数学分析大纲

数学分析（甲）简介课程号：06110010，06110020，06110030课程名称：数学分析英文名称：Calculus周学时：4-1，4-1，4-0学分：4.5，总学分：13预修要求：无内容简介：数学分析是数学系各专业的重要基础课。

本课程的教学目的是向学生介绍最基本的概念、定律、理论与方法，同时通过本课程的学习，提高学生的数学推理论证能力和抽象思维能力，为后续课程的学习打下坚实的基础选用教材或参考书：（含教材名，主编，出版社，出版年）教材：《微积分与数学分析引论》，科学出版社R.柯朗，F. 约翰，2002年参考教材：《数学分析》（第二版），华东师范大学数学系编《数学分析》（第二版），复旦大学数学系陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中《数学分析》教学大纲一、课程的教学目的和基本要求数学分析是数学系各专业的重要基础课。

本课程的教学目的是向学生介绍最基本的概念、定律、理论与方法，同时通过本课程的学习，提高学生的数学推理论证能力和抽象思维能力，为后续课程的学习打下坚实的基础二、相关教学环节安排第一学期主要内容：实数连续统、函数的概念、序列的极限概念、函数的极限概念、连续函数的概念和相关定理、积分的概念、积分的基本法则、不定积分的基本概念、导数的概念、积分、原函数和微积分基本定理、连续函数的定积分的存在性第二学期主要内容：微分法则及其应用、反函数的导数、复合函数的微分法、指数函数的某些应用、最大值和最小值问题、函数的量阶、初等积分法、有理函数的积分法、几类特殊函数的积分法、反常积分概念及其判别法、三角函数的微分方程、幂级数、泰勒定理、余项的表示式及其估计、插值问题、拉格朗日插值公式第三学期主要内容：积分的数值计算、方程的数值解法、斯特林公式、无穷和与无穷乘积收敛与发散的概念、绝对收敛和发散的判别法、函数与曲线序列的极限过程、复数项幂级数、级数的乘法和除法、无穷级数与反常积分、无穷乘积、含有伯努利数的级数、傅里叶级数、三角多项式和有理多项式的近似法、傅里叶积分定理、非连续点上的吉布斯现象、傅里叶级数的积分、伯努利多项式及其应用第四学期主要内容：平面和空间的点和点集、多元函数连续性、函数的偏导数、函数的全微分及其几何意义、多元复合函数、多元函数的中值定理与泰勒定理、依赖于参量的函数的积分、微分与线积分、线性微分型的可积性的基本定理、多维空间的聚点原理及其应用、连续函数的基本性质、点集论的基本概念第五学期主要内容：隐函数、函数组、变换与映射、曲线族，曲面族，以及它们的包络、交错微分型、求最大与最小值、平面上的面积、二重积分、三维及高维区域上的积分、空间微分、质量与密度、化重积分为累次单积分、重积分的变换、广义多重积分、在曲线坐标中的重积分、任意维数的体积和曲面面积、作为参数的函数的广义单积分第六学期主要内容：傅里叶积分、欧拉积分（伽玛函数）、多元函数的积分、面积与积分的变换、高斯，斯托克斯和格林的积分定理、散度定理的向量形式，斯托克斯定理、二维分部积分公式，格林定理，散度定理、面积微分，将u ∆变到极坐标的变换、用二维流动解释格林和斯托克斯公式、曲面的定向、曲面上微分形式和数量函数的积分、空间情形的高斯定理和格林定理、空间斯托克斯定理、高维积分恒等式、三维空间中的曲面和曲面积分、散度定理、在高维欧氏空间中的曲面和曲面积分、高维空间中简单曲面上的积分，高斯散度定理和一般的斯托克斯公式（宋体五号）三、 课程主要内容及学时分配第一学期：第1章 引言1.1 实数连续统（2学时）a. 自然数及其扩充，计数和度量b. 实数和区间套c. 十进小数，其他进位制d. 邻域的定义e. 不等式1.2 函数的概念（2学时）a. 映射——图形b. 单连续变量的函数概念的定义，函数的定义域和值域c. 函数的图形表示，单调函数d. 连续性e. 中间值定理，反函数1.3 初等函数（1学时）a. 有理函数b. 代数函数c. 三角函数d. 指数函数和对数函数e. 