对数及对数运算PPT课件
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4.3.2对数的运算PPT课件(人教版)
请看课本P126：练习3
小结：1.积、商、幂的对数运算性质
如果 a > 0，a 1，M > 0，N > 0，那么：
(1)loga (MN ) loga M loga N
(2) loga
M N
loga M
loga N
(3)loga M n nloga M (n R)
思考：性质(1)是否可以推广到n个数的情形?
(1) log3 (27 92 ) log3[33 (32 )2 ]
log3[33 34 ] log3 37 7
（2）lg 5 lg 2 lg(5 2) lg10 1
（3）log 5
3 log5
1 3
log
5
(3
1) 3
log5 1
0
（4）log
3
5
log
3
15
log
3
5 15
log3 31 1
积、商、幂的对数运算性质： 如果a>0，a1，M>0，N>0，那么：
(1)loga (MN ) loga M loga N
M (2) loga N loga M loga N
(3)loga M n nloga M (n R)
请看课本P126：练习2
2.用lg x, lg y, lg z表示下列各式：
logc a x logc a
x logc a logc a
x
loga b
即证得
log
ab
logc logc
b a
－－－这就是对数里很重要的一个公式：换底公式
换底公式:
loga
b
logc logc
b a
3.2.1对数与对数运算1课件人教新课标B版
x
（1）32×1024
（2）4096÷128
计算 13×2048=
（3）
如何非整除法的运算
非完全平方数的开方运算
ax=N 求 x
除号“—”
根号“√”
?
2.2.1 对数与对数运算
人教A版必修1第一章第2节
讲授新知
log
对数（logarithm）
概念形成
对数的发明延长了科学家生命.
【例2】求下列各式中x的值
伽利略·伽利雷
（1） （2） （3） （4）
给我时间、空间和对数，我就可以创造一个宇宙.
弗里德里希·恩格斯
把对数的发明和解析几何的首创、微积分的
建立称为17世纪数学的三大成绩.
课堂小结
今天你学到了什么？
概念
【例2】求下列各式中x的值
（1） （2） （3） （4）
但那时候还没有计算机，
人们迫切需要找到一种方
法提高运算效率，那该怎
么办？
情境引入
x
x
1
2
13
2
4
3 4 5 6 7
8
9
10
11
12
8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096
14
15
8192 16384 32768
16
17
18
65536
131072
262144
计算 32×1024= ？
一、对数的概念
一般地，如果 ax =
N（a>0，且a≠1），
那么数x叫做以a为底N的对数，
记作：
x = logaN
其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
（1）32×1024
（2）4096÷128
计算 13×2048=
（3）
如何非整除法的运算
非完全平方数的开方运算
ax=N 求 x
除号“—”
根号“√”
?
2.2.1 对数与对数运算
人教A版必修1第一章第2节
讲授新知
log
对数（logarithm）
概念形成
对数的发明延长了科学家生命.
【例2】求下列各式中x的值
伽利略·伽利雷
（1） （2） （3） （4）
给我时间、空间和对数，我就可以创造一个宇宙.
弗里德里希·恩格斯
把对数的发明和解析几何的首创、微积分的
建立称为17世纪数学的三大成绩.
