第八章%20λ-矩阵%20习题课PPT
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线性代数矩阵及其运算ppt课件
篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
4 . 同型矩阵 两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵
5. 矩阵 AB 相等 充要条件是:
1）A、B是 同 型 矩 阵
2）ai j bi j(第i，j位 置 上 的 元)素 相 等
证明 （1）、（2）、（3）易证，下证明(4). 设矩阵 A为m×s 阶矩阵，矩阵 B为s×n阶矩阵，那么： ( AB)T与 BTAT 是同型矩阵； 又设 C = A B，因为 CT的第 i 行第 j 列的元素正好是 C 的 cji ，即 cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi =b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs
篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
负矩阵 : A= ( aij)
减法：Ａ B =Ａ+ ( B)
2.矩阵的数乘
定义2.3 数λ与矩阵Ａ的乘积记为λA或Aλ，并规定：
a11 a12 ... a1n
a1
k
dia(ga1,a2,an)
a2
;
kI
k
an
k
5. 上（下）三角形矩阵
a11 a12 a1n
A
a 22
a
2
n
a
nn
b11
B
b21
b22
bn1
bn2
bnn
篮 球 比 赛 是 根据运 动队在 规定的 比赛时 间里得 分多少 来决定 胜负的 ，因此 ，篮球 比赛的 计时计 分系统 是一种 得分类 型的系 统
第08章 λ-矩阵
当 m = 0,1时，结论显然， M(λ) = M0 = (λE −B)0 +M0 ， M1λ + M 0 = (λ E − B) M1 + BM1 + M0 设命题对 < m 次矩阵多项式成立 M ( λ) − ( λ E − B)( M m λ m −1) = ( λ E − B)Q1 (λ ) + R ∴ M (λ ) = (λ E − B)( M mλ m− 1 + Q1 (λ )) + R 令 Q(λ ) = M mλ m−1 + Q1 (λ )
注：① diag {d 1 (λ ), ⋯,d r (λ ),0, ⋯,0} 为 A( λ) 的（相抵）标准形。 ②称 r 为 A( λ) 的秩。 ③ r = n ⇒ A (λ )可逆。 ④ A( λ ) 可逆 ⇔ A ≅ E 。 ⑤任一可逆 λ -矩阵可表示为初等 λ -矩阵的乘积。 ⑥ λ E − A ≅ diag{1, ⋯,1, d1 ( λ ), ⋯, d r ( λ )} 。
B (λ ) ≅ diag {d 2 (λ ),⋯ , d r (λ ), 0,⋯ , 0} P( λ ) B (λ )Q (λ ) = diag {d 2 (λ ),⋯ , d r (λ ),0,⋯ ,0}
0 ⎞ ⎛ b11 (λ ) A (λ ) ≅ ⎜ ⎟ ≅ diag {d1 ( λ), d 2 (λ ),⋯ , d r (λ ), 0,⋯ , 0} 0 B ( λ )⎠ ⎝ d 1 ( λ ) = c −1b11 ( λ )， d i ( λ ) | d i+1 (λ )， i = 2,⋯ , r 例 设 A =⎜ 3 ⎜
⎛0 ⎜ −1 ⎝ 1 −2 1 −1⎞ ，求 0⎟ ⎟ ⎟ −1⎠
注：① diag {d 1 (λ ), ⋯,d r (λ ),0, ⋯,0} 为 A( λ) 的（相抵）标准形。 ②称 r 为 A( λ) 的秩。 ③ r = n ⇒ A (λ )可逆。 ④ A( λ ) 可逆 ⇔ A ≅ E 。 ⑤任一可逆 λ -矩阵可表示为初等 λ -矩阵的乘积。 ⑥ λ E − A ≅ diag{1, ⋯,1, d1 ( λ ), ⋯, d r ( λ )} 。
B (λ ) ≅ diag {d 2 (λ ),⋯ , d r (λ ), 0,⋯ , 0} P( λ ) B (λ )Q (λ ) = diag {d 2 (λ ),⋯ , d r (λ ),0,⋯ ,0}
0 ⎞ ⎛ b11 (λ ) A (λ ) ≅ ⎜ ⎟ ≅ diag {d1 ( λ), d 2 (λ ),⋯ , d r (λ ), 0,⋯ , 0} 0 B ( λ )⎠ ⎝ d 1 ( λ ) = c −1b11 ( λ )， d i ( λ ) | d i+1 (λ )， i = 2,⋯ , r 例 设 A =⎜ 3 ⎜
