创新设计全国通用2017版高考物理二轮复习专题突破3电场和磁场第2讲带电粒子在复合场中的运动

第2讲 带电粒子在复合场中的运动1．(2016·全国卷Ⅰ，15)现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子，其示意图如图1所示，其中加速电压恒定。

质子在入口处从静止开始被加速电场加速，经匀强磁场偏转后从出口离开磁场。

若某种一价正离子在入口处从静止开始被同一加速电场加速，为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，需将磁感应强度增加到原来的12倍。

此离子和质子的质量比约为( )图1A ．11B ．12C ．121D ．144解析 设质子的质量和电荷量分别为m 1、q 1，一价正离子的质量和电荷量为m 2、q 2。

对于任意粒子，在加速电场中，由动能定理得qU ＝12mv 2－0，得v ＝2qUm①在磁场中qvB ＝m v 2r②由①②式联立得m ＝B 2r 2q2U ，由题意知，两种粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，加速电压U 不变，其中B 2＝12B 1，q 1＝q 2，可得m 2m 1＝B 22B 21＝144，故选项D 正确。

答案 D2．(2014·全国卷，25)如图2所示，在第一象限存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面(xOy 平面)向外；在第四象限存在匀强电场，方向沿x 轴负向。

在y 轴正半轴上某点以与x 轴正向平行、大小为v 0的速度发射出一带正电荷的粒子，该粒子在(d ，0)点沿垂直于x 轴的方向进入电场。

不计重力。

若该粒子离开电场时速度方向与y 轴负方向的夹角为θ，求：图2(1)电场强度大小与磁感应强度大小的比值； (2)该粒子在电场中运动的时间。

解析 (1)如图，粒子进入磁场后做匀速圆周运动。

设磁感应强度的大小为B ，粒子质量与所带电荷量分别为m 和q ，圆周运动的半径为R 0，由洛伦兹力公式及牛顿第二定律得qv 0B ＝m v 20R 0①由题给条件和几何关系可知R 0＝d ②设电场强度大小为E ，粒子进入电场后沿x 轴负方向的加速度大小为a x ，在电场中运动的时间为t ，离开电场时沿x 轴负方向的速度大小为v x 。

由牛顿第二定律及运动学公式得Eq ＝ma x ③v x ＝a x t ④v x2t ＝d ⑤由于粒子在电场中做类平抛运动(如图)，有 tan θ＝v x v 0⑥联立①②③④⑤⑥式得E B ＝12v 0tan 2θ⑦ (2)联立⑤⑥式得t ＝2dv 0tan θ答案 (1)12v 0tan 2θ (2)2d v 0tan θ[备 考 指 导]【考情分析】【备考策略】两条思路破解带电粒子在复合场中的运动问题(1)动力学观点：从力和运动的关系着手，从“力”的角度出发，分析研究对象所受的全部外力，包括电场力和洛伦兹力，由平衡条件或牛顿第二定律列方程。

(2)功和能观点：从功和能的关系着手，从“能”的角度出发，分析各个力做功，包括电场力做功，用动能定理或能量守恒定律列方程。

带电粒子在组合场中的运动 [规 律 方 法]带电粒子在组合场中运动的处理方法[精 典 题 组]1．如图3所示，在直角坐标系xOy 平面内有一矩形区域MNPQ ，矩形区域内有水平向右的匀强电场，场强为E ；在y ≥0的区域内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，半径为R 的光滑绝缘空心半圆管ADO 固定在坐标平面内，半圆管的一半处于电场中，圆心O 1为MN 的中点，直径AO 垂直于水平虚线MN 。

一质量为m 、电荷量为q 的带电粒子(重力不计)从半圆管的O 点由静止释放，进入管内后从A 点穿出恰能在磁场中做半径为R 的匀速圆周运动，当粒子再次进入矩形区域MNPQ 时立即撤去磁场，此后粒子恰好从QP 的中点C 离开电场。

求：图3(1)匀强磁场的磁感应强度B 的大小；(2)矩形区域的长度MN 和宽度MQ 应满足的条件？ (3)粒子从A 点运动到C 点的时间。

解析 (1)粒子从O 到A 过程中由动能定理得qER ＝12mv 2从A 点穿出后做匀速圆周运动，有qvB ＝mv 2R解得B ＝2Em qR(2)粒子再次进入矩形区域后做类平抛运动，由题意得R ＝12at 2 a ＝qE mR ＋OC －＝vt联立解得OC －＝R所以，矩形区域的长度MN ≥2R ，宽度MQ ＝2R 。

(3)粒子从A 点到矩形边界MN 的过程中，t 1＝14·2πm qB ＝π2mR2qE从矩形边界MN 到C 点的过程中，t 2＝2R a ＝2mRqE故所求时间t ＝t 1＋t 2＝(π4＋1)2mR qE。

答案 (1)2EmqR (2)MN ≥2R MQ ＝2R (3)(π4＋1)2mRqE2．如图4所示的平行板器件中，存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度B 1＝0.20 T ，方向垂直纸面向里，电场强度E 1＝1.0×105V/m ，PQ 为板间中线。

紧靠平行板右侧边缘xOy 坐标系的第一象限内，有一边界线AO ，与y 轴的夹角∠AOy ＝45°，边界线的上方有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B 2＝0.25 T ，边界线的下方有竖直向上的匀强电场，电场强度E 2＝5.0×105V/m 。

一束带电荷量q ＝8.0×10－19C 、质量m ＝8.0×10－26kg 的正离子从P 点射入平行板间，沿中线PQ 做直线运动，穿出平行板后从y 轴上坐标为(0，0.4 m)的Q 点垂直y 轴射入磁场区，多次穿越边界线OA 。

