微积分初级
从一道微积分题得到的猜想
，
证明 ｆ ） 的解析表达式如下 （ ， ） 试作 的草图） ：
， ＝ （ 手） 号 ，一 （ｚ ） ｎ ， 一 ｎ ｎ） ） ∈ ， ｝一，ｘ（争 ｎ １（Ｚ． ∈ 一 ，一 ） Ｅ ｎ ｎ）
ｎ
ｎ 一
当 Ｅ Ｚ 时 ，Ｙ＝ｆ ） ＝ ＋ 的解析表达式如下 ：
由 于 一 些 众 所 周 知 的原 因 ，许 多 数 学 专 业 的 大 学 生
【， ２， ｕ一 【 ｌ ］ ｎ一 １
，
ｎ ＋
与读博 （ 甚至读硕）无 缘 。然 而这并不意 味他 们终身 一 定会与数学 研究 无缘 。这 一方 面的例证颇多 ，读者从本 文 中也 可以悟到这一点 （ 当然还有 对问题 的倾 注力 的极
当 Ｅ＝ Ｕ ｅ【 １ ， ｚｎ一丁 表达式如下 ：
０，
｝时 ｙ ， 的 析 ］，＝ ）解
ｎ
１ 由一道微 积分题 得 到的初 级猜 想
命题 １设 ｆ ） 是 到 Ｅ＝卜１ ］ ，１ 的距离 ，试证 映射 厂 ） —Ｒ是连续 函数。 ：Ｒ
Ｅ［ ， ａ一 １
１ （ ＥＺ ｎ ）
收 稿 日期 ：２ １ — ４ ２ ００ ０— ０
作者简介 ：李生刚，男，陕西神木人 ，陕西师范大学数学与信 息 学学院教授 ， 科 博士生导师，主要从事格上拓扑学与拟阵领域的研究。 ①本文配有草图 ， 需要 的读者请 与作者 （ ｅ ｇ ｎｌ １３ ｏ ）联系。 ｓ ｎｇ ｇ ＠ ６ ． ｒ ｈ ａ ｉ ｃｎ
｝，＋ｚＱ【，】 ］ ，， 一 １ ｚ ｎ１ ，
Ｃ ｎｏ 完备集 ｃ ａｔ ｒ ）时命题 １ 仍然成立 。
证 明 Ｓｅ １ 当 Ｅ ｔｐ ＝ ∈Ｒ１≤ Ｉ ≤ ２时 ，Ｙ ，Ｅ ） Ｉ ｘ ｌ Ｊ ＝ 的解 析 表 达 式 如下 ：①
学习数学对培养逻辑思维能力有什么帮助？
学习数学对培养逻辑思维能力有什么帮助？数学：逻辑思维能力的基石数学惯来被人誉为“思维的体操”，它如同一个强大的工具，能有效地煅炼和提升我们的逻辑思维能力。
从初级和中级的算术到精妙的微积分，数学的学习过程浸润着逻辑推理的精髓。
1.逻辑推理的训练：数学的核心本质是用严谨的逻辑推理来解决问题。
从基本的概念定义到复杂的定理证明，都必须通过逻辑运算进行推导。
学生在学习数学的过程中，不断地参与逻辑分析、判断和推理，逐渐培养了逻辑思维的严密性和条理性。
比如，解方程要设定条件并进行逻辑推演，最终得出未知数的值；几何证明题则必须发挥逻辑推理将已知条件转化为结论。
2.抽象思维的培养：数学研究的对象是抽象的符号和概念，这要求学生具备强大的抽象思维能力。
比如，代数中的字母代表着未知数，学生必须将抽象的符号与具体的数字联系起来进行运算。
几何图形的证明则需要学生将抽象的图形与具体的性质进行推理。
通过数学的学习，学生不仅能建立起抽象概念的理解能力，也能锻炼用抽象思维解决实际问题的技巧。
3.问题解决能力的提升：数学学习是一个不断解决问题的过程。
学生需要通过实际分析问题、建立模型、应用数学工具等步骤来解决遇到的数学难题。
这个过程不仅锻炼了学生的逻辑思维能力，更提升了他们的问题解决能力。
数学中倡导的严密的逻辑思维，能帮助学生养成良好的分析问题、解决问题的习惯，并将这样的能力迁移到其他学科和生活领域中。
4.归纳和演绎能力的训练：数学学习贯穿了归纳和演绎两种逻辑推理方法。
通过观察、分析、归纳等方法，学生可以从具体案例中归纳出一般规律；而运用演绎推理则可以从一般规律推导出具体结论。
这两种逻辑推理方法的运用，能帮助学生自然形成科学的思维，提高他们的批判思维和解决问题的效率。
5.推理和论证能力的提升：数学学习中，无论是数学证明还是解决现实问题，都要进行合理的推理和论证。
学生必须按照逻辑推理，将三角形的三边条件和数学定理紧密衔接，最终得出正确的结果。
回火分数阶问题回答
回火分数阶
回火分数阶是一种新兴的数学模型，它在分数阶微积分领域中具有重要的应用价值。
回火分数阶的概念源于分数阶微积分，它是对分数阶微积分的一种扩展和推广。
回火分数阶的引入，使得分数阶微积分的应用范围更加广泛，可以更好地描述复杂系统的动态行为。
回火分数阶的定义比较复杂，它是一种非线性微积分模型，可以用来描述非线性系统的动态行为。
