向量和矩阵的范数

并且由于
max
1in
xi
(x1px2pxnp)1p(nm 1inaxxi p)1p
1
n pm 1ian xxi m 1inaxix(p )
xp x(p 时 ),所 以x
也是x 的特例 p
且xx2x1
定理1
limx x
p p
注意:一般有向量的等价关系
第一章 绪论
c 1x p x q c 2 x p( p q p q , 1 , ; ,c 1 , 2 c 2 R , )
特征方程为
2 0 1
detI(ATA) 0 9 1 0
1 1 2
可得AT A的特征值为
1 9 .14 ,2 2 2 .9 82 ,3 1 0 .9 1361
ma(xATA)9.1428
A1 5
A 4
A 2 ma(xATA) 3.0237
A 292 3.6056 F
A1
A
如果向量 如果向量
xxRRnn
的某个实值函数 的某个实值函数
ff((xx)) xx
满（足1）：正定性： x 0，且 （1）正定性： x 0，且
xx
00
当且仅当x=0； 当且仅当x=0；
（2）齐次性：对任意实数 （2）齐次性：对任意实数
，都有 ，都有
xx
x x
（（33））三三角角不不等等式式：：对对任任意意xx，，yy RR，n，n 都都有有 xx yy xx yy
若 xRn,ARnn,都有
AxA x
则称所给的向 和 量矩 范阵 数 范 相数 容 .
n
A F
n
ai2j
12
i1 j
A 2 ma(xATA)
A F
A2 xA2x2
A F
x2
因此 AF与x2相容
例3 解:
由于
求矩阵A的各种常用范数
A
1 1 0
2 2 1
011
3 4 2
25 2
n
A 1
max
对于某种向 x和 量算 范子 数A范 , 数
AxA x
而
Ax x x
因此
x A x
即 所以
A
(A) A
第一章 绪论
即矩A阵 的谱半径不超任 过何 矩一 阵种 的算子范数
定理1. 设是Rnn上的一种算,子 A范 Rnn数 ,
若 A 满பைடு நூலகம் 足 1,则 IA 非奇 ,且异
(I A)1 1 1 A
A2
容易计算 使用最广泛
计算较复杂
对矩阵元素的 变化比较敏感
性质较好 使用最广泛
第一章 绪论
A F
较少使用
定义4
第一章 绪论
设 ARnn的特 征 1,2,值 ,n,为 称
(A ) ma 1,x 2, {,n}
为矩阵A的谱半径
显然
A 2 ma(xATA) (AT A) 谱范数
( spectral norm )
x p (x1px2p xnp)1p x的 p范,数 p1
自己证
容易验证，向量的∞范数和1范数满足定义1.5中的条件。对 于2范数，满足定义1.5中的条件（1）和（2）是显然的，对 于条件（3），利用向量内积的 Cauchy-Schwarz不等式可 以验证。
第一章 绪论
显然
x
和
1
x2
是xp在p1和p2时的特例
定义2 如果矩阵ARnn的某个实值函数 f(A) A 满足
（1）正定性： A 0且 A 0当且仅当 A0；
（2）齐次性：对任意实数 ，都有 A A ；
（3）三角不等式：对任意 A,BRnn 都有 ABAB （4）相容性：对任意 A,BRn，n 都有 AB AB 则称 A 为 Rnn 上的一个矩阵范数
"范数"是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维
向量长度概念的一种推广.
数域:数的集合,对加法和乘法封闭 有理数、实数、复数数域
线性空间:可简化为向量的集合,对向量的加法和数量乘 法封闭,也称为向量空间
第一章 绪论
➢ 1.4.1 向量范数 ( vector norms )
定义1.5 定满义足1 ：
第一章 绪论
1.4 向量和矩阵的范数
1.4.1 向量的范数及其性质 1.4.2 矩阵的范数及其性质
第一章 绪论
1.4 向量和矩阵的范数
学习目标： 掌握向量范数、矩阵范数等概念。
第一章 绪论
§1.4 向量和矩阵范数
在实数域中，数的大小和两个数之间的距离是通过绝对值来度量 的。在解析几何中，向量的大小和两个向量之差的大小是“长度”和 “距离”的概念来度量的。为了对矩阵运算进行数值分析，我们需要 对向量和矩阵的“大小”引进某种度量。范数是绝对值概念的自然推 广。
1 jn i1
aij
ma {2,x5,2}5 1jn
n
A
max
1in
j1
aij
m{a3,4 x,2}4 1in
A 2 ma(xATA)
第一章 绪论
因此先A求 TA的特征值
第一章 绪论
1 1 0 1 2 0 2 0 1
AT A
2 0
2 1
1 1
1 0
2 1
1 1
0 1
9 1
1 2
设 n阶方 A(阵 aij)nn
设A F
in1
n
ai2j
j1
12
第一章 绪论
类似向量的 2-范数
不难验证其满足定义2的4个条件. 因此 A 是一种矩阵范数 F
称为Frobenius范数,简称F-范数.
1
(4)设 AF n
n
ai2j
2
i1 j1
称A的F-范数.
第一章 绪论
定义3 对于给定的向 和 量矩 范阵 数范 , 数
例 1 求下列向量的各种常用范数
x(1,4,3,1)T
解: x 1 x1x2x4 9
x 2 (x 12x 22 x 42)1 2 273 3
x m 1ia4xxi 4 显 ,本 然 例 c 1x 中 x 1 c 2x ,即
1*4≤9≤9/4*4=9
第一章 绪论
➢ 1.4.2 矩阵的范数( matrix norms )
则称 则称
xx
为为RRnn上上的的一一个个向向量量范范数数。。
第一章 绪论
在向 R n (量 C n)中 ,设 空 x (x 1 间 ,x 2, ,x n)T
常用的向x的 量范数有 x2 (x 12x 22 x n2)1 2 x的2范数或欧氏范数
x 1 x1x2xn
x的1范数
x m 1ianxxi x的范数或最大范数
证明:略
第一章 绪论
例4 设矩阵A与矩阵B是对称的，求证
常用的矩阵范数
第一章 绪论
n
(1)
A
1
max 1 jn i1
aij
A的每列绝对值之和大 的值 最, 称A的列范数
n
(2)
A
max
1in
j1
aij
A的每行绝对值之和大 的值 最, 称A的行范数
(3)
A
2
ma(xATA)
称A的2范数
其中 ma(xATA)为ATA的特征值的绝大 对值 值的最
例2