初三数学培优练习题(含答案)
初三数学培优试卷及答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，则方程的解为：A. x = 2，x = 3B. x = 1，x = 6C. x = 2，x = 4D. x = 3，x = 52. 下列函数中，是奇函数的是：A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x^43. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，若∠BAC = 40°，则∠B = ∠C = °。
4. 下列命题中，正确的是：A. 平行四边形的对角线互相平分B. 等腰三角形的底角相等C. 直角三角形的两条直角边相等D. 矩形的对边平行且相等5. 若a、b、c是等差数列，且a + b + c = 12，则a^2 + b^2 + c^2的值为：6. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，则a、b、c的值分别为：7. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于x轴的对称点为B，则点B的坐标为：8. 已知等腰三角形ABC中，AB = AC，且BC = 6，AD是BC边上的高，则AD的长度为：9. 下列不等式中，正确的是：A. 3x > 2x + 1B. 2x < 3x - 1C. 3x ≥ 2x + 1D. 2x ≤ 3x - 110. 若a、b、c是等比数列，且a + b + c = 27，b^2 = ac，则a、b、c的值分别为：二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0的解为x1和x2，则x1 + x2 = ，x1x2 = 。
12. 函数y = 2x - 3的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为（），（）。
13. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，若∠BAC = 45°，则∠B = ∠C = °。
14. 下列命题中，正确的是：平行四边形的对角线互相平分，等腰三角形的底角相等，矩形的对边平行且相等。
初三数学九上九下压轴题难题提高题培优题(含答案解析)
初三数学九上压轴题难题进步题培优题【1 】一．解答题（共8小题）1．如图,抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经由点A（﹣3,0）.B（1,0）.C（﹣2,1）,交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式;（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE垂直x轴于点E,交线段AM于点F,求线段DF长度的最大值,并求此时点D的坐标;（3）抛物线上是否消失一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P.A.N为极点的三角形与△MAO 类似（不包含全等）？若消失,求点P的坐标;若不消失,请解释来由．2．如图,在平面直角坐标系xOy中,极点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经由点A和x轴正半轴上的点B,AO=OB=4,∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式;（2）联络OM,求∠AOM的大小;（3）假如点C在x轴上,且△ABC与△AOM类似,求点C的坐标．3．如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2,0）,B（6,0）两点,交y 轴于点．（1）求此抛物线的解析式;（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D,作⊙D与x轴相切,⊙D交y轴于点E.F两点,求劣弧EF的长;（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点,PG垂直于x轴,垂足为点G,试肯定P点的地位,使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？4．如图,在平面直角坐标系中,已知点A（﹣2,﹣4）,OB=2,抛物线y=ax2+bx+c经由点A.O.B三点．（1）求抛物线的函数表达式;（2）若点M是抛物线对称轴上一点,试求AM+OM的最小值;（3）在此抛物线上,是否消失点P,使得以点P与点O.A.B为极点的四边形是梯形？若消失,求点P的坐标;若不消失,请解释来由．5．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经由点A（0,1）,B （4,3）．（1）求抛物线的函数解析式;（2）求tan∠ABO的值;（3）过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB为平行四边形,求点M的坐标．6．如图1,已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B.C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2,2）,求实数m的值;（2）在（1）的前提下,求△BCE的面积;（3）在（1）的前提下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标; （4）在第四象限内,抛物线C1上是否消失点F,使得以点B.C.F为极点的三角形与△BCE类似？若消失,求m的值;若不消失,请解释来由．7．如图,已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分离交于点A.B（点A位于点B的左侧）,与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为,点C的坐标为（用含b的代数式暗示）;（2）请你摸索在第一象限内是否消失点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角极点的等腰直角三角形？假如消失,求出点P的坐标;假如不消失,请解释来由; （3）请你进一步摸索在第一象限内是否消失点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的随意率性两个三角形均类似（全等可作类似的特别情形）？假如消失,求出点Q的坐标;假如不消失,请解释来由．8．如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个极点B（1,0）,C（3,0）,D（3,4）．以A 为极点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A动身,沿线段AB向点B活动．同时动点Q 从点C动身,沿线段CD向点D活动．点P,Q的活动速度均为每秒1个单位．活动时光为t 秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;（2）过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大？最大值为若干？（3）在动点P,Q活动的进程中,当t为何值时,在矩形ABCD内（包含鸿沟）消失点H,使以C,Q,E,H 为极点的四边形为菱形？请直接写出t的值．初三数学九上压轴题难题进步题培优题参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．如图,抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经由点A（﹣3,0）.B（1,0）.C（﹣2,1）,交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式;（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE垂直x轴于点E,交线段AM于点F,求线段DF长度的最大值,并求此时点D的坐标;（3）抛物线上是否消失一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P.A.N为极点的三角形与△MAO 类似（不包含全等）？若消失,求点P的坐标;若不消失,请解释来由．【解答】解：由题意可知．解得．∴抛物线的表达式为y=﹣．（2）将x=0代入抛物线表达式,得y=1．∴点M的坐标为（0,1）．设直线MA的表达式为y=kx+b,则．解得．∴直线MA的表达式为y=x+1．设点D的坐标为（）,则点F的坐标为（）．DF==．当时,DF的最大值为．此时,即点D的坐标为（）．（3）消失点P,使得以点P.A.N为极点的三角形与△MAO类似．设P（m,）．在Rt△MAO中,AO=3MO,要使两个三角形类似,由题意可知,点P不成能在第一象限．①设点P在第二象限时,∵点P不成能在直线MN上,∴只能PN=3AN,∴,即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又﹣3＜m＜0,故此时知足前提的点不消失．②当点P在第三象限时,∵点P不成能在直线MA上,∴只能PN=3AN,∴,即m2+11m+24=0．解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P的坐标为（﹣8,﹣15）．③当点P在第四象限时,若AN=3PN时,则﹣3,即m2+m﹣6=0．解得m=﹣3（舍去）或m=2．当m=2时,．此时点P的坐标为（2,﹣）．若PN=3NA,则﹣,即m2﹣7m﹣30=0．解得m=﹣3（舍去）或m=10,此时点P的坐标为（10,﹣39）．综上所述,知足前提的点P的坐标为（﹣8,﹣15）.（2,﹣）.（10,﹣39）．2．如图,在平面直角坐标系xOy中,极点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经由点A和x轴正半轴上的点B,AO=OB=4,∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式;（2）联络OM,求∠AOM的大小;（3）假如点C在x轴上,且△ABC与△AOM类似,求点C的坐标．