行列式的计算开题报告总结.doc
行列式的计算技巧与方法总结
存档编号赣南师学院学士学位论文行列式的若干计算技巧与方法目录摘要 (1)关键字 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (2)1.行列式的概念及性质 (2)1.1 n阶行列式的定义 (2)1.2 行列式的性质 (3)2.行列式计算的几种常见技巧和方法 (5)2.1 定义法 (5)2.2 利用行列式的性质 (6)2.3 降阶法 (9)2.4 升阶法（加边法） (11)2.5 数学归纳法 (12)2.6 递推法 (14)3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 (16)3.1 拆行（列）法 (16)3.2 构造法 (17)3.3 特征值法 (19)4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 (19)4.1 三角形行列式 (19)4.2 “爪”字型行列式 (20)4.3 “么”字型行列式 (21)4.4 “两线”型行列式 (23)4.5 “三对角”型行列式 (24)4.6 德蒙德行列式 (25)5.行列式的计算方法的综合运用 (27)5.1 降阶法和递推法 (28)5.2 逐行相加减和套用德蒙德行列式 (28)5.3 构造法和套用德蒙德行列式 (29)小结 (30)参考文献 (31)行列式的若干计算技巧与方法摘要：行列式是高等代数的一个基本概念，求解行列式是在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法．本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式的求值方法．如：化三角形法、降阶法和数学归纳法等多种计算方法以及Vandermonde行列式、“两线型”行列式和“爪”字型行列式等多种特殊行列式．并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征．关键词：行列式行列式的计算方法 Vandermonde行列式The Calculation of Determinant Abstract: The determinant is a basic concept of higher mathematics. The solution of determinant is the basic question, and each kind of complex higher order determinant has its special solution method. This paper mainly introduces the methods for calculation of determinant. For example, the triangle method, order reduction method，mathematical induction method and Vandermonde determinant, two linear determinant，claw type determinant and so on. The paper also analyzes the corresponding examples, and summarizes the characteristic of determinants corresponding to each method.Key words: Determinant The calculation of determinant Vandermonde determinant引言：行列式的计算是高等代数的重要容之一，也是学习过程的一个难点．对于低阶行列式，我们可以利用行列式的定义和性质计算．但对于高阶行列式，如果直接利用定义和性质计算，则计算量大，很难得到结果．因此，研究行列式的计算方法和技巧就显得十分必要．本文主要介绍了几种计算方法和技巧，还有一些特殊行列式的计算方法．1．行列式的概念及性质1.1 n 阶行列式的定义我们知道，二、三阶行列式的定义如下：22211211a a a a =21122211a a a a -，=333231232221131211a a a a a a a a a .312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++从二、三阶行列式的在规律引出n 阶行列式的定义． 设有2n 个数，排成n 行n 列的数表nnn n nn a a a a a a a a a212222111211，即n 阶行列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积n 21nj j 2j 1a a a ⑴的代数和，这里n 21j j j 是n 21，，， 的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当n 21j j j 是偶排列时, ⑴带正号；当n 21j j j 是奇排列时, ⑴带负号． 即nnn n nn a a a a a a a a a212222111211=()()n21n21n 21nj j 2j 1j j j j j j 1a a a τ∑-，这里∑n21j j j 表示对所有n 级排列求和.1.2 行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变．即nna a a a a a a a a a a a a a a a a a n2n1n22212n12111nnn2n12n 22211n 1211= .性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即=nnn2n1in i2i1n 11211k k k a a a a a a a a ak nna a a a a a a a an2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即11121111211112111221212121212.n n n n n n n n n nnn n nnn n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n=21212111211nnn n in i i in i i na a a a a a a a a a a a 21212111211=0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即=+++nn n n kn k k kn in k i k i na a a a a a ca a ca a ca a a a a2121221111211nnn n kn k k in i i n a a a a a a a a a a a a 21212111211. 性质6 对换行列式中两行的位置，行列式反号.即nn n n kn k k ini i n a a a a a a a a a a a a 21212111211=-nnn n in i i kn k k n a a a a a a a a a a a a21212111211.性质7 行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零．即00000nn1-n n,n2n1n 11-n ,11211=a a a a a a a a.2、行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式0004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：1321000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解． 