高三数学-理科函数与导数-专题练习(含答案与解析)
高考数学专题：导数大题专练(含答案)
高考数学专题：导数大题专练(含答案)一、解答题1．已知函数()ln f x ax x =+ (1)讨论()f x 的单调区间；(2)设()2xg x =，若对任意的[]11,100x ∈，存在[]20,1x ∈，使()()12f x g x <成立，求实数a 的取值范围.2．已知函数1()2ln f x x x x=+-． (1)求函数的单调区间和极值；(2)若12x x ≠且()()12f x f x =，求证：121x x <． 3．已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．4．已知函数()ln 1f x x ax =++，R a ∈，函数()()21e ln 2xg x x x x x x =-++-，)2e ,x -∈+∞⎡⎣．(1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)若0x 是函数()g x 的最小值点，且函数()()h x xf x =在0x x =处的切线斜率为2，试求a 的值．5．已知函数()2()2e =+-xf x x a ．(1)讨论函数的单调性；(2)若(0,),()x f x a ∈+∞≥-恒成立，求整数a 的最大值． 6．已知函数()e (1)()x f x a x a -=++∈R ． (1)当1a =时，求函数()y f x =的极值；(2)若函数()()ln e g x f x x =-+-在[1,)+∞有唯一的零点，求实数a 的取值范围．7．已知函数()()e ln 1xf x a x =+-+，()'f x 是其导函数，其中a R ∈．(1)若()f x 在(,0)-∞上单调递减，求a 的取值范围；(2)若不等式()()f x f x '≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，求a 的取值范围．8．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若fx 是()f x 的导函数，()f x ''是fx 的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''='+⎡⎤⎣⎦.(1)若曲线()ln f x x x =+与()g x x ()1,1处的曲率分别为1K ，2K ，比较1K ，2K 大小；(2)求正弦曲线()sin h x x =（x ∈R ）曲率的平方2K 的最大值. 9．已知函数()321623f x x ax x =+-+在2x =处取得极值． (1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值．10．设函数()223ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >．(1)求()f x 的单调区间；(2)若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围．【参考答案】一、解答题1．(1)答案见解析 (2)31a e ≤-【解析】 【分析】（1）由()()110ax f x a x xx+=+=>'，按0a ≥，0a <进行分类讨论求解； （2）由已知，转化为()()max max f x g x <，由已知得()()max 12g x g ==，由此能求出实数a 的取值范围． (1)()(]110ax f x a x x x+'=+=>，①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，()0f x '>， 所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+； ②当0a <时，由()0f x '=，得1x a=-，在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '>，在区间1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)由题目知，只需要()()max max f x g x <即可又因为()()max 12g x g ==，所以只需要()max 2f x <即可()max 2f x <即等价于()2f x <恒成立，由变量分离可知2ln xa x-<，[]1,100x ∈， 令()2ln xh x x -=，下面求()h x 的最小值， 令()23ln xh x x-+'=，所以()0h x '=得3x e =， 所以()h x 在31,e ⎡⎤⎣⎦为减函数，3,100e ⎡⎤⎣⎦为增函数， 所以()()33min 1h x h e e -==，所以31a e ≤-. 2．(1)减区间()0,1，增区间()1,+∞，极小值3， (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）依据导函数与原函数的关系去求函数的单调区间和极值即可； （2）构造新函数利用函数单调性去证明121x x <即可. (1)1()2ln (0)f x x x x x =+->，则()()2221111()2(0)x x f x x x x x +-'=--=>由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<， 即()f x 减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，在1x =时()f x 取得极小值(1)2103f =+-=，无极大值. (2)不妨设12x x <且()()12f x f x a ==，则101x <<，21>x ，3a >，2101x <<令1()()2ln (0)h x f x a x x a x x=-=+-->，则()()120h x h x ==()()2221111()2x x h x x x x +-'=--=， 则当1x >时()0h x '>，()h x 单调递增；当01x <<时()0h x '<，()h x 单调递减 由()222212ln 0x x h x a x +=--=，得22212ln a x x x =+- 则2222222222211ln 2ln 2ln 1x x x x x h x x x x x ⎛⎫++-+-=-+ ⎪⎛⎫=⎪⎝⎝⎭⎭ 令21t x =，则222112ln 2ln (01)x x t t t x t -+=--<< 令()12ln (01)t m t t t t --<=<，则()()22211210t t tt m t -'=+-=> 即()12ln (01)t m t t t t--<=<为增函数，又()11100m =--=，则()12ln 0m t t tt --<=在(0,1)上恒成立.