《高等代数与解析几何(下) 》期末考试试卷(A 卷)
大一高等代数与解析几何期末考试卷
考试样卷（A ）卷学年第1学期考试有关事项说明考试日期：年01月17日（星期五）考试用时：150分钟考试地点：（花都校区教学楼_____室）考试形式：闭卷有关考试的特殊提示：（沉着冷静、认真作答！相信自己，你是最棒的！）此此为为考考试试样样卷卷，，仅仅提提供供试试卷卷题题型型，，内内容容与与实实际际考考试试无无关关。
如如有有雷雷同同，，纯纯属属巧巧合合！！一、填空题（每小题2分，共14分）1、等式222)(baba•成立的充分必要条件是）共线（或、baba//；。
2、若置换24131234,32411234qp,则qp14321234。
3、将矩阵541312bA的第1行乘上-2加到第二行后变成5421112B, 则b 4 。
4、1至6的排列241356的逆序数为________ 3 。
5、四阶行列式展开式中，项23413412aaaa的符号为负 (或-1) 。
6、如果线性方程组5-32221232131321x x x x x x x ax 有唯一解，a 的取值范围 611 a 。
7、 设在空间直角坐标系下，A=(2,0,0),B=(2,1,2),C=(0,-1,4),则空间ABC 面积等于 6。
二、判断题（每小题2分，共10分）1、 0ab ac a b cr r r r若且则一定有。
（ × ）2、 若a r （，，b r ，c r ）=0r，则必存在不全为零的实数 ， ，使得c a b r r r 。
（ × ）3、1112111221222122ka ka a a kka ka a a 。
（ × ）4、在△ABC 中一定存在一点O ，可以使得 0OC OB OA 。
（ √ ） 5、m ,,,21 线性相关当且仅当m rank m )),,,((21 。
（ √ ）三、选择题（每小题2分，共10分）1、 在四边形ABCD 中,若AB u u u v 2a b rr ,BC uuu v 4a b r r ,CD uuu v 53a b r r ,则四边形ABCD 为( A ).A.梯形;B.平行四边形;C.一般四边形;D.以上结论都不正确. 2、n 维向量组s ,,,21 )3(n s 线性无关的充分必要条件是（ D ） A. 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，使02211 s s k k k B. s ,,,21 中任意两个向量组都线性无关C. s ,,,21 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示D. s ,,,21 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示3、 行列式00 (010)0 (200).............10......00000......00n n的值为（ D ）.A. !n ;B. 1(1)!n n ; C. (1)2(1)!n n n ; D. (1)(2)2(1)!n n n4、行列式41032657a 中，元素a 的代数余子式是（ D ）。
《高等代数与解析几何(下) 》期末考试试卷(A 卷)
6．(10 分) 用非退化线性替换将二次型
化为标准型．
q(x1, x2 , x3 ) = x12 − 2x1x3 + x22 + 2x2 x3 − x32
7．（13 分）设V1 与V2 分别是齐次线性方程组 x1 + x2 + + xn = 0 与 x1 = x2 = = xn
的解空间,证明 K n = V1 ⊕V2 .
5 5 λ+7 5 5 λ+7故特征向量为 Nhomakorabea2 和 3.
………………5 分
⎛ −1⎞ ⎛ −1⎞
当 λ1
=
−2 时，特征向量η1
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
,η2
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
⎛ −1⎞
当 λ2
=
3 时，特征向量η3
=
⎜ ⎜
−1⎟⎟ .
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
命题共 2 页第 1 页
三．解答题：（共 80 分）
⎛3 5 5⎞
1．(15 分)
设
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎝
5 −5
3 −5
5
⎟ ⎟
，问矩阵
A 是否可以相似于一个对角矩阵,若可
−7 ⎟⎠
以,求一个可逆矩阵T ,使T −1AT 为对角形矩阵.
2．(10 分) 求单叶双曲面 x2 + y2 − z2 = 1上过点（-3，-2，4）的直母线的方程． 9 4 16
矩
阵.