2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nnnn nnB A BC A •=0， nn nn nnnnnn B A B C A •=0. 例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa aa n()()βγβγβγλ--•-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D =.再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：100100000100000101111)1n D ------=（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D .当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k •-=++++k k()10cos 21001cos 2101cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ． 在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n =.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--•+•=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9； 当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-1100010000001100001010001D 133221.110100001100010000110001000001100011000113322113322nn n nn n a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ. 即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nnna c a c a cb b b a2211210，nnn c a c a c a a b b b2211012，nnn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a nn n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i =≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n aa a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122，nn na b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b nnn，n n n a c a c a c b b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--•-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解．4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()1221112211000010000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式． 4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000000100000100000D.解：按第一列展开，得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=， 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ， 其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D=n .分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D . 再由德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ. 5.3 构造法和套用德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=.将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .小结本文主要介绍了行列式计算的一些技巧和方法，还有一些特殊行列式的计算技巧，通过归纳和总结这些技巧和方法，让读者在计算行列式时游刃有余．然而在这么多方法面前，我们需要多观察、多思考，这样便于我们更加轻松地解决有关行列式的问题，也让我们更加灵活的运用这些方法和技巧来解决实际问题．参考文献:[1]北大数学系代数小组. 高等代数（第三版）[M].：高等教育，2003：50～104.[2]钱. 高等代数题解精粹[M].：中央民族大学，2002：24～58[3]家保，中华，陆一南.若干类型行列式计算方法.科学技术学院学报（自然科学版），2012年3月，30(2).[4]鹏辉.行列式的计算技巧.学院报，2011年4月，33（4）.[5]丁冰.三线型行列式的计算.科技通报,2012年2月,28(2).[6]龚德仁.高阶行列式计算的若干技巧.课外阅读（中下）.2012年03期.[7]新功.行列式的计算方法探讨.师大学学报（自然科学版），2011年7月,28(4).[8]王爱霞.关于n阶行列式的计算方法与技巧的探讨.教育学院学报.2012年第1期.[9] 樊正华，徐新萍.浅谈行列式的计算方法.教育学院学报（自然科学），2011年2月，27(1).[10]卢潮辉.三对角行列式的计算. 职业技术学院学报,2010年3月,9(2).[11] 林.求n阶行列式的几种方法和技巧. 科技信息报，2007年第8期.[12]“爪”字型和“么”字型行列式的计算.理科教学研究(短文集锦),2006年第4期.。
行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结行列式是数学中一类特殊的数值，它可以用于解决各种数学问题，如线性方程组的解、二次行列式的特征根以及三角形的面积等。
它的计算方法也颇为多样，各种行列式的计算方法可以归纳总结如下：第一种是规则式子求行列式的方法，即规则式子求行列式的值。
这种方法包括常见的拆分积式法，它可以用来计算简单行列式，其解算步骤如下：把行列式的第一行和其他所有行有序的放在一起，按列乘以每列的分量，然后把乘积相加，即可求出行列式的值。
另一种常用的计算行列式的方法是运用行列式的转置法则，这也是一种简单的计算行列式的方法，它的解算步骤如下：先把行列式的行和列都交换一下，然后把交换后的新行列式进行上面第一种规则式子求行列式的求值，便可求出行列式的值。
此外，还有多元函数求行列式的方法，以及行列式求导、求偏导数的方法。
多元函数求行列式的方法就是将行列式用多元函数的形式表示出来，然后用函数定义求和解决之。
行列式求导、求偏导数的方法就是将行列式的变量替换为一个新的变量，然后进行积分，并求出偏导数，最终得到行列式的值。
最后一种常用的计算行列式的方法是拆解行列式的方法，这是一种比较复杂的行列式计算方法。