则222212ln 10x x x h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-<恒成立，则()211h h x x ⎛⎫⎪< ⎝⎭， 又01x <<时()h x 单调递减，101x <<，2101x <<则211x x >，故121x x <3．(1)详见解析； (2)详见解析； 【解析】 【分析】（1）由2a =-，得到2()2ln f x x x =-，然后求导2()2f x x x'=-求解； （2）令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，求导()()21()--'=x a x g x x，分0a ≤，012a <<，12a =，122a<<讨论求解. (1)解：当2a =-时，2()2ln f x x x =-，所以2()2f x x x'=-，令()0f x '=，得1x =，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>， 所以1x =是函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，则()()2212(2)()2(2)---++'=+-+==x a x a x a x a g x x a x x x， 当0a ≤时，01x <<时，()0g x '<，12x <≤时，()0g x '>， 所以当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x ∞→+，当()110g a =+>，即10a -<≤，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；当()110g a =+=，即1a =-时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当()()11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+≥⎪⎩，即21ln 2-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点；当()()11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+<⎪⎩，即2ln 2a <-，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当012a <<，即02a <<时，02ax <<或1x >时，()0g x '>，12a x <<时，()0g x '<，所以当2ax =时，()g x 取得极大值，当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x →-∞，因为()110g a =+>恒成立，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点； 当12a =，即2a =时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 在(0,2]上递增，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当122a <<，即24a <<时，01x <<或22a x <<时，()0g x '>，12ax <<时，()0g x '<，所以当1x =时，()g x 取得极大值，当2ax =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x →-∞，因为()110g a =+>，()22ln 20=+<g a ，2ln 20242⎛⎫=-+++> ⎪⎝⎭a a a g a a 恒成立，所以()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点.综上： 当10a -<≤时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；当1a =-或 2ln 2a <-或04a <<时，()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点； 当21ln 2-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点.4．(1)答案见解析； (2)12a =. 【解析】 【分析】（1）由题可得()11ax f x a xx+'=+=，讨论0a ≥，0a <即得； （2）由题可得()g x '是一个单调递增的函数，利用零点存在定理可得()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，进而可得()0000111ln e e 1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用导数可得001e x x =，结合条件可得00ln 20x ax +=，即求. (1)()11ax f x a x x+'=+=，0x >， 当0a ≥时，函数()f x 在定义域()0,∞+上单调递增； 当0a <时，函数的单调性如表格所示：由题可得()()()22121e 1ln 2e ln 1x xg x x x x x x x x '=-++-++-=++-，0x >，则()g x '是一个单调递增的函数，当2e x -=时，()()2242ee e e e 30g ----'=+-<，当1x =时，()12e 10g '=->，故()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，且所以0x t =，020000e ln 10x g x x x x '=++-=，整理该式有()02000e 1ln x xx x +=-，()000001111e ln xx x x x +=+， ∴()000111ln ee1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭令()()21ln ,e m x x x x -=+>，则()2ln 0m x x '=+>，所以函数在()2e ,-+∞上单调递增，故()000111ln ee1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解满足001e xx =；又()2ln h x x x ax x =++，()1ln 21h x x ax '=+++，()0002ln 22h x x ax '=++=，所以00ln 20x ax +=，由01e xx =知，0020x ax -+=，故12a =． 