函数与导数专题练习
导数的计算练习题及答案
导数的计算练习题及答案1. 计算函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)。
解答：根据函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2，使用导数的定义来计算导数f'(x)。
f'(x) = lim(delta x -> 0) (f(x + delta x) - f(x)) / delta x代入函数f(x)的表达式：f'(x) = lim(delta x -> 0) [(3(x + delta x)^2 - 4(x + delta x) + 2) -(3x^2 - 4x + 2)] / delta x化简并展开：f'(x) = lim(delta x -> 0) [3(x^2 + 2x * delta x + (delta x)^2) - 4x - 4 * delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [3x^2 + 6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4x - 4* delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4 * delta x] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x + 3 * delta x - 4]由于求导数时delta x趋近于0，所以delta x也可以看作一个无穷小量，其平方项可以忽略不计，即delta x^2 = 0。
化简结果：f'(x) = 6x - 4所以函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)为6x - 4。
2. 计算函数g(x) = 2sin(x) + 3cos(x)的导数g'(x)。
函数与导数练习题有标准答案.doc
函数与导数练习题（高二理科）1．下列各组函数是同一函数的是（ ）① f ( x)2x 3 与 g (x) x2x ；② f ( x)x 与 g( x)x 2 ；③ f (x) x 0与 g ( x)1；④ f ( x) x 2 2x 1 与 g(t ) t 22t 1 .A 、①②Bx 0CD、①③、③④ 、①④2．函数 yx4的定义域为 .x 23．若 f (x) 是一次函数，f [ f ( x)] 4x 1 且，则 f ( x) =.4．如果函数 f ( x)x 2 2( a 1) x 2 在区间,4 上单调递减，那么实数 a 的取值范围是（）A 、 a ≤ 3B 、 a ≥ 3C、 a ≤ 5D、 a ≥ 55．下列函数中，在0,2 上为增函数的是（）A ． ylog 1 (x1) B ． y log 2 x21C ． ylog 21D ． y log 1 ( x 24x 5)2x26．yf ( x) 的图象关于直线 x1对称，且当 x 0 时， f (x)1, 则当 x2 时， f (x).x7．函数 f ( x)ax 1在区间 ( 2, ) 上为增函数，则 a 的取值范围是.x 28．偶函数f ( x) 在）上是减函数，若f (-1)f (lg x) ，则实数 x 的取值范围是．（ - ，09．若 lg xlg y a,则 lg( x)3lg( y)3（）22A ． 3aB ． 3aC ． aD ．a2210．若定义运算 abba b，则函数 f x log 2 x log 1 x 的值域是（）aa b2A 0,B0,1 C 1,DR11．函数 ya x 在[ 0,1] 上的最大值与最小值的和为 3，则 a （）A ．1B ． 2C．4D．12412．已知幂函数 y f ( x) 的图象过点 (2, 2 ),则 f (9) .13．已知 x 1 是方程 x lg x 3 的根， x 2 是方程 x 10 x3 的根，则 x 1 x 2 值为.14．函数 y 2 x 12, x (,2]的值域为.15．设f ( x) 2e x 1, x＜ 2，. log 3 ( x2则 f ( f (2))的值为1)， x 2.16．若f (52 x 1) x 2 ，则 f (125) .17．根据表格中的数据，可以断定方程e x x 2 0的一个根所在的区间是（）x － 1 0 1 2 3e x 0.37 1 2.72 7.39 20.09x 2 1 2 3 4 5 A．（－ 1，0）B．（ 0， 1）C．（ 1，2） D．（2， 3）18．若一次函数f ( x) ax b有一个零点2，那么函数g( x) bx2 ax 的零点是. 19．关于x的方程| x2 4x 3 | a 0 有三个不相等的实数根，则实数 a 的值是.20．关于x的方程(1)x11 有正根，则实数 a 的取值范围是.2 lg a21．设f '( x)是函数f ( x) 的导函数，将y f (x) 和 y f '(x) 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A B C D22．函数 f ( x) 2x2 1 x3在区间 [0 , 6] 上的最大值是．323．曲线y x 3在点1,1 处的切线与 x 轴、直线x 2 所围成的三角形的面积为. 24．直线y 1 x b 是曲线 y ln x x 0 的一条切线，则实数 b ．24 x2 (x 0)25．已知函数 f x 2( x 0) ，1 2x( x 0)（ 1）画出函数 f x 图像；（ 2）求f a2 1 (a R), f f 3 的值；（ 3）当 4 x 3 时，求 f x 取值的集合 .26．已知函数f (x) x 3 3x 2 9x a.（ 1）求f (x)的单调减区间；（ 2）若f (x)在区间 [ － 2， 2] ．上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．27．已知函数f x x3 ax2 bx c 在,0 上是减函数，在0,1 上是增函数，函数 f x 在 R（ 1）求 b 的值； （ 2）求 f 2 的取值范围；（ 3）试探究直线 y x1与函数 y f x 的图像交点个数的情况，并说明理由．28．已知函数 fxe xx 2 ax 1，（其中 a R ． 无理数 e 2.71828L ）2（ 1）若 a1时，求曲线 yf ( x) 在点 1, f (1) 处的切线方程；2（ 2）当 x1时，若关于 x 的不等式 f x 0 恒成立，试求 a 的最大值．229．设 f ( x) e x ( ax 2x 1)，且曲线 y f (x) 在 x 1处的切线与 x 轴平行．（ 1）求 a 的值，并讨论 f ( x) 的单调性；（ 2）证明：当[ 0, ] 时， f (cos ) f (sin ) 2 ．2 a 30．已知函数 f (x)ln x R ) ．x (a1（ 1）当 a9时，如果函数 g( x)f ( x) k 仅有一个零点，求实数 k 的取值范围；2（ 2）当 a2 时，试比较 f (x) 与 1的大小；（ 3）求证： ln( n 1)1 1 1 1 （ n N * ）．3 5 72n 1《函数与导数练习题》参考答案1．C ； 2． { x x4 且 x2} ； 3． 2x1 或 2x 1； 4． A ； 5． D ；6． 1 ；113x 27． a； 8． (0, ) (10, ) ； 9． 3a ； 10．A ； 11． B ； 12． 3 ； 13． 3 ；2 10 1 1,10) ；14． ( 2,0] ； 15． 2 ； 16． 0 ； 17． C ； 18． 和 0 ； 19． ； 20． (2 1 1021． D ； 22．32； 23． 8；3324． ln 2 1；25．（ 1）如右图所示。
高考数学函数与导数基础练习50题
高考数学函数与导数基础练习1．已知1122log log a b <，则以下不等式一定成立的是〔 〕〔A 〕11()()43a b < 〔B 〕11a b> 〔C 〕ln()0a b -> 〔D 〕31a b -<2．以下函数中，在()0,+∞上单调递增，并且是偶函数的是〔 〕 〔A 〕2y x = 〔B 〕3y x =- 〔C 〕lg y x =- 〔D 〕2xy =3．假设，，，则当x>1时，a,b,c 的大小关系是〔 〕〔A 〕c a b << 〔B 〕c b a << 〔C 〕a b c << 〔D 〕a c b << 4．以下函数中，奇函数是〔 〕A ．xx f 2)(= B ．x x f 2log )(= C ．1sin )(+=x x f D ．x x x f tan sin )(+= 5．函数))(()(b x a x x f --=〔其中a b >〕的图象如右图所示，则函数()xg x a b =+ 的大致图象是〔 〕6．以下函数中，既是偶函数，又在区间),0(+∞上单调递减的函数为〔 〕 A ．xy 1ln= B ．3x y = C ．x y 10= D ．x y cos = 7． 设定义在R 上的奇函数()f x 满足)0(4)(2>-=x x x f ，则0)2(>-x f 的解集为( ) A ．(4,0)(2,)-+∞ B ．(0,2)(4,)+∞ C ．(,0)(4,)-∞+∞ D ．(4,4)-8． 方程2log 2=+x x 的解所在的区间为〔 〕A ．)1,5.0(B ．)5.1,1(C ．)2,5.1(D ．)5.2,2(xy ． ． 1-1O ()f x9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则(8)f -值为 〔 〕A.3B.13 C.13- D.3-10．已知⎩⎨⎧∉+∈+=R x x i Rx x x f ,)1(,1)(，则=-))1((i f f 〔 〕A.2i -B.1C.3D.3i +11．函数321x x y =-的图象大致是〔 〕12．假设曲线b ax x y ++=2在点）（b ,0处的切线方程是01=+-y x ，则( )A ．1,1==b aB ．1,1=-=b aC ．1,1-==b aD ．1,1-=-=b a 13．以下求导运算正确的选项是( ) A ．2'31)3(x x x +=+ B ．2ln 1)(log '2x x = C ．e x x 3'log 3)3(= D ．x x x x sin 2)cos ('2-=14．已知函数log ,log ,log a b c y x y x y x ===的图像如图，则〔 〕A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b >> 15．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x R ∈都有()(4)f x f x =+，当(2,0)x ∈-时，()2x f x =，则(2015)(2014)f f -的值为〔 〕A ．12- B ．12 C ．2 D ．2-16．函数22lg(1)()2x f x x x -=-++的定义域为〔 〕A ．(,2)(1,)-∞-+∞B ．(2,1)-C ．(,1)(2,)-∞-+∞D ．(1,2)17．函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是 〔 〕18．设7log 3=a ，1.12=b ，1.38.0=c ，则〔 〕A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c << 19．已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则〔 〕 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>20．函数223,0()2ln ,0⎧+-≤=⎨-+>⎩x x x f x x x 的零点个数为〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．321．以下函数中，在区间(0,)+∞为增函数的是〔 〕 A ．1y x =+．2(1)y x =- C ．2x y -= D ．0.5log (1)y x =+22．已知函数()26log f x x x=-，则在以下区间中，函数()f x 有零点的是〔 〕 A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,4 D ．()4,+∞ 23．假设01x <<，则2x，12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0.2x 之间的大小关系为〔 〕 A ．2x<()0.2x<12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．2x <12x⎛⎫⎪⎝⎭<()0.2x C ．12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭<()0.2x < 2x D ．()0.2x < 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭< 2x24． 已知4)(3-+=bx ax x f ,假设6)2(=f ,则=-)2(f 〔 〕 A ．14- B ．14 C ．6- D ．1025．已知2,0()2,00,0x x f x x x ⎧>⎪==⎨⎪<⎩，则)]}2([{-f f f 的值为〔 〕A ．0B ．2C ．4D ．826．函数cos xy e=()x ππ-≤≤的大致图象为〔 〕27．已知函数2log 1(0)()(2)(0)x x f x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则(0)f =〔 〕A ．1-B ．0C ．1D ．3 28．已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是〔 〕29．函数)(22R ∈-=x x y x的图象大致为〔 〕30．已知曲线23ln 14x y x =-+的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为〔 〕 A ．3 B ．2 C ．1 D ．1231．函数1(01)xy aa a -=>≠，的图象恒过定点A ，假设点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为〔 〕 A ．3 B ．4 C ． 5 D ．632．