它的解算步骤如下：先把行列式拆解成几个子行列式，然后逐步把子行列式拆解为更小的子行列式，最终得到一个最小子行列式，将其值替换到初始行列式中计算，即可求出该行列式的值。
以上是行列式的计算方法总结，由于行列式的类型众多，其计算方法也多如牛毛，仅有上述几种计算方法是不够的，若想解决复杂的行列式计算，还需要运用其他更加复杂的计算方法，如克莱姆法、罗宾逊法、孟加拉法等。
此外，计算行列式还需要掌握矩阵运算的基础知识，运用高等数学知识，才能解决复杂的行列式计算问题。
总之，行列式的计算是一件非常有技巧性的事情，找到合适的计算方法，解决行列式计算的难题，有助于提高数学的解题能力。
行列式计算方法总结
行列式计算方法总结行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学和物理等领域都有着广泛的应用。
在实际运用中，我们常常需要对行列式进行计算，因此掌握行列式的计算方法是非常重要的。
本文将对行列式的计算方法进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握行列式的相关知识。
1. 二阶行列式的计算方法。
对于二阶行列式，计算方法非常简单。
设。
\[D=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\]则行列式D的计算公式为。
\[D=ad-bc\]2. 三阶行列式的计算方法。
对于三阶行列式，计算稍显复杂，但我们可以利用代数余子式的方法来进行计算。
设。
\[D=\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}\]则行列式D的计算公式为。
\[D=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh\]3. n阶行列式的计算方法。
对于n阶行列式，我们可以利用拉普拉斯展开等方法进行计算。
拉普拉斯展开是一种递归的方法，通过不断地将n阶行列式化为n-1阶行列式的形式来进行计算。
在实际运用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来进行计算，以提高计算的效率。
4. 行列式的性质。
行列式具有许多重要的性质，例如行列式与它的转置行列式相等、行列式中某一行（列）乘以一个数k，等于这个数与该行列式的乘积等等。
这些性质在行列式的计算过程中起着重要的作用，可以帮助我们简化计算，提高计算的效率。
5. 行列式的应用。
行列式在数学和物理等领域有着广泛的应用，例如在线性方程组的求解、矩阵的求逆、向量的叉乘等方面都有着重要的作用。
掌握行列式的计算方法不仅可以帮助我们更好地理解线性代数的相关知识，还可以为我们在实际问题中的求解提供有力的工具。
总结。
行列式是线性代数中的重要内容，掌握行列式的计算方法对于我们更好地理解和运用线性代数知识具有重要意义。
行列式的计算技巧与方法总结(同名4612)
行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式0004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn nnb a a a a a b a a a a ++=+KM O M M M K K 21211211n 111D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 000n n na a ab b b b b +==KK M M M O M K.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n nn n ---=ΛM O M M ΛΛ212121. 解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===ΛM O M MΛΛ212121n Dmx x x m x x x m x n n n n i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=ΛM O M M ΛΛ2221111mm x x m x n n i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=ΛM OM M ΛΛ0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m n i i n 11. 2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn ΛM M O M M M ΛΛΛ. 解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111*********D n ---------=ΛM M O M M M ΛΛΛn n 1111120022200021321----=ΛM M O M M M ΛΛΛn n 0111100011000011132122ΛM M O M M M ΛΛΛ+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211ΛΛM M O M M MΛMΛn n a a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n ΛΛM M O M M M ΛΛΛ ()()()()()n n n a a a n a a a n ΛΛ21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解．2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a x x x x n n nKKM M O M M M O K K -----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211K .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++=Λ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nnnn nnB A BC A •=0， nn nn nnnnnn B A B C A •=0. 例7 解行列式γβββββγββββγλΛMO M M M M ΛΛΛb bbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=ΛM O M M M M ΛΛΛ00000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=ΛM O M M M M ΛΛΛ00000021n b a a aa n ()()βγβγβγλ--•-+-=ΛMO M M Λ000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110ΛΛM M O M M M ΛΛΛ. 解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D ΛΛM M OM M M ΛΛΛ=. 再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------ΛΛM M O M M M ΛΛΛ. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：10010000010000011111)1n D ------=ΛΛM M O M M M ΛΛΛ（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos ΛΛM M O M M M ΛΛΛ=n D . 