⎛0 ⎜ −1 ⎝ 1 −2 1 −1⎞ ，求 0⎟ ⎟ ⎟ −1⎠
λ矩阵
例1 设12级矩阵A 的不变因子组是（λ－1）2，（λ－1）2（λ＋1），（λ－1）2（λ＋1）（λ2＋1）2． 由初等因子的定义，A 的初等因子组是（λ－1）2,（λ－1）2，（λ－1）2，λ＋1，λ＋1，（λ－i ）2，（λ＋i ）2． 其中（λ－1）2出现三次，λ＋1出现二次．注意：所有初等因子次数的和等于该矩阵的阶数例2 已知矩阵A 的初等因子组为λ，λ，λ2，λ＋i, λ－i ，（λ＋i ）2，（λ－i ）2，λ＋1 (1) 求A 的不变因子组.解 由初等因子组的次数之和为11，从而A 是11阶矩阵．先求最高次不变因子d 11(λ),由关系式（1），不变因子应是不同的初等因子的乘积，最高次的不变因子d 11（λ）是其余不变因子的倍式，故它是次数最高的不同初等因子的乘积，从而d 11（λ）＝λ2（λ＋i ）2（λ－i ）2（λ＋1）类似地，剩下的次数最高的初等因子相乘，并继续下去d 10（λ）＝λ（λ＋i ）（λ－i ），d 9（λ）＝λ．由于初等因子已用完，剩下的不变因子都是1，d 8(λ)=…=d 1(λ)=1．例 1 求矩阵126103114A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的若当标准形．解 对λE －A 用初等变换21261001301011400(1)λλλλλ+-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦故A 的初等因子是λ－1，（λ－1）2，因此A 的标准形是100010011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第八章 λ-矩阵教学目的：使学生熟练掌握λ矩阵的基本理论，会求λ矩阵的标准形、初等因子、不变因子、行列式因子等，掌握矩阵相似的条件，并能利用λ矩阵理论解决若当标准形的问题。
教学重点：λ-矩阵基本理论；λ矩阵的标准形、初等因子、不变因子、行列式因子等求法；矩阵相似的条件。
教学难点：λ矩阵基本理论；λ矩阵的标准形、初等因子、不变因子、行列式因子等求法；矩阵相似的条件。
教学方法：讲授，习题与讨论。
高等代数课件(北大版)第八章 λ-矩阵§8.5
等价. 然后对 D1 ( ) 重复上述讨论.
2012-9-22§8.5 初等因子
数学与计算科学学院
如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含
1 的方幂是按逆升幂次排列为止.
再依次对 2 , , r 作同样处理. 最后便得到与 D ( ) 等价的对角阵 D ( ).
结论2、两个同级数字矩阵相似
它们有相同的初等因子.
可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.
2012-9-22§8.5 初等因子
数学与计算科学学院
三、初等因子的求法
1、(引理1)若多项式 f 1 ( ), f 2 ( ) 都与 g 1 ( ), g 2 ( ) 互素，则
f 1 ( ) g 1 ( ),
2
2, 1, 1
得A的不变因子为：
d 3 ( x ) ( 1) ( 2),
2
d 2 ( x ) d 1 ( x ) 1.
2012-9-22§8.5 初等因子
数学与计算科学学院
结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，
则它们就有相同的初等因子； 反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有 相同的不变因子.
d 1 ( x ) ( 1 ) d 2 ( x ) ( 1 )
k 11
( 2 )
k 12
( r )
k1 r
, , .
k 21
( 2 )
k 22
( r )
k2 r
d n ( x ) ( 1 )
kn1
( 2 )
f ( ) | f 2 ( ) g 2 ( ),
高等代数课件(北大版)第八章 λ-矩阵§8.6
i 0 L 0 0
1 i L 0 0
Ji
L 0
0
L 0 0
L L L
L
i
1
L , 0
i
2020/4/11§8.6 若当标准形的数理学与论计算推科学导学院
i 1,2,L , s
J1
令
J
J2 O
Js
则 J 的初等因子也是（*），
即J与A有相同的初等因子.