回火分数阶的核心思想是将分数阶微积分中的分数阶导数进行回火处理，使得分数阶导数在某些时刻变得有限。
这种处理方式可以更好地描述一些具有记忆性的系统，如生物系统、金融系统等。
回火分数阶的应用非常广泛，它可以用来描述许多复杂系统的动态行为。
例如，在金融领域中，回火分数阶可以用来描述股票价格的波动性，预测股票价格的走势。
在生物领域中，回火分数阶可以用来描述生物体内的代谢过程，预测生物体的生长发育。
在物理领域中，回火分数阶可以用来描述物质的热传导过程，预测物质的热力学性质。
回火分数阶的研究还处于初级阶段，目前仍存在许多问题需要解决。
例如，如何求解回火分数阶微分方程、如何确定回火分数阶微分方程的初值和边界条件等。
此外，回火分数阶的应用也存在一些挑战，如
如何将回火分数阶模型与实际系统相结合、如何处理回火分数阶模型中的噪声等。
总之，回火分数阶是一种新兴的数学模型，它在分数阶微积分领域中具有重要的应用价值。
回火分数阶的引入，使得分数阶微积分的应用范围更加广泛，可以更好地描述复杂系统的动态行为。
回火分数阶的研究还存在许多问题和挑战，需要进一步深入研究和探索。
第二次数学危机
第二次数学危机
目录
第二次数学危机 微积分的产生 早期的微积分思想
• 芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专 门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场 轩然大被。它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与 “很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。其 后果是，希腊几何证明中从此就排除了无穷小。
• 希腊人虽然没有明确的极限概念，但他们在处理面 积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓 “穷竭法”。它依靠间接的证明方法，证明了许多重 要而难证的定理。
析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审 牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；
第二类问题是求曲线的切线的问题；
查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教 它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。
牛顿对它曾作过三种不同解释：
1709年刊行《视觉新论》,1710年发表《人类知识 原理》,1713年出版《海拉斯和斐洛诺斯的对话三 篇》，均成为当时英国各大学热烈讨论的问题。
1734年被任命为爱尔兰基尔肯尼地区主教,任职18 年,仍致力于哲学的思辨。1752年移居牛津附近的新 学院。
问题 贝克莱悖论
达朗贝尔就说，现在是“把房子盖得更高些，而不是把基础打得更加牢固”。 到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
微芝分诺:悖速论度:阿、基切里线斯贝、追极龟克值说 莱认为这是“依靠双重错误得到了不科学却正 英 至国此主，观 建唯 立确心 分主 析的义 基哲 础结学 的家逻果、 辑主 顺”教 序。 是。： 因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说 是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱攻击流数（ 当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓“最终的比”，就是分子、分母要成为0还不是0时的比，它不是“最终的量的比”，而是“
Strongart数学笔记：数学分析与抽象代数为什么难学
Strongart数学笔记：数学分析与抽象代数为什么难学数学分析为什么那么难学好像经常听到有人说数学分析难学，甚至怀疑自己是不是变笨了，其实这主要不是你的责任，而是中国的数学课程设置很不合理。