解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1ΛΛM M O M M M ΛΛΛ=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k ΛM O M M M ΛΛΛ•-=++++k k()10cos 21001cos 21001cos 11ΛM O M M M ΛΛΛβββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ． 在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n ΛΛM M M O M M M M ΛΛΛ=.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--•+•=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9；当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221ΛΛM M O M M M ΛΛΛ.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-110010000001100001010001D 133221ΛΛM M O M M M ΛΛΛ .1101000001100010000110001000001100011000113322113322nnn nn n a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--ΛΛM MO M M M ΛΛΛΛΛM M O M M M ΛΛΛ上面第一个行列式的值为1，所以nnn n a a a a a a a ------=-11001000010011D 13321ΛΛM M O M MΛΛ 111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a ΛΛΛ2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D ΛΛMM MM ΛΛΛ21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ΛΛΛM M O M MΛΛΛ21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++=Λ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121Λ.由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121Λ.故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121Λ.3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλΛ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλΛ21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλΛ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为n A λλλΛ21=，则A 可逆()n i i n ΛΛ2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ.即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n nn a a a a a a a a a a M OKK K 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a ΛO M M M 321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a OM Λ2211210，nnnc a c a c a a b b b M N Λ2211012，nnn b b b a a c a c a c ΛNM 2101122，121122a b b b c a c a c a nn nΛMO这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321OM Λ，其中.,2,1,0n i a i Λ=≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i Λ=列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321OM Λ nni ia a a a a 00011113221OM Λ∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n aa a a a 21321Λ. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n nn b b b a a c a c a c ΛNN 2101122，nn n a b c a b c a b c a OO2221110，n n nc a c a c a a b b b N N Λ2211012，0111222a c b a c b a c b a n n n OM O ，1021122c a c a b a b c a b nn n NN M ，n nna c a c a cb b b a O OΛ2211210，0121122a b b b c a c a c a nn nΛO O，nnn b a b c b a b a c a c 12211201NN 这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+M NN M NN .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑MN MN()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--•-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a ΛΛM M M M MΛΛ00000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a ΛΛM M M M MΛΛ000000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()122111221100010000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D ΛM O M M ΛΛΛΛM O M M Λ()n n n b b b a a a ΛΛ211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab b a ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000ΛΛM M O M M M M M ΛΛΛ 这样的行列式，叫做“三对角型”行列式．4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab b a ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000000100000100000D ΛΛM M O M M M M M ΛΛΛ. 