,求 dy dx
解 y e x 3 可分解为 yeu, ux3.
所以 dy dy du dx du dx
也可以不写出中间变量
3x2ex3
dy dx
(e x3 )
e x3
( x 3 ) 3x2ex3
例8 设 ylncos(ex), 求dy dx
解 dy [lncos(ex)] dx
1 cos(ex
)
[cos(ex)]
cos1(ex)(sinex)(ex)
cos1(ex)(sinex)ex
ex tan(ex)
由外及 里，环 环相扣
y ln u
ucosv
v ex
练一练
求下列函数的导数
(1)y 312x2
例1 设 y2x35x23x7求 y
解
y(2x35x23x7)
(2x3)(5x2)(3 x)(7 )
23x252x30
6x210x3
例2 f(x)x34cosxsin ，求f(x) 及f()
2
2
解 f(x)3x24sinx f() 32 4
1
y [(12x2)3]
1(12x2)23(4x)
3
sin 1
(2) y e x
sin 1
y (e x )
sin1
e x
cos
1x(x12
)
(3)y (arcsin x)2 2
(4)y 1ln2 x
y 2arcsin x 1 1 2 1(x)2 2 2
(2 ) y ln x x
y 1 ln x x2
◆复合函数的求导法则
如果函数ug(x)在x点可导,而y f (u)在 对应点ug(x)处可导, 则复合函数yf[g(x)] 在点x处可导，且其导数为
dydydu f(u)(x)
dx du dx
推广 对 于 复 合 函 数 yf{ [(x)]} ， 设 yf(u ),
导数及其应用
◆导数 Derivative的概念
函数 自变量 函数
y f (x)
x0 D f
x0 x0 x x xx0
f(x0)f(x0x)
y f( x ) f( x 0 ) f( x 0 x ) f( x 0 )
导数 f(x 0 ) lix m 0 y x lix m 0f(x 0 x x ) f(x 0 )
所以 y x2 4
如果将式中的定点x=2改为任意点x,则有如下结果
lim y lim x x 2 x 2 lim 2 x x 2 x
x x 0 x 0 x
x 0
其结果表示是x的函数，称之为导函数。
◆基本导数公式
(c) ' 0
其它形式
f(x0)lhi m 0f(x0hh)f(x0)
f(x0)xli m x0 f(xx) xf0(x0)
例题 设 y x 2，求 y x 2
解 y 2 x 2 2 2 4 x x 2
y 4 x x
y lim 4 x0 x
2 1x2
21x2
1 x2
y 1 1x2 2 x x
dx
二阶导数
f(x)
yf(x)d2y dx2
三阶导数 f(x)yf(x)ddx3y3
n阶导数 f(n1)(x)y(n)f(n)(x)=d dx nn y
练一练
求下列函数的二阶导数
(1) y1(arcsinxx1x2) 2
解 y1( 1 1x2x 2x )
y 1 2lnx1
2 1ln2x
x
例9
y
x3 3x
,求
y
解 y(x3)3(x3x)x23(3x)
3x2
3x x3 3x (3x)2
ln3
3x2
x3 ln 3 3x
例10 yln(x 1x2),求 y
解 y
1
1
2x
x 1x2 2 1x2