故J 与A相似.
2020/4/11§8.6 若当标准形的数理学与论计算推科学导学院
0 0 2 2 0 0
0 0 0 0 2
A 的初等因子为 , , 2 .
0 0 0
故 A的若当标准形为
0 0
0 0
0 2
.
2020/4/11§8.6 若当标准形的数理学与论计算推科学导学院
例2、已知12级矩阵A的不变因子为
114,12,L43,1,( 1)2,( 1)2 1, 12 1( 2 1)2 9个 求A的若当标准形. 解：依题意，A的初等因子为 12 , 12 , 12 , 1, 1, i2 , i2
00 00
L L 1n1
1 0
L 1
所以 E J0 的 n 1 级行列式因子为1. 从而， E J0 的 n 2,L ,2,1 级行列式因子皆为1.
J0 的不变因子是:
d1 L dn1 1, dn 0 n . 故 J0 的初等因子是: 0 n .
2020/4/11§8.6 若当标准形的数理学与论计算推科学导学院
1
O
1
s ks
等价. 由定理9，J 的全部初等因子是：
( 1 )k1 , ( 2 )k2 , L , ( s )ks .
λ-矩阵ppt课件
114,12,L43,1, ( 1),2 ( 1)2( 1), ( 1)2( 1)( 2 1)2
9个 则A的初等因子有7个,它们分别是
( 1)2, ( 1)2, ( 1)2, ( 1), ( 1), ( i)2, ( i)2
12
初等因子与不变因子的关系:
(2) 由初等因子与不变因子的关系:
a1n ( ) a2n( )
amn ( )
a11
A
a21
am1
a12 a22 am2
a1n a2n amn
类似于数字矩阵,可以定义λ-矩阵的运算,可逆矩阵,初等变换,等价, 秩等概念.
行列式因子,不变因子,初等因子
1
定义1 下面的三种变换称为 矩阵的初等变换:
(1 ) 矩阵的两行( 列 )互换位置; ( 2 ) 矩阵的某一行( 列 )乘以非零的常数c;
1 0 0
Q 2 1 0 1, 0 2 1
D3 1.
D1 D2 1.
2 1 0 0
A
0 0 0
2 1 0
0 0
2 0
1 2
A( ) 的不变因子为
d1 d2 d3 1, d4 24 .
8
利用行列式因子来计算不变因子 :
1 0 0
( 不可以用非常数的多项式乘或除某一行( 列 )! )
( 3 ) 矩阵的某一行( 列 )加另一行( 列 )的( )倍,( )是一个
多项式.
定义2 矩阵A( )称为与B( )等价,如果可以经过一系列的 初等变换将A( )化为B( ).
2
定理3 的矩阵
任意一个非零的s n的 矩阵A( )都等价于下列形式
d1( )
d2( )
dr( )
9个 则A的初等因子有7个,它们分别是
( 1)2, ( 1)2, ( 1)2, ( 1), ( 1), ( i)2, ( i)2
12
初等因子与不变因子的关系:
(2) 由初等因子与不变因子的关系:
a1n ( ) a2n( )
amn ( )
a11
A
a21
am1
a12 a22 am2
a1n a2n amn
类似于数字矩阵,可以定义λ-矩阵的运算,可逆矩阵,初等变换,等价, 秩等概念.
行列式因子,不变因子,初等因子
1
定义1 下面的三种变换称为 矩阵的初等变换:
(1 ) 矩阵的两行( 列 )互换位置; ( 2 ) 矩阵的某一行( 列 )乘以非零的常数c;
1 0 0
Q 2 1 0 1, 0 2 1
D3 1.
D1 D2 1.
2 1 0 0
A
0 0 0
2 1 0
0 0
2 0
1 2
A( ) 的不变因子为
d1 d2 d3 1, d4 24 .
8
利用行列式因子来计算不变因子 :
1 0 0
( 不可以用非常数的多项式乘或除某一行( 列 )! )
( 3 ) 矩阵的某一行( 列 )加另一行( 列 )的( )倍,( )是一个
多项式.
定义2 矩阵A( )称为与B( )等价,如果可以经过一系列的 初等变换将A( )化为B( ).