已知()ax y a -=2log ()01a a >≠且在[]1,0上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是 〔 〕A ．()1,0B ．()2,1C ．()2,0D ．[)+∞,2xy ππ-O xyππ-Ox yππ-Oxyππ-OA B C D33．函数18)3(2)(2+-+=x a ax x f 在区间),3(+∞-上递减，则实数a 的取值范围是A ．3[,0]2-B ．3[,)2-+∞ C ．]0,(-∞ D ．),0[+∞ 34．函数32()35f x x x =-+的单调减区间是〔 〕A ．〔0，3〕B ．〔0，2〕C ．〔0，1〕D ．〔0，5〕 35．函数32y x x x =--的单调递增区间为〔 〕A ．[)1,1+3⎛⎤-∞-∞ ⎥⎝⎦和，B ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C ．[)1,1+3⎛⎤-∞-⋃∞ ⎥⎝⎦，D ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 36．假设21025x =，则10x -等于 〔 〕 A 、15- B 、15 C 、150 D 、162537．假设函数b a y x+=的部分图象如下列图，则〔 〕A.01,10<<-<<b aB.10,10<<<<b aC.01,1<<->b aD.1,01a b ><<38．函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为〔 〕 39．已知最小正周期为2的函数)(x f 在区间]11[，-上的解析式是2)(x x f =，则函数)(x f 在实数集R 上的图象与函数x x g y 5log )(==的图象的交点的个数是 〔 〕． A ．3 B ．4 C ．5 D ．640．化简44366399()()a a ⋅的结果等于〔 〕A ．16a B ．8a C ．4a D ．2a41．当函数()12x f x m +=+的图像不过第二象限时，m 的取值范围是〔 〕A ．2m ≥B ．2m ≤-C ．2m >D ．2m <- 42．函数||log 33x y =的图像是43．已知函数(2)1,1,()log ,1a a x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪>⎩假设()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(2,)+∞44．假设)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数，则)252()23(2++-a a f f 与的大小关系是A ．)23(-f >)252(2++a a fB ．)23(-f <)252(2++a a fC ．)23(-f ≥)252(2++a a fD ．)23(-f ≤)252(2++a a f45．假设偶函数)(x f y =对任意实数x 都有)()2(x f x f -=+，且在]0,2[-上为单调递减函数，则〔 〕A ．)411()311()211(f f f >> B ．)311()211()411(f f f >> C ．)311()411()211(f f f >> D ．)211()411()311(f f f >>46．已知x R ∈，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，假设函数[]()(0)x f x a x x=-≠有且仅有3个零点，则a 的取值范围是A ．3443,,4532⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ B ．3443,,4532⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．1253,,2342⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D ．1253,,2342⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦47．已知0,0a b >>，且1ab =，则函数()xf x a =与函数()log b g x x =-的图像可能是〔 〕48．函数()f x 的部分图像如下列图，则()f x 的解析式可以是〔 〕A ．()sin f x x x =+B ．cos ()xf x x=C ．()cos f x x x =D ．3()()()22f x x x x ππ=--49．能够把圆22:9O x y +=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数)(x f 称为圆O 的“亲和函数”，以下函数不是圆O 的“亲和函数”的是〔 〕〔A 〕()34f x x x =+ 〔B 〕5()15x f x n x-=+〔C 〕()2x x e e f x -+= 〔D 〕()tan 5xf x =50．函数()log a f x x =在区间[]21，上的最大值与最小值之差为1，则a =〔 〕 A ．2 B ．21 C ．2或21D ．4参考答案1．A 【解析】试题分析：由1122log log a b <得，0a b >>，所以111()()()443a b b <<，选A.考点：指数函数对数函数及幂函数的性质的应用.2．A 【解析】试题分析：〔A 〕2y x =在()0,+∞上单调递增，是偶函数；〔B 〕3y x =-在()0,+∞上单调递减，是奇函数；〔C 〕lg y x =-在()0,+∞上单调递减，并且是奇函数；〔D 〕2xy =在()0,+∞上单调递增，是非奇非偶函数 考点：函数逇单调性，奇偶性 3．A 【解析】试题分析：在同一坐标内作出三个函数的图象，然后根据条件，在x ＞1右侧任作一条直线，则看三个交点的纵坐标，即三个函数相应函数值．在同一坐标内作出三个函数的图象，如下列图：c ＜a ＜b,故答案为A考点：函数值大小比较 4．D 【解析】试题分析：A 中1()2()2x xf x f x --==≠-，B 中定义域是(0,)+∞，不是奇函数，C 中有()sin()1sin 1()f x x x f x -=-+=-+≠-，()sin()tan()sin tan ()f x x x x x f x -=-+-=--=-，是奇函数，选D.考点：函数的奇偶性. 5．B 【解析】试题分析：由给定图象可知，01a <<，1b <-.所以()xg x a b =+的图象，是指数函数x y a =的图象，向下平移超过一个单位，故选B .考点：1.二次函数的图象和性质；2.指数函数的图象和性质.6．A 【解析】试题分析:因为函数xy 1ln=的定义域为()(),00,-∞+∞且()()11lnln f x f x x x-===- 所以函数是偶函数；又因为当(0,)x ∈+∞时，1ln ln y x x==-在),0(+∞上是减函数，所以选项A 正确；故选A ．考点：函数的奇偶性与单调性． 7．B 【解析】试题分析：因为定义在R 上的奇函数()f x 满足)0(4)(2>-=x x x f ，所以，函数()f x 的图象如以下列图一所示，而函数()2f x -的图象可能看作是由函数()f x 的图象向右平移两个单位得到，所以函数()2f x -的图象如以下列图二所示，由图象可知，当02x << 或4x >时，0)2(>-x f ，所以，0)2(>-x f 的解集为(0,2)(4,)+∞，故选B.考点：1、函数的奇偶性；2、一元二次函数的图象；3、函数图象的变换；4、数形结合的思想. 8．B 【解析】试题分析：因为方程2log 2=+x x 的解就是函数()2log 2f x x x =+-的零点，又因为()20.5log 0.50.5210.52 2.50f =+-=-+-=-<()21log 11201210f =+-=+-=-<()221.5log 1.5 1.52log 0.50.50.50f =+->=-=所以函数()2log 2f x x x =+-在区间)5.1,1(内有零点，又因为函数()2log 2f x x x =+-为定义域上的单调函数，所以函数的唯一零点在区间)5.1,1(内，所以方程2log 2=+x x 的解所在的区间为)5.1,1( 故选B.考点：1、函数的零点与方程的根；2、对数函数. 9．D 【解析】试题分析：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(8)f -38log )8(2-=-=-=f ，故应选D .考点：1.函数的奇偶性；2.函数的求值； 10．C 【解析】试题分析：因为2)1)(1()1(=-+=-i i i f ，所以321)2())1((=+==-f i f f ，故应选C . 考点：1.分段函数求值； 11．C 【解析】试题分析：函数321x x y =-的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞，排除A ；0x <时，3021,021xx x <<>-，排除B ；由于随x 无限增大，2x增大的速度逐渐大于3x 增大的速度，所以321x x y =-的图象会越来越低，故排除D ，选C考点：函数的图象和性质. 12． A【解析】∴+=，a x y 2' 曲线b ax x y ++=2在),0(b 处的切线方程的斜率为a ， 切线方程为ax b y =-，即1,1,0==∴=+-b a b y ax .13．B.【解析】231)'3(xx x -=+，所以A 不正确； 3ln 3)3('x x =，所以C 不正确；)sin (cos 2)cos (2'2x x x x x x -+=，所以D 不正确；2ln 1)(log '2x x =，所以B 正确．故选B. 14．C ． 【解析】试题分析：由图象得，作直线1y =与图象的交点分别为(,1)a ，(,1)b ，(,1)c ，从而可知b ac >>．考点：对数函数的图象和性质． 15．B ． 【解析】试题分析：∵()(4)f x f x =+，∴(2)(2)f f -=，又∵奇函数()f x ，∴(2)(2)0f f -==， ∵201545041=⋅-，201445032=⋅+，∴1(2015)(1)2f f =-=，(2014)(2)0f f ==， ∴1(2015)(2014)2f f -=． 考点：奇函数的性质． 16．D ． 【解析】试题分析：∵22101220x x x x ⎧->⎪⇒<<⎨-++>⎪⎩，∴函数的定义域为(1,2)．考点：函数的定义域． 17．A 【解析】试题分析：因为()()f x f x -=，所以函数图像关于y 轴对称，不选C ，又)1ln()(2+=x x f ln10≥=，所以不选B,D ，选A ．考点：函数奇偶性及值域 18．D 【解析】试题分析：因为3log 7(1,2)a =∈， 1.122b =>， 3.10.81c =<，所以b a c <<，选D ．考点：比较大小 19．C 【解析】试题分析：因为132a -=(0,1)∈，212211log 0,log log 3133b c =<==>，所以c a b >>，选C ．考点：比较大小 20．C 【解析】试题分析：由()0f x =得23,x x e =-=所以零点个数为2，选C ．考点：函数零点21．A 【解析】试题分析：y [1,)-+∞为增函数，所以在区间(0,)+∞为增函数；2(1)y x =-在区间[1,)+∞为增函数；2xy -=在区间R 上为减函数；0.5log (1)y x =+在区间[1,)-+∞为减函数，所以选A ．考点：函数增减性 22．C 【解析】试题分析：因为()()223123log 220,4log 4022f f =-=>=-=-<，所以函数()f x 在()2,4上有零点，选C ．考点：零点存在性定理23．D 【解析】试题分析：)0.2x < 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭< 2x． 考点:函数单调性的应用．24．A 【解析】 试题分析：因为4)(3-+=bx ax x f 且6)2(=f ，所以()102864282=+⇒=-+=b a b a f ，所以()()144104282-=--=-+-=-b a f ． 考点：函数求值．25．C 【解析】试题分析：因为2,0()2,00,0x x f x x x ⎧>⎪==⎨⎪<⎩，所以4)2()]0([)]}2([{===-f f f f f f ．考点：分段函数求值． 26．C 【解析】试题分析：由cos()cos x x e e -=可知，函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除,B D ，又x π=时，cos 11y e eπ==<，0x =时，cos01y e e ==>，所以排除A ，选C ． 考点：1．函数的奇偶性；2．函数的图象． 27．B 【解析】试题分析：2(0)(20)(2)log 21110f f f =-==-=-=，选B ． 考点：1．分段函数；2．对数计算． 28．A 【解析】试题分析：∵21()sin()42f x x x π=++，∴'11()cos()sin 222f x x x x x π=++=-．∴函数()f x '为奇函数，故B 、D 错误；又'()1024f ππ=-<，故C 错误；故选A ．考点：函数图象、导数图象和原函数图象的关系.29．A 【解析】试题分析：首先符合偶函数的定义，函数)(22R ∈-=x x y x是一个偶函数，图象关于y 轴对称，排除B 、D,当0=x 时，1=y ，选A考点：1．函数的奇偶性；2．偶函数图象的性质；3．特殊点法； 30．A 【解析】 试题分析：设切点为),(00y x ，则切线的斜率132132)(00000-==⇒=-='=x x x x x f k 或，又00>x 则30=x ；考点：1．导数的几何意义； 31．B【解析】试题分析：函数()1,01≠>=-a a ay x图象恒过点()1,1A ，代入直线方程得1=+n m ，()=+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∴n m n m n m 11114222=⋅+≥++nm m n n m m n ，n m 11+的最小值为4，故答案为B.考点：1、函数过定点；2、基本不等式的应用. 32．B 【解析】试题分析：令2t ax =-，则函数()ax y a -=2log 可看成是由2t ax =-和log a y t =复合而成，又01a a >≠且，所以函数2t ax =-在[]1,0上单调递减，且20a ->，即2a <， 又()ax y a -=2log ()01a a >≠且在[]1,0上是x 的减函数，所以函数log a y t =在定义域上是增函数，即01a a >≠且，即1a >，故12a <<，所以选B考点：复合函数的单调性 33．