复合函数，符号积，反函数1.4 数学归纳法（1学时）1.5 序列的极限（2学时） a. 1n a n=b. 21m a m =，2112m a m-= c. 11n a n =+d. n a =e. n n a =αf. nag. 几何级数h. n ai. n a =j. n nn a =α，其中1α> 1.6 再论极限概念（2学时）a. 收敛和发散的定义b. 极限的有理运算c. 内在的收敛判别法，单凋序列d. 无穷级数及求和符号e. 数ef. 作为极限的数π1.7 单连续变量的函数的极限概念（1学时）a. 初等函数的一些注记1.8 极限和数的概念（2学时）a. 有理数b. 有理区间套序列定义实数c. 实数的顺序，极限和算术运算d. 实数连续统的完备性，闭区间的紧致性，收敛判别法则e. 最小上界和最大下界f. 有理数的可数性1.9 关于连续函数的定理（1学时）1.10 极坐标（1学时）1.11 关于复数的注记（1学时）第2章 积分学和微分学的基本概念2.1 积分（2学时）a. 引言b. 作为面积的积分c. 积分的分析定义，表示法2.2 积分的初等实例（2学时）a. 线性函数的积分b. 2x 的积分c. x α的积分（α是不等于1-的有理数）d. sin x 和cos x 的积分2.3 积分的基本法则（2学时）a. 可加性b. 函数之和的积分c. 函数与常数乘积的积分d. 积分的估值e. 积分中值定理2.4 作为上限之函数的积分——不定积分（1学时）2.5 用积分定义对数（1学时）a. 对数函数的定义b. 对数的加法定理2.6 指数函数和幂函数（2学时）a. 数的e的对数b. 对数函数的反函数，指数函数c. 作为幂的极限的指数函数d. 正数的任意次幂的定义e. 任一底的指数2.7 x的任意次幂的积分（1学时）2.8 导数（2学时）a. 导数与切线b. 作为速度的导数c. 微分法举例d. 一些基本的微分法则e. 函数的可微性和连续性f. 高阶导数及其意义g. 导数和差商，莱布尼兹表示法h. 微分中值定理i. 定理的证明j. 函数的线性近似，微分的定义k. 关于在自然科学中的应用的一点评述2.9 积分、原函数和微积分基本定理（2学时）a. 不定积分的导数b. 原函数及其与积分的关系c. 用原函数计算定积分2.10 连续函数的定积分的存在性（1学时）第二学期：第3章微分法和积分法3.1 最简单的微分法则及其应用（1学时）a. 微分法则b. 有理函数的微分法c. 三角函数的微分法3.2 反函数的导数（1学时）a. 一般公式b. n次幂的反函数，n次根，反三角函数——多值性c. 相应的积分公式d. 指数函数的导数与积分3.3 复合函数的微分法（1学时）a. 定义b. 链式法则c. 广义微分中值定理3.4 指数函数的某些应用（1学时）a. 用微分方程定义指数函数b. 连续复利，放射性蜕变c. 物体被周围介质冷却或加热d. 大气压随地面上的高度的变化e. 化学反应过程f. 电路的接通或断开3.5 最大值和最小值问题（1学时）a. 曲线的下凸和上凸b. 最大值和最小值——极值问题，平稳点3.6 函数的量阶（1学时）a. 量阶的概念，最简单的情形b. 指数函数与对数函数的量阶c. 一点注记d. 在一点的邻域内函数的量阶e. 函数趋向于零的量阶f. 量阶的“O”和“o”表示法3.7 一些特殊的函数（1学时）a. 函数21x y e-=b. 函数1x y e-=c. 函数1siny xx=，(0)0y=3.8 关于函数可微性的注记（0.5学时）3.9 初等积分表（0.5学时）3.10 换元法（1学时）a. 换元公式，复合函数的积分b. 换元公式的另一种推导方法c. 积分公式3.11 换元法的其他实例（1学时）3.12 分部积分法（1学时）a. 一般公式b. 分部积分的其他例子c. 关于()()f b f a+的积分公式d. 递推公式e. π的沃里斯（Wallis）无穷乘积表示3.13 有理函数的积分法（1学时）a. 基本类型b. 基本类型的积分c. 部分分式d. 分解成部分分式举例，待定系数法3.14 其他几类函数的积分法（1学时）a. 圆和双曲线的有理表示法初阶b.