2
定理3 的矩阵
任意一个非零的s n的 矩阵A( )都等价于下列形式
d1( )
d2( )
dr( )
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法
高等数学(高教版)第八章λ 矩阵第五节
所以
证毕
下面的定理给了我们一个求初等因子的方法，
它不必事先知道不变因子.
定理 9 首先用初等变换化特征矩阵 E - A
为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不
相同的一次因式方幂的乘积，
则所有这些一次因
式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是 A 的全
部初等因子.
证明 设 E - A 已用初等变换化为对角形
如果多项式 f1()， f2() 都与 g1()， g2() 互
素，则
(f1()g1() , f2()g2())=(f1() , f2())(g1() , g2()).
事实上，令
( f1()g1() , f2()g2()) = d() , ( f1() , f2()) = d1() , ( g1() , g2()) = d2() .
因式的方幂
( j )k1 j , ( j )k2 j ,, ( j )knj
( j 1,2,, r)
在 D() 的主对角线上按递升幂次排列后，得到的
新对角矩阵 D () 与 D() 等价.
此时 D () 就是
E - A 的标准形而且所有不为 1 的
因子，因而它们相似.
反之，如果两个矩阵相似，
则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初
等因子.
综上所述，即得：
定理 8 两个同级复数矩阵相似的充分必要条
是它们有相同的初等因子.
三、初等因子的求法
初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量. 但是初等因子的求法与不变因子的求法比较，反而 方便一些.
在介绍直接求初等因子的方法之前，先来说明 关于多项式的最大公因式的一个性质：
(
j )kij
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第八章 习题课
一、基本概念与理论
二、基本方法 三、例题讲析 四、练习
一、基本概念与理论
1.λ-矩阵的标准形理论。 2.行列式因子、不变因子、初等因子的定义、 性质及求法。 3.矩阵的特征矩阵的化简，矩阵相似的充分或 必要条件。 4.矩阵的若当标准形理论及其导出结果。
二、基本方法
1.化λ －矩阵为标准形
矩阵 A( )的标准形为
1 ( 2 1)( 2 2) 2 4 2 ( 1)( 4)
求 A 的初等因子 例3
求
( 1) 2 A( ) 2 ( 1) ( 1)
的初等因子
返回
例4
求
2 ( 1) A( ) ( 1) 2 ( 1)
的初等因子
例6
求复数域上矩阵
7 3 3 A 2 5 2 4 10 3
的Jordan标准形
法一. 初等变换法 法二. 行列式因子法
2.求矩阵若当标准形
法一. 初等变换化对角形再因式分解 法二. 利用行列式因子求出不变因子再因式分解
三、例题讲析
例1
1 2 3 2 设 A 1 1 , B 9 5
问 A 与 B 是否相似？
例2
设域 P 上
], 1 , 2 ,n 为 A 的特征值, 证明 f ( A) 的特征值为 f (1 ), f (2 ),, f (n ). 2. 方阵 A 的特征值全为零的充要条件是 A
是幂零矩阵。
一、基本概念与理论
二、基本方法 三、例题讲析 四、练习
一、基本概念与理论
1.λ-矩阵的标准形理论。 2.行列式因子、不变因子、初等因子的定义、 性质及求法。 3.矩阵的特征矩阵的化简，矩阵相似的充分或 必要条件。 4.矩阵的若当标准形理论及其导出结果。
二、基本方法
1.化λ －矩阵为标准形
矩阵 A( )的标准形为
1 ( 2 1)( 2 2) 2 4 2 ( 1)( 4)
求 A 的初等因子 例3
求
( 1) 2 A( ) 2 ( 1) ( 1)
的初等因子
返回
例4
求
2 ( 1) A( ) ( 1) 2 ( 1)
的初等因子
例6
求复数域上矩阵
7 3 3 A 2 5 2 4 10 3
的Jordan标准形
法一. 初等变换法 法二. 行列式因子法
2.求矩阵若当标准形
法一. 初等变换化对角形再因式分解 法二. 利用行列式因子求出不变因子再因式分解
三、例题讲析
例1
1 2 3 2 设 A 1 1 , B 9 5
问 A 与 B 是否相似？
例2
设域 P 上
], 1 , 2 ,n 为 A 的特征值, 证明 f ( A) 的特征值为 f (1 ), f (2 ),, f (n ). 2. 方阵 A 的特征值全为零的充要条件是 A
是幂零矩阵。