A 【解析】试题分析：由题可知，当0=a 时，186)(+-=x x f 在区间),3(+∞-上恒递减；当0<a 时，函数)(x f 开口向下，即当33-≤-aa 满足题意，于是解得23-≥a ，综上，∈a 3[,0]2-，当0>a 时，函数)(x f 开口向上，不满足在区间),3(+∞-上递减，故舍掉；综上所述，实数a 的取值范围是3[,0]2-； 考点：函数的单调性 34．B ． 【解析】试题分析：由题意，得)2(363)(2'-=-=x x x x x f ，令0)2(363)(2'<-=-=x x x x x f ，解得20<<x ，即函数的单调减区间为()2,0． 考点：函数的单调性． 35．A 【解析】试题分析：21321(1)(31),013yx x x x yx 或， 当13x,1x 时，0y ,因此函数在[)1,1+3⎛⎤-∞-∞ ⎥⎝⎦和，是增函数． 考点：利用导数判断函数的单调性．36．B【解析】由21025x =知，22105x =（）即105x =，所以--11105=5x =，答案选B 37．A 【解析】试题分析：有图象知函数是减函数，故10<<a ，又011101)0(0<<-⇒<+<⇒<<b b y考点：函数的图象 38．A 【解析】试题分析：首先求函数的定义域，0x x e e --≠，即0x ≠，因此排除C 、D 选项，又22212111x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---，因此函数在(0,)+∞上是减函数，故选A ，也可以这样考虑：由于221lim 11x xx e e →+∞+=-，因此排除B ，选A. 考点：复合函数的图象.39．C 【解析】试题分析:由题意分析可知函数)(x f y =为偶函数，图像关于y 轴对称,函数)(x f y =与函数x x g y 5log )(==如下列图，当5=x 时，1)5()5(==f g ，故两个五个图像有5个交点．考点：1、函数的奇偶性；2、对数函数图像的性质．40．C 【解析】试题分析：因为41111949426363((()))a aa ⨯⨯⨯===，而41194236aa ⨯⨯⨯==，所以44224a a a ⋅=⋅=．考点：根式化分数指数幂． 41．B 【解析】试题分析：函数()12x f x m +=+的图像可以由2x y =的图像先向左平移1个单位，再向下平移m -个单位得到．因此由函数图像可知至少要向下平移两个单位，才能满足要求．故2m ≤-．考点：函数的图像变换． 42．A 【解析】试题分析：当1≥x 时，x y x==3log 3，当1<x 时，xy x 133log ==-，故选A 考点：函数的图象 43．C. 【解析】试题分析：因为函数(2)1,1,()log ,1a a x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪>⎩假设()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，则⎪⎩⎪⎨⎧=≤-->>-01log 1)2(12a a a a ，解得32≤<a . 考点：分段函数的单调性.44．C 【解析】试题分析：由)(x f 是偶函数，得33()()22f f -=，又)(x f 在[)+∞,0上是减函数，可知)(x f 在(],0-∞上是增函数.因为()2253321222a a a ++=++≥，所以2335(2)222f f f a a ⎛⎫⎛⎫-=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C考点：奇偶性、单调性的应用.45．C 【解析】试题分析：先根据f 〔x+2〕=﹣f 〔x 〕，判断函数为以4的周期函数，再通过周期性把111111(),(),()423f f f 分别转化成531(),(),()423f f f ，进而根据函数在[﹣2，0]上单调递减进而得到答案．f 〔x+4〕=f 〔x+2+2〕=﹣f 〔x+2〕=f 〔x 〕，则f 〔x 〕是以4为周期的函数．115511333444442222f f f f f f f （）（）（），（）（）（）（），11114333f f f （）（）（）， f 〔x 〕在[-2，0]上单调递减，351111111243243f f f f f f （）＞（）＞（），（）＞（）＞（），故选：C 考点：抽象函数及其应用46．B 【解析】试题分析：由[]()0x f x a x=-=,所以[]x a x=；故分x ＞0和x ＜0的情况讨论，显然有a 0，从而得到答案．因为[]()0x f x a x=-=,所以[]x a x=，分x ＞0和x ＜0的情况讨论，显然有a≥0．假设x ＞0，此时[x]≥0；假设[x]=0，则[]0x x=，假设[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，故[][][]1a 1[]11[]1x x x x x x ＜，＜， 且[][]1x x 随着[x]的增大而增大． 假设x ＜0，此时[x]＜0；假设﹣1≤x ＜0，则[]1x x≥，假设x ＜-1，因为[x]≤x ＜-1；[x]≤x ＜[x]+1，故[x][x][x]11a x [x]1[x]1＜，＜, 且[][]1x x 随着[x]的增大而增大． 又因为[x]一定是不同的x 对应不同的a 值．所以为使函数[x]f x a x（）有且仅有3个零点，只能使[x]=1，2，3；或[x]=-1，-2，-3．假设[x]=1，有1a 12＜；假设[x]=2，有2a 13＜；假设[x]=3，有3a 14＜；假设[x]=4，有4a15＜；假设[x]=-1，有a ＞1； 假设[x]=-2，有1≤a＜2；假设[x]=-3，有31a 2＜；假设[x]=-4，有41a 3＜，综上所述，34a 45＜或43a 32＜， 故选：B ．考点：函数零点的判定定理． 47．B. 【解析】试题分析：∵1ab =，且0,0a b >> ∴1a b=又1()log log log b a b g x x x x -=-==，所以f 〔x 〕与g 〔x 〕的底数相同，单调性相同 故选B考点：指数函数和对数函数的图像及性质. 48．C 【解析】试题分析：因为将,02π⎛⎫⎪⎝⎭代入A 选项不成立，所以排除A ．由于B 选项的定义域为x ≠0，所以排除B ．由于D 选项有三个零点即30,,22x x x ππ===，函数还有几个零点不符合，所以排除D 选项．通过验算可得C 选项的函数成立．故选C ． 考点：此题考查函数的图象和性质，函数的零点点评：解决此题的关键是列举排除的数学思想，从函数的性质，函数的零点，定义域入手 49．C 【解析】试题分析：由题意可知，假设函数为“亲和函数” 其函数必过圆心〔0，0〕，即原点，且是奇函数，对于A ，f(0)=0，且f(x)为奇函数，故是“亲和函数”；对于B ，f(0)=ln1=0，且()()1555ln ln ln 555x x x f x f x x x x -+--⎛⎫-===-=- ⎪-++⎝⎭, 所以函数f(x)为奇函数，故是“亲和函数”；对于C ，f(0)=1，不过圆心，故不是“亲和函数”；对于D ，f(0)=0，且是奇函数，故是“亲和函数”；综上选C 考点：此题考查函数的奇偶性点评：解决此题的关键是对新问题的分析理解，掌握把圆的周长与面积平分，则必过圆心， 50．C【解析】试题解析：当a>1时，函数为增函数，即min ()(1)log 10;a f x f ===max ()(2)log 2;a f x f ==∴log 201a -=，解得a=2当0<a<1时，函数为减函数，即min ()(2)log 2;a f x f ==max ()(1)log 10;a f x f === ∴0log 21a -=，解得a=12考点：此题考查函数性质点评：解决此题的关键是利用函数单调性求解，注意分类讨论。
完整版)导数求导练习题
完整版)导数求导练习题1.若 $f(x) = \sin\alpha - \cos x$，则 $f'(\alpha)$ 等于什么？答：$f'(\alpha) = \cos\alpha$。
2.函数 $f(x) = ax^3 + 3x^2 + 2$，若 $f'(-1) = 4$，则 $a$ 的值等于什么？答：$f'(x) = 3ax^2 + 6x$，代入 $x=-1$ 得 $-3a + (-6) = 4$，解得 $a = -\frac{10}{3}$。
3.函数 $y=x\sin x$ 的导数是什么？答：$y' = \sin x + x\cos x$。
4.函数 $y=x^2\cos x$ 的导数是什么？答：$y' = 2x\cos x - x^2\sin x$。
5.若 $y=(2x^2-3)(x^2-4)$，则 $y'$ 等于什么？答：$y' = 4x^3 - 16x$。
6.若 $y=3\cos x - 4\sin x$，则 $y'$ 等于什么？答：$y' = -3\sin x - 4\cos x$。
7.与直线 $2x-6y+1=0$ 垂直，且与曲线 $y=x^3+3x^2-1$ 相切的直线方程是什么？答：曲线在点 $(-1.-1)$ 处的斜率为 $9$，所以切线方程为$y+1 = 9(x+1)$。
8.质点运动方程是 $s=t^2(1+\sin t)$，则当 $t=2$ 时，瞬时速度为什么？答：$v(t) = 2t(1+\sin t) + t^2\cos t$，代入 $t=2$ 得 $v(2) = 8+4\sqrt{2}$。
9.求曲线 $y=x^3+x^2-1$ 在点 $P(-1,-1)$ 处的切线方程。
答：曲线在点 $(-1,-1)$ 处的斜率为 $3(-1)^2+2(-1) = -1$，所以切线方程为 $y+1 = -(x+1)$。
2023届全国高考数学复习：专题(导数的运算)重点讲解与练习(附答案)
2023届全国高考数学复习：专题（导数的运算）重点讲解与练习1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[cf (x )]′＝cf ′(x )；[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)； 3．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )与u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ꞏu ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则：先化简、再求导； 具体方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导． 【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．[例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a ．若f ′(1)＝e4，则a ＝________．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝ ．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x (4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( ) A ．f (x )＝sin x ＋cos x B ．f (x )＝ln x －2x C ．f (x )＝x 3＋2x －1 D ．f (x )＝x e x(5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝ ．5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x 6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ ．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝ ．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．94 10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ． 12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－213．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2．参考答案【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．解析 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x ．(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x ． (3)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12sin4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ꞏ4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x ． (4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ．则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5ꞏ2＝22x －5，即y ′＝22x －5． [例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e xx ＋a．若f ′(1)＝e 4，则a ＝________． 答案 1 解析 f ′(x )＝e x (x ＋a )－e x (x ＋a )2＝e x (x ＋a －1)(x ＋a )2，则f ′(1)＝a e (a ＋1)2＝e 4，整理可得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝ ．答案 －74 解析 ∵f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，∴f ′(x )＝4x －3f ′(1)＋1x x ＝1代入，得f ′(1)＝4－3f ′(1)＋1，得f ′(1)＝54．