【解答】解：（1）如图,过点A作AD⊥y轴于点D,∵AO=OB=4,∴B（4,0）．∵∠AOB=120°,∴∠AOD=30°,∴AD=OA=2,OD=OA=2．∴A（﹣2,2）．将A（﹣2,2）,B（4,0）代入y=ax2+bx,得：,解得：,∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣x;（2）过点M作ME⊥x轴于点E,∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣,∴M（2,﹣）,即OE=2,EM=．∴tan∠EOM==．∴∠EOM=30°．∴∠AOM=∠AOB+∠EOM=150°．（3）过点A作AH⊥x轴于点H,∵AH=2,HB=HO+OB=6,∴tan∠ABH==．∴∠ABH=30°,∵∠AOM=150°,∴∠OAM＜30°,∴∠OMA＜30°,∴点C不成能在点B的左侧,只能在点B的右侧．∴∠ABC=180°﹣∠ABH=150°,∵∠AOM=150°,∴∠AOM=∠ABC．∴△ABC与△AOM类似,有如下两种可能：①△BAC与∽△OAM,②△BAC与∽△OMA∵OD=2,ME=,∴OM=,∵AH=2,BH=6,∴AB=4．①当△BAC与∽△OAM时,由=得,解得BC=4．∴C1（8,0）．②当△BAC与∽△OMA时,由=得,解得BC=12．∴C2（16,0）．综上所述,假如点C在x轴上,且△ABC与△AOM类似,则点C的坐标为（8,0）或（16,0）．3．如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2,0）,B（6,0）两点,交y 轴于点．（1）求此抛物线的解析式;（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D,作⊙D与x轴相切,⊙D交y轴于点E.F两点,求劣弧EF的长;（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点,PG垂直于x轴,垂足为点G,试肯定P点的地位,使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经由点A（2,0）,B（6,0）,;∴,解得;∴抛物线的解析式为：;（2）易知抛物线的对称轴是x=4,把x=4代入y=2x,得y=8,∴点D的坐标为（4,8）;∵⊙D与x轴相切,∴⊙D的半径为8;衔接DE.DF,作DM⊥y轴,垂足为点M;在Rt△MFD中,FD=8,MD=4,∴cos∠MDF=;∴∠MDF=60°,∴∠EDF=120°;∴劣弧EF的长为：;（3）设直线AC的解析式为y=kx+b;∵直线AC经由点,∴,解得;∴直线AC的解析式为：;设点,PG交直线AC于N, 则点N坐标为,∵S△PNA：S△GNA=PN：GN;∴①若PN：GN=1：2,则PG：GN=3：2,PG=GN;即=;解得：m1=﹣3,m2=2（舍去）;当m=﹣3时,=;∴此时点P的坐标为;②若PN：GN=2：1,则PG：GN=3：1,PG=3GN;即=;解得：m1=﹣12,m2=2（舍去）;当m=﹣12时,=;∴此时点P的坐标为;综上所述,当点P坐标为或时,△PGA的面积被直线AC分成1：2两部分．4．如图,在平面直角坐标系中,已知点A（﹣2,﹣4）,OB=2,抛物线y=ax2+bx+c经由点A.O.B三点．（1）求抛物线的函数表达式;（2）若点M是抛物线对称轴上一点,试求AM+OM的最小值;（3）在此抛物线上,是否消失点P,使得以点P与点O.A.B为极点的四边形是梯形？若消失,求点P的坐标;若不消失,请解释来由．【解答】解：（1）由OB=2,可知B（2,0）,将A（﹣2,﹣4）,B（2,0）,O（0,0）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c, 得解得：∴抛物线的函数表达式为．答：抛物线的函数表达式为．（2）由,可得,抛物线的对称轴为直线x=1,且对称轴x=1是线段OB的垂直等分线,衔接AB交直线x=1于点M,M点即为所求．∴MO=MB,则MO+MA=MA+MB=AB作AC⊥x轴,垂足为C,则AC=4,BC=4,∴AB=∴MO+MA的最小值为．答：MO+MA的最小值为．（3）①若OB∥AP,此时点A与点P关于直线x=1对称,由A（﹣2,﹣4）,得P（4,﹣4）,则得梯形OAPB．②若OA∥BP,设直线OA的表达式为y=kx,由A（﹣2,﹣4）得,y=2x．设直线BP的表达式为y=2x+m,由B（2,0）得,0=4+m,即m=﹣4,∴直线BP的表达式为y=2x﹣4由,解得x1=﹣4,x2=2（不合题意,舍去）当x=﹣4时,y=﹣12,∴点P（﹣4,﹣12）,则得梯形OAPB．③若AB∥OP,设直线AB的表达式为y=kx+m,则,解得,∴AB的表达式为y=x﹣2．∵AB∥OP,∴直线OP的表达式为y=x．由,得x2=0,解得x=0,（不合题意,舍去）,此时点P不消失．综上所述,消失两点P（4,﹣4）或P（﹣4,﹣12）使得以点P与点O.A.B为极点的四边形是梯形．答：在此抛物线上,消失点P,使得以点P与点O.A.B为极点的四边形是梯形,点P的坐标是（4,﹣4）或（﹣4,﹣12）．5．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经由点A（0,1）,B （4,3）．（1）求抛物线的函数解析式;（2）求tan∠ABO的值;（3）过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB为平行四边形,求点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经由点A（0,1）,B （4,3）, ∴,解得,所以,抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+1;（2）如图,过点B作BC⊥x轴于C,过点A作AD⊥OB于D,∵A（0,1）,B （4,3）,∴OA=1,OC=4,BC=3,依据勾股定理,OB===5,∵∠OAD+∠AOD=90°,∠AOD+∠BOC=90°,∴∠OAD=∠BOC,又∵∠ADO=∠OCB=90°,∴△AOD∽△OBC,∴==,即==,解得OD=,AD=,∴BD=OB﹣OD=5﹣=,∴tan∠ABO===;（3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0,k.b是常数）,则,解得,所以,直线AB的解析式为y=x+1,设点M（a,﹣a2+a+1）,N（a,a+1）,则MN=﹣a2+a+1﹣a﹣1=﹣a2+4a,∵四边形MNCB为平行四边形,∴MN=BC,∴﹣a2+4a=3,整顿得,a2﹣4a+3=0,解得a1=1,a2=3,∵MN在抛物线对称轴的左侧,抛物线的对称轴为直线x=﹣=, ∴a=1,∴﹣12+×1+1=,∴点M的坐标为（1,）．6．如图1,已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B.C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2,2）,求实数m的值;（2）在（1）的前提下,求△BCE的面积;（3）在（1）的前提下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标; （4）在第四象限内,抛物线C1上是否消失点F,使得以点B.C.F为极点的三角形与△BCE类似？若消失,求m的值;若不消失,请解释来由．【解答】解：（1）将x=2,y=2代入抛物线的解析式得：﹣×4×（2﹣m）=2,解得：m=4,经磨练：m=4是分式方程的解．∴m的值为4．（2）y=0得：0=﹣（x+2）（x﹣m）,解得x=﹣2或x=m,∴B（﹣2,0）,C（m,0）．由（1）得：m=4,∴C（4,0）．将x=0代入得：y=﹣×2×（﹣m）=2,∴E（0,2）．∴BC=6,OE=2．∴S△BCE=BC•OE=×6×2=6．（3）如图1所示：衔接EC交抛物线的对称轴于点H,衔接BH,设对称轴与x轴的交点为P．∵x=﹣,∴抛物线的对称轴是直线x=1．∴CP=3．∵点B与点C关于x=1对称,∴BH=CH．∴BH+EH=EH+HC．∴当H落在线段EC上时,BH+EH的值最小．∵HP∥OE,∴△PHC∽△EOC．∴,即．解得HP=．∴点H的坐标为（1,）．（4）①如图2,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′．∵BF∥EC,∴∠BCE=∠FBC．∴当,即BC2=CE•BF时,△BCE∽△FBC．设点F的坐标为（x,﹣（x+2）（x﹣m））,由,得．解得x=m+2．∴F′（m+2,0）．∵∠BCE=∠FBC．∴,得,解得：．又∵BC2=CE•BF,∴,整顿得：0=16．此方程无解．②如图3,作∠CBF=45°交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′,∵OE=OB,∠EOB=90°,∴∠EBO=45°．∵∵∠CBF=45°,∴∠EBC=∠CBF,∴当,即BC2=BE•BF时,△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中,由FF′=BF′,得（x+2）（x﹣m）=x+2,解得x=2m．∴F′（2m,0）．∴BF′=2m+2,∴BF=2m+2．由BC2=BE•BF,得（m+2）2=2×（2m+2）．解得．∵m＞0,∴m=2+2．综上所述,点m的值为2+2．7．如图,已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分离交于点A.B（点A位于点B的左侧）,与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为（b,0）,点C的坐标为（0,）（用含b的代数式暗示）; （2）请你摸索在第一象限内是否消失点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角极点的等腰直角三角形？假如消失,求出点P的坐标;假如不消失,请解释来由; （3）请你进一步摸索在第一象限内是否消失点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的随意率性两个三角形均类似（全等可作类似的特别情形）？假如消失,求出点Q的坐标;假如不消失,请解释来由．