边界层气象学课件：CH01_2湍流统计描述
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u u u', v v v', w w w',......
(A) (A a' ) (A) a' A a' (Ba' ) Ba' B 0 0
a' 0
( A B) ( A a' )(B b' )
( AB a' B Ab'a' b' )
( AB) (a' B) ( Ab' ) (a' b' )
N 1
u'i2
i0
u'2
方
差
2 v
1 N
N 1
v'i2
i0
v'2
2 w
1 N
N 1
w'i 2
i0
w'2
Iu
u
U
湍 流 强
Iv
v
U
度 ， 也
Iw
w
U
叫 阵 风
度
U ：为水平风速模量
平均风与风速标准差
2、协方差、互相关系数
2 AB
1 N
N 1
a'i b'i
i0
a' b'
RAB
a' b'
A B
达式简化为:
r0
r0+r
f (r) a'P a'Q
欧拉空间自相关系数定义为：
R(r) 1 a'2
a'P a'Q
同理可以定义欧拉时间自相关函数、自相关系数，对某个固定 点的观测：
f (t,t0 ) a' (t0 t)a' (t0 )
对于平稳湍流，时间相关函数应与时间的起点无关，时间相关 函数和自相关系数简化为：
f (t) a' (t0 t)a' (t0)
R(t) a' (t0 t)a' (t0 ) a'2
根据泰勒假说，作 r ut 变换，空间相关和时间相关有：
f (r) f (ut)
湍流是连续流体运动的一种形式，在一个不太长的空间距离内或 一段不太长的时间内，涨落量可以保持一定程度的相关，随着距 离或时间的加长，相关的程度将逐渐降低。相关系数是距离或时 间的连续函数，图给出两种常见的相关系数曲线形式。相关系数 有何特征？
CH01. 大气湍流基础 二、湍流统计描述
1、Taylor冻型湍流假说 2、平均量和平均法则 3、湍流统计参数
1、Taylor冻型湍流假说
问题：假如满足Taylor假说，那么气象塔的气温变化趋势如何？
T u T v T w T
t
x y z
T u T 0.5 ℃/s
t
x
问题：什么条件下，满足Taylor假说？
t _
A(s)
1
N 1
t_
A(i, s),or, A(s)
1
P
A(t, s)dt
N i0
P0
s_
A(t)
1
N 1
A(t,
s_
j),or, A(t)
1
S
A(t, s)ds
N j0
S0
e _
A(t, s)
wenku.baidu.com1 N
N 1
Ai (t, s)
i0
什么条件下时间平均、空间平均和系综平均等同？
For turbulence that is both homogeneous and stationary (statistically not changing over time), the time, space and ensemble averages should all be equal. This is called the ergodic condition, which is often assumed to make the turbulence problem more tractable
两个变量的协方差 两个变量的互相关系数
u' v', u' w', w'T ', w' ', w' q', w'CO2', ...
Problem. Suppose that we erect a short mast instrumented with anemometers to measure the U and W wind components. We record the instantaneous wind speeds every 6 s for a minute, resulting in the following 10 pairs of wind observations: Find the mean, biased variance, and standard deviation for each wind component. Also, find the covariance and correlation coefficient between U and W.
平均法则及雷诺平均
A, B 为两个变量：
1 N 1
(A
B)
N
( Ai
i0
Bi )
1 N
N 1
( Ai
i0
N 1
Bi )
i0
1 N
N 1
Ai
i0
1 N
N 1
Bi
i0
AB
( A
B)
1
P
(A
B)dt
P0
1
P
(
Adt
P
Bdt)
P0
0
1
P
Adt
1
P
Bdt
P0
P0
AB
A、B为两个变量，c为常量：平均法则总结：
cc (cA) c A ( A) A ( AB) AB (A B) A B dA d A dt dt
dA dt
dA dt
时间变量的局地变化率等于平均变量的时间变 化！做为思考题，请自行证明。
雷诺（Reynolds）平均
将平均法则应用于雷诺平均：一个变量分解为平均部分和脉动部 分！
描述小涡的一种近似，当大涡（约>100m）时，因风速不总是 相等，一般不满足此假说。若用统计参数描述，则为：风速标 准差要小于平均风速的一半，
u 0.5u
2、平均量和平均法则
上图是什么平均？还有哪些平均方法？ 为什么要这么做？ 这些平均方法有何不同？ 或者这些平均方法在什么条件是等同的？
关于时间平均、空间平均和系综平均：
AB 0 0 a'b'
AB a' b'
a'b' 0 ?