∴f (x )＝2x 2－154x ＋ln x ，∴f (1)＝2－154＝－74．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x 答案 C 解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 022＝4×505＋2，∴f 2 022(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x ．故选C ．(4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝x 3＋2x －1D ．f (x )＝x e x答案 AB 解析 对于A ：f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴f ″(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故A 正确．对于B ：f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2＜0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故B 正确；对于C ：f ′(x )＝3x 2＋2，f ″(x )＝6x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故C 错误；对于D ：f ′(x )＝(x ＋1)e x ，f ″(x )＝(x ＋2)e x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故D 错误．故选AB ． (5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 答案 C 解析 由选项知f (x )的定义域为(0，＋∞)，由题意得xf ′(x )－f (x )x 2＝1＋1x ，即⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝1＋1x ，故f (x )x ＝x ＋ln x ＋c (c 为待定常数)，即f (x )＝x 2＋(ln x ＋c )x ．又f (1)≥1，则c ≥0，故选C ．【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 1．答案 B 解析 (log 2x )′＝1x ln 2，故B 正确． 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 2．答案 B 解析 y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ． 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x3．答案 BCD 解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误．由导数公式及运算法则知B ，C ，D 正确，故选BCD ．4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝ ．4．答案 1cos 2x －2x 3 解析 f ′(x )＝(sin x )′ꞏcos x －sin x ꞏ(cos x )′cos 2x＋(x －2)′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋(－2)x －3＝1cos 2x －2x 3． 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x5．答案 D 解析 由题意，f (x )＝x sin x ，f 1(x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x ＋cos x －x sin x ＝2cos x －x sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－3sin x －x cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝－4cos x ＋x sin x ，f 5(x )＝f ′4(x )＝5sin x ＋x cos x ，…，据此可知f 2 019(x )＝－2 019sin x －x cos x ，f 2 021(x )＝2 021sin x ＋x cos x ，所以f 2019(x )＋f 2 021(x )＝2sin x ，故选D ．6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e6．答案 B 解析 f ′(x )＝2 021＋ln x ＋x ×1x ＝2 022＋ln x ，又f ′(x 0)＝2 022，得2 022＋ln x 0＝2 022，则ln x 0 ＝0，解得x 0＝1．7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ ．7．答案 2 解析 f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2e x cos x －e x sin x ＝－a (ax －1)2＋e x cos x －e xsin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1， 则a ＝2．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝ ．8．答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3ꞏ(2x －3)′＋a e －x ＋ax ꞏ(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x ，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．949．答案 C 解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x 所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94．10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．10．答案 －4 解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝2×(－2)＝－4． 11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ．11．答案 1＋e 解析 因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e ．12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－212．答案 C 解析 因为f ′(x )＝f ′(1)ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)ꞏ2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2． 13．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x13．答案 BC 解析 对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x 2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意． 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．414．答案 C 解析 f ′(x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，f ′(－x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，所以f ′(x )为偶函数，f ′(2019)－f ′(－2019) ＝0，因为f (x )＋f (－x )＝31＋e x＋x 3＋31＋e －x －x 3＝31＋e x ＋3e x 1＋e x ＝3，所以f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)＝3．故选C ．15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______．15．答案 8 解析 因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7，所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7．所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14．又f ′(2 020)＝6，所以f ′(－2 020)＝14－6＝8． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2． 16．解析 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ꞏ1x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x e x ． (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3． (3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x ．(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，∴y ′＝12ꞏ11＋2x ꞏ(1＋2x )′＝11＋2x．(5)由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2．所以f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x 3．。
高考数学函数与导数练习题
函数与导数一、填空题（2017·11）若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）A.1-B.32e --C.35e -D.1 （2016·12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1()mi i i x y =+=∑ （ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m（2015·5）设函数211log (2)(1)()2(1)x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则2(2)(l og 12)f f -+=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12（2015·10）如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP =x. 将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．（2015·12）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当x >0时，()()0xf x f x '-<，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞-UB ．(1,0)(1,)-+∞UC ．(,1)(1,0)-∞--UD ．(0,1)(1,)+∞U（2014·8）设曲线y =ax -ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ，则a =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3（2014·12）设函数()3x f x m π=，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是（ ）A ．(,6)(6,+)-∞-∞UB ．(,4)(4,+)-∞-∞UC ．(,2)(2,+)-∞-∞UD ．(,1)(4,+)-∞-∞U （2013·8）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）A .c b a >>B .b c a >>C .a c b >>D .a b c >>（2013·10）已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）A .00,()0x f x ∃∈=RB .函数()y f x =的图像是中心对称图形C .若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D .若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '= （2012·10）已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为（ ）A. B. C. D.（2012·12）设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为（ ） A. 2ln 1-B.)2ln 1(2-C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+（2011·2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ） A ．3y x = B ．||1y x =+ C ．21y x =-+ D ．||2x y -=（2011·9）由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103B ．4C ．163D ．