【解答】解：（1）令y=0,即y=x2﹣（b+1）x+=0,解得：x=1或b,∵b是实数且b＞2,点A位于点B的左侧,∴点B的坐标为（b,0）,令x=0,解得：y=,∴点C的坐标为（0,）,故答案为：（b,0）,（0,）;（2）消失,假设消失如许的点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角极点的等腰直角三角形．设点P的坐标为（x,y）,衔接OP．则S四边形PCOB=S△PCO+S△POB=••x+•b•y=2b,∴x+4y=16．过P作PD⊥x轴,PE⊥y轴,垂足分离为D.E,∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．∴四边形PEOD是矩形．∴∠EPD=90°．∴∠EPC=∠DPB．∴△PEC≌△PDB,∴PE=PD,即x=y．由解得由△PEC≌△PDB得EC=DB,即﹣=b﹣,解得b=＞2相符题意．∴P的坐标为（,）;（3）假设消失如许的点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的随意率性两个三角形均类似．∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO,∴∠QAB＞∠AOQ,∠QAB＞∠AQO．∴要使△QOA与△QAB类似,只能∠QAO=∠BAQ=90°,即QA⊥x轴．∵b＞2,∴AB＞OA,∴∠Q0A＞∠ABQ．∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°,由QA⊥x轴知QA∥y轴．∴∠COQ=∠OQA．∴要使△QOA与△OQC类似,只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．（I）当∠OCQ=90°时,△CQO≌△QOA．∴AQ=CO=．由AQ2=OA•AB得：（）2=b﹣1．解得：b=8±4．∵b＞2,∴b=8+4．∴点Q的坐标是（1,2+）．（II）当∠OQC=90°时,△OCQ∽△QOA,∴=,即OQ2=OC•AQ．又OQ2=OA•OB,∴OC•AQ=OA•OB．即•AQ=1×b．解得：AQ=4,此时b=17＞2相符题意,∴点Q的坐标是（1,4）．∴综上可知,消失点Q（1,2+）或Q（1,4）,使得△QCO,△QOA和△QAB中的随意率性两个三角形均类似．8．如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个极点B（1,0）,C（3,0）,D（3,4）．以A 为极点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A动身,沿线段AB向点B活动．同时动点Q 从点C动身,沿线段CD向点D活动．点P,Q的活动速度均为每秒1个单位．活动时光为t 秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;（2）过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大？最大值为若干？（3）在动点P,Q活动的进程中,当t为何值时,在矩形ABCD内（包含鸿沟）消失点H,使以C,Q,E,H 为极点的四边形为菱形？请直接写出t的值．【解答】解：（1）A（1,4）．由题意知,可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4∵抛物线过点C（3,0）,∴0=a（3﹣1）2+4,解得,a=﹣1,∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4,即y=﹣x2+2x+3．（2）∵A（1,4）,C（3,0）,∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6．∵点P（1,4﹣t）．∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中,解得点E的横坐标为x=1+．∴点G的横坐标为1+,代入抛物线的解析式中,可求点G的纵坐标为4﹣．∴GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣．又∵点A到GE的距离为,C到GE的距离为2﹣,即S△ACG=S△AEG+S△CEG=•EG•+•EG（2﹣）=•2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1．当t=2时,S△ACG的最大值为1．（3）第一种情形如图1所示,点H在AC的上方,由四边形CQEH是菱形知CQ=CE=t,依据△APE∽△ABC,知=,即=,解得t=20﹣8;第二种情形如图2所示,点H在AC的下方,由四边形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t,PE=t,EM=2﹣t,MQ=4﹣2t．则在直角三角形EMQ中,依据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2,即（2﹣t）2+（4﹣2t）2=t2,解得,t1=,t2=4（不合题意,舍去）．综上所述,t=20﹣8或t=．。
初三数学培优试题(含答案)
初三数学培优试题一学校： 班级： 姓名： 分数：一．选择题1、下列函数：① 3y x =-，②21y x =-，③()10y x x=-<，④223y x x =-++ 其中y 的值随x 值的增大而增大的函数有（ ）（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个2．（2018济南，9，4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在方格线的格点上，将△ABC 绕点P 顺时针方向旋转90°，得到△A ′B ′C ′，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，4）B ．（1，1）C ．（1，2）D ．（2，1）xy–1–2–3–412341234567BCA A'C 'B'O3、按下面的程序计算，若开始输入x 的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x 的不同值最多有（ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个4、已知关于x 的不等式组12x a x a ->-⎧⎨-<⎩的解集中任意一个x 的值均不．．在04x ≤≤的范围内，则a 的取值范围是（ ）（A ）5a >或2a <- （B ）25a -≤≤ （C ）25a -<< （D ）5a ≥或2a ≤-5、如图所示，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点。
若O 的半径长为，则AP BP +的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）6．（3分）如图，矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，将△BCE 沿CE 翻折，点B 落在点F 处，tan ∠DCE=．设AB=x ，△ABF 的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．P B A二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程）7.已知一组数据：12.10.8.15.6.8.则这组数据的中位数是。
初三数学培优试题(含答案)
初三数学培优试题一学校： 班级： 姓名： 分数：一．选择题1、下列函数：① 3y x =-，②21y x =-，③()10y x x=-<，④223y x x =-++ 其中y 的值随x 值的增大而增大的函数有（ ）（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个2．（2018济南，9，4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在方格线的格点上，将△ABC 绕点P 顺时针方向旋转90°，得到△A ′B ′C ′，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，4）B ．（1，1）C ．（1，2）D ．（2，1）xy–1–2–3–412341234567BCA A'C 'B'O3、按下面的程序计算，若开始输入x 的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x 的不同值最多有（ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个4、已知关于x 的不等式组12x a x a ->-⎧⎨-<⎩的解集中任意一个x 的值均不．．在04x ≤≤的范围内，则a 的取值范围是（ ）（A ）5a >或2a <- （B ）25a -≤≤ （C ）25a -<< （D ）5a ≥或2a ≤-5、如图所示，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点。
若O 的半径长为，则AP BP +的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）6．（3分）如图，矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，将△BCE 沿CE 翻折，点B 落在点F 处，tan ∠DCE=．设AB=x ，△ABF 的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．P B A二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程）7.已知一组数据：12.10.8.15.6.8.则这组数据的中位数是。
初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及答案