(cos,sin)R x x的积分法c.(R x的积分法d.(R x的积分法e.(R x的积分法f.(R x的积分法g. 化为有理函数积分的其他例子h. 注记3.15 初等函数的积分（1学时）a. 用积分定义的函数b. 椭圆积分和椭圆函数c. 关于微分和积分3.16 积分概念的推广（1学时）a. 引言，反常积分的定义b. 无穷间断的函数c. 作为面积的解释d. 收敛判别法e. 无穷区间上的积分f. Γ（伽马）函数g. 狄利克雷（Dirichlet）积分h. 变量置换，菲涅尔（Fresnel）积分3.17 三角函数的微分方程（2学时）a. 关于微分方程的初步说明b. 由微分方程和初始条件定义的sin x和cos x 第4章泰勒展开式4.1 引言：幂级数（1学时）4.2 对数和反正切的展开式（1学时）a. 对数函数b. 反正切函数4.3 泰勒定理（2学时）a. 多项式的泰勒表示b. 非多项式函数的泰勒公式4.4 余项的表示式及其估计（2学时）a. 柯西和拉格朗日余项b. 泰勒公式的另一种推导法4.5 初等函数的展开式（1学时）a. 指数函数b. sin x，cos x的展开式c. 二项式级数4.6 几何应用（1时）a. 曲线的接触b. 关于相对极大值和相对极小值的理论4.7 不能展成泰勒级数的函数的例（1学时）4.8 函数的零点和无线点（1学时）a. n阶零点b. ν阶无限4.9 不定式（1学时）4.10 各阶导数都不为负的函数的泰勒级数的收敛性（1学时）4.11 插值问题，唯一性（1学时）4.12 解的构造，牛顿插值公式（1学时）4.13 余项的估计和拉格朗日插值公式（1学时）第三学期：第5章数值方法5.1 积分的计算（1学时）a. 矩形近似公式b. 改进的近似式——辛普森法则5.2 数值方法的另一些例（1学时）a. 误差计算b. π的计算c. 对数的计算5.3 方程的数值解法（1学时）a. 牛顿法b. 假位法c. 迭代法d. 迭代与牛顿程序5.4 斯特林公式（1学时）第6章无穷和与无穷乘积6.1 收敛与发散的概念（1学时）a. 基本概念b. 绝对收敛与条件收敛c. 项的重新排列d. 无穷级数的运算6.2 绝对收敛和发散的判别法（1学时）a. 比较判别法，控制级数b. 与几何级数相比较的收敛判别法c. 与积分相比较6.3 函数序列（1学时）a. 函数与曲线序列的极限过程6.4 一致收敛与不一致收敛（1学时）a. 一般说明和定义b. 一致收敛的一个判别法c. 连续函数的一致收敛级数之和的连续性d. 一致收敛级数的积分e. 无穷级数的微分法6.5 幂级数（1学时）a. 幂级数的收敛性质——收敛区间b. 幂级数的积分法和微分法c. 幂级数的运算d. 展开式的唯一性e. 解析函数6.6 给定函数的幂级数展开式，待定系数法（1学时）a. 指数函数b. 二项式级数c. arcsin x的级数d. 级数乘法的例e. 逐项积分的例（椭圆积分）6.7 复数项幂级数（1学时）a. 在幂级数中引进复数项，三角函数的复数表示b. 复变函数一般理论一瞥6.8 级数的乘法和除法（1学时）a. 绝对收敛级数的乘法b. 幂级数的乘法和除法6.9 无穷级数与反常积分（2学时）6.10 无穷乘积（1学时）6.11 含有伯努利数的级数（1学时）第7章三角级数7.1 周期函数（1学时）a. 一般说明，函数的周期开拓b. 一个周期上的积分c. 谐振7.2 谐振的叠加（1学时）a. 谐波，三角多项式b. 拍7.3 复数表示法（1学时）a. 一般说明b. 交流电上的应用c. 三角多项式的复数表示法d. 一个三角公式7.4 傅里叶级数（2学时）a. 傅里叶系数b. 基本引理c.0sin2zdzz∞π=⎰的证明d. 函数()x x φ=的傅里叶展开式e. 关于傅里叶展开的主要定理7.5 傅里叶级数的例（2学时）a. 预先说明b. 函数2()x x φ=的展开式c. cos x x 的展开式d. 函数()f x x =e. 一个分段常数函数f. 函数sin xg. cos x μ的展开式，余切分解为部分分式，正弦的无穷级数 h. 