6（2011·12）函数11y x =-的图像与函数2sin ,(24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（2014·15）已知偶函数f (x )在[0, +∞)单调递减，f (2)=0. 若f (x -1)>0，则x 的取值范围是_________. （2016·16）若直线y = kx +b 是曲线y = ln x +2的切线，也是曲线y = ln(x +1)的切线，则b = . 三、解答题（2017·21）已知函数2()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<.（2016·21）（Ⅰ）讨论函数2()2x x f x e x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，(2)20xx e x -++>； （Ⅱ）证明：当[0,1)a ∈时，函数2()=(0)x e ax ag x x x-->有最小值.设g (x )的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.xxxx14．（2015·21）设函数2()mx f x e x mx =+-.（Ⅰ）证明：f (x )在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（Ⅱ）若对于任意x 1,，x 2∈[-1，1]，都有｜f (x 1)- f (x 2)｜≤ e -1，求m 的取值范围．15．（2014·21）已知函数()2x x f x e e x -=--. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()(2)4()g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >，求b 的最大值；（Ⅲ）已知1.4142 1.4143<，估计ln2的近似值（精确到0.001）.16．（2013·21）已知函数()ln()x f x e x m =-+.（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >.17.（2012·21）已知函数121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+.（Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值.18．（2011·21）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围.2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编7．函数与导数（解析版）（2017·11）A 【解析】∵ ()()211x f x x ax e -=+- ∴ 导函数()()2121x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⎣⎦，∵ ()20f '-=，∴ 1a =-，∴ 导函数()()212x f x x x e -'=+-，令()0f x '=，∴ 12x =-，11x =， 当x 变化时，()f x ，()f x '随变化情况如下表：从上表可知：极小值为()11f =-.故选A（2016·12）B 解析：由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点'0i i x x +=， '=2i i y y +，∴()111022m m mi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．（2016·12）B 解析：由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点'0i i x x +=， '=2i i y y +，∴()111022m m mi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．（2015·5）C 解析：由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=．（2015·10）B 解析：由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，tan PA PB x +；当点P 在CD 边上运动时，即344x ππ≤≤，2x π≠时，PA PB +=2x π=时，PA PB +=P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，PA PB +=tan x ，从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ． （2015·12）A 解析：记函数()()f x g x x =，则2()()()x f x f x g x x '-'=，因为当x >0时，xf ´(x )-f (x )<0，故当x >0时，g ´ (x )<0，所以g (x )在(0, +∞)单调递减；又因为函数f (x )(x ∈R )是奇函数，故函数g (x )是偶函数，所以g (x )在(-∞, 0)单调递增，且g (-1)=g (1)=0．当0<x <1时，g (x )>0，则f (x )>0；当x <-1时，g (x )<0，则f (x )>0，综上所述，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(-∞, -1)∪(0, 1)，故选A ．（2014·8）D 解析：∵1'1y a x =-+，且在点(0,0)处的切线的斜率为2，∴01'|201x y a ==-=+，即3a =.（2014·12）C 解析：∵()x f x m π'=，令()0x f x m π'==得1(),2x m k k Z =+∈，∴01(),2x m k k Z =+∈，即01|||||()|22m x m k =+≥，mxx f πsin 3)(=Θ的极值为3±， ∴3)]([20=x f ，，34)]([22020+≥+∴m x f x 22200[()]x f x m +<Q ， 2234∴m m <+， 即：24m >，故：2m <-或2m >. （2013·8）D 解析：根据公式变形，lg 6lg 21lg 3lg 3a ==+，lg10lg 21lg 5lg 5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+， 因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg 5lg 3<<，即c ＜b ＜a . 故选D. （2013·10）C 解析：∵f ´(x )=3x 2+2ax +b ，∴y ＝f (x )的图像大致如右图所示，若x 0是f(x )的极小值点，则则在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．（2012·10）B 解析：易知ln(1)0y x x =+-≤对(1,0)(0,)x ∈-+∞U 恒成立，当且仅当0x =时，取等号，故的值域是(-∞, 0). 所以其图像为B.（2012·12）B 解析：因为12x y e =与ln(2)y x =互为反函数，所以曲线12x y e =与曲线ln(2)y x =关于直线y =x 对称，故要求|PQ |的最小值转化为求与直线y =x 平行且与曲线相切的直线间的距离，设切点为A ，则A 点到直线y =x 距离的最小值的2倍就是|PQ |的最小值. 则11()122xxy e e ''===，2x e ∴=，即ln 2x =，故切点A 的坐标为(ln 2,1)，因此，切点A 点到直线y =x距离为d ==，所以||2ln 2)PQ d ==-.（2011·2）B 解析：由各函数的图像知，故选B.（2011·9）C 】解析：用定积分求解342420021162)(2)|323S x dx x x x =+=-+=⎰，故选C. （2011·12）D 解析：11y x =-的对称中心是（1,0）也是2sin (24)y x x π=-≤≤的中心，24x -≤≤他们的图像在x =1的左侧有4个交点，则x =1右侧必有4个交点. 不妨把他们的横坐标由小到大设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，则182736452x x x x x x x x +=+=+=+=，故选D .二、填空题（2014·15）(1,3)- 解析：∵()f x 是偶函数，∴(1)0(|1|)0(2)f x f x f ->⇔->=，又∵()f x 在[0,)+∞单调递减，∴|1|2x -<，解得：13x -<<（2016·16）1ln2-解析：ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++（设切点横坐标为1x ），()ln 1y x =+的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++，∴()122122111ln 1ln 11xx x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x = 212x =-，∴1ln 11ln 2b x =+=-．三、解答题（2017·21）已知函数2()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2ef x --<<.（2017·21）解析：(1)法一：由题知：()()ln f x x ax a x =--()0x >，且()0f x ≥ ， 所以()1ln 0a x x --≥，即当()0,1x ∈时，ln 1x a x ≤-；当()1,x ∈+∞时，ln 1xa x ≥-；当1x =时，()1ln 0a x x --≥成立. 令()1ln g x x x =--，()11'1x g x x x-=-=，当()0,1x ∈时，()'0g x <，()g x 递减，()()10g x g <=，所以：1ln x x ->，即：ln 11xx >-，所以1a ≤； 当()1,x ∈+∞时，()'0g x >，()g x 递增，()()10g x g >=，所以：1ln x x ->，即：ln 11xx <-.所以，1a ≥. 综上，1a =.法二：洛必达法则：由题知：()()ln f x x ax a x =--()0x >，且()0f x ≥ ，所以：()1ln 0a x x --≥. 即当()0,1x ∈时，ln 1x a x ≤-；当()1,x ∈+∞时，ln 1xa x ≥-； 当1x =时，()1ln 0a x x --≥成立.令()ln 1x g x x =-，()()()()22111ln 1ln '11x x x x x g x x x ----==--. 令()11ln h x x x =--，()22111'xh x x x x-=-=. 当()0,1x ∈时，()'0h x >,()h x 递增，()()10h x h <=； 所以()'0g x <，()g x 递减，()()()111ln 'ln 1limlimlim 111'x x x x xg x x x x→→→>===--，所以：1a ≤； 当()1,x ∈+∞时，()'0h x <,()h x 递减，()()10h x h <=； 所以()'0g x <，()g x 递减，()()()111ln 'ln 1limlimlim 111'x x x x xg x x x x→→→<===--，所以：1a ≥.故1a =.（2）由(1)知：()()1ln f x x x x =--，()'22ln f x x x =--，设()22ln x x x ϕ=--，则()1'2x x ϕ=-.当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0x ϕ<；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0x ϕ>. 所以()x ϕ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增.又()20e ϕ->，102ϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()10ϕ=，所以()x ϕ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭有唯一零点0x ，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点1， 且当()00,x x ∈时，()0x ϕ>；当()0,1x x ∈时，()0x ϕ<； 当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ>.又()()'f x x ϕ=，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点. 由()0'0f x =得()00ln 21x x =-，故()()0001f x x x =-. 由()00,1x ∈得()014f x <.因为0x x =是()f x 在()0,1的唯一极大值点，由()10,1e -∈，()10f e -≠得()()120f x f e e -->=所以220()2ef x --<<.（2016·21）（Ⅰ）讨论函数2()2x x f x e x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，(2)20xx e x -++>； （Ⅱ）证明：当[0,1)a ∈时，函数2()=(0)x e ax a g x x x-->有最小值.设g (x )的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域. （2016·21）证明：⑴()()()22224e e 222xxx x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝⎭，∵当x ∈()()22,-∞--+∞U ，时，()0f x '>，∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增，∴0x >时，()2e 0=12xx f x ->-+，∴()2e 20x x x -++>. ⑵ ()()()24e 2e x x a x x ax a g x x ----'=()4e 2e 2x x x x ax a x -++=32(2)(e )2xx x a x x -+⋅++=，[)01a ∈，，由(1)知，当0x >时，()2e 2x x f x x -=⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解．