初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及答案一、圆的综合1．（1）如图1，在矩形ABCD 中，点O 在边AB 上，∠AOC =∠BOD ，求证：AO =OB ； （2）如图2，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，OP 与⊙O 相交于点C ，连接CB ，∠OPA =40°，求∠ABC 的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）25°. 【解析】试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC ，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC ，根据三角形全等的判定AAS 证得△AOD ≌△BOC ，从而得证结论．（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA 的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC 的度数． 试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD ∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD 即∠AOD=∠BOC ∵四边形ABCD 是矩形 ∴∠A=∠B=90°，AD=BC ∴AOD BOC ∆≅∆ ∴AO=OB （2）解：∵AB 是O 的直径，PA 与O 相切于点A ，∴PA ⊥AB ， ∴∠A=90°. 又∵∠OPA=40°， ∴∠AOP=50°， ∵OB=OC ， ∴∠B=∠OCB. 又∵∠AOP=∠B+∠OCB ， ∴1252B OCB AOP ∠=∠=∠=︒.2．如图，AB 为⊙O 的直径，点D 为AB 下方⊙O 上一点，点C 为弧ABD 的中点，连接CD ，CA ．（1）求证：∠ABD =2∠BDC ；（2）过点C 作CH ⊥AB 于H ，交AD 于E ，求证：EA =EC ；（3）在（2）的条件下，若OH =5，AD =24，求线段DE 的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）92DE =. 【解析】 【分析】（1）连接AD ，如图1，设∠BDC =α，∠ADC =β，根据圆周角定理得到∠CAB =∠BDC =α，由AB 为⊙O 直径，得到∠ADB =90°，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据已知条件得到∠ACE =∠ADC ，等量代换得到∠ACE =∠CAE ，于是得到结论； （3）如图2，连接OC ，根据圆周角定理得到∠COB =2∠CAB ，等量代换得到∠COB =∠ABD ，根据相似三角形的性质得到OH =5，根据勾股定理得到AB =22AD BD +=26，由相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）连接AD ．如图1，设∠BDC =α，∠ADC =β， 则∠CAB =∠BDC =α，∵点C 为弧ABD 中点，∴AC =CD ，∴∠ADC =∠DAC =β，∴∠DAB =β﹣α，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB =90°，∴α+β=90°，∴β=90°﹣α，∴∠ABD =90°﹣∠DAB =90°﹣（β﹣α），∴∠ABD =2α，∴∠ABD =2∠BDC ；（2）∵CH ⊥AB ，∴∠ACE +∠CAB =∠ADC +∠BDC =90°， ∵∠CAB =∠CDB ，∴∠ACE =∠ADC ， ∵∠CAE =∠ADC ，∴∠ACE =∠CAE ，∴AE =CE ； （3）如图2，连接OC ，∴∠COB =2∠CAB ， ∵∠ABD =2∠BDC ，∠BDC =∠CAB ，∴∠COB =∠ABD ， ∵∠OHC =∠ADB =90°，∴△OCH ∽△ABD ，∴12OH OC BD AB ==，∵OH =5，∴BD =10，∴AB =22AD BD +=26，∴AO =13，∴AH =18，∵△AHE ∽△ADB ，∴AH AE AD AB =，即1824=26AE ，∴AE =392，∴DE =92．【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．如图AB 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线CM ，延长BC 到点D ，使CD=BC ，连接AD 交CM 于点E ，若⊙OD 半径为3，AE=5， （1）求证：CM ⊥AD ； （2）求线段CE 的长.【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】分析：（1）连接OC ，根据切线的性质和圆周角定理证得AC 垂直平分BD ，然后根据平行线的判定与性质证得结论；（2）根据相似三角形的判定与性质证明求解即可. 详解：证明：（1）连接OC∵CM 切⊙O 于点C ， ∴∠OCE=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CD=BC，∴AC垂直平分BD，∴AB=AD，∴∠B=∠D∵∠B=∠OCB∴∠D=∠OCB∴OC∥AD∴∠CED=∠OCE=90°∴CM⊥AD.（2）∵OA=OB，BC=CD∴OC=1AD2∴AD=6∴DE=AD-AE=1易证△CDE～△ACE∴CE DEAE CE∴CE2=AE×DE∴CE=5点睛：此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定与性质的应用，灵活判断边角之间的关系是解题关键，是中档题.4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AOCD为菱形；（3）DH=2．【解析】试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．试题解析：（1）连接OC，∵EC与⊙O切点C，∴OC⊥EC，∴∠OCE=90°，∵点CD是半圆O的三等分点，∴，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）∴∠AEC+∠OCE=180°，∴∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．理由是：∵，∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四边形AOCD是平行四边形，∵OA=OC，∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．∵四边形AOCD为菱形，∴OA=AD=DC=2，∵OA=OD，∴OA=OD=AD=2，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∵DH⊥AB于点F，AB为直径，∴DH=2DF，在Rt△OFD中，sin∠AOD=，∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，∴DH=2DF=2．考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．5．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧().AB()1用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O；(要求保留作图痕迹，不写作法)()2若AB的中点C到弦AB的距离为2080m AB m=，，求AB所在圆的半径．【答案】(1)见解析；（2）50m【解析】分析：()1连结AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，如图1；()2连接OA OC OC，，交AB于D，如图2，根据垂径定理的推论，由C为AB的中点得到1OC AB AD BD AB402⊥===，，则CD20=，设O的半径为r，在Rt OAD中利用勾股定理得到222r (r 20)40=-+，然后解方程即可． 详解：()1如图1，点O 为所求；()2连接OA OC OC ，，交AB 于D ，如图2，C 为AB 的中点，OC AB ∴⊥，1402AD BD AB ∴===，设O 的半径为r ，则20OA r OD OD CD r ==-=-，，在Rt OAD 中，222OA OD AD =+，222(20)40r r ∴=-+，解得50r =，即AB 所在圆的半径是50m ．点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．6．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B .(1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD 3FC 的长．【答案】（1）见解析【解析】分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案；（2）根据正切的性质求出EC的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可．详解：(1)证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCB＋∠ACO＝90°.∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB.又∵∠FCA＝∠B，∴∠FCA＝∠OCB，∴∠FCA＋∠ACO＝90°，即∠FCO＝90°，∴FC⊥OC，∴FC是⊙O切线．(2)解：∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴EC=AE43 tan ACE33∠==设OA＝OC＝r，则OE＝OA－AE＝r－4.在Rt△OEC中，OC2＝OE2＋CE2，即r2＝(r－4)2＋32，解得r＝8.∴OE＝r－4＝4＝AE.∵CE⊥OA，∴CA＝CO＝8，∴△AOC是等边三角形，∴∠FOC＝60°，∴∠F＝30°.在Rt△FOC中，∵∠OCF＝90°，OC＝8，∠F＝30°，∴OF＝2OC＝16，∴FC22OF OC83-=.点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键．7．如图．