课堂小结
今天你学到了什么？
概念
【例2】求下列各式中x的值
（1） （2） （3） （4）
但那时候还没有计算机，
人们迫切需要找到一种方
法提高运算效率，那该怎
么办？
情境引入
x
x
1
2
13
2
4
3 4 5 6 7
8
9
10
11
12
8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096
14
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8192 16384 32768
16
17
18
65536
131072
262144
计算 32×1024= ？
一、对数的概念
一般地，如果 ax =
N（a>0，且a≠1），
那么数x叫做以a为底N的对数，
记作：
x = logaN
其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
对数的概念和运算性质课件
常见的对数方程解法
方法包括转换法、换底法、 指数幂等式法、配方法及 直接化幂为幂、幂等式、 差倍角公式。
真实场景中的对数方 程应用
生物学、化学、物理学和 金融学等领域中使用对数 方程来解决实际问题。
对数在实际问题中的应用
对数在生物学中的应用
对数函数可以用于描述生物学 中导数增长，基因表达和代谢 过程等。
• 《高中数学教师操作 指南第8册》
• 《高中数学课件：对 数公式集锦》
网络资源推荐
学术期刊推荐
• Khan Academy 对数 公式视频
• Wolfram Alpha 对数计算器
• Nature 数学部分论文
• Journal of Mathematical Analysis and Applicationgab 表示以 a 为底，b 的对数。
特殊情况：自然对数和常用对数
自然对数以 e（欧拉数）为底，常用对数以 10 为底。
对数的运算性质
1
对数的除法法则
2
loga(b/c) = logab - logac
3
对数的乘法法则
loga(bc) = logab + logac
对数的幂运算法则
logabc = c logab
对数的换底公式
定义
换底公式将一个对数重新表示 为以不同底数的对数。
推导过程
我们可以使用对数乘法法则和 对数的无穷级数来推导换底公 式。
举例说明
应用换底公式简化对数运算可 以减少常见错误。
对数方程的解法
对数方程的基本概念
解对数方程涉及用对数函 数来消去指数，得到一个 关于变量的代数方程。
对数在物理学中的应用
对数可以用于描述物理刺激强 度和感官响应之间的关系，以 及放射性退化中元素浓度的变 化。
对数与对数函数课件人教新课标
例3 比较下列各组中两个值的大小:
⑴ log 67 , log 7 6 ;
⑵ log 3π , log 2 0.8 .
提示 : log aa=1
提示: log a1=0
解: ⑴ ∵ log67＞log66＝1 ⑵ ∵ log3π＞log31＝0
log76＜log77＝1
log20.8＜log21＝0
解:原方程可化为
3x 1 (x 1)(3 x)
x2 x 2 0
解得x 2或x 1
检验: x 1使真数3x-1和x-1分别小于或等于0
x 1舍去 方程的解是x 2
a>1
0<a<1
图
Y Y=logax
像 O1
x
Y Y=logax
O1
x
定义域(0,+∞) 值域：R
பைடு நூலகம்过点（1，0），即x=1时,y=0
性 质
x>1时,y>0
0<x<1时,y<0
0<x<1时,y>0 x>1时,y<0
在(0,+上是增函数 在(0,+上是减函数
y
y=log2x
4
3
y=log3x
2
1
O -1
2
4
6
8
10
x
-2
-3
y log1x
3
y
log
x 1
2
y
(
1 2
)x
Y 5
Y=2x
Y=X
● 4
3
●
2
●
●
● 1●
●
●
-1 O -1
4.3.2对数的运算 课件(共24张PPT)
∴log ( ) = log
− log
练习
练习
练习
对数的运算法则-数乘公式
n个M相乘
log = log ( × × ⋯ … × ）
n个log 相加
= log + log + ⋯ … + log
= log
练习
常用对数与自然对数
对数的基本运算
a＞0且 ≠ 1，log 1 = 0
a＞0且≠1，log = 1
a＞0且≠1，log = x
ln = 1
lg 10 = 1
ln 1 = 0
lg 1 = 0
对数恒等式
log
=
令 =
log
则
=
∴log = log
∵log =
lg
lg Leabharlann lg log b =
lg b
lg lg
∴log × log = × =1
lg
lg b
=
=
= log
练习
练习
练习
即=+
∴log () = +
∴log () = log + log
对数的运算法则-减法公式
令log = , log =
则 = , =
∴ = ÷ = −
即 =−
∴log ( ) = −
∴t=N
log
∴
=
练习
3log3 2 = 2
2.2.1对数与对数运算(必修一优秀课件)
(D)(2) (3) (4)
课 堂 互 动 探 究
【解析】选B.由对数定义可知(1)(2)(4)均正确，而(3)中
对数的底数不等于1.