使得2e 2tt a t -⋅=-+，(]02t ∈，，当(0,)x t ∈时，()0g x '<，()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调增，()()()222e 1e e 1e 22tt t t t t a t t h a t t t -++⋅-++===+，记()e 2t k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增，∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，．（2015·21）设函数2()mx f x e x mx =+-.（Ⅰ）证明：f (x )在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（Ⅱ）若对于任意x 1,，x 2∈[-1，1]，都有｜f (x 1)- f (x 2)｜≤ e -1，求m 的取值范围．（2015·21）解析：（Ⅰ）()(1)2mx f x m e x '=-+，若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10,()0mx e f x '-≤<；当(0,)x ∈+∞时，10mxe -≥，()0f x '>. 若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，10,()0mx e f x '-><；当(0,)x ∈+∞时，10mxe-<，()0f x '>，所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m ，()f x 在[-1，0]单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值，所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12|()()|1f x f x e -≤-的充要条件是(1)(0)1(1)(0)1f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩，即11mm e m e e m e -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩①. 设函数()1t g t e t e =--+，则()1t g t e '=-，当0t <时，()0g t '<；当0t >时，()0g t '>，故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增.又(1)0g =，1(1)20g e e --=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤.当[1,1]m ∈-时，()0,()0g m g m ≤-≤，即①式成立；当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即1me m e ->-；当1m <-时，()0g m ->，即1me m e -+>-，综上，m 的取值范围是[-1,1].（2014·21）已知函数()2x x f x e e x -=--. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()(2)4()g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >，求b 的最大值；（Ⅲ）已知1.4142 1.4143<，估计ln2的近似值（精确到0.001）.（2014·21）解析：（Ⅰ）1()2()2=220.x x x x xx f x e e x x R f x e e e e --'=--∈∴=+-+-≥=Q ，，∴当且仅当x =0时等号成立，所以函数()f x 在R 上单调递增．（Ⅱ）22()(2)4()44(2),x x x xg x f x bf x e e x b e e x --=-=-----Q ∴当x >0时，2244(2)0,x x x x e e x b e e x ------->22()2[2()(42)]x x x x g x e e b e e b --'∴=+-++- 2(2)[(22)]x x x x e e e e b --=+-+--，2x x e e -+≥=Q ，2(2)0x x e e -∴+-≥，(1) 当2b ≤时，()0g x '≥，当且仅当x =0时等号成立. 所以此时g (x )在R 上单调递增，而g (0)=0，所以对任意x >0，有g (x )>0.(2) 当2b >时，若x 满足222x x e e b -<+<-时，即0ln(1x b <<-时，()0g x '<，而g (0)=0，因此当0ln(1x b <<-时，g (x )<0.综上可知，当2b ≤时，才对任意的x >0，有g (x )>0，因此b 的最大值为2. （Ⅲ）由(Ⅱ)知，32(21)ln 22g b =-+-，当b =2时，36ln 202g =->，ln 20.6928>>；当14b =+时，ln(1b -=32)ln 202g =--<，18ln 20.693428<<，所以ln2的近似值为0.693.（2013·21）已知函数()ln()x f x e x m =-+.（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >. （2013·21）解析：（Ⅰ）f ′(x )＝1xe x m-+. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x -ln(x +1)，定义域为(-1，+∞)，f ′(x )＝11x e x -+.函数f ′(x )＝11xe x -+在(-1，+∞)单调递增，且f ′(0)＝0.因此当x ∈(-1,0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(-1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．（Ⅱ）当m ≤2，x ∈(-m ，+∞)时，ln(x +m )≤ln(x +2)，故只需证明当m =2时，f (x )＞0.当m =2时，函数f ′(x )=12xe x -+在(-2，+∞)单调递增．又f ′(-1)＜0，f ′(0)＞0，故f ′(x )=0在(-2，+∞)有唯一实根x 0，且x 0∈(-1,0)．当x ∈(-2，x 0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 0，+∞)时，f ′(x )＞0，从而当x =x 0时，f (x )取得最小值．由f ′(x 0)=0得0x e =012x +，ln(x 0+2)=-x 0，故f (x ) ≥ f (x 0)=012x ++x 0=20012x x (+)+＞0. 综上，当m ≤2时，f (x )＞0.（2012·21）已知函数121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+.（Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值. （2012·21）解析：（Ⅰ） 1()(1)(0)x f x f e f x -''=-+，令x =1得，f (x )=1，再由121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+，令0x =得(1)f e '=. 所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+，∴()1x f x e x '=-+，易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数，且(0)0f '=.所以()00f x x '>⇔>，()00f x x '<⇔<，所以函数)(x f 的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞. （Ⅱ） 若b ax x x f ++≥221)(恒成立，即21()()(1)02x h x f x x ax b e a x b =---=-+-≥ 恒成立，()(1)x h x e a '=-+Q .(1)当10a +<时，()0h x '>恒成立，()h x 为R 上的增函数，且当x →-∞时， ()h x →-∞，不合题意；(2)当10a +=时，()0h x >恒成立，则0b ≤，(1)0a b +=；(3)当10a +>时，()(1)xh x e a '=-+为增函数，由()0h x '=得ln(1)x a =+，故()0ln(1)f x x a '>⇔>+，()0ln(1)f x x a '<⇔<+，当ln(1)x a =+时，()h x 取最小值(ln(1))1(1)ln(1)h a a a a b +=+-++-. 依题意有(ln(1))1(1)ln(1)0h a a a a b +=+-++-≥，即1(1)ln(1)b a a a ≤+-++，10a +>Q ，22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a ∴+≤+-++，令22()ln 0u x x x x x =-> ()，则()22ln (12ln )u x x x x x x x '=--=-，()00()0u x x u x ''>⇔<<x ⇔>所以当x =()u x 取最大值2eu =.故当1a b +==(1)a b +取最大值2e . 综上，若b ax x x f ++≥221)(，则 b a )1(+的最大值为2e. （2011·21）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围. 解析：（Ⅰ）221(ln )()(1)x x b x f x x x α+-'=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)11(1)2f f =⎧⎪⎨'=-⎪⎩，即1122b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得1a =，1b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1()1x f x x x =++，所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x ---+=+--.考虑函数2(1)(1)()2ln k x h x x x --=+(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x-++=. (i)设0k ≤，由222(1)(1)()k x x h x x+--'=知，当1x ≠时，()0h x '<. 而(1)0h =，故当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得21()01h x x>-；当x ∈(1，+∞)时，h (x )<0，可得21()01h x x >-，从而当x >0，且x ≠1时，ln ()01x k f x x x -+>-，即ln ()1x kf x x x>+-.（ii ）设0<k <1. 由于当x ∈(1，k -11)时，(k -1)(x 2 +1)+2x >0，故h ´(x )>0，而h (1)=0，故当x ∈(1，k-11)时，h (x )>0，可得211x- h (x )<0，与题设矛盾. （iii ）设k ≥1. 此时h ´(x )>0，而h (1)=0，故当x ∈(1，+∞)时，h (x)>0，可得211x -h (x )<0，与题设矛盾.综上可得，k 的取值范围为（-∞，0].。
导数求导题目练习题
导数求导题目练习题导数是微积分中的重要概念，在实际问题中有广泛的应用。
本文将提供一些导数求导的练习题，帮助读者巩固和加深对导数的理解。
1. 求函数f(x) = 3x² + 2x的导数f'(x)。
解答：首先，我们需要知道求导的基本规则。
对于多项式函数，求导对每一项进行操作即可。
根据求导的基本规则，我们可以得到f'(x) = 6x + 2。
2. 求函数g(x) = ln(x)的导数g'(x)。
解答：对于自然对数函数ln(x)，其导数的规则是g'(x) = 1/x。
因此，g'(x) = 1/x。
3. 求函数h(x) = sin(x)的导数h'(x)。
解答：对于三角函数中的正弦函数sin(x)，其导数的规则是h'(x) = cos(x)。
因此，h'(x) = cos(x)。
4. 求函数i(x) = e^x的导数i'(x)。
解答：对于指数函数e^x，其导数的规则是i'(x) = e^x。
因此，i'(x)= e^x。
5. 求函数j(x) = 2x³ + 5x² - 4x + 1的导数j'(x)。
解答：根据多项式函数的求导规则，我们可以得到j'(x) = 6x² + 10x- 4。
通过以上练习题，我们可以看到不同类型的函数在求导后的结果。
求导是一个基本的技巧，通过不断练习和掌握求导的规则，我们可以更好地理解函数的变化趋势和性质。
在实际应用中，导数有着广泛的应用，例如在物理学中，速度和加速度可以通过导数来描述；在经济学中，边际成本和边际收益可以通过导数来分析。
因此，掌握求导的方法对理解和解决实际问题非常重要。
总结起来，求导是微积分中的重要概念，通过练习题可以加深对导数的理解和运用能力。
在学习过程中，需要熟悉导数的基本规则，并通过不断的实践来巩固和掌握求导的能力。
通过深入理解导数的概念和应用，我们可以更好地应对实际问题，提高数学和科学领域的应用能力。
2019年高考数学(理科)大二轮复习练习：专题二 函数与导数 专题能力训练8
