李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社.

第一章 绪论

1设x 0,x 的相对误差为

，求In x 的误差 进而有(In x*)

2.设x 的相对误差为2%，求x n 的相对误差。

xf '(x)

解：设f(x) x n ，则函数的条件数为 C p | |

f(x)

n 1 x nx n 1

又Q f '(x) nx , C p |

| n n 又Q r ((x*) n) C p r (x*)

且 e r (x*)为 2

r ((x*)n ) 0.02 n

3•下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指

出它们是几位有效数字： x ； 1.1021,x 2 0.031 , x 3 385.6, x 4 56.430,x ； 7 1.0.

解：x * 1.1021是五位有效数字；

x 2 0.031是二位有效数字；

X 3 385.6是四位有效数字；

x 4 56.430是五位有效数字；

x ； 7 1.0.是二位有效数字。

4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：

⑴X ； X ； X ；,(2) x ；x ；x ；,(3) X ；/X 4.

其中x ；,x 2,x 3,x 4均为第3题所给的数。

解: 解：近似值x *的相对误差为

e* x* x x* x* 而In x 的误差为e In x*

In x* Inx 1 x*

e*

*

1 4

(X 1) 2 10

* 1 ,亠

3 (X 2) 2 10

* 1 1

(X 3) 2 10

* 1 ,亠

3 (X 4) 2 10

* 1 1

(X 5)

10

2

(2) (x ；x ；x ；)

* * *

X 1X 2 (X 3)

0.215

⑶(X ；/X ；)

* I * * *

X 2I (X 4) X 4 (X 2)

n

&

4 3

解：球体体积为V - R 3

则何种函数的条件数为

C P r (V*) C p g r (R*) 3 r (R*)

(1) (X 1 * (X 1) 1 10 2 1.05 10

X 2 X 4)

*

(X 2) 4 1

2 3

10 (X 4)

3

1.1021 0.031 101 1 0.031 385.6 - 104 1.1021 385.6

10 0.031 1 3 1 3

10 3 56.430 10 3

2 2

10 5

56.430 56.430 5计算球体积要使相对误差限为 X 2X 3 * * *

X 1X 3 (x 2)

1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?

Rg/' V

又Q r(V*) 1

1 2

x 1具有5位有效数字

X 2具有5位有效数字

故度量半径R 时允许的相对误差限为

r （R*）- 3 1 0.33 1 6.设Y 0 28，按递推公式 Y n 丫^ ——7783 100 (n=1,2,…) 计算到丫00。若取.783 27.982（ 5位有效数字）

，试问计算Y oo 将有多大误差? 1 ____

解：QY, Y n 1 .783

100

1 ____

论0 丫99 “冠

100

1 ___

丫98 783

100

1 .

丫97 ---- . 783

100

丫99 丫98 丫1

1

丫0 100’茨

1 ——/783

100

即 丫00 Y) 、

783 ,

若取,783 27.982 ，丫00 （丫0。） （丫0） (27.982)

1 4 — 3

丫100的误限为

10 。

依次代入后, Y o 27.982

7.求方程X 2 1103

有论。绻100 56x 1 0的两个根, 使它至少具有 4位有效数字（.783

27.982 ）。

故方程的根应为 X 1,2 28 、783

故 X 1 28 783 28 27.982 55.982

8.当 N 充分大时，怎样求N 1^^dx ? 1 x 2

x 2 28 、783 28 、783 28 27.982 0.017863 55.982

pdx arctan(N 1) arctanN x

arcta n(ta n( ))

丄 tan tan arctan — 1 tan gtan

丄 N 1 N arctan — 1 (N 1)N

arctan —亍 N 2 N 1

2

100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过 1cm ?

解：正方形的面积函数为 A （x ） x 2

(A* †) 2A*g (x*).

当 x* 100时，若（A*） 1,

1

2

则（x*） 102

2 故测量中边长误差限不超过 0.005cm 时，才能使其面积误差不超过 1cm 2

1 2

10•设S -gt 2，假定g 是准确的，而对t 的测量有 0.1秒的误差，证明当t 增加时S 的 绝对误差增加，而相对误差却减少。

1 2

解：QS -gt 2,t 0 2

(S*) gt 2g (t*)

当t *增加时，S*的绝对误差增加

gt 2g (t*)

1 * 2

^g(t) (t*) †

arcta n(N 1),

arctan N 。 则 tan N 1,tan

N. 1 1 1 x 2

dx 9.正方形的边长大约为了 r (S*) (S*)

S*