基 础 自 主 演 练 课 后 巩 固 作 业
课 前 新 知 初 探
2.(2011·海口高一检测)设a>0,a≠1,x∈R,下列结论错误的 是( ) (B)logax2=2logax (D)logaa=1
2
(3)lg 0.01 2
1 4 解：(1)( ) 16 2
(4)ln10 2.303
(2)27 128
(3)10 0.01
2
(4)e2.303 10
求下列各式的值 （1）log0.5 1 （4） log3 243 （5） lg 4 64 （6）log
2
log （2） 9 81
是2010年的2倍？
a 1 8%
x=
x
2a
x 2 即 1.08
小结：
这是已知底数和幂的值，求指数的问题。 即指数式ab=N中，已知a 和N，求b的问题。
这里( a 0且a 1 ）
你能看得出来吗？怎样求呢？
对数的定义
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对
特的方法构造出对数方法。1614年6月在爱丁堡出版的
第一本对数专著》《奇妙的对数表的描述》中阐明了 对数原理，后人称为纳皮尔对数。
假设2010年我国的国民生产总值为a亿元，如果每年 平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值
是2010年的2倍？
假设2010年我国的国民生产总值为a亿元，如果每年
平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值
（3）log25 625 解： （1）log0.5 1
课 堂 互 动 探 究
【解析】选B.由对数定义可知(1)(2)(4)均正确，而(3)中
对数的底数不等于1.
基 础 自 主 演 练 课 后 巩 固 作 业
课 前 新 知 初 探
2.(2011·海口高一检测)设a>0,a≠1,x∈R,下列结论错误的 是( ) (B)logax2=2logax (D)logaa=1
2
(3)lg 0.01 2
1 4 解：(1)( ) 16 2
(4)ln10 2.303
(2)27 128
(3)10 0.01
2
(4)e2.303 10
求下列各式的值 （1）log0.5 1 （4） log3 243 （5） lg 4 64 （6）log
2
log （2） 9 81
是2010年的2倍？
a 1 8%
x=
x
2a
x 2 即 1.08
小结：
这是已知底数和幂的值，求指数的问题。 即指数式ab=N中，已知a 和N，求b的问题。
这里( a 0且a 1 ）
你能看得出来吗？怎样求呢？
对数的定义
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对
特的方法构造出对数方法。1614年6月在爱丁堡出版的
第一本对数专著》《奇妙的对数表的描述》中阐明了 对数原理，后人称为纳皮尔对数。
假设2010年我国的国民生产总值为a亿元，如果每年 平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值
是2010年的2倍？
假设2010年我国的国民生产总值为a亿元，如果每年
平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值
（3）log25 625 解： （1）log0.5 1
对数与对数运算PPT
思考:
在指数式 ax N和对数式 x= loga N中， a，x ，N 各自的地位有什么不同？
指数式 ax N 对数式 x= loga N
a Nx
指数的底 幂 幂指数 数
对数的底 真 对数 数数
对数式与指数式的互换
42 16 化为对数式 log4 16 2
102 100 化为指数式 log10 100 2
1
4 2 2 化为对数式
102 0.01 化为指数式
1 log 4 2 2
log10 0.01 2
对数的运算
对数运算的三条基本性质
（1）loga M loga N loga (M N)
（2）loga
M
loga
N
loga
M N
（3）loga M n n loga M
对数运算的三个常用结论
ax N x= loga N
介绍两种特殊的对数：
1．常用对数：以10作底 log10 N写成 lg N
例如：log10 3简记作lg 3，log10 2.3简记作lg 2.3 ；
2．自然对数：以无理数e = 2.71828…作
底 log e N 写成 ln N
例如：loge 3 简记作 ln 3，loge 7.1简记作ln 7.1 ；
（1）loga a 1; （2） loga 1 0;
（3） aloga N N.
课堂练习
试用 loga x，loga y ，loga z表示下式：
（1） loga
x2 y
（2）loga yz2
小结：
1°对数的定义
2°互换(对数与指数会互化)
3 °对数的运算性质
课后延续
1、认真复习；
新教材高中数学第4章对数：对数的运算第1课时对数的运算pptx课件新人教A版必修第一册
(1)loga ；(2)loga(x3y5)；(3)loga 3 ．
[解]
(1)loga ＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz．
(2)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay．
2
(3)loga
3
1
2
1
−
3
1
2
＝loga(x2 )＝logax2＋loga + log
1
7＋ lg
2
1
10＝ ．
2
1
2＋
2
1
5＝ lg
2
2 lg 7 + lg 5
1
2＋ lg
2
5
• 【例3】 计算下列各式的值：
• (2)lg
2
2
5 ＋ lg
3
8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
• [解] 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg
(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)．
(
)
(× )
(× )
×
02
关键能力·合作探究释疑难
类型1 对数的运算性质
类型2 带有附加条件的对数式求值
类型3 利用对数的运算性质化简、求值
类型1 对数的运算性质
【例1】 (源自人教B版教材)用logax，logay，logaz表示下列各式：
2
• (3)logaMn＝________(n∈R)．
logaM－logaN
• 提醒 三条运算性质成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0．
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（2）自然对数:以无理数e=2.71828……
为底的对数叫自然对数(naturallogarithm)，
为了简便，N的自然对数简记作lnN。
例题与练习
例1将下列指数式化为对数式，
对数式化为指数式.