正如物理学需要先学普通物理再学理论物理一样，数学也应该先完成普通微积分，然后再去研究那些比较严格的理论。
当年我自学数学分析是在初三的暑假里，用的是陈传璋等人编著的教材，可真是苦了自己啊！先是看极限理论，明明可以感觉到就是那个逼近关系，但书上的例题和习题都在讲怎么用ε-δ定义证明，结果被不等式变换弄得晕乎乎的，甚至都开始怀疑自己是不是想错了！后来讲实数系公理的推导，就更是不知所云，那鬼东西得学到点集拓扑才能充分理解啊，直到开始算导数才稍微缓了口气。
后来才知道，普通的微积分教材也就是算算极限，严格定义能够稍微阐释一下就OK 了，还是早点开始愉快的导数运算吧！据说国外一般都是不直接学数学分析的，一般先学初等微积分，然后再学高等微积分或者是比较高级的数学分析，这才是比较自然的道路。
中国的数学专业非要大杂烩般的搞了个数学分析，既有各种初级计算技巧，甚至还包括近似估计；又有深刻的理论推导，把一些先进的思想压缩到初步的理论中，却又没有余力进行充分展开。
据说这还是继承的前苏联的“大头分析”的传统，等到高中数学把微积分彻底剪掉之后，就更是变成一块硬邦邦的石头。
当然，人为制造的难度是能够人为的解决的，为了强撑这样场面，他们会做各种各样的辅助工作。
前苏联就搞了一套吉米多维奇的习题集，至今依然是死而不僵，被一些老派的教授推崇。
各大数学系都把最大的师资力量都放在数学分析上，习题课辅导课之类的上了一大堆，能够让自学者入地无门，也算是体现数学系价值的一座丰碑了。
中国人还特别喜欢磨练人的钢铁意志，吃得苦中苦，方为人上人，学懂了数学分析，剩下来都是小菜一碟，大不了就像当年应付高考一样，大学四年就死磕数学分析了，实在是一副非常讽刺的画卷啊！我想，如果你是致力于自学的话，那就不要跟着大陆的数学系一起犯傻了。
AP课程简介
AP课程简介AP课程简介AP成绩是美国大学录取的“金标准”。
近几年，低龄化留学成为趋势，越来越多的高中生选择就读美国本科。
由于美国大学录取是一种综合考虑，且甄选学生时考核因素众多，因此能为录取加分的SAT1、SAT2、AP等考试就成了众多考生追逐的目标。
美国大学理事会高级副总裁王湘波博士称，AP成绩是美国大学录取的“金标准”。
目前，国内许多家长和学生对AP考试却还依然陌生。
本报通过梳理，为家长和学生揭开AP课程的神秘面纱。
什么是AP课程AP（AdvancedPlacement）课程是大学课程中可提前放在高中修读的课程，避免了高中和大学初级阶段课程的重复。
AP项目于1951年福特基金会启动，1955年由美国大学理事会接手管理，次年首次举办AP考试，当时的考试课程只有11门，经过50年的发展，迄今AP考试有22个科目、37门课程，主要包括艺术史、生物学、微积分AB、微积分BC、化学、计算机A、计算机AB、经济学（宏观经济）、经济学（微观经济）、英语、英美文学、环境科学、欧洲史、法语、法国文学、德语、美国政府与政治、政府与政治（写作）、人类地理学、拉丁语、拉丁文学、音乐理论、物理B、物理C （力学）、物理C（电磁学）、心理学、西班牙语、西班牙文学、统计学、美术作品（绘画）、美术作品（二维设计）、美术作品（三维设计）、美国历史、世界历史、中文等。
目前AP考试已发展成为由大学理事会主办的全球性统一考试，每年5月初的两个星期内在全球80个国家统一举行，两考试科目时间冲突的，可以在第三个星期续考。
AP考试每门课程考试费用大约83美元，合计1000人民币或是1400港币，考生须于每年3月前报名，5月考试，6月底之前考生就可以收到成绩单。
成绩如何计算AP采取的是5分制，从1分到5分分别对应A-LEVEL成绩的E/D/C/B/A，3分以上的成绩为大多数的大学所接受，可以在以后上大学时折抵大学的学分。
少数顶尖大学要求4分或5分才能折抵大学学分。
外国顶级高等数学教材
外国顶级高等数学教材高等数学作为一门重要的学科，在理工科领域中扮演着重要的角色。
为了培养学生的数学思维和解决问题的能力，外国国家引进了许多顶级高等数学教材。
本文将介绍一些值得推荐的外国顶级高等数学教材，帮助读者了解并选择适合自己的学习资料。