5．(1)答案见解析 (2)4 【解析】【分析】（1）求得()'f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）由(0,),()x f xa ∈+∞≥-恒成立分离常数a ，通过构造函数，结合导数求得a 的取值范围，从而求得整数a 的最大值. (1)()'2(22)e x f x x x a =++-①当1a≤时，()0f x '≥恒成立，故()f x 在R 上恒增； ②当1a >时，当(,1x ∈-∞-时()0f x '>，()f x 单调递增，(11x ∈--时()0f x '<，()f x 单调递减， (1)x ∈-+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，综上所述：当1a ≤时，()f x 在R 上恒增； 当1a >时，()f x 在(,1-∞-和(1)-++∞上单调递增，在(11--上单调递减.(2)2e (2)(e 1)xxx a +≥-，由于,()0x ∈+∞，2e (2)e 1x x x a +≤-，2e (2)()e 1x x x g x +=-，22e (2e 22)()(e 1)x x x x x x g x ---'=-， 令2()2e 22x h x x x x =---，()(e 1)(22)x h x x '=-+，由于,()0x ∈+∞，则()(e 1)(22)0x h x x '=-+>，故2()2e 22x h x x x x =---单调递增，3334443393338()e 2e 4(e )042162223h =---<-=-<，(1)2e 50h =->， 所以存在03(,1)4x ∈使得0()0h x =，即020002e 22xx x x =++，当00(0,)x x ∈时()0h x <，()g x 单调递减，当00(,)x x ∈+∞时()0h x >，()g x 单调递增； 那么()()00202000e 222e 1x x x a g x xx +≤==++-，03(,1)4x ∈，故034()()(1)54g g x g <<<=，由于a 为整数，则a 的最大值为4. 【点睛】求解含参数不等式恒成立问题，可考虑分离常数法，然后通过构造函数，结合导数来求得参数的取值范围. 6．(1)()f x 的极小值为2，无极大值； (2)(,e 1]-∞+ 【解析】 【分析】（1）当1a =时，求导分析()f x 的单调性，即可得出答案．（2）由题意可得()()ln e e ln e(1)x g x f x x ax a x x =-+-=-++-，求导得()g x '，从而可推出()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，分两种情况讨论：①当e 10a +-，②当e 10a +-<，分析()g x 的单调性，即可得出答案．(1)当1a =时，()(1)xf x e x -=++，1()1x xxe f x e e --+'=-+=，令1e 0x -+>，得0x >， 令1e 0x -+<，得0x <，则()f x 单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞， ∴()f x 存在极小值为()02f =，无极大值； (2)()()ln e e (1)ln e e ln e(1)x x g x f x x a x x ax a x x =-+-=+-++-=-++-，则1()xg x e a x'=-+，令1()xh x e a x =-+，则221()x x e h x x -'=，由1x >得，21x >，210x x e ->，则()0h x '>，故()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，①当e 10a +-，即e 1a +时，即(1,)x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0g =， ∴当1x >时，函数()g x 没有零点， ②当e 10a +-<，即e 1a >+时， 由e e (1)x y x x =->，得e e 0x y '=->， ∴e e x x >，∴11()e e xg x a x a x x '=+->+-，e ee 0e e a a g a a a⎛⎫'>⋅+-=> ⎪⎝⎭，又∵e 1e ea >=，∴存在01,e a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 又∵(1)0g =，∴当0(]1,x x ∈时，()0g x <，在()01,x 内，函数()g x 没有零点， 又∵()0,x x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 单调递增，又∵22e )e 1(ln e a a g a a a a a +-+>-=-+， 令2()e 1(1)>x k x x x =-+，()()e 2x s x k x x '==-，()e 2e 20x s x '=->->，∴()k x '在(1,)+∞上单调递增， 又∵(1)0k '>，∴1x >时，()0k x '>，()k x 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0k a k >>， ∴()0g a >， 又∵0eaa x >>， ∴由零点的存在定理可知存在()()101,,0x x a g x ∈=， ∴在()0,x a 内，函数()g x 有且只有1个零点， 综上所述，实数a 的取值范围是(,e 1]-∞+.7．