4. n 维线性空间V 的线性变换 A 在某个基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是 A
2020-2021大学《高等数学》(下)期末课程考试试卷A2(含答案)
2020-2021《高等数学》（下）期末课程考试试卷A2适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 判断题(每小题2分，共10分)1．二元函数(),z f x y =在平面区域上的积分为二重积分。
（ ）2．二元函数(),z f x y =的极值点只能是使得0z zx y∂∂==∂∂的点。
（ ）3．二元函数z =在()0,0点连续但偏导数不存在。
（ ）4．闭区域上的二元连续函数一定存在最大最小值，且一定可积。
（ ）5．二元函数z =在()0,0点连续但偏导数不存在。
（ ）二.单项选择题(每小题2分，共20分)1.平面2y = （ ） A.垂直于xOz 平面 B.平行于xOy 平面 C.平行于xOz 平面 D. 平行于Oy 轴2. 二元函数(),z f x y =在某点()00,x y 连续，那么(),z f x y =在该点一定 （ ）A .极限存在 B.两个偏导存在 C.可微 D.以上都不对3. 极限()(),0,0lim x y xyx y→+的结果为 （ ）A.0B.∞C. 12D.不存在4.若区域D 是由1x y +≤与12x y +≥所围成，则积分()22ln Dx y d σ+⎰⎰的值（ ）A.大于零B. 小于零C.等于零D. 不存在 5.下列绝对收敛的级数是 （ ）A.∑∞=--1n nn1n 23)1( B.∑∞=--1n 1n n )1(C.∑∞=--1n 51n n)1(D.∑∞=--1n n 21)1(6. 下列无穷级数中发散的无穷级数是 （ ）A.∑∞=+1n 221n 3n B. ∑∞=+-1n n 1n )1(C. ∑∞=--3n 1n n ln )1(D. ∑∞=+1n 1n n32 7. 点（0，0，1）到平面z=1的距离为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38. 积分2011dx x +∞+⎰的结果为 （ ）A.0B. 2πC. 2π-D.不存在9. 函数()arctan f x x =在 []0,1上，使拉格朗日中值定理成立的ξ是（ ）A.-10.设()f x 在(),a b 内满足()'0f x <，()''0f x >，则曲线()f x 在(),a b 内是（ ）A.单调上升且是凹的B. 单调下降且是凹的C.单调上升且是凸的D. 单调下降且是凸的三.填空题(每小题2分，共10分) 1. 设函数z x y =-，则xz∂∂=___________。
高等代数期末考试试卷及答案
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
高等代数(下)期末考试 A 卷解答
五、证明题 3. (本题13分) 设 A 是欧氏空间V 的一个变换, 并且对任意
V , 有 A (,). V , 1
(1) 证明: A 是 V的一个线性变换.
(2) 当 取何值时, A 是 V的一个正交变换?
(1) 证明：对于 , V , k R, 由于 A ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) (, ) [ ( , ) ] [ (, ) ] 以及 A ( ) A (), A (k ) k (k , ) k[ ( , ) ] kA ( ),
已知
B
A2
A
E,
其中
A
与
1 0
3
2
相似，则
B __3________
5. 设 1,2,3 是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为
2
1
1 2
2 1
则向量 1 2 的长度
为
2.
2 1 2
三、判别题（对的打”√”,错的打” ×”， 2×5=10分）
五、证明题 3. (本题13分) 设 A 是欧氏空间V 的一个变换, 并且对任意
V , 有 A (,). V, 1
(2) 当 取何值时, A 是 V的一个正交变换?
(2) 如果A 是 V的一个正交变换，即有 对于任意的 , V ,
(A ( ), ()) ( (,)， (,)) (,) (，(,)) ((,)，) 2(,)(,)(, ) (,) 2(,)(,) 2(,)(,)(,) (,),
2.