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=30cm，点P在AB上，AP=10cm，点E从点P 出发沿线段PA以2c m/s的速度向点A运动，同时点F从点P出发沿线段PB以1c m/s的速度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动，在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t （s）（0＜t＜20）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数表达式；②以点C为圆心，12t为半径作⊙C，当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值．【答案】（1）t=2s或10s；（2）①S=2229?(02)75050(210)240400?(1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩；②100cm2．【解析】试题分析：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2；如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10；（2）分四种切线讨论a、如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2．b、如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN．c、如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN．d、如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH．分别计算即可；②分两种情形分别列出方程即可解决问题．试题解析：解：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意得：AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10．综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上．（2）①如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（3t）2﹣12（5t﹣10）2=﹣72t2+50t﹣50．如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（20﹣t）2﹣12（30﹣3t）2=﹣72t2+50t﹣50．如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．综上所述：S=2229?(02)75050(210) 240400?(1020)t tt t tt t t⎧<≤⎪⎪-+-<≤⎨⎪-+<<⎪⎩．②如图7中，当0＜t≤5时，12t+3t=15，解得：t=307，此时S=100cm2，当5＜t＜20时，12t+20﹣t=15，解得：t=10，此时S=100．综上所述：当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．8．已知：BD 为⊙O 的直径，O 为圆心，点A 为圆上一点，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ，点C 为⊙O 上一点，且AB ＝AC ，连接BC 交AD 于点E ，连接AC ． (1)如图1，求证：∠ABF ＝∠ABC ；(2)如图2，点H 为⊙O 内部一点，连接OH ，CH 若∠OHC ＝∠HCA ＝90°时，求证：CH ＝12DA ； (3)在(2)的条件下，若OH ＝6，⊙O 的半径为10，求CE 的长．【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）215. 【解析】 【分析】()1由BD 为O 的直径，得到D ABD 90∠∠+=，根据切线的性质得到FBA ABD 90∠∠+=，根据等腰三角形的性质得到C ABC ∠∠=，等量代换即可得到结论；()2如图2，连接OC ，根据平行线的判定和性质得到ACO COH ∠∠=，根据等腰三角形的性质得到OBC OCB ∠∠=，ABC CBO ACB OCB ∠∠∠∠+=+，根据相似三角形的性质即可得到结论；()3根据相似三角形的性质得到AB BD 2OHOC==，根据勾股定理得到22AD BD AB 16=-=，根据全等三角形的性质得到BF BE =，AF AE =，根据射影定理得到212AF 916==，根据相交弦定理即可得到结论．【详解】()1BD 为O 的直径，90BAD ∴∠=，90D ABD ∴∠+∠=，FB 是O 的切线， 90FBD ∴∠=， 90FBA ABD ∴∠+∠=，FBA D ∴∠=∠， AB AC =，C ABC ∴∠=∠， CD ∠=∠，ABF ABC ∴∠=∠；()2如图2，连接OC ，90OHC HCA ∠=∠=，//AC OH ∴，ACO COH ∴∠=∠， OB OC =，OBC OCB ∴∠=∠，ABC CBO ACB OCB ∴∠+∠=∠+∠， 即ABD ACO ∠=∠， ABC COH ∴∠=∠，90H BAD ∠=∠=，ABD ∴∽HOC ， 2AD BD CH OC ∴==， 12CH DA ∴=； ()3由()2知，ABC ∽HOC ，2AB BDOH OC∴==， 6OH =，O 的半径为10，212AB OH ∴==，20BD =，2216AD BD AB ∴=-=，在ABF 与ABE 中，90ABF ABE AB AB BAF BAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ABF ∴≌ABE ，BF BE ∴=，AF AE =， 90FBD BAD ∠=∠=，2AB AF AD ∴=⋅，212916AF ∴==，9AE AF ∴==，7DE ∴=，2215BE AB AE =+=， AD ，BC 交于E ， AE DE BE CE ∴⋅=⋅，9721155AE DE CE BE ⋅⨯∴===．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，射影定理，相交弦定理，正确的识别图形是解题的关键．9．已知P 是O 的直径BA 延长线上的一个动点，∠P 的另一边交O 于点C 、D ，两点位于AB 的上方，AB ＝6，OP=m ，1sin 3P ＝，如图所示．另一个半径为6的1O 经过点C 、D ，圆心距1OO n ＝． （1）当m=6时，求线段CD 的长；（2）设圆心O 1在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；（3）△POO 1在点P 的运动过程中，是否能成为以OO 1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由．【答案】(1)CD=2523812n n- ;(3) n 9559155 【解析】分析：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．解Rt △POH ，得到OH 的长．由勾股定理得CH 的长，再由垂径定理即可得到结论； （2）解Rt △POH ，得到Rt 3mOH OCH ＝．在和Rt △1O CH 中，由勾股定理即可得到结论；（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时，分1OP OO ＝和11O P OO ＝．②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得结论． 详解：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．在Rt △1sin 63POH P PO =中，＝，，∴2OH =． ∵AB ＝6，∴3OC ＝． 由勾股定理得： 5CH = ∵OH ⊥DC ，∴225CD CH ==．（2）在Rt △1sin 3POH P PO m 中，＝，＝，∴3m OH ＝． 在Rt △OCH 中，2293m CH ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝． 在Rt △1O CH 中，22363m CH n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝． 可得： 2236933m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，解得23812n m n -：＝．（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况： ① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时i ）1OP OO ＝，即m n ＝，由23812n n n-＝，解得9n ：＝．即圆心距等于O 、1O 的半径的和，就有O 、1O 外切不合题意舍去．ii ）11O P OO ＝22233m m n m -+-（）（）n ＝，解得：23m n ＝，即23n 23812n n-＝，解得9155n ：＝． ②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得： 28132n m n-＝．∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即28132nn n-＝，解得955n ：＝． 综上所述：n 的值为955或9155． 点睛：本题是圆的综合题．考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形．解答（3）的关键是要分类讨论．10．如图，线段BC 所在的直线 是以AB 为直径的圆的切线，点D 为圆上一点，满足BD ＝BC ，且点C 、D 位于直径AB 的两侧，连接CD 交圆于点E . 点F 是BD 上一点，连接EF ，分别交AB 、BD 于点G 、H ，且EF ＝BD . (1)求证：EF ∥BC ；(2)若EH ＝4，HF ＝2，求BE 的长.