专题能力训练8利用导数解不等式及参数的取值范围一、能力突破训练1.设f(x)=x ln x-ax2+(2a-1)x,a∈R.(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.2.(2018全国Ⅲ,理21)已知函数f(x)=(2+x+ax2)·ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0;(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.3.已知函数f(x)=ax+x ln x的图象在x=e(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为3.(1)求实数a的值;(2)若f(x)≤kx2对任意x>0成立,求实数k的取值范围;(3)当n>m>1(m,n∈N*)时,证明:.4.设函数f(x)=ax2-a-ln x,其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)> -e1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).5.设函数f(x)=a ln x,g(x)=x2.(1)记g'(x)为g(x)的导函数,若不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x-g(x)在x∈[1,e]内有解,求实数a的取值范围;(2)若a=1,对任意的x1>x2>0,不等式m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立.求m(m∈Z,m≤1)的值.6.已知函数f(x)=-2(x+a)ln x+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.二、思维提升训练7.已知函数f(x)= x3+x2+ax+1(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a<0时,试讨论是否存在x0∈,使得f(x0)=f.专题能力训练8利用导数解不等式及参数的取值范围一、能力突破训练1.解(1)由f'(x)=ln x-2ax+2a,可得g(x)=ln x-2ax+2a,x∈(0,+∞).则g'(x)=-2a=,当a≤0时,x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;当a>0时,x时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,x时,函数g(x)单调递减.所以当a≤0时,g(x)的单调增区间为(0,+∞);当a>0时,g(x)单调增区间为,单调减区间为(2)由(1)知,f'(1)=0.①当a≤0时,f'(x)单调递增,所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.②当0<a<时,>1,由(1)知f'(x)在区间内单调递增,可得当x∈(0,1)时,f'(x)<0,x时,f'(x)>0.所以f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.③当a=时,=1,f'(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减,所以当x∈(0,+∞)时,f'(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.④当a>时,0<<1,当x时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取极大值,合题意.综上可知,实数a的取值范围为a>2.解(1)当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f'(x)=ln(1+x)-,设函数g(x)=f'(x)=ln(1+x)-,则g'(x)=,当-1<x<0时,g'(x)<0;当x>0时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)内单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.(2)①若a≥0,由(1)知,当x>0时,f(x)≥(2+x)·ln(1+x)-2x>0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.②若a<0,设函数h(x)= =ln(1+x)-由于当|x|<min时,2+x+ax2>0,故h(x)与f(x)符号相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点当且仅当x=0是h(x)的极大值点.h'(x)=若6a+1>0,则当0<x<-,且|x|<min时,h'(x)>0,故x=0不是h(x)的极大值点.若6a+1<0,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0,故当x∈(x1,0),且|x|<min时,h'(x)<0,所以x=0不是h(x)的极大值点.若6a+1=0,则h'(x)=则当x∈(-1,0)时,h'(x)>0;当x∈(0,1)时,h'(x)<0.所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点.综上,a=-3.解(1)∵f(x)=ax+x ln x,∴f'(x)=a+ln x+1.又f(x)的图象在点x=e处的切线的斜率为3,∴f'(e)=3,即a+ln e+1=3,∴a=1.(2)由(1)知,f(x)=x+x ln x,若f(x)≤kx2对任意x>0成立,则k对任意x>0成立.令g(x)=,则问题转化为求g(x)的最大值,g'(x)==-令g'(x)=0,解得x=1.当0<x<1时,g'(x)>0,∴g(x)在区间(0,1)内是增函数;当x>1时,g'(x)<0,∴g(x)在区间(1,+∞)内是减函数.故g(x)在x=1处取得最大值g(1)=1,∴k≥1即为所求.(3)证明:令h(x)=,则h'(x)=由(2)知,x≥1+ln x(x>0),∴h'(x)≥0,∴h(x)是区间(1,+∞)内的增函数.∵n>m>1,∴h(n)>h(m),即,∴mn ln n-n ln n>mn ln m-m ln m,即mn ln n+m ln m>mn ln m+n ln n,∴ln n mn+ln m m>ln m mn+ln n n.整理,得ln(mn n)m>ln(nm m)n.∴(mn n)m>(nm m)n,4.解(1)f'(x)=2ax-(x>0).当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,+∞)内单调递减.当a>0时,由f'(x)=0,有x=此时,当x时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x时,f'(x)>0,f(x)单调递增.(2)令g(x)=,s(x)=e x-1-x.则s'(x)=e x-1-1.而当x>1时,s'(x)>0,所以s(x)在区间(1,+∞)内单调递增.又由s(1)=0,有s(x)>0,从而当x>1时,g(x)>0.当a≤0,x>1时,f(x)=a(x2-1)-ln x<0.故当f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.当0<a<时,>1.由(1)有f<f(1)=0,而g>0,所以此时f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立.当a时,令h(x)=f(x)-g(x)(x≥1).当x>1时,h'(x)=2ax--e1-x>x->0.因此,h(x)在区间(1,+∞)单调递增.又因为h(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x)恒成立.综上,a5.解(1)不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x-g(x),即a ln x+2x≤(a+3)x-x2,化简,得a(x-ln x)x2-x.由x∈[1,e]知x-ln x>0,因而a设y=,则y'=∵当x∈(1,e)时,x-1>0,x+1-ln x>0,∴y'>0在x∈[1,e]时成立.由不等式有解,可得a≥y min=-,即实数a的取值范围是(2)当a=1时,f(x)=ln x.由m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立,得mg(x1)-x1f(x1) >mg(x2)-x2f(x2)恒成立, 设t(x)=x2-x ln x (x>0).由题意知x1>x2>0,则当x∈(0,+∞)时函数t(x)单调递增,∴t'(x)=mx-ln x-1≥0恒成立,即m恒成立.因此,记h(x)=,得h'(x)=∵函数在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,∴函数h(x)在x=1处取得极大值,并且这个极大值就是函数h(x)的最大值.由此可得h(x)max=h(1)=1,故m≥1,结合已知条件m∈Z,m≤1,可得m=1.6.(1)解由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)=f'(x)=2(x-a)-2ln x-2,所以g'(x)=2-当0<a<时,g(x)在区间内单调递增, 在区间内单调递减;当a时,g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.(2)证明由f'(x)=2(x-a)-2ln x-2=0,解得a=令φ(x)=-2ln x+x2-2x-2则φ(1)=1>0,φ(e)=--2<0.故存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0.令a0=,u(x)=x-1-ln x(x≥1).由u'(x)=1-0知,函数u(x)在区间(1,+∞)内单调递增.所以0==a0<<1.即a0∈(0,1).当a=a0时,有f'(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0.由(1)知,f'(x)在区间(1,+∞)内单调递增,故当x∈(1,x0)时,f'(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0.所以,当x∈(1,+∞)时,f(x)≥0.综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.二、思维提升训练7.解(1)f'(x)=x2+2x+a,方程x2+2x+a=0的判别式为Δ=4-4a,①当a≥1时,Δ≤0,则f'(x)≥0,此时f(x)在R上是增函数;②当a<1时,方程x2+2x+a=0两根分别为x1=-1-,x2=-1+,解不等式x2+2x+a>0,解得x<-1-或x>-1+,解不等式x2+2x+a<0,解得-1-<x<-1+,此时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞),单调递减区间为(-1-,-1+).综上所述,当a≥1时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);当a<1时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞),单调递减区间为(-1-,-1+).(2)f(x0)-f+ax0+1--a-1=+a=+a+x0+(4+14x0+7+12a).若存在x0,使得f(x0)=f,则4+14x0+7+12a=0在内有解.由a<0,得Δ=142-16(7+12a)=4(21-48a)>0,故方程4+14x0+7+12a=0的两根为x1'=,x'2=由x0>0,得x0=x'2=,依题意,0<<1,即7<<11,所以49<21-48a<121,即-<a<-, 又由得a=-,故要使满足题意的x0存在,则a≠-综上,当a时,存在唯一的x0满足f(x0)=f,当a时,不存在x0满足f(x0)=f。
导数与函数的单调性练习题
导数与函数的单调性练习题(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--导数与函数的单调性基础巩固题：1.函数f(x)=21++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） <a<21 <-1或a>21 >21>-2答案：C 解析：∵f(x)=a+221+-x a 在(-2,+∞)递增，∴1-2a<0,即a>21.2．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0,1)上单调，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥0B ．a <－4C ．a ≥0或a ≤－4D ．a >0或a <－4答案：C 解析：∵f ′(x )＝2x ＋2＋ax，f (x )在(0,1)上单调， ∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1)上恒成立，即2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在(0,1)上恒成立， 所以a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋2x ),0<x <1，可知－4<g (x )<0， ∴a ≥0或a ≤－4，故选C. 3．函数f (x )＝x ＋9x的单调区间为________．答案：(－3,0)，(0,3) 解析：f ′(x )＝1－9x 2＝x 2－9x2，令f ′(x )<0，解得－3<x <0或0<x <3，故单调减区间为(－3,0)和(0,3)．4 函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________答案：2(0,)3 ； 2(,0),(,)3-∞+∞ 解析： '22320,0,3y x x x x =-+===或5．确定下列函数的单调区间:(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3 (1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4 .∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1) 令－3(x +1)(x －1)＞0，解得－1＜x ＜1. ∴y =3x －x 3的单调增区间是(－1，1).令－3(x +1)(x －1)＜0，解得x ＞1或x ＜－1.