在线性空间
R22
2020-2021大学《高等代数》期末课程考试试卷A(含答案)
2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一、填空（共40分，每小题4分）1.向量空间n P 的子空间12112{(,,,,0)0,}n k W x x x x x x P -=+=∈的维数为____________,它的一组基为__________________．2.已知111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵2125312A a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量，则_______,_______a b ==特征向量α对应的特征值0___________λ=．3.k 满足___________时，二次型22212312132(1)22f x x k x kx x x x =--+---是负定的。
4.设矩阵20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与10002000B y -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则_________,________x y ==．5.在空间[]n P x 中，设变换σ为()(1)()f x f x f x →+-，则σ在基0(1)(1)1,(1,2,1)!i x x x i i n i εε--+===-下的矩阵为____________________．6.相似矩阵的特征值__________.7.向量)1,3,2,4(),4,3,2,1(==βα,则内积=),(βα___________. 8.若A 是实对称矩阵,则 A 的特征值为____________.9.n 元实二次型),,,(21n x x x f 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于___________________.10.对于线性空间V 中向量)1(,,,21≥r r ααα ,若在数域P 中有r 个不全为零的数r k k k ,,,21 ,使02211=+++r r k k k ααα ,则向量r ααα,,,21 称为_________.二、（15分）设V 是实数域上由矩阵A 的全体实系数多项式组成的空间，其中2100100,200A ωωω⎛⎫- ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,求V 的维数和一组基.三、（15分）用非退化线性替换化二次型22212312132322448x x x x x x x x x ---++为标准形.四、（15分）在4P 中，求由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵，并求向量ξ在基1234,,,ηηηη下的坐标，设(1,0,1,0)ξ=1234(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)εεεε=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩； 1234(2,1,1,1)(0,3,1,0)(5,3,2,1)(6,6,1,3)ηηηη=-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩.五、（15分）设1234,,,εεεε是四维线性空间V 的一组基，已知线性变换σ在这组基下的矩阵为1021121312552212⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪--⎝⎭ 1）求σ在基11242234334442,3,,2ηεεεηεεεηεεηε=-+=--=+=下的矩阵； 2）求σ的核与值域.2020-2021《高等代数》期末课程考试试卷A 答案一、填空（共40分，每小题4分）1、向量空间n P 的子空间12112{(,,,,0)0,}n k W x x x x x x P -=+=∈的维数为__2n -__________,它的一组基为122(1,1,0,,0,0),(0,0,1,,0,0),,(0,0,0,,1,0)n εεε-=-==_。
11-12高等代数下(A卷)
2011~2012二 高等代数 （A 卷）数理学院 数学系应数、信计专业本科生（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、 填空题：（每小题3分，共24分）1、二次型222123123121323(,,)f x x x x x x x x x x x x =----++的矩阵是 。
2、设A 为3阶方阵，其特征值为3，-1，2，则 =A 。
3、设V 是数域C 上的3维向量空间，σ是V 的一个线性变换，123ααα，，是V 的一个基，σ关于该基的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-321321111，321αααξ++=，则)(ξσ在123ααα，，下的坐标是 。
4、若线性变换σ关于基12, αα的矩阵为a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭，那么线性变换σ关于基21, 3αα的矩阵为 。
5、设V 与W 都是数域P 上的两个有限维向量空间，则⇔≅W V 。
6、令S 是数域P 上一切满足条件A A '=-的3阶矩阵A 所成的向量空间，则S dim = 。
7、设1W 与2W 分别是数域P 上10元齐次线性方程组0AX =与=0BX 的解空间，如果3,4r a n k A r a n k B ==，12dim()W W ⋂=4，则12dim()W W += 。
8、 在闭区间[0,1]上的所有实连续函数所成的空间中，定义内积10(,)()()f g f x g x dx =⎰则x 和2x 的夹角为 。
课程考试试题 学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:二、 单项选择题：（每小题3分，共15分）1、下列集合中，是3R 的子空间的为（ ），其中'123(,,)x x x α=（A ）{}30x α≥ （B ）{}123230x x x α++=（C ）{}31x α= （D ）{}123231x x x α++=2、A 是n 阶实方阵，则A 是正交矩阵的充要条件是（ ）。
（A ）1AAI -= （B ）A A '= （C ）1A A -'= （D ）I A =23、下述说法中不正确的是（ ）。
高等代数期末考试试卷及答案
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
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………………2 分
…………………7 分 ………………6 分
答案共 3 页第 3 页
命题共 2 页第 1 页
三．解答题：（共 80 分）
⎛3 5 5⎞
1．(15 分)
设
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎝
5 −5
3 −5
5
⎟ ⎟
，问矩阵
A 是否可以相似于一个对角矩阵,若可
−7 ⎟⎠
以,求一个可逆矩阵T ,使T −1AT 为对角形矩阵.