【答案】(1)见解析；(2) 233π【解析】 【分析】（1）根据EF ＝BD 可得EF ＝BD ，进而得到BE DF ，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.（2）连接DF ，根据切线的性质及垂径定理求出GF 、GE 的长，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出∠BHG ，进而求出∠BDE 的度数，确定BE 所对的圆心角的度数，根据∠DFH ＝90°确定DE 为直径，代入弧长公式即可求解. 【详解】 (1)∵EF ＝BD ， ∴EF ＝BD ∴BEDF∴∠D＝∠DEF又BD＝BC，∴∠D＝∠C，∴∠DEF=∠CEF∥BC(2)∵AB是直径，BC为切线，∴AB⊥BC又EF∥BC，∴AB⊥EF，弧BF=弧BE,GF＝GE＝12(HF+EH)=3，HG=1DB平分∠EDF，又BF∥CD，∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝∠BFH ∴HB＝HF＝2∴cos∠BHG＝HGHB ＝12，∠BHG＝60°.∴∠FDB＝∠BDE＝30°∴∠DFH＝90°，DE为直径，DE＝43，且弧BE所对圆心角＝60°.∴弧BE＝16×43π＝233π【点睛】本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键.11．如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CD⊥AB，垂足为D．（1）求证：∠PCA＝∠ABC；（2）过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，交BC 于点M ，若∠CAB ＝2∠B ，CF ＝3，求阴影部分的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）6334π-.【解析】 【分析】（1）如图，连接OC ，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.（2）先求出△OCA 是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值，分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形 、ABM S ∆ 的值，利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形，然后通过计算即可解答.【详解】解：（1）证明：连接OC ，如图，∵PC 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥PC, ∴∠PCA+∠ACO=90º,∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º ∴∠PCA=∠OCB, ∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB, ∴∠PCA=∠ABC ； （2）连接OE ，如图，∵△ACB 中，∠ACB ＝90º,∠CAB ＝2∠B, ∴∠B ＝30º,∠CAB ＝60º,∴△OCA 是等边三角形， ∵CD ⊥AB,∴∠ACD+∠CAD ＝∠CAD ＋∠ABC ＝90º, ∴∠ACD ＝∠B ＝30º,∵PC ∥AE,∴∠PCA ＝∠CAE ＝30º,∴FC=FA, 同理，CF ＝FM,∴AM ＝2CF=3 Rt △ACM 中，易得AC=33=3＝OC,∵∠B ＝∠CAE ＝30º,∴∠AOC=∠COE=60º, ∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB, 连接OM,EG ⊥AB 交AB 于G 点，如图所示，∵OA=OB,∴MO ⊥AB,∴MO ＝OA×tan30º=3 , ∵△CDO ≌△EDO(AAS)， ∴EG=CD=AC×sin60º=332， ∴1332ABM S AB MO ∆=⨯=, 同样，易求934AOE S ∆=， 260333602BOES ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形=93363333424ππ-+-=. 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.12．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD =90°，AD 、BC 的延长线交于点F ，点E 在CF 上，且∠DEC =∠BAC ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）当AB =AC 时，若CE =2，EF =3，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（235． 【解析】【分析】（1）先判断出BD 是圆O 的直径，再判断出BD ⊥DE ，即可得出结论；（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F =∠EDF ，根据等腰三角形的判定得到DE =EF =3，根据勾股定理得到CD 225DE CE =-=，证明△CDE ∽△DBE ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）如图，连接BD ．∵∠BAD =90°，∴点O 必在BD 上，即：BD 是直径，∴∠BCD =90°，∴∠DEC +∠CDE =90°． ∵∠DEC =∠BAC ，∴∠BAC +∠CDE =90°．∵∠BAC =∠BDC ，∴∠BDC +∠CDE =90°，∴∠BDE =90°，即：BD ⊥DE ． ∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；（2）∵∠BAF =∠BDE =90°，∴∠F +∠ABC =∠FDE +∠ADB =90°． ∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．∵∠ADB =∠ACB ，∴∠F =∠FDE ，∴DE =EF =3． ∵CE =2，∠BCD =90°，∴∠DCE =90°，∴CD 225DE CE =-=．∵∠BDE =90°，CD ⊥BE ，∴∠DCE =∠BDE =90°． ∵∠DEC =∠BED ，∴△CDE ∽△DBE ，∴CD BD CE DE =，∴BD 533522⨯==，∴⊙O 的半径354=．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，求出DE =EF 是解答本题的关键．13．如图，等边△ABC 内接于⊙O ，P 是弧AB 上任一点（点P 不与A 、B 重合），连AP ，BP ，过C 作CM ∥BP 交PA 的延长线于点M ，（1）求证：△PCM 为等边三角形；（2）若PA ＝1，PB ＝2，求梯形PBCM 的面积．【答案】（1）见解析；（21534【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角，进而判定△PCM 为等边三角形；（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等，进而利用△PCM 为等边三角形，进而求得PH 的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可．【详解】（1）证明：作PH ⊥CM 于H ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠APC=∠ABC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，∵CM ∥BP ，∴∠BPC=∠PCM=60°，∴△PCM 为等边三角形；（2）解：∵△ABC 是等边三角形，△PCM 为等边三角形，∴∠PCA+∠ACM=∠BCP+∠PCA ，∴∠BCP=∠ACM ，在△BCP 和△ACM 中， BC AC BCP ACM CP CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCP ≌△ACM （SAS ），∴PB=AM ，∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，在Rt △PMH 中，∠MPH=30°，∴332∴S梯形PBCM=12（PB+CM）×PH=12×（2+3）×332=1534．【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题．14．如图，四边形为菱形，且，以为直径作，与交于点．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．(保留作图痕迹)(1)在如图中，过点作边上的高．(2)在如图中，过点作的切线，与交于点．【答案】(1)如图1所示．(答案不唯一),见解析；(2)如图2所示．(答案不唯一)，见解析.【解析】【分析】（1）连接AC交圆于一点F，连接PF交AB于点E,连接CE即为所求．（2）连接OF交BC于Q，连接PQ即为所求．【详解】(1)如图1所示．(答案不唯一)(2)如图2所示．(答案不唯一)【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形和圆的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15．在△ABC 中，0090,60ACB BAC ∠=∠=，AC=2，P 为△ABC 所在平面内一点，分别连PA,PB ,PC ．（1）如图1,已知，APB BPC APC ∠=∠=∠，以A 为旋转中心，将APB ∆顺时针旋转60度，得到AMN ∆.①请画出图形，并求证：C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上；②求PA+PB+PC 的值.（2）如图2，如果点P 满足090BPC ∠=，设Q 为AB 边中点，求PQ 的取值范围.