数列,(放缩法)

明士教育集团个性化教学辅导讲学案（教研用）

（2014秋季使用）

教学课题 数列的求和与放缩法的应用 课时计划 第（ ）次课

授课教师 乔建华 学科 数学 授课日期和时段 2014-12-17 上课学生

年级

高三

上课形式

阶段 基础（ ） 提高（√ ） 强化（ ） 教学目标

知识点：数列的求和与放缩法

考 点：数列的求和与放缩法 方 法：讲练结合 重点、难点 重点：数列的求和 难点：放缩法的应用

★要点一：公式法

1、等差数列求和公式：d n n na a a n a a n a a n S n n n n 2

)

1(2)(2)(2)(123121-+==+=+=+=

-- 2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n

n

【典型例题】例1 （07高考山东文18）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知

37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．

（1）求数列{}n a 的等差数列．

（2）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．

【对应练习】练习：设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *

,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

要点二。错位相减法：设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n S 求解，均可用错位相减法。

【典型例题】1（07高考全国Ⅱ文21）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，

3521a b +=，5313a b +=

（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前n 项和n S ．

【对应练习】1.求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①(1≠x )

★★要点三：倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

【典型例题】例4（13豫南五市二联理22.）设函数2

22)(+=x x

x f 的图象上有两点P 1(x 1, y 1)、P 2(x 2, y 2)，

若)(2121OP OP OP +=

,且点P 的横坐标为2

1. （I ）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；

（II ）若;求,),()3()2()1(*

n n S N n n n

f n f n f n f S ∈+⋯+++=

解：（I ）∵)(2121OP OP OP +=,且点P 的横坐标为2

1

.

∴P 是

1

2

P P

的中点，且

1

2

1x x

+=

()

()

()

()

()1

2

2

1

1

2

1

22

2

1

21

1

2

222

2

242

1

421

22222

2

2222222p

x x x x x x x x

x x x x x y y

y ++++=

+

=

+

++

+=

+=++∴=

由（I ）知，

1

2

1x x

+=()()()1

2

1,122f f f x x +==-

且

()()12111212n n n n f f f f n n n n n n f f f f n n n n S S -⎛⎫⎛⎫

⎛⎫⎛⎫=++

++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

又，（1）+（2）得：

()()()1122121121111322

322

2

n n n n n f f f f f f f f n n n n n n f n n S S ⎡-⎤⎡-⎤⎡⎤

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++

++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦

=++++=+-+-∴=

【对应练习】求

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2222

2++⋅⋅⋅+++的值 .

★

要点四：拆项求和法：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.

例如：（1）1

1

1)1(1+-

=+=

n n n n a n 【典型例题】求数列

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1

1,

,3

21,

2

11n n 的前n 项和.

解：设n n n n a n -+=++=

111

（裂项）

则 1

13

212

11

+++

⋅⋅⋅+++

+=

n n S n （裂项求和）

＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-

【对应练习】（06高考湖北卷理17）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'

()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设1

1n n n b a a +=

，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *

∈都成立的最小正整数m ；