解：按第一列展开，得()ba ab b a b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-10000010000100000D 1ΛΛM M O M M M ΛΛΛ ()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=， 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322Λ.故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121ΛΛn n n n b ab b a a ++++=--11Λ.4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n n n a a a a a a a a a a a a ΛM O M M M ΛΛΛ这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a ΛM O M M M ΛΛΛ. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D ΛΛMM MM ΛΛΛ21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ΛΛΛM M O M MΛΛΛ21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++=Λ， 其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121Λ.由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121Λ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121Λ.5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D ΛΛM M O M M M ΛΛΛ=n . 分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n Λ. ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D ΛΛ()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由范德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D ΛΛMM MM ΛΛΛ21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ΛΛΛM M O M MΛΛΛ21111211222221222221211111--------=.将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++=Λ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121Λ.由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121Λ.故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121Λ.。
行列式的计算方法总结 毕业论文
1 行列式的概念及性质1.1 行列式的概念n 级行列式nnn n nn a a a a a a a a a212222111211等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n nj j j a a a 2121的代数和，这里的n j j j 21是1，2，…，n 的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，带有正号；当n j j j 21是奇排列时，带有负号。
这一定义可写成，这里∑nj j j 21表示对所有n 级排列的求和。
1.2 行列式的性质[1]性质1 行列互换，行列式值不变，即=nn n n n na a a a a a a a a212222111211nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111性质2 行列式中某一行（列）元素有公因子k ，则k 可以提到行列式记号之外，即=nnn n in i i na a a ka ka ka a a a212111211nnn n in i i na a a a a a a a a k 212111211 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘以行列式的一行就相当于用这个nn nnj j j j j j r j j j nnn n nn a a a a a a a a a a a a 21212121)(212222111211)1(∑-=数乘以此行列式。
事实上，nnn n in i i n a a a ka ka ka a a a212111211=11i i A ka +22i i A ka +in in A ka + =21(i i A a k +22i i A a +)in in A a +nnn n in i i n a a a a a a a a a k212111211= ， 令k =0，如果行列式中任一行为零，那么行列式值为零。
性质3 如果行列式中某列（或行）中各元素均为两项之和，即),,2,1(n i c b a ij ij ij =+=，则这个行列式等于另两个行列式之和。
行列式计算方法归纳总结
数学与统计学学院中期报告学院:专业:年级:题目:学生姓名: 学号:指导教师姓名职称:年月日目录1 引言 (1)2行列式性质 (2)3行列式计算方法 (6)3.1定义法 (6)3.2递推法 (9)3.3化三角法 (9)3.4拆元法 (11)3 .4加边法 (12)3.6数学归结法 (13)3.7降价法 (15)3.8利用普拉斯定理 (16)3.9利用范德蒙行列式参考文献....................................................................................................... 错误！未定义书签。
8行列式的概念及应用摘要：本文先列举行列式计算相关性质，然后归纳总结出行列式的方法，包括：定义法，化三角法，递推法，拆元法，加边法，数学归结法，降价法，利用拉普拉斯定理，利用范德蒙行列式。
关键词：行列式；线性方程组；范德蒙行列式The concept and application of determinant Summary:This article lists calculated properties of determinants, and then sum up the determinant method, including: Definition, triangulation, recursive method, remove method, bordered by, mathematical resolution method, cut method, using Laplace theorem, using the vandermonde determinant.Keywords: determinant;Linear equations;;Vandermonde determinant1 引言行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。