进一步的例7.6 收敛性的进一步讨论（2学时）a. 结果b. 贝塞耳不等式c. 推论的证明d. 傅里叶系数的量阶，傅里叶级数的微分法7.7 三角多项式和有理多项式的近似法（2学时）a. 关于函数表示法的一般说明b. 魏尔斯特拉斯逼近定理c. 按算术平均值的傅里叶多项式的费耶三角近似式d. 在平均意义下的逼近和帕塞瓦尔关系式7.8 周期区间的伸缩变换，傅里叶积分定理（1学时）7.9 非连续点上的吉布斯现象（1学时）7.10 傅里叶级数的积分（1学时）7.11 伯努利多项式及其应用（2学时）a. 定义及傅里叶展式b. 生成函数，三角余切的泰勒级数c. 欧拉-麦克劳林求和公式d. 应用，渐近表达式e. 幂级数的和，伯努利数的递推公式f. 欧拉常数和斯特林技术第四学期：第8章 多元函数及其导数8.1 平面和空间的点和点集（2学时）a. 点的序列：收敛性b. 平面上的点集c. 集合的边界，闭集于开集d. 闭包作为极限点的集合e. 空间的点与点集8.2 几个自变量的函数（2学时）a. 函数及其定义域b. 最简单的函数c. 函数的几何表示法8.3 连续性（2学时）a. 定义b. 多元函数的极限概念c. 无穷小函数的阶8.4 函数的偏导数（2学时）a. 定义，几何表示b. 偏导数的连续性与存在性c. 微分次序的改变8.5 函数的全微分及其几何意义（2学时）a. 可微性的概念b. 方向导数c. 可微性的几何解释，切平面d. 函数的微分e. 在误差计算方面的应用8.6 函数的函数（复合函数）与新自变量的引入（2学时）a. 复合函数，链式法则b. 自变量的替换8.7 多元函数的中值定理与泰勒定理（2学时）a. 关于用多项式作近似的预备知识b. 中值定理c. 多个自变量的泰勒定理8.8 依赖于参量的函数的积分（2学时）a. 例和定义b. 积分关于参量的连续性和可微性c. 积分（次序）的互换，函数的光滑化8.9 微分与线积分（2学时）a. 线性微分型b. 线性微分型的线积分c. 线积分对端点的相关性8.10 线性微分型的可积性的基本定理（4学时）a. 全微分的积分b. 线积分只依赖于端点的必要条件c. 可积条件的不足d. 单连通集e. 基本定理8.11 多维空间的聚点原理及其应用（4学时）a. 聚点原理b. 柯西收敛准则，紧性c. 海涅-波莱耳覆盖定理d. 海涅-波莱耳定理在开集所包含闭集上的应用8.12 连续函数的基本性质（2学时）8.13 点集论的基本概念（4学时）a. 集合与子集合b. 集合的并与交c. 应用于平面上的点集d. 齐次函数第五学期：第9章微分学的发展和应用9.1 隐函数（2学时）a. 一般说明b. 几何解释c. 隐函数定理d. 隐函数定理的证明e. 多余两个自变量的隐函数定理9.2 用隐函数形式表出的曲线与曲面（2学时）a. 用隐函数形式表出的平面曲线b. 曲线的奇点c. 曲面的隐函数表示法9.3 函数组、变换与映射（4学时）a. 一般说明b. 曲线坐标c. 推广到多于两个变量的情形d. 反函数的微商公式e. 映射的符号乘积f. 关于变换及隐函数组的逆的一般定理，分解成素映射g. 用逐次逼近法迭代构造逆映射h. 函数的相依性i. 结束语9.4 应用（2学时）a. 曲面理论的要素b. 一般保角变换9.5 曲线族，曲面族，以及它们的包络（2学时）a. 一般说明b. 单参量曲线的包络c. 曲面族的包络9.6 交错微分型（2学时）a. 交错微分型的定义b. 微分型的和与积c. 微分型的外微商d. 任意坐标系中的外微分型9.7 最大与最小（2学时）a. 必要条件b. 带有附加条件的最大与最小c. 最简单情形下不定乘数法的证明d. 不定乘数法的推广第10章多重积分10.1 平面上的面积（1学时）a. 面积的若尔当测度的定义b. 一个没有面积的集合c. 面积的运算法则10.2 二重积分（2学时）a. 作为体积的二重积分b. 积分的一般分析概念c. 记号，推广，基本法则d. 积分估计与中值定理10.3 三维及高维区域上的积分（1学时）10.4 空间微分、质量与密度（1学时）10.5 化重积分为累次单积分（2学时）a. 