2020届河北省石家庄二中高三(3月份)高考热身数学(文)试题(解析版)
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2020届河北省石家庄二中高三（3月份）高考热身数学（文）
试题
一、单选题 1．已知复数21i
z i
=+（i 为虚数单位），则z z ⋅=（ ）
A B ．2
C ．1
D ．
12
【答案】B
【解析】求出复数的模，利用复数的性质即可求解. 【详解】
由题意知21i z i =
==+ 利用性质2
z z z ⋅=，得2z z ⋅=， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了复数的模、复数的性质，考查了基本运算能力，属于基础题.
2．已知集合{
|A x Z y =∈=，{B a =，1}，若A B B =，则实数a 的
值为（ ） A ．2 B ．3 C ．1或2或3 D ．2或3
【答案】D
【解析】求出集合A 中的元素，再根据集合的运算结果可得B A ⊆，进而可求出实数a 的值. 【详解】
解：{}2
{|430}{|13}1,2,3A x Z x x x Z x =∈--≥=∈≤≤=，且{},1B a =，
由A B B =，知B A ⊆，则实数a 的值为2或3.
故选：D ． 【点睛】
本题考查根据集合的运算结果求参数值，考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，属于基础题.
3．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可． 【详解】
∵a ，b ∈（1，+∞）， ∴a ＞b ⇒log a b ＜1， log a b ＜1⇒a ＞b ，
∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件， 故选C ． 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键． 4．已知0a b >>，1c >，则下列各式成立的是（ ） A ．sin sin a b > B ．a b c c > C ．c c a b <
D ．
11
c c b a
--<
【答案】B
【解析】根据指数函数(1)x
y c c =>为增函数可得. 【详解】
解：因为1c >，x
y c =为增函数，且a b >，所以a b c c >， 故选：B. 【点睛】
本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属于基础题. 5．若3
cos()45
π
α-=，则sin 2α=（ ） A ．
7
25
B ．15
C ．15-
D ．7
25
-
【答案】D
【解析】试题分析：2
237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=--=⨯-=-
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 且cos 2cos 2sin 24
2ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤
-=-=
⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.
【考点】三角恒等变换
【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：
（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．
6．某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是腰长为2的等腰直角三角形，该几何体的外接球的体积等于（ ）
A ．43π
B ．
323
π C ．4π D ．
82
3
π 【答案】A
【解析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为四棱锥，底面是边长为2的三角形. 【详解】
由三视图知该几何体的直观图放在正方体中是如图所示的三棱锥A BCD -， 其外接球就是正方体的外接球．设外接球的半径为R ，
因为正方体的棱长为2，其体对角线为外接球的直径，即223R =，
所以外接球的体积()
3
344
34333
V R ππ
π===．
故选：A ．
【点睛】
思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则.
7．数列{}n a 是等差数列，11a =，公差[1d ∈，2]，且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为（ ）
A．7
2
B．
53
19
C．
23
19
-D．
1
2
-
【答案】D
【解析】利用等差数列通项公式推导出
1318
19
d
d
λ
-
=
+
，由[1
d∈，2]，能求出实数λ取最大值.
【详解】
数列{}n a是等差数列，11
a=，公差[1
d∈，2]，且
41016
15
a a a
λ
++=，
13(19)11515
d d d
λ
∴+++++=，
解得
1318
19
d
d
λ
-
=
+
，
[1
d∈，2]，
131815
2
1919
d
d d
λ
-
==-+
++
是减函数，
1
d
∴=时，实数λ取最大值为
13181
192
λ
-
==-
+
.
故选：D.
【点睛】
本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
8．已知x，y满足条件
{
20
x
y x
x y k
≥
≤
++≤
(k为常数)，若目标函数z＝x＋3y的最大值为8，则k＝()
A．－16 B．－6 C．-
8
3
D．6
【答案】B
【解析】【详解】
由z＝x＋3y得y＝－
1
3
x＋
3
z
，先作出
{
x
y x
≥
≤
的图象，如图所示，
因为目标函数z＝x＋3y的最大值为8，所以x＋3y＝8与直线y＝x的交点为C，解得
C(2,2)，代入直线2x＋y＋k＝0，得k＝－6.