行列式展开与应用例题和知识点总结
行列式展开与应用例题和知识点总结一、行列式的定义对于一个\（n\）阶方阵\（A ＝（a_{ij}）＼），其行列式\（｜A|＼）定义为：＼｜A| ＝＼sum_{＼sigma\in S_n}（－1)＾｛＼tau(＼sigma)｝a_{1\sigma(1)｝a_{2\sigma(2)｝＼cdots a_{n\sigma(n)｝＼其中\（S_n\）是\（n\）个元素的全排列集合，＼（＼tau(＼sigma)＼）是排列\（＼sigma\）的逆序数。
对于二阶行列式，有\（＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＼＼a_{21} ＆ a_{22}＼end{vmatrix} ＝ a_{11}a_{22} a_{12}a_{21}＼）对于三阶行列式，有\（＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＆ a_{13} ＼＼ a_{21} ＆ a_{22} ＆ a_{23} ＼＼ a_{31} ＆ a_{32} ＆ a_{33}＼end{vmatrix} ＝ a_{11}a_{22}a_{33} ＋ a_{12}a_{23}a_{31} ＋a_{13}a_{21}a_{32} a_{13}a_{22}a_{31} a_{12}a_{21}a_{33}a_{11}a_{23}a_{32}＼）二、行列式的性质1、行列式与它的转置行列式相等。
2、对换行列式的两行（列），行列式变号。
3、行列式中某行（列）的公因子可以提到行列式外面。
4、若行列式中有两行（列）元素成比例，则行列式为零。
5、若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则行列式可以拆分成两个行列式之和。
6、把行列式的某行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。
三、行列式的展开1、按行展开设\（A ＝（a_{ij}）＼）是\（n\）阶方阵，＼（A_{ij}＼）是\（a_{ij}＼）的代数余子式，则\（｜A| ＝ a_{i1}A_{i1} ＋ a_{i2}A_{i2} ＋＼cdots ＋ a_{in}A_{in}＼）（＼（i\）为任意行）2、按列展开类似地，＼（｜A| ＝ a_{1j}A_{1j} ＋ a_{2j}A_{2j} ＋＼cdots ＋a_{nj}A_{nj}＼）（＼（j\）为任意列）四、应用例题例 1：计算行列式\（＼begin{vmatrix}2 ＆－1 ＆ 3 ＼＼ 1 ＆ 2 ＆ 0＼＼ 4 ＆ 1 ＆ 5\end{vmatrix}＼）解：按照三阶行列式的展开公式计算：＼＼begin{align}＆＼begin{vmatrix}2 ＆－1 ＆ 3 ＼＼ 1 ＆ 2 ＆ 0 ＼＼ 4 ＆ 1 ＆5\end{vmatrix}＼＼＝＆2\times\begin{vmatrix}2 ＆ 0 ＼＼ 1 ＆ 5\end{vmatrix} （－1)＼times\begin{vmatrix}1 ＆ 0 ＼＼ 4 ＆ 5\end{vmatrix} ＋3\times\begin{vmatrix}1 ＆ 2 ＼＼ 4 ＆ 1\end{vmatrix}＼＼＝＆2\times(2\times5 0\times1) ＋ 1\times(1\times5 0\times4) ＋3\times(1\times1 2\times4)＼＼＝＆2\times10 ＋ 5 ＋ 3\times(－7)＼＼＝＆20 ＋ 5 21\＼＝＆4＼end{align}＼例 2：已知\（＼begin{vmatrix}1 ＆ 2 ＆ 3 ＼＼ 2 ＆ 3 ＆ x ＼＼ 3 ＆x ＆ 1\end{vmatrix} ＝ 0\），求\（x\）的值。
计算行列式的方法总结
计算行列式的方法总结计算行列式的方法总结行列式涉及的方面很多，例如判断矩阵可逆与否要计算行列式的值、解线性方程组、特征值等都与求行列式密不可分，所以各种类型解行列式的方法一定要掌握好，才能写好行列式，下面是计算行列式的方法总结，一起来看看吧！计算行列式的方法总结(一)首先，行列式的性质要熟练掌握性质1行列互换，行列式的值不变。
性质2交换行列式的两行(列)，行列式的值变号。
推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值为零。
性质3若行列式的某一行(列)各元素都有公因子k，则k可提到行列式外。
推论1数k乘行列式，等于用数k乘该行列式的某一行(列)。
推论2若行列式有两行(列)元素对应成比例，则该行列式的值为零。
性质4若行列式中某行(列)的每一个元素均为两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列式分别以这两组数作为该行(列)的元素，其余各行(列)与原行列式相同。
性质5将行列式某行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式的值不变。
行列式展开法：行列式按某行(列)展开也是解行列式常用的方法。
行列式展开定理：定理1：n阶行列式D等于它的任一行(列)的各元素与各自的代数余子式乘积之和。
定理2：行列式D的某一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和必为零。
(二)几种特殊行列式的值有关行列式的若干个重要公式：为便于考生综合复习及掌握概念间的联系，现将以后各章所涉及的有关行列式的几个重要公式罗列于下：2017考研数学：行列式的计算行列式是线性代数的一部分，题目比较灵活，下面小编为同学们简单讲一下行列式的几种计算方法，希望同学们可以有所启发，弄清楚这种类型题。
对于数值型行列式来说，我们先看低阶行列式的计算，对于二阶或者三阶行列式其是有自己的计算公式的，我们可以直接计算。
三阶以上的行列式，一般可以运用行列式按行或者按列展开定理展开为低阶行列式再进行计算，对于较复杂的三阶行列式也可以考虑先进行展开。
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怀化学院本科毕业论文任务书
论文题目 行列式的计算
学生姓名 系别 数学系 专业 数学与应用数学
指导老师姓名 职称
题目来源
1. 科学技术 □ 2. 生产实践 □ 3. 社会经济 □
4. 自拟 ■
5.
其他 □
毕业论文（设计）内容要求：
1
选题内容符合专业培养目标要求.
2 主题突出，层次清晰，结构合理，无科学性错误，并能做一些适当的创新 .
3
文字简练、通顺，格式符合规范要求.
主要参考资料 :
[1] 北京大学数学系 . 高等代数 ( 第三版 )[M]. 北京 : 高等教育出版社 ,2003.
[2] 张禾瑞 , 郝鈵新 . 高等代数 [M]. 北京 : 高等教育出版社 ,1993.
[3] 同济大学数学系 . 线性代数 ( 第五版 )[M]. 北京 : 高等教育出版社 ,2007.
[4] 方文波 . 线性代数及其应用 [M]. 北京 : 高等教育出版社 ,2011.
[5] 卢刚，冯翠莲 .线性代数 [M]. 北京大学出版社， 2006.
[6] 万勇，李兵 . 线性代数 [M]. 上海：复旦大学出版社， 2006.
毕业论文（设计）工作计划：
1、 2013.11.14
接受毕业论文任务；
2、 2013.11.15-11.28
完成开题报告书；
3、 2013.11.29-2014.2.11
完成论文初稿；
4、 2014.2.12-4.30 在指导老师的指导下修改、完善论文 ,论文定稿；
5、 2014.5.1-5.10
论文答辩 .