在矩形上的积分b. 积分交换次序，积分号下求微分c. 在更一般的区域上化二重积分为单重积分d. 在多维区域中的推广10.6 重积分的变换（1学时）a. 平面上的积分的变换b. 高于二维的区域10.7 广义多重积分（1学时）a. 有界集上函数的广义积分b. 广义积分一般收敛定理的证明c. 无界区域上的积分10.8 在几何中的应用（1学时）a. 体积的初等计算b. 体积计算的一般性附注，旋转体在球坐标系中的体积c. 曲面的面积10.9 在物理中的应用（1学时）a. 矩和质心b. 惯性矩c. 复合摆d. 吸引质量的势（1学时）10.10 在曲线坐标中的重积分a. 重积分的分解b. 应用到移动曲线扫过的面积和移动曲面扫过的体积，古鲁金公式，配极求积仪10.11 任意维数的体积和曲面面积（2学时）a. 高于三维的曲面面积和曲面积分b. n维空间中的球体面积和体积c. 推广，参数表示10.12 作为参数的函数的广义单积分（2学时）a. 一致收敛性，对参数的连续依赖性b. 广义积分对参数的微分法和积分法c. 菲涅尔积分值的计算第六学期：10.13 傅里叶积分（2学时）a. 引言b. 傅里叶积分定理的证明c. 傅里叶积分定理的收敛速度d. 傅里叶变换的帕塞瓦尔等式e. 多元函数的傅里叶变换10.14 欧拉积分（伽玛函数）（2学时）a. 定义和函数方程b. 凸函数，波尔-摩尔路波定理的证明c. 伽玛函数的无穷乘积d. 延拓定理e. 贝塔函数f. 分数次微商和积分，阿贝尔积分方程10.15 面积（2学时）a. 平面的分划和相应的内、外面积b. 若尔当可测集及其面积c. 面积的基本性质10.16 多元函数的积分（2学时）a. 函数(,)f x y的积分的定义b. 连续函数的可积性与在集合上的积分c. 重积分的基本法则d. 化重积分为累次单积分10.17 面积与积分的变换（2学时）a. 集合的映射b. 重积分的变换10.18 关于曲面面积定义的附注（1学时）第11章曲面积分和体积分之间的关系11.1 线积分和平面上的重积分之间的联系（高斯，斯托克斯和格林的积分定理）（1学时）11.2 散度定理的向量形式，斯托克斯定理（1学时）11.3 二维分部积分公式，格林定理，散度定理（1学时）11.4 散度定理应用于重积分的变量替换（2学时）a. 1-1映射的情形b. 积分的变量替换和映射度11.5 面积微分，将u变到极坐标的变换（1学时）11.6 用二维流动解释格林和斯托克斯公式（1学时）11.7 曲面的定向（1学时）a. 三维空间中二维曲面的定向b. 在定向曲面上曲线的定向11.8 曲面上微分形式和数量函数的积分（2学时）a. 定向平面区域上的重积分b. 二阶微分形式的曲面积分c. 定向曲面上微分形式的积分和非定向曲面上数量函数的积分之间的关系11.9 空间情形的高斯定理和格林定理（2学时）a. 高斯定理b. 高斯定理在流体流动中的应用c. 高斯定理在空间力和曲面力上的应用d. 分部积分和三维空间中的格林定理变换成球坐标的形式e. 应用格林定理把u11.10 空间斯托克斯定理（1学时）a. 定理的叙述和证明b. 定理的物理解释11.11 高维积分恒等式（1学时）11.12 三维空间中的曲面和曲面积分（2学时）a. 基本曲面b. 函数在基本曲面上的积分阿c. 定向基本曲面d. 简单曲面e. 单位分解以及在简单曲面上的积分11.13 散度定理（1学时）a. 定理的叙述及其不变性b. 定理的证明11.14 斯托克斯定理（1学时）11.15 在高维欧氏空间中的曲面和曲面积分（2学时）a. 基本曲面b. 微分形式在定向基本曲面上的积分c. 简单m维曲面11.16 高维空间中简单曲面上的积分，高斯散度定理和一般的斯托克斯公式（1学时）四、教材及主要参考书教材：《微积分与数学分析引论》，科学出版社R.柯朗，F. 约翰参考教材：《数学分析》（第二版），华东师范大学数学系编《数学分析》（第二版），复旦大学数学系陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中。