求：图4(1)离子运动的速度；(2)离子从进入磁场到第二次穿越边界线OA 所需的时间。

解析 (1)设正离子的速度为v ，由于沿中线PQ 做直线运动，则有qE 1＝qvB 1代入数据解得v ＝5.0×105m/s 。

(2)离子进入磁场，做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有qvB 2＝m v 2r，解得r ＝0.2 m作出离子的轨迹如图所示，交OA 边界为C 点，OQ ＝2r ，若磁场无边界，一定通过O 点，则圆弧QC 的圆心角为 θ＝90°运动时间t 1＝T 4＝πm 2B 2q＝6.28×10－7s离子过C 点的速度方向竖直向下，平行于电场线进入电场，做匀减速运动，返回C 点的时间为t 2，则t 2＝2va，而a ＝E 2q m＝5×1012 m/s 2， 所以t 2＝2×10－7s离子从进入磁场到第二次穿越边界线OA 所需的时间t ＝t 1＋t 2＝8.28×10－7 s 。

答案 (1)5.0×105m/s (2)8.28×10－7s带电粒子在叠加复合场中的运动[规 律 方 法]关注几场叠加，构建运动模型，优选规律解题[精 典 题 组]1.在竖直xOy 平面内，第Ⅰ、Ⅱ象限存在沿y 轴负方向的匀强电场1，场强大小为E 1，在第Ⅲ、Ⅳ象限内，存在垂直于xOy 平面的匀强磁场和沿y 轴正方向的匀强电场2，场强大小为E 2，磁场方向如图5所示，磁感应强度B 1＝B 0，B 2＝B 02，电场强度大小E 1＝E 2＝mgq 。

两质量为m 、带电荷量为＋q 的粒子a 、b 同时分别从第Ⅱ、Ⅰ象限的P 、Q 两点(图中没有标出)由静止释放后，同时进入匀强磁场和匀强电场复合场区中，且第一次经过y 轴时都过点M (0，－3l )。

粒子a 在M 点时的速度方向与y 轴正方向成60°角，不计两粒子间的相互作用。

求：图5(1)粒子a 第一次在第Ⅲ、Ⅳ象限复合场中运动的时间之比； (2)粒子b 在第Ⅳ象限内复合场中运动的轨迹半径。

解析 (1)粒子a 进入复合场区中，电场力和重力平衡，qE ＝mg ，粒子a 在第Ⅲ象限做匀速圆周运动，画出粒子a 的运动轨迹，如图所示，洛伦兹力提供向心力，设粒子a 从第Ⅱ象限进入第Ⅲ象限时的速度大小为v ，在第Ⅲ象限内运动的轨迹半径为r 1，则qvB 0＝mv 2r 1，解得r 1＝mvqB 0运动周期T 1＝2πr 1v ＝2πmqB 0由几何知识可知粒子a 在第Ⅲ象限运动的轨迹对应的圆心角θ1＝2π3，运动时间t 1＝13T 1＝2πm3qB 0同理，粒子a 在第Ⅳ象限内做匀速圆周运动的半径r 2＝2mv qB 0，运动周期T 2＝2πr 2v ＝4πmqB 0，由几何知识可知粒子a 在第Ⅳ象限运动的轨迹对应的圆心角θ2＝4π3，运动时间t 2＝23T 2＝8πm3qB 0，所以t 1∶t 2＝1∶4 (2)由几何知识可知，粒子a 在第Ⅲ象限内运动的轨迹半径r 1＝3lsin 60°＝2l由(1)可知，粒子a 在第Ⅳ象限内运动的轨迹半径r 2＝2r 1＝4l由题意可知，粒子a 、b 进入匀强磁场和匀强电场的速度大小相等，在第Ⅳ象限做匀速圆周运动的半径也相等，故粒子b 在第Ⅳ象限的半径r ′＝r 2＝4l 。

答案 (1)1∶4 (2)4l2．(2016·天津理综，11)如图6所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E ＝5 3 N/C ，同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B＝0.5 T 。

有一带正电的小球，质量m ＝1×10－6kg ，电荷量q ＝2×10－6C ，正以速度v 在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P 点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，取g ＝10 m/s 2，求：图6(1)小球做匀速直线运动的速度v 的大小和方向；(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P 点所在的这条电场线经历的时间t 。

解析 (1)小球匀速直线运动时受力如图，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，有qvB ＝q 2E 2＋m 2g 2①代入数据解得v ＝20 m/s②速度v 的方向与电场E 的方向之间的夹角满足 tan θ＝qE mg③代入数据解得tan θ＝ 3 θ＝60°④(2)解法一 撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，如图所示，设其加速度为a ，有a ＝q 2E 2＋m 2g 2m⑤设撤去磁场后小球在初速度方向上的分位移为x ，有x ＝vt ⑥设小球在重力与电场力的合力方向上分位移为y ，有y ＝12at 2⑦tan θ＝y x⑧联立④⑤⑥⑦⑧式，代入数据解得t ＝2 3 s ＝3.5 s⑨解法二 撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以P 点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为v y ＝v sin θ⑤若使小球再次穿过P 点所在的电场线，仅需小球的竖直方向上分位移为零，则有v y t －12gt2＝0⑥联立⑤⑥式，代入数据解得t ＝2 3 s ＝3.5 s⑦ 答案 (1)20 m/s 与电场方向成60°角斜向上 (2)3.5 s带电粒子在电磁场中的运动与现代科技的综合[规 律 方 法]模型选择是解题前提，受力分析是解题方法中学阶段常见的带电粒子在正交的匀强电场和匀强磁场中运动的几种模型有①速度选择器、②回旋加速器、③质普仪、④磁流体发电机、⑤霍尔元件、⑥电磁流量计等。