接收任务日期 2013 年 11 月 14 日 要求完成任务日期 2014 年 5 月 1 日
学 生 （签名） 年 月 日
指 导 教 师 （签名） 年 月 日
系 主 任 （签名） 年 月 日
说明：本表为学生毕业论文 （设计）指导性文件， 由指导教师填写， 一式两份， 一份交系（部）
存档备查，一份发给学生。
本科生毕业论文（设计）
开 题 报 告 书
题 目
行列式的计算
学生姓名
学 号
系 别
数学与应用数学系
专 业
数学与应用数学
指导教师
2013 年 11 月 25 日
论文 ( 设计 ) 题目
行列式的计算
一、选题的目的、意义及相关研究动态和自己的见解：
行列式起源于解二、三元线性方程组，然而它的应用早已超过代数的范围，成为研究数学领
域各分支的基本工具。因此，熟练掌握行列式的计算具有重要的意义。
行列式的计算一直是代数研究的一个重要课题，如王作中在《民营科技》中发表的“行列式
的计算方法与技巧”一文 ,
韩宝燕在《科技信息》中发表的“行列式的计算方法与应用”一文，
周宇曾在《经营管理者》中发表的“浅谈行列式的计算”一文等等。
因为行列式的计算方法有多种，而对于同一个行列式的计算方法也有多种，如何针对不同行
列式，针对其特征，选取适当的方法求解才是行列式计算的研究目的，也是我选择这个题目的目
的。
二、课题的主要内容：
本文主要从行列式的的定义和性质入手，以具体实例为依据，对行列式的各种计算方法如定
义法、化三角形法、拆行（列）法、降阶法、升阶法（加边法） 、拉普拉斯定理、范德蒙德行列
式，进行总结、归纳和比较，得出适合不同特征行列式的最好方法，以达到最简单的计算。
另外，理论用于实践，对这些计算方法在解线性方程组、初等代数、解析几何等方面的应用
进行探讨。
三、研究方法、设计方案或论文撰写提纲：
研究方法：文献资料法、举例论证法。
设计方案：明确行列式的计算方法，且以实例加以说明和归纳，对其中有特点的例题进行分
析和点评。
论文撰写提纲：摘要，关键字（中，英文）
1 、引言
2 、行列式的定义及其性质
3 、归纳出七种常用的计算方法
4 、结论，参考文献，致谢
四、完成期限和预期进度：
1、2013.11.14
接受毕业论文任务；
2、2013.11.15-11.28
完成开题报告书；
3、2013.11.29-2014.2.11
完成论文初稿；
4、2014.2.12-4.30 在指导老师的指导下修改、完善论文
,论文定稿；
5、2014.5.1-5.10 论文答辩 .
五、主要参考文献（不少于 10 篇）：
[1] 北京大学数学系 . 高等代数 ( 第三版 )[M]. 北京 : 高等教育出版社 ,2003.
[2] 张禾瑞、郝鈵新 . 高等代数 [M]. 北京 : 高等教育出版社 ,1993.
[3] 同济大学数学系 . 线性代数 ( 第五版 )[M]. 北京 : 高等教育出版社 ,2007.
[4] 方文波 . 线性代数及其应用 [M]. 北京 : 高等教育出版社 ,2011.
[5] 卢刚，冯翠莲 . 线性代数 [M]. 北京：北京大学出版社， 2006.
[6] 万勇，李兵 . 线性代数 [M]. 上海：复旦大学出版社， 2006.
[7] 王萼芳 . 高等代数教程 [M]. 北京 : 清华大学出版社， 1997.
[8] 姚慕生 . 高等代数 [M]. 上海：复旦大学出版社， 2002.
[9] 王作中 . 行列式的计算方法与技巧 [J]. 明营科技 .2010,(8):97 ～ 186.
[10] 韩宝燕 . 行列式的计算方法与应用 [J]. 科技信息 .2010,(3):168 ～ 87.
[11] 周宇 . 浅谈行列式的计算 [J]. 经营管理者 .2009,(4):137 ～ 150.
六、指导教师意见：
签名： 年 月 日
七、开题报告会纪要
时
年 11 月 25 日
地点
2013
间
姓名 职务（职称） 姓名 职务（职称）
与
会
人
员
会议记录摘要：
问：选这个题目的目的是什么？
答：我们在高等代数这门课程中学习了行列式的计算，在学习过程中我发现行列式有很多计
算方法，而且在实际的计算过程中不同的方法往往适合于不同特征的行列式。因此，我选择这个
题目。
问：你打算怎样完成这个选题？
答：首先对我们学习中最常用到的七种方法进行归纳总结，然后有针对性的去参阅有关行列
式的计算的文献资料，加深知识理解；再阅读大量期刊文章，整理资料；最后进行总结归纳与探
究分析，确定写这篇论文的主要目的和意义；在指导老师指导下进行初步的论文写作。
问：本论文的创新点在哪？
答：本文的创新之处在于：利用行列式的性质进行由浅入深的研究，先是熟悉行列式最基本
的性质和相关联的基础知识，通过这些性质可以加深延拓开发出其他的技巧，采用实例分析加深
对知识的理解和运用。
会议主持人：
会议记录人：
年 月 日
八、开题答辩小组意见：
负责人签名：
年 月 日
九、系 ( 部 ) 意见：
负责人签名：
单位（盖章）
年 月 日