【答案】（1）①详见解析；②7；（231312PQ PQ ≤≤≠且；【解析】【分析】（1）①欲证明C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上，只要证明∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°即可；②只要证明PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN ，在Rt △CBN 中，利用勾股定理求出NC 即可； （2）如图2中，由∠BPC=90°，推出点P 在以BC 为直径的圆上（P 不与B 、C 重合），设BC 的中点为O ，作直线OQ 交⊙O 与P 和P′，可得PQ 3-1，PQ 的最大值为3+1，PQ≠2，由此即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图，∵△APB≌△AMN，△APM是等边三角形，∴∠APM=∠APM=60°，∵∠APB=∠BPC=∠APC=120°，∴∠APB=∠BPC=∠APC=∠AMN=120°，∴∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°，∴C、P、M、N四点在同一条直线上；②解：连接BN,易得ΔABN是等边三角形∴∠ABN=60°，∵∠ABC=30°，∴∠NBC=90°，∵AC=2，∴AB=BN=4，BC=23，∵PA=PM，PB=MN，∴PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN，在Rt△CBN中，CN=22+=，BC BN27∴PA+PB+PC=27．(2) 如图2中，∵∠BPC=90°，∴点P在以BC为直径的圆上（P不与B、C重合），设BC的中点为O，作直线OQ交⊙O与P和P′，可得PQ3-1，PQ3+1，PQ≠2，∴33+1且PQ≠2．且∴≤≤≠PQ1PQ1PQ2【点睛】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。
初三上册培优数学试卷答案
1. 已知a > 0，b < 0，则下列不等式中正确的是（）A. a + b > 0B. a - b > 0C. -a - b > 0D. -a + b > 0答案：C2. 若x^2 - 2x - 3 = 0，则x的值为（）A. 3B. -1C. 3 或 -1D. 3 或 1答案：C3. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°答案：D4. 已知一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的判别式为Δ = b^2 - 4ac，若Δ = 0，则该方程有两个（）A. 相等的实数根B. 不相等的实数根C. 无实数根D. 有两个复数根答案：A5. 已知x + y = 5，xy = 6，则x^2 + y^2的值为（）A. 11B. 21C. 25D. 36答案：B二、填空题（每题5分，共50分）6. 若x^2 - 5x + 6 = 0，则x的值为______。
答案：2 或 37. 在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 45°，则∠C的度数为______。
答案：105°8. 若一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的判别式为Δ = 0，则该方程有两个______。
答案：相等的实数根9. 已知x + y = 5，xy = 6，则x^2 + y^2的值为______。
答案：2110. 若x^2 - 4x + 3 = 0，则x的值为______。
答案：1 或 3三、解答题（每题10分，共30分）11. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。
解答：将方程因式分解得：(2x + 1)(x - 2) = 0，解得x = -1/2 或 x = 2。
12. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，求∠C的度数。
初三数学实验班培优题
第 1 页 共 3 页初三数学实验班培优题（附答案） 一、选择题 1、设532x -=，则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为（ C ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．22、对于任意实数,,,a b c d ，定义有序实数对(,)a b 与(,)c d 之间的运算“△”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd ad bc ∆=++。
如果对于任意实数,u v ，都有(,)(,)(,)u v x y u v ∆=，那么(,)x y 为（ B ）。
A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(1,0)- D ．(0,1)-3、已知,A B 是两个锐角，且满足225sin cos 4A B t +=，2223cos sin 4A B t +=，则实数t 所有可能值的和为（ C ）A ．83-B ．53-C ．1D ．1134、如图，点,D E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，BE ，CD 相交于点F ，设1EADF S S 四边形＝，BDF 2S S ∆＝，BCF 3S S ∆＝，CEF 4S S ∆＝，则13S S 与24S S 的大小关系为（ C ） A ．13S S ＜24S S B ．13S S ＝24S S C ．13S S ＞24S S D ．不能确定5、设33331111S 1232011＝＋＋＋＋，则4S 的整数部分等于（ A ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 二、填空题6、两条直角边长分别是整数,a b （其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为＿＿31＿＿。
7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。
同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是＿＿＿＿。
91 8、如图，双曲线2(0)y x x=>与矩形OABC 的边CB ，BA 分别交于点E ，F 且AF ＝BF ，连接EF ，则AB CEDFyxCA B EFO第 2 页 共 3 页△OEF 的面积为＿＿＿＿＿；23三、解答题9、已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值。
初三数学培优试题及答案
初三数学培优试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数不是实数？A. πB. -3C. √2D. i2. 如果一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 100πD. 125π3. 已知a=3，b=2，求下列表达式的值：a^2 + b^2A. 13B. 17C. 19D. 214. 一个数的平方根等于它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 45. 下列哪个是二次方程的解？A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = 3（方程为：x^2 - 4x + 4 = 0）二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是______。
7. 一个正数的倒数是1/8，这个数是______。
8. 如果一个数的立方等于-27，那么这个数是______。
9. 一个数的绝对值是5，这个数可以是______或______。
10. 一个二次方程的判别式是36，那么这个方程的根的情况是______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 解方程：2x^2 - 5x - 3 = 0。
12. 证明：如果一个三角形的两边长度分别为a和b，且a < b，那么这个三角形的周长P满足P > 2a。
13. 一个工厂每天可以生产x个产品，每个产品的成本是c元，销售价格是p元。
如果工厂每天的利润是y元，写出y关于x的函数表达式。
四、综合题（每题15分，共20分）14. 一个圆的半径是7，圆心到一个点A的距离是5。
如果点A在圆内，求点A到圆上任意一点B的距离的最大值和最小值。
15. 一个班级有50名学生，其中30名学生喜欢数学，20名学生喜欢英语。
如果一个学生至少喜欢一门科目，求这个班级中同时喜欢数学和英语的学生人数的范围。
答案：一、选择题1. D2. B3. C4. A5. D二、填空题6. 5（根据勾股定理）7. 8（倒数的定义）8. -3（立方根的定义）9. 5，-5（绝对值的定义）10. 有两个不相等的实数根（判别式的定义）三、解答题11. 解：2x^2 - 5x - 3 = 0，使用求根公式，得到x1 = (5 + √41) / 4，x2 = (5 - √41) / 4。
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C A BD初三数学培优练习题131、自然数4、5、5、x 、y 从小到大排列后，其中位数．．．为4，如果这组数据唯一．．的众数是5,那么，所有满足条件的x 、y 中，y x +的最大值是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）62、两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是:1p ，而在另一个瓶子中是:1q ，若把两瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精与水的容积之比是（ ）A ．2p q+B ．22p q p q++C ．2pqp q+ D ．22p q pqp q ++++3．由325x y a x y a x y a m-=+⎧⎪+=⎪⎨>⎪⎪>⎩得a>－3,则m 的取值范围是（ ）A m>－3B m ≥－3C m ≤－3D m<－34、在ABC ∆中，b CA c AB a BC ===,,。
且a 、b 、c 满足：2382-=-b a ，34102-=-c b ，762=-a c 。
