高等代数与解析几何.

3.2 仿射坐标系与直角坐标系
笛数与解析几何
3.2 仿射坐标系与直角坐标系
3.2.1
仿射坐标系 在直线上取定一个非零向量 e ，那么在此直线
引理3.1 上任一向量
，都存在唯一确定的实数 x ，使得 xe.
在平面上取定两个不共线的向量
引理3.2
求 ABC 的重心 M x, y, z 的坐标. 答案：
x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 x ,y ,z 3 3 3
空间直角坐标系
3.2.5
空间直角坐标系是一种特殊的仿射坐标系. 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
e2
(a)
e1
例3.4
e1
e2
(b)
如图，梯形 ABCD 中，AD BC, AD 3BC， AD 是 E 的中点，求点 C 及向量 CE 在坐标系 A; AE , AB


下的坐标.
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3.2 仿射坐标系与直角坐标系
3.2.2
用坐标进行向量运算
定义3.12 对空间中向量 ，它在仿射坐标系{O; e1 , e2 , e3}
下有分解式 xe1
定义3.13
ye2 ze3 ，称 x, y, z 是向量 在坐标系
{O; e1 , e2 , e3} 下的坐标.
量 OM 是点 M 的向径.向径在坐标系的坐标称为点 M在该坐
设 1 x1e1 y1e2 z1e3 , 2 x2e1 y2e2 z2e3，那么 向量加（减）法运算是：
1 2 x1 x2 e1 y1 y2 e2 z1 z2 e3 1 2 x1 x2 e1 y1 y2 e2 z1 z2 e3
x3 y3 0 z3
三个向量 4,6,2 , 6, 9,3 , 6, 3, a 共面，求
a 的值.
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3.2.4
定比分点的坐标
AB 分割成定比 （其中 1 ）的点 C 的坐标为 x, y, z ,
其中
A x1 , y1 , z1 , B x2 , y2 , z2 是空间中任意两点，则把线段
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3.2.3 定理3.4
向量共线、共面的条件 三向量 1 x1e1 y1e2 z1e3 ,
2 x2e1 y2e2 z2e3 , 3 x3e1 y3e2 z3e3 共面的充要条件是
x1 y1 z1
例3.7
x2 y2 z2
也可简记为：k x1 , y1 , z1 kx1 , ky1 , kz1 例3.5 设 2e1 e2 4e3 , 3e1 2e2 3e3
求 ， 2
量 AB 的坐标.
例3.6 已知点 A1,2,3 , B 2, 1,2 ，求向径 OA 及向
于该平面上任一向量 ，都存在惟一的二元有序实数 x1 , y1 ，
e1 , e2，则对
使
x1e1 y1e2
定理3.3 在空间中取定三个不共面的向量 e1 , e2 , e3，那
么对于空间中任一向量 ，都存在唯一的三元有序实数组
x , y , z ，使得 x1e1 y1e2 z1e3 .
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zz
• 坐标原点 • 坐标轴 • 坐标面 • 卦限(八个) Ⅳ Ⅲ
轴(竖轴) Ⅱ
yoz 面
o xoy面
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
Ⅶ
x轴(横轴)
Ⅷ 对两点 与
x
Ⅴ 因
AB OB OA
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得两点间的距离公式: AB AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2 定义3.14 在空间直角坐标系中，向量 与三个坐标向 量的夹角1 ,2 ,3 称为 的方向角，方向角的余弦
cos 1,cos ,cos 3 2
1 1 1
2
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定义3.11
在空间中取定一点 O 及三个有次序的不共面
} O称 的向量e1 , e2 , e3 ，构成空间的仿射坐标系 {O; e1 , e2 , e3 ，点
为坐标原点， e1 , e2 , e3叫做坐标向量或基本向量，简称基，它
z轴，统称坐标轴. 们所在的直线分别叫做 x 轴，y 轴，
标系下的仿射坐标.
在仿射坐标系 {O; e1 , e2 , e3} 下，对于点 M ，称向
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注：由于三个坐标向量 e1 , e2 , e3 可以有两种不相同的相互 位置关系，如下图，（a）所示坐标系为右手仿射坐标
系，（b）所示为左手仿射坐标系.
e3
e3
称为向量
x1 x2 y1 y2 z1 z2 x ,y ,z 1 1 1
特别地，中点的公式为：
x1 x2 y1 y2 z1 z2 x ,y ,z 2 2 2
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例3.8
设 A x1 , y1 , z1 , B x2 , y2 , z2 , C x3 , y3 , z3 ,
也可简记为：
1 1 1
x , y , z x , y , z x x , y
2 2 2 1 2
1
y2 , z1 z2
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数乘运算是：
k1 k x1e1 y1e2 z1e3 kx1e1 ky1e2 kz1e3