∴y =3x －x 3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)6．函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________．[答案] (－∞，－1) [解析] 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1<0，得x <12，∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)7．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调增函数，则b 的范围为________．[答案] b <－1或b >2 [解析] 若y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立，则Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0，∴－1≤b ≤2，由题意b ＜－1或b ＞2.8.已知x ∈R ,求证：e x≥x +1．证明:设f （x ）=e x －x －1,则f ′（x ）=e x－1．∴当x =0时，f ′（x ）=0,f （x ）=0．当x ＞0时，f ′（x ）＞0,∴f （x ）在（0,+∞）上是增函数．∴f （x ）＞f （0）=0．当x ＜0时，f ′（x ）＜0,f （x ）在（－∞,0）上是减函数，∴f （x ）＞f （0）=0．9．已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间. 解：y ′=(x +x 1)′=1－1·x －2=222)1)(1(1x x x x x -+=- 令2)1)(1(x x x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1.∴y =x +x1的单调增区间;是(－∞，－1)和(1，+∞).令2)1)(1(xx x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y =x +x 1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)10．已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x ．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间．解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P （0，2），知d=2， 所以,2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++=' 由在M(-1,f(-1))处的切线方程是076=+-y x ， 知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即{{326,23,12 1.0,3.b c b c b c b c b c -+=-=-∴-+-+=-===-即解得 故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f （Ⅱ）22()36 3.3630,f x x x x x '=----=令2210.x x --=即 解得 .21,2121+=-=x x当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或 当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故)21,()(--∞在x f 内是增函数，在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数．点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．11.已知函数f(x)=x 3-21x 2+bx+c.(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围;解 （1）)(x f '=3x 2-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则)(x f '≥0.即3x 2-x+b≥0,∴b≥x -3x 2在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x 2.当x=61时，g(x)max =121,∴b≥121.12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a 的取值范围.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x 3-(a+1)x 2+ax ∴)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a 要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函数，只需)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a 在（2，+∞）上满足)(x f '≥0即可.∵)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a 的对称轴是x=31+a ,∴a的取值应满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥'≤+0(2)231f a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+'>+0)31(231a f a 解得:a≤38.∴a 的取值范围是a≤38.13．已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a的取值范围．解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值范围为[]1,1-．点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．14.已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，)1(-f ）处的切线方程076=+-y x ，（1）求函数)(x f y =的解析式；（2）求函数)(x f y =的单调区间。
高中数学导数专题常考练习题
高中数学导数专题常考练习题高考数学中，导数是一个常考的题型。
下面介绍几道典型的导数题目。
1.已知函数$f(x)$的导函数$f'(x)$满足以下条件：①当$f'(x)>0$时，$x2$；②当$f'(x)<0$时，$-1<x<2$；③当$f'(x)=0$时，$x=-1$或$x=2$。
则函数$f(x)$的大致图象是什么？2.已知直线$2x-y+1=0$与曲线$y=ae^{x}$相切（其中$e$为自然对数的底数），则实数$a$的值是多少？3.已知函数$f(x)=ax+(1-a)x^3$是奇函数，则曲线$y=f(x)$在$x=1$处的切线的倾斜角为多少？4.已知函数$f(x)=x+ax+bx^2+a$在$x=1$处的极值为10，则数对$(a,b)$为什么？5.函数$f(x)=x^3-4x^2+mx$在$[0,3]$上的最大值为4，则$m$的值为多少？6.已知函数$f(x)=x-mx^3+4x^2-3$在区间$[1,2]$上是增函数，则实数$m$的取值范围为什么？7.已知偶函数$f(x)(x\neq0)$的导函数为$f'(x)$，且满足$f(1)=0$。
当$x>0$时，$xf'(x)0$成立的$x$的取值范围是什么？8.已知曲线$y=x+\ln x$在点$(1,1)$处的切线与曲线$y=ax^2+(a+2)x+1$相切，则$a$等于多少？9.若函数$f(x)=x^3+x^2-3$在区间$(a,a+5)$上存在最小值，则实数$a$的取值范围是什么？10.已知$f'(x)$是函数$f(x)$的导函数，$f(1)=e$，$x\in\mathbb{R}$，且$2f(x)-f'(x)>0$。
则不等式$f(x)<e^{2x}-1$的解集是什么？11.已知函数 $f(x)=2x^3-ax^2+b$，讨论 $f(x)$ 的单调性。
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函数与导数专题训练卷3
1、已知函数)1ln(21)(2xaxxxf，其中aR.
（Ⅰ）若2x是)(xf的极值点，求a的值；
（Ⅱ）求)(xf的单调区间；
（Ⅲ）若)(xf在[0,)上的最大值是0，求a的取值范围.
2、设函数2()(1)()xfxxekxkR
（1）当1k，求()fx的单调区间
（2）当1(,1]2k时，求函数()fx在0,k上的最大值
3、已知函数2()(1)ln1fxaxax
（1）讨论函数()fx的单调性
（2）如果对任意120xx，总有1212()()2fxfxxx，求a的取值范围。
4.已知函数432()2fxxaxxb（xR），其中Rba,．
（Ⅰ）当103a时，讨论函数()fx的单调性；
（Ⅱ）若函数()fx仅在0x处有极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的[2,2]a，不等式1fx在[1,1]上恒成立，求b的取值范围．
5.已知函数32()(1)(2)fxxaxaaxb (,)abR．
（I）若函数()fx的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求,ab的值；
（II）若函数()fx在区间(1,1)上不单调．．．，求a的取值范围．
6.设函数()(0)kxfxxek
（Ⅰ）求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；
（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；
（Ⅲ）若函数()fx在区间(1,1)内单调递增，求k的取值范围.
7.设函数321()(1)4243fxxaxaxa，其中常数a>1
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。
8.已知函数，a＞0，
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设a=3，求在区间{1，}上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。
9.设函数()xefxx
(1)求函数()fx的单调区间； (1)若0k，求不等式'()(1)()0fxkxfx的解集．
10.已知函数3()31,0fxxaxa
求()fx的单调区间；
若()fx在1x处取得极值，直线y=m与()yfx的图象有三个不同的交点，求m的取值范
围。
11、已知函数f(x)＝ax－ex(a>0)．
(1)若a＝12，求函数f(x)的单调区间；(2)当1≤a≤1＋e时，求证：f(x)≤x.
12、已知函数f(x)＝12x2－13ax3(a>0)，函数g(x)＝f(x)＋ex(x－1)，函数g(x)的导函数为g′(x)．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若a＝e，
(ⅰ)求函数g(x)的单调区间；
(ⅱ)求证：x>0时，不等式g′(x)≥1＋ln x恒成立．
函数与导数专题训练卷2
1.已知函数1()ln(1),01xfxaxxx，其中0a
若()fx在x=1处取得极值，求a的值；
求()fx的单调区间；
2. 已知函数22()(23)(),xfxxaxaaexR其中aR
(1)当0a时，求曲线()(1,(1))yfxf在点处的切线的斜率；
(2)当23a时，求函数()fx的单调区间与极值。
3.设函数2()(0)fxaxbxkk在0x处取得极值，且曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线垂直
于直线210xy．
（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）若函数()()xegxfx，讨论()gx的单调性．
4.已知2()fxxbxc为偶函数，曲线()yfx过点(2,5)，()()()gxxafx．
（Ⅰ）求曲线()ygx有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若当1x时函数()ygx取得极值，确定()ygx的单调区间．
5.设321fxxaxbx的导数fx满足(1)2,(2),fafb其中常数,abR.
（Ⅰ）求曲线.yfx在点1,(1)f处的切线方程。
（Ⅱ）设().xgxfxe求函数gx的极值。
6.设3211()232fxxxax
（1）若()fx在2(,)3上存在单调递增区间，求a的取值范围．
（2）当02a时，()fx在[1,4]的最小值为163，求()fx在该区间上的最大值．
7.已知函数2()()xkfxxke。
（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x，都有()fx≤1e，求k的取值范围。
8.设函数2()()ln()fxxaxaR
（Ⅰ）若xe为()yfx的极值点，求实数a
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意(0,3]xe恒有2()4fxe成立
9.设函数()e2xfxax.
（1）求()fx的单调区间；
（2）若1a，k为整数，且当0x时，()()10xkfxx，求k的最大值.
10.已知函数2()sincosfxxxxx
(1)若曲线()yfx在点(,())afa处与直线yb相切，求a与b的值；
(2)若曲线()yfx与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围．
11.已知函数2()()4xfxeaxbxx，曲线()yfx在点(0,(0))f处切线方程为44yx
（Ⅰ）求,ab的值
（Ⅱ）讨论()fx的单调性，并求()fx的极大值．
12.设2()(5)6lnfxaxx，其中aR，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线与y轴相交于点
(0,6)
．
（1）确定a的值；
（2）求函数()fx的单调区间与极值．