2．(10 分) 求单叶双曲面 x2 + y2 − z2 = 1上过点（-3，-2，4）的直母线的方程． 9 4 16
矩
阵.
4. n 维线性空间V 的线性变换 A 在某个基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是 A
有
个线性无关的特征向量.
5. 在几何空间中,一个不含 x 的方程 F ( y, z) = 0 表示的曲面是
.
二、单项选择题：（每小题 2 分,共 10 分）
1. 设方阵 A 满足 A2 + 5A = 0 ,则 A 的特征值为( ).
⎪⎧(x − x′) + ( y − y′) + (z − z′) = 0 ,
⎪ ⎨
x
2
+
y2
+
z2
=
x′2
+
y′2
+
z′2 ,
⎪ ⎪
x′
=
y′
=
z′ −1.
⎩2 1 0
在方程组中消去 x′, y′, z′ ，可得
………………7 分
2(x2 + y2 + z2 ) − 5(xy + xz + yz) + 5(x + y + z) − 7 = 0. 4．(10 分)解：
将点（-3,-2, 4）代入，求得: μ1 : v1 = 1:1，ν2 = 0.
………………4 分
故直母线方程为：
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
x 3 x 3
+ −
y 2 y 2
+ −
z 4 z 4
+1 +1
= =
0 0
及 ⎪⎨⎪⎧⎪⎩⎪13x++2y4z==00
.
………………2 分
3．(12 分)解：原点 O 在旋转轴上，且轴的方向向量是ξ = (1,1,1) .可得方程组：
(A) 0 或 5； (B) 0 或-5；
(C) 5 或-5；
(D) 无法确定.
2. 在下列曲面中,( )是直纹面.
(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 双叶双曲面； (D) 双曲抛物面.
3. 设 3 阶方阵 A 相似于对角矩阵 diag( 1 , 1 , 1 ) ,则 A−1 − E 等于( ). 234
(A) 11；
(B) 24 ；
(C) 1 ； 24
(D) 6 .
∫ 4. 在 R[x] 中，定义内积 ( f (x), g(x)) =
1
f (x)g(x)dx,
则 f (x) = 1, g(x) = x 的夹角
0
是（ ）.
(A) π ； 2
(B) π ； 4
(C) π ； 3
(D) π . 6
5. 设V = K 3 ， α = (x1, x2 , x3 ) ， β = ( y1, y2 , y3) ，下列二元函数中是双线性函数的 为( )．
《高等代数与解析几何（下）》期末考试试卷（A 卷）
一．填空题：（每小题 2 分，共 10 分）
1. 如果 (x +1) | f (x) ，则 f (−1) =
.
2. 系数在数域 K 中的次数小于 n 的多项式构成的线性空间 K[x]n 的维数等
于
.