（1）54=625
1 (2) 2 64
6
1 m (3) ( ) 5.73 3
(5)
(4)
log 1 16 4
a叫做对数的底数， N叫做真数
二．思考：为什么在定义中要规定： a＞0且a≠1，而且 N>0?
三．几个常用结论： （1）负数与零没有对数 （2） loga 1 0 （3） loga a 1 （4）对数恒等式：a
loga N
N
4．常用的两种对数：
（1）常用对数：通常将以10为底的对数 叫做常用对数(common logarithm)。 N的常用对数简记作lgN
log2 log3 log4 x 0
练习（书上P64第1、2、3、4题）：
小结 ：
1．对数定义：
2.指数式与对数式互换 3.理解: a＞0且a≠1；而且 N>0
4.常用的两种对数：
5．几个常用结论：
课后作业： 书上P74：1、2
2
lg 0.01 2 （6） ln10 2.303
例2 求下列各式中x的值
(1)
(2)
2 log 64 x )
2
x
ln e x
例3、求 x 的值： (1)
2
log2x 1 3x 2x 1 1
2
(2)
2.2.1 对数及对数运算（1）
思考:
在2.1.2(P57)例8中,我们得到了函数关 系式:y=13•1.01x ,
问题1:在这个例题中,对于给定的一个年 份,你能计算相应的人口总数吗?
问题2:哪一年的人口数可达到18亿?
20亿呢?
一、对数的定义: 一般地,如果 aa 0, a 1 的b次幂等于N b a N 即 (叫指数式)， 那么数 b叫做 a为底N的对数 log N b a 记作 (叫对数式)，
为底的对数叫自然对数(naturallogarithm)，
为了简便，N的自然对数简记作lnN。
例题与练习
例1将下列指数式化为对数式，
对数式化为指数式.
（1）54=625
1 (2) 2 64
6
1 m (3) ( ) 5.73 3
(5)
(4)
log 1 16 4
a叫做对数的底数， N叫做真数
二．思考：为什么在定义中要规定： a＞0且a≠1，而且 N>0?
三．几个常用结论： （1）负数与零没有对数 （2） loga 1 0 （3） loga a 1 （4）对数恒等式：a
loga N
N
4．常用的两种对数：
（1）常用对数：通常将以10为底的对数 叫做常用对数(common logarithm)。 N的常用对数简记作lgN
log2 log3 log4 x 0
练习（书上P64第1、2、3、4题）：
小结 ：
1．对数定义：
2.指数式与对数式互换 3.理解: a＞0且a≠1；而且 N>0
4.常用的两种对数：
5．几个常用结论：
课后作业： 书上P74：1、2
2
lg 0.01 2 （6） ln10 2.303
例2 求下列各式中x的值
(1)
(2)
2 log 64 x )
2
x
ln e x
例3、求 x 的值： (1)
2
log2x 1 3x 2x 1 1
2
(2)
2.2.1 对数及对数运算（1）
思考:
在2.1.2(P57)例8中,我们得到了函数关 系式:y=13•1.01x ,
问题1:在这个例题中,对于给定的一个年 份,你能计算相应的人口总数吗?
问题2:哪一年的人口数可达到18亿?
20亿呢?
一、对数的定义: 一般地,如果 aa 0, a 1 的b次幂等于N b a N 即 (叫指数式)， 那么数 b叫做 a为底N的对数 log N b a 记作 (叫对数式)，