则=+B A sin sin 2 （ ）A ．1B ．57C ．2D ．5125．将一副三角板如下图摆放在一起，连结AD ，则ADB ∠的正切值为( ) A1 B1 C6．给出下列四个命题：（1）如果某圆锥的侧面展开图是半圆，则其轴截面一定是等边三角形；（2）若点A 在直线y =2x -3上，且点A 到两坐标轴的距离相等，则点A 在第一或第四象限； （3）半径为5的圆中，弦AB=8，则圆周上到直线AB 的距离为2的点共有四个； （4）若A （a ，m ）、B （a –1，n ）(a >0)在反比例函数xy 4=的图象上，则m <n . 其中，正确命题的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个 D ． 4个7．已知抛物线y=ax 2+2ax+4(0<a<3)，A （x 1，y 1），B(x 2，y 2)是抛物线上两点，若x 1<x 2， 且x 1+x 2=1－a ，则（ ）A y 1< y 2B y 1= y 2C y 1> y 2D y 1与y 2的大小不能确定8． 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示方向经过点B 跑到点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t （单位：秒），他与教练的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（ ） A ．点M B ．点N C ．点P D ．点Q9、已知方程121011x x x x m -+-+-+-=无解，则实数m 的取值范围是 ．10．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝60°， AD ＝DC ＝10，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE ＝4，BF ＝x ，设四边形DEFC 的面积为y ，则y 关于x 的函数关系式是（不必写自变量的取值范围）．11．如图，对面积为1的 ABCD 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB 、BC 、CD 、DA 至点A 1、B 1、C 1、D 1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1D =2CD ，D 1A =2AD ，顺次连接A 1、B 1、C 1、D 1，得到 A 1B 1C 1 D 1，记其面积为S 1；第二次操作，分别延长A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1至点A 2、B 2、C 2、D 2，使得A 2B 1=2A 1B 1，B 2C 1=2B 1C 1，C 2D 1=2C 1D 1，D 2A 1=2A 1D 1，顺次连接A 2、B 2、C 2、D 2记其面积为S 2；…；按此规律继续下去，可得到 A 5B 5C 5D 5，则其面积S 5=__ _ ．12、如右图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝1， BC ＝3，CD ＝4，EF 是梯形的中位线，DH 为梯形的高， 则下列结论正确的有 （填序号）． ①四边形EHCF 为菱形； ②∠BCD=60°；③12BEH CEH S S =△△； ④以AB 为直径的圆与CD 相切于点F ． 13、如图所示，已知Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，D ，E ，F 分别是三边AB ，BC ，AC 上的点，则DE ＋EF ＋FD 的最小值为_____ __． 14. 如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点，正方形DEFG 的一边DG 在直径AB 上，另一边DE 过ΔABC 的内切圆圆心O ，且点E 在半圆弧上 .①若正方形的顶点F 也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是______________；②若正方形DEFG 的面积为100，且ΔABC 的内切圆半径r =4，则半圆的直径AB = __________ .ABCEFDH FEDCBA CDAA1B1C1BD C BA FE15、某商场在促销期间规定：商场所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，可按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。
例如，购买价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠为：400×0.2＋30 = 110（元）。
（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在500≤w ＜800（元）的商品，顾客购买标价为多少元商品，可得到不小于31的优惠率。
16、如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形ABCD 的边AD 与x 轴的正半轴重合，另三边都在第四象限内，已知点A （1，0），AB=2，AD=3，点E 为OD 的中点，以AD 为直径作⊙M ，经过A 、D 两点的抛物线y= ax 2＋b x ＋c 的顶点为P 。
（1）求经过C 、E 两点的直线的解析式；（2）如果点P 同时在⊙M 和矩形ABCD 内部， 求a 的取值范围；（3）过点B 作⊙M 的切线交边CD 于F 点，当PF ∥AD 时，判断直线CE 与y 轴的交点是否在抛物线上，并说明理由。
试问商品的标价购买商品获得的优惠额率设购买商品得到的优惠.17、把两块全等的直角三角形ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与 三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中90ABC DEF ∠=∠=o，45C F ∠=∠=o，4AB DE ==，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．（1）如图1，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证APD CDQ △∽△．此时，AP CQ =·____________．（2）将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转如图2，设旋转角为α．其中090α<<oo，问AP CQ ·的值是否改变？说明你的理由．（3）在（2）的条件下，设CQ x =，两块三角板重叠面积为y ，求y 与x 的函数关系式．18、如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A C ，在坐标轴上，80cm OA =，60cm OC =．动点P 从点O 出发，以5cm/s 的速度沿y 轴匀速向点A 运动，到达点A 即停止．设点P 运动的时间为(s)t ． （1）过点P 作对角线OB 的垂线，垂足为点T ．求OPT ∆的面积y 与时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； （2）在点P 运动过程中，当点O 关于直线CP 的对称点O '恰好落在对角线OB 上时，求此时直线CP 的函数解析式；（3）探索：以C P T ，，三点为顶点的CPT △的面积能否达到矩形OABC 面积的980？请说明理由．ＢＥ E图1 图2 图3参考答案1、C ，2．答案：D ，由比例性质，21111211p q p q pq p q p q p q+++++=+++++3、C ，4、C ，5、D ，6、B ，7、A ，8、D9．答案：m<18，由绝对值的几何意义知，函数||||||()y x a x b a b a b =-+-≥-<当且 仅当a xb ≤≤时等号成立，∴121011(111)(210)y x x x x x x x x =-+-+-+-=-+-+-+-|111||210|18≥-+-=，当且仅当210x ≤≤时等号成立．故由方程121011x x x x m -+-+-+-=无解，得18m <．10、35534+-=x y , 11、135或371293, 12、①②③S △CEH =21CH?EB= 21×2×EB=EB ， ∴S △BEH = 21S △CEH ．以AB 的直径的圆的半径为3，而EF=2，R≠EF ．所以AB 为直径的圆与CD 不相切于点F ． 则①②③正确．故选B ． 13、52413、分析：作F 关于AB 、BC 的对称点F ′、F ″，作AC 关于AB 、BC 的对称线段，可以发现F ′，F ″是一个菱形对边上的关于中心B 对称的对称点．容易发现，F ′F ″的最短距离就是菱形对边的距离，也就是菱形的高．根据菱形的性质即可求出DE+EF+FD 的最小值． 解答：解：作F 关于AB 、BC 的对称点F ′、F ″ 则FD=F ′D ，FE=F ″E ． DE+EF+FD=DE+F ′D+F ″E ．两点之间线段最短，可知当F 固定时，DE+F ′D+F ″E 的最小值就是线段F ′F ″的长．于是问题转化：F 运动时，F ′F ″什么时候最短． F ′，F ″是关于B 点对称的．作AC 关于AB 、BC 的对称线段，可以发现F ′，F ″是一个菱形对边上的关于中心B 对称的对称点．很容易发现，F ′F ″的最短距离就是菱形对边的距离，也就是菱形的高．=5x, x=，高是， 故DE+EF+FD 的最小值为，此时F 在斜边上的高的垂足点，D 、E 在B 点．点评：本题考查菱形的判定和性质及轴对称--最短路线问题的综合应用，有一定的难度．关键是确定F 在斜边上的高的垂足点，D 、E 在B 点．14、①5∶2 ；②2115、解（1）%3310001302.01000=+⨯（2）商品的标价为x 元，则800500≤≤x ，消费额：6408.0400≤≤x ，由已知得⎪⎩⎪⎨⎧<≤≥+5008.040031602.0)(x x x Ⅰ 或⎪⎩⎪⎨⎧<≤≥+6408.0500311002.0)(x x x Ⅱ 不等式（Ⅰ）无解，不等式（Ⅱ）的解为750625≤≤x因此，当顾客购买标价在750625≤≤x 元内的商品时，可得到不小于31的优惠率。