3. 在 n 维欧几里得空间中，由规范正交基到标准正交基的过渡矩阵是
命题共 2 页第 2 页
参考答案及评分细则
一．填空题：（每小题 2 分，共 10 分）
1. 0
2. n
3. 正交
4பைடு நூலகம் n
5． 母线平行于 x 轴的柱面
二、单项选择题：（每小题 2 分,共 10 分）
1． B 2． D 3． D 4． D 5． A
三．解答题：（共 80 分）
1．（15 分）
λ − 3 −5 −5 λ + 2 0 λ + 2 解： χA (λ) = λE − A = −5 λ − 3 −5 = 0 λ + 2 λ + 2 = (λ + 2)2 (λ − 3) ，
3．(12 分) 求直线 x = y = z −1 绕直线 x = y = z 旋转所得旋转曲面的方程. 21 0
4．(10 分) λ 取何值时,下列二次型是正定的：
f (x1, x2 , x3 ) = 2x12 + x22 + 3x32 + 2λ x1x2 + 2x1x3 .
5．(10 分) 问 m, p, q 满足什么条件时,有 x2 + mx +1| x3 + px + q ？
∵dim(V−2 ) + dim(V3 ) = 3，故A可以相似于一个对角矩阵.
………………2 分
⎛ −1 −1 −1⎞
⎛ −2 0 0⎞
取可逆矩阵 T
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 0
0
−1⎟⎟ ，使 T −1AT
=
⎜ ⎜
0
1 1 ⎟⎠
⎜⎝ 0
−2 0
0 3
⎟ ⎟⎟⎠
.
2．(10 分) 解：两条同族直母线为
………………4 分
………………4 分
令
⎧ ⎪ ⎨
y1 y2
= =
x1 x2
− x3 + x3
,
⎪⎩ y3 = 3x3
即
⎧ ⎪
x1
=
y1
+
⎪⎪ ⎨
x2
=
y2
+
⎪
1 3 y3
1 3
y3
．
⎪ ⎪⎩
x3 =
1 3
y3
………………4 分
则有： q(x1, x2 , x3 ) = y12 + y2 2 − y32 ． 7．（13 分）证明：
5 5 λ+7 5 5 λ+7
故特征向量为-2 和 3.
………………5 分
⎛ −1⎞ ⎛ −1⎞
当 λ1
=
−2 时，特征向量η1
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
,η2
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
⎛ −1⎞
当 λ2
=
3 时，特征向量η3
=
⎜ ⎜
−1⎟⎟ .
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
(A) f (α , β ) = x1 y1 − 6x1 y2 − 3x2 y1 + x3 y3 ； (B) f (α , β ) = (x1 + 3y2 − x3 )2 − x2 y3 ；
(C) f (α , β ) = 2 − x1 ；
(D) f (α , β ) = 2 y13 − 4sin x2 + 3 .
答案共 3 页第 1 页
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
μ1 μ1
(
x 3
+
z) 4
+ ν1 (1
(1 −
y 2
)
+ν1(
x 3
+ −
y 2 z 4
) )
= =
0 0
及
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
μ2 μ2
(
x 3
+
z) 4
+ν
2
(1
(1 +
y 2
)
+ν
2
(
x 3
− −
y 2 z 4
) )
= =
0 0
………………4 分
答案共 3 页第 2 页
当 p = 1− m2 , q = −m 时，有 x2 + mx +1| x3 + px + q .
………………2 分
6．(10 分) 解： q(x1, x2 , x3 ) = x12 − 2x1x3 + x22 + 2x2 x3 − x32 = (x1 − x3 )2 + (x2 + x3 )2 − ( 3x3 )2 ．
………………5 分
……………5 分 ………………2 分
5．（10 分）解：
x3
+ px + q x2 + mx +1
x3 + mx2 + x
x−m
−mx2 + ( p −1)x + q
−mx2 − m2 x − m ( p −1+ m2)x + q + m
………………2 分 ………………1 分
………8 分
6．(10 分) 用非退化线性替换将二次型
化为标准型．
q(x1, x2 , x3 ) = x12 − 2x1x3 + x22 + 2x2 x3 − x32
7．（13 分）设V1 与V2 分别是齐次线性方程组 x1 + x2 + + xn = 0 与 x1 = x2 = = xn
的解空间,证明 K n = V1 ⊕V2 .