3、湍流统计参数
1、风速方差、风速标准差、湍流强度、 2、协方差、互相关系数、 3、自相关函数、自相关系数 4、湍流尺度：积分尺度、Taylor微尺度 5、湍流动能、湍流能谱密度
1、风速方差、风速标准差、湍流强度
风
速
2 u
1 N
U风速和W风速有很强的负相关，为什么？
3、自相关函数、自相关系数
空间两点湍流涨落值的乘积平均称欧拉空间自相关函数，设r0 , r0+r为P,Q两点的坐标，则有：
f (r,r0 ) a' (r0 r)a' (r0 )
P
r
其中a表示湍流涨落值。湍流
是均匀的且其湍流特征和P,Q连
Q
线取向无关时，相关函数的表
(A) (A a' ) (A) a' A a' (Ba' ) Ba' B 0 0
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( A B) ( A a' )(B b' )
( AB a' B Ab'a' b' )
( AB) (a' B) ( Ab' ) (a' b' )
N 1
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2 v
1 N
N 1
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U
湍 流 强
Iv
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U
度 ， 也
Iw
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U
叫 阵 风
度
U ：为水平风速模量
平均风与风速标准差
2、协方差、互相关系数
2 AB
1 N
N 1
a'i b'i
i0
a' b'
RAB
a' b'
A B
达式简化为:
r0
r0+r
f (r) a'P a'Q
欧拉空间自相关系数定义为：
R(r) 1 a'2
a'P a'Q
同理可以定义欧拉时间自相关函数、自相关系数，对某个固定 点的观测：
f (t,t0 ) a' (t0 t)a' (t0 )
对于平稳湍流，时间相关函数应与时间的起点无关，时间相关 函数和自相关系数简化为：
f (t) a' (t0 t)a' (t0)
R(t) a' (t0 t)a' (t0 ) a'2
根据泰勒假说，作 r ut 变换，空间相关和时间相关有：
f (r) f (ut)
湍流是连续流体运动的一种形式，在一个不太长的空间距离内或 一段不太长的时间内，涨落量可以保持一定程度的相关，随着距 离或时间的加长，相关的程度将逐渐降低。相关系数是距离或时 间的连续函数，图给出两种常见的相关系数曲线形式。相关系数 有何特征？
CH01. 大气湍流基础 二、湍流统计描述
1、Taylor冻型湍流假说 2、平均量和平均法则 3、湍流统计参数
1、Taylor冻型湍流假说
问题：假如满足Taylor假说，那么气象塔的气温变化趋势如何？
T u T v T w T
t
x y z
T u T 0.5 ℃/s
t
x
问题：什么条件下，满足Taylor假说？
t _
A(s)
1
N 1
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A(i, s),or, A(s)
1
P
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1
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wenku.baidu.com1 N
N 1
Ai (t, s)
i0
什么条件下时间平均、空间平均和系综平均等同？
For turbulence that is both homogeneous and stationary (statistically not changing over time), the time, space and ensemble averages should all be equal. This is called the ergodic condition, which is often assumed to make the turbulence problem more tractable
两个变量的协方差 两个变量的互相关系数
u' v', u' w', w'T ', w' ', w' q', w'CO2', ...
Problem. Suppose that we erect a short mast instrumented with anemometers to measure the U and W wind components. We record the instantaneous wind speeds every 6 s for a minute, resulting in the following 10 pairs of wind observations: Find the mean, biased variance, and standard deviation for each wind component. Also, find the covariance and correlation coefficient between U and W.
平均法则及雷诺平均
A, B 为两个变量：
1 N 1
(A
B)
N
( Ai
i0
Bi )
1 N
N 1
( Ai
i0
N 1
Bi )
i0
1 N
N 1
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1 N
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( A
B)
1
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Adt
P
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1
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1
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A、B为两个变量，c为常量：平均法则总结：
cc (cA) c A ( A) A ( AB) AB (A B) A B dA d A dt dt
dA dt
dA dt
时间变量的局地变化率等于平均变量的时间变 化！做为思考题，请自行证明。
雷诺（Reynolds）平均
将平均法则应用于雷诺平均：一个变量分解为平均部分和脉动部 分！
描述小涡的一种近似，当大涡（约>100m）时，因风速不总是 相等，一般不满足此假说。若用统计参数描述，则为：风速标 准差要小于平均风速的一半，
u 0.5u
2、平均量和平均法则
上图是什么平均？还有哪些平均方法？ 为什么要这么做？ 这些平均方法有何不同？ 或者这些平均方法在什么条件是等同的？
关于时间平均、空间平均和系综平均：
AB 0 0 a'b'
AB a' b'
a'b' 0 ?
3、湍流统计参数
1、风速方差、风速标准差、湍流强度、 2、协方差、互相关系数、 3、自相关函数、自相关系数 4、湍流尺度：积分尺度、Taylor微尺度 5、湍流动能、湍流能谱密度
1、风速方差、风速标准差、湍流强度
风
速
2 u
1 N
U风速和W风速有很强的负相关，为什么？
3、自相关函数、自相关系数
空间两点湍流涨落值的乘积平均称欧拉空间自相关函数，设r0 , r0+r为P,Q两点的坐标，则有：
f (r,r0 ) a' (r0 r)a' (r0 )
P
r
其中a表示湍流涨落值。湍流
是均匀的且其湍流特征和P,Q连
Q
线取向无关时，相关函数的表