初三数学培优试题一

初三数学培优试题（一）

班别__________ 姓名_______

1．如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．

1

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

…………………………

（1）表中第8行的最后一个数是______________，它是自然数_____________的平方，第8行共有____________个数；

（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是___________________，最后一个数是

________________，第n行共有_______________个数；

（3）求第n行各数之和．

解:

A

N B E

F G

C

M

D

P

（

图九）

2.如图九，在线段AE 的同侧作正方形ABCD 和正方形BEFG （BE AB ），连结

EG 并延长交DC 于点M ，作MN AB ，垂足为N ，MN 交BD 于点P ．设正方

形ABCD 的边长为1．

（1）证明：△CMG ≌△NBP ；（2）设BE x ，四边形MGBN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写

出定义域；

（3）如果按照题设方法作出的四边形

BGMP 是菱形，求BE 的长．

(1)证明:

3．如图，抛物线y ＝(x ＋1)2

＋k 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C (0，

－3)．

（1）求抛物线的对称轴及

k 的值；

（2）抛物线的对称轴上存在一点

P ，使得PA ＋PC 的值最小，求此时点P 的坐标；

（3）点M 是抛物线上一动点，且在第三象限．

①当M 点运动到何处时，△AMB 的面积最大？求出△AMB 的最大面积及此时点M 的坐标；

②当M 点运动到何处时，四边形

AMCB 的面积最大？求出四边形AMCB 的最

大面积及此时点M 的坐标．

x

y

O C

A

B

4.如图，抛物线y=ax 2

+bx （a 0）与双曲线y=x

k 相交于点A ，B. 已知点B 的坐

标为（-2，-2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOx=4. 过点A 作直线AC ∥x

轴，交抛物线于另一点

C ．（1）求双曲线和抛物线的解析式；

（2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点

D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，

请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．