各类范数定义.docx

范数的定义

设 X 是数域K 上线性空间，称║˙║为X 上的范数 (norm) ，若它满足：

1.正定性：║ x║≥ 0，且║ x║=0 <=> x=0 ；

2.齐次性：║ cx║=│c│║ x║；

3.次可加性 ( 三角不等式 ) ：║ x+y║≤║ x║+║y║ 。

注意到║ x+y║≤║ x║+║y║中如令y=-x ，再利用║- x║=║x║可以得到║ x║≥ 0，即║x║≥0在定义中不是必要的。

如果线性空间上定义了范数，则称之为赋范线性空间。注记：

范数与内积，度量，拓扑是相互联系的。

1.利用范数可以诱导出度量： d(x,y)= ║x - y║，进而诱导出拓扑，因此赋范线性空间是度量

空间。

但是反过来度量不一定可以由范数来诱导。

2.如果赋范线性空间作为( 由其范数自然诱导度量d(x,y)=的，即任何柯西(Cauchy) 序列在其中都收敛，则称这个赋范线性空间为║x- y║的 ) 度量空间是完备

巴拿赫 (Banach) 空间。

3.利用内积 <˙, ˙>可以诱导出范数：║ x║=^{1/2} 。

反过来，范数不一定可以由内积来诱导。当范数满足平行四边形公式║x+y║^2+║x- y║^

2=2( ║x║^2+║y║^2) 时，这个范数一定可以由内积来诱导。

完备的内积空间成为希尔伯特(Hilbert)空间。

4.如果去掉范数定义中的正定性，那么得到的泛函称为半范数(seminorm或者叫准范数) ，相应的完备空间称为Fr échet 空间。

对于 X 上的两种范数║ x║α , ║x║β，若存在正常数 C 满足

║x║β≤ C║x║α

那么称║ x║β弱于║ x║α。如果║x║β弱于║ x║α且║ x║α弱于║ x║β，那么称

这两种范数等价。

可以证明，有限维空间上的范数都等价，无限维空间上至少有阿列夫1( 实数集的基数) 种不等价的范数。

算子范数

如果 X 和 Y 是巴拿赫空间，T 是 X->Y 的线性算子，那么可以按下述方式定义║T║：

║T║ = sup{ ║Tx║：║ x║<=1}

根据定义容易证明║ Tx║ <= ║T║║ x║。

对于多个空间之间的复合算子，也有║XY║ <= ║X║║ Y║。

如果一个线性算子T 的范数满足║ T║ < + ∞，那么称T 是有界线性算子，否则称T 是无界线性算子。

比如，在常用的范数下，积分算子是有界的，微分算子是无界的。

容易证明，有限维空间的所有线性算子都有界。

有限维空间的范数

基本性质

有限空上的范数具有良好的性，主要体在以下几个定理：

性 1：于有限范性空的任何一基，范数是元素( 在基下) 的坐的

函数。

性 2(Minkowski定理)：有限性空的所有范数都等价。

性3(Cauchy收原理) ：数域( 或复数域 ) 上的有限性空( 按任何范数) 必定完。

性 4：有限范性空中的序列按坐收的充要条件是它按任何范数都收。

常用范数

里以C^n 空例，R^n 空似。

最常用的范数就是p- 范数。若x=[x1,x2,...,xn]^T，那么

║x║p=(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^{1/p}

可以p- 范数确足范数的定。其中三角不等式的明不是平凡的，个通

常称可夫斯基(Minkowski)不等式。

当 p 取 1， 2，∞的候分是以下几种最的情形：

1- 范数：║ x║1=│x1│+│x2│+⋯+│xn│

2- 范数：║ x║2=(│x1│^2+│x2│^2+⋯+│xn│^2)^1/2

∞- 范数：║ x║∞ =max(│x1│, │x2│, ⋯, │xn│)

其中 2- 范数就是通常意下的距离。

于些范数有以下不等式：║ x║∞ ≤ ║x║2 ≤ ║x║1 ≤ n^{1/2} ║x║2 ≤ n ║ x║∞

另外，若p 和q 是赫德(Hölder)共指，即1/p+1/q=1，那么有赫德不等式：

|| = ||x^H*y| <=║x║p║y║q

当 p=q=2 就是柯西 - 瓦 (Cauchy-Schwarz) 不等式。

矩阵范数

矩范数除了正定性，次性和三角不等式之外，定其必足相容性：║XY║≤║

X║║ Y║。

注：如果不考相容性，那么矩范数和向量范数就没有区，因mxn 矩全体和mn 向量空同构。引入相容性主要是了保持矩作性算子的特征，一点和算子范数的

相容性一致，并且可以得到Mincowski定理以外的信息。

诱导范数

把矩看作性算子，那么可以由向量范数出矩范数

║A║ = max{ ║Ax║: ║x║=1}= max{ ║Ax║/ ║x║: x ≠0} ，

它自足向量范数的相容性

║Ax║ ≤ ║A║║ x║，

并且可以由此明

║AB║ ≤ ║A║║ B║。注：

1. 上述定中可以用max 代替sup 是因有限空的位球是的( 有限开覆盖定理 ) ，从而上面的函数可以取到最。

2.然，位矩的算子范数1。常用的三种

p- 范数出的矩范数是

1- 范数：║ A║1 = max{∑|ai1|,∑|ai2| ,⋯⋯,∑|ain| }（列和范数， A 每一列元素之和的最大）

( 其中∑ |ai1|第一列元素的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|,其余似）2- 范数：║ A║2 = A的最大奇异= ( max{λi(A^H*A) } ) ^{1/2} (范数特征λi中最大者λ1的平方根，其中A^H A 的置共矩）；

∞ - 范数：║ A║∞ = max{∑|a1j|,∑|a2j| ,...,∑|amj| }（行和范数，

元素之和的最大）

( 其中∑ |a1j|第一行元素的和，其余似）；

；

,即A'A A 每一行

其它的p- 范数没有很的表达式。

于 p- 范数而言，可以明║A║p=║A^H║q，其中p 和 q 是共指。

的情形可以直接：║A║1=║A^H║∞，║ A║2=║A^H║2，一般情形需要利用

║A║p=max{y^H*A*x：║ x║p=║y║q=1} 。

非诱导范数

有些矩范数不可以由向量范数来，比如常用的Frobenius范数(也叫Euclid范数，称 F- 范数或者E- 范数 ) ：

║A║F= (∑∑aij^2 )^1/2 (A全部元素平方和的平方根) 。

容易F- 范数是相容的，但当min{m,n}>1F- 范数不能由向量范数(||E11+E22| |F=2>1)。

可以明任一种矩范数有与之相容的向量范数。例如定

║x║=║X║，其中X=[x,x, ⋯,x] 是由x 作列的矩。

由于向量的F- 范数就是2- 范数，所以F- 范数和向量的2- 范数相容。另外有以下：

║AB║F <= ║A║F ║B║2 以及║AB║F <=║A║2║B║F

矩阵的谱半径和范数的关系

定： A 是n 方，λi是其特征，i=1,2,⋯,n 。称特征的的最大A 的半径，ρ(A) 。

注意要将半径与范数(2-范数 ) 区开来，范数是指 A 的最大奇异，即A^H*A 最大特征的算平方根。

半径是矩的函数，但不是矩范数。半径和范数的关系是以下几个：

定理 1：半径不大于矩范数，即ρ(A)≤║ A║。