一、《高等数学》《高等数学》是由美国著名数学家约翰·韦勒斯利（John Wiley）编写的经典教材。
该教材内容全面，适合初级和中级高等数学课程。
它以清晰的解释和丰富的例题，帮助学生逐步理解数学概念和定理，并通过大量的习题加深对知识的理解与记忆。
此外，该教材注重培养学生的数学推理和证明能力，提供了许多应用性强的问题，帮助学生将数学理论与实际问题相结合。
二、《数学分析》《数学分析》是法国数学家华尔多·切希拉赫（Walter Rudin）所著的一部经典教材。
该教材系统地介绍了高等数学中的分析学部分，包括极限、连续性、微积分等内容。
切希拉赫在书中以严谨而简洁的风格阐述了各种定理和推论，以及相关的证明。
这使得该教材成为了数学专业学生和研究人员的必备参考书，对于提高学术水平具有重要意义。
三、《线性代数及其应用》《线性代数及其应用》是由美国数学家戴维·莱（David Lay）编写的一本应用性很强的教材。
该教材系统地讲解了线性代数的基本理论和应用，内容包括向量空间、矩阵、特征值等。
莱在书中注重概念的解释和实际应用的引入，通过大量的例题和应用实例，帮助学生理解和掌握线性代数的基本概念和方法。
此外，该教材还提供了一些高级的应用领域，如最小二乘法和奇异值分解等，帮助学生拓展对线性代数的理解。
四、《微积分与应用》《微积分与应用》是由英国数学家托马斯（Thomas）等编写的综合性教材。
该教材包含了微积分的基本理论和方法，同时还介绍了微分方程等相关内容。
托马斯在书中以深入浅出的方式讲解了各种微积分的概念、公式和定理，帮助学生建立扎实的微积分基础。
此外，该教材还注重应用领域的引入，通过实际问题的分析和求解，帮助学生将微积分应用于科学和工程领域中。
数学课程参照表
数学课程参照表
本文档旨在为学生提供数学课程参照表，以帮助他们更好地规划自己的研究路径。
以下是不同级别数学课程的具体内容和建议研究时长：
1. 初级数学课程
- 基础代数学：研究基本数学概念、方程式和图形，建议研究时长为30小时。
- 几何学：研究平面和立体图形的属性和关系，建议研究时长为30小时。
- 统计学基础：研究基本统计概念和数据分析方法，建议研究时长为30小时。
2. 中级数学课程
- 高等代数学：研究多项式、方程组、矩阵等内容，建议研究时长为40小时。
- 几何学进阶：研究解析几何和三角学的高级应用，建议研究时长为40小时。
- 概率论与数理统计：研究概率理论和统计推断，建议研究时长为40小时。
3. 高级数学课程
- 微积分：研究函数、极限、导数和积分等内容，建议研究时长为50小时。
- 线性代数：研究向量空间、线性变换和特征值等内容，建议研究时长为50小时。
- 数学分析：研究数列、级数、极限理论等内容，建议研究时长为50小时。
请注意，以上时长仅供参考，实际研究时长可能因个人水平和研究风格的不同而有所差异。
此外，建议学生根据自己的研究目标和能力选取相应级别的课程，并根据自身情况进行适当调整。
祝您学业顺利！。
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微积分初级
微积分是数学中的一个重要分支，主要包括微分学和积分学两部分。
微积分的初级阶段主要涉及函数、极限、导数和积分等基本概念和方法。
在微积分的初级阶段，学习者将首先学习函数的概念，包括函数的定义、表示法、定义域和值域等。
函数是微积分的基础，因为微积分中的许多概念和方法都是基于函数的研究。
极限是微积分中的一个关键概念，它用于描述函数在某一点附近的行为。
学习者将学习极限的定义、性质以及如何计算极限。
导数是微积分中的另一个重要概念，它用于描述函数在某一点处的变化率。
学习者将学习导数的定义、计算方法以及导数的应用，如求函数的极值和拐点等。
积分学是微积分的另一个主要部分，它用于求函数在某个区间上的面积。
学习者将学习积分的定义、计算方法以及积分的应用，如求不规则图形的面积和体积等。
在微积分的初级阶段，学习者还将学习一些基本的微积分技巧和方法，如链式法则、部分分式分解和换元积分法等。
微积分是一门重要的数学学科，它在科学、工程、经济等领域中有广泛的应用。
通过学习微积分的初级阶段，学习者将为进一步学习高等数学和其他相关学科打下坚实的基础。