(1)1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)(],1-∞- 【解析】 【分析】（1）求出导函数()e x a f x x'=+，根据()f x 在(,0)-∞上单调递减，可得()e 0x af x x'=+≤在(,0)-∞上恒成立，分类参数可得e x a x ≥-⋅在(,0)-∞上恒成立，令()()e ,0x g x x x =-⋅<，利用导数求出函数()g x 的最大值即可得解；（2）将已知不等式转化为()ln 10a a x x--+≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，令()()()ln 1,0ah x a x x x=--+<，在对a 分类讨论，求出()h x 的最大值小于等于0，即可求出答案. (1)解：()e xa f x x'=+，因为()f x 在(,0)-∞上单调递减，所以()e 0xa f x x'=+≤在(,0)-∞上恒成立，即e x a x ≥-⋅在(,0)-∞上恒成立，令()()e ,0xg x x x =-⋅<， 则()()e e 1e x x xg x x x '=--=-+，当1x <-时，()0g x '>，当10x -<<时，()0g x '<， 所以函数()g x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减， 所以()()max 11eg x g =-=，所以a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(2)解：由()()f x f x '≤得()ln 1aa x x-+≤，即()ln 10a a x x--+≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立， 令()()()ln 1,0ah x a x x x=--+<，()()()221,0a x a a h x x x x x +'=+=<，当0a =时，()1h x =，不满足()0h x ≤；当0a >时，1x <-时，()0h x '<，10x -<<时，()0h x '>， 所以函数()h x 在(),1-∞-上递减，在()1,0-上递增， 所以()()min 110h x h a =-=+>，不符合题意；当0a <时，1x <-时，()0h x '>，10x -<<时，()0h x '<， 所以函数()h x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减， 所以()()max 110h x h a =-=+≤，解得1a ≤-， 综上所述，a 的取值范围(],1-∞-. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，考查了学生的计算能力. 8．(1)12K K <； (2)1. 【解析】 【分析】（1）对()f x 、()g x 求导，应用曲率公式求出()1,1处的曲率1K ，2K ，即可比较大小；（2）由题设求出()h x 的曲率平方，利用导数求2K 的最大值即可. (1)由()11f x x '=+，()21f x x ''=，则()()()()13332222211112511f K f ''===+'+⎡⎤⎣⎦，由()g x '=，()3214g x x -''=-，则()()()2333222221124511112g K g ''===⎡⎤'+⎡⎤⎛⎫⎣⎦+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以12K K <； (2)由()cos h x x '=，()sin h x x ''=-，则()322sin 1cos xK x =+，()()2223322sin sin 1cos 2sin xxK x x ==+-，令22sin t x =-，则[]1,2t ∈，故232tK t -=， 设()32t p t t -=，则()()32643226t t t t p t t t----'==，在[]1,2t ∈时()0p t '<，()p t 递减，所以()()max 11p t p ==，2K 最大值为1.9．(1)增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2- (2)()max 312f x =，()min 163f x =- 【解析】 【分析】（1）根据题意得()20f '=，进而得12a =，再根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）知[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2-，进而求解()4f -，()3f -，()2f ，()3f 的值即可得答案. (1)解：（1）()226f x x ax '=+-，因为()f x 在2x =处取得极值，所以()24460f a '=+-=，解得12a =． 检验得12a =时，()f x 在2x =处取得极小值，满足条件.所以()26f x x x '=+-，令()0f x '>，解得3x <-或2x >，令()0f x '<，解得32x -<<， 所以()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； (2)解：令()260f x x x '=+-=，解得3x =-或2x =，由（1）知()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； 当[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2- 又()()()()321138444642323f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()()()()321131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=，()321116222622323f =⨯+⨯-⨯+=-，()32115333632322f =⨯+⨯-⨯+=-，所以()max 312f x =，()min 163f x =-． 10．(1)在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 (2)1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）求导，根据定义域和a 的范围，讨论导数符号可得单调区间； （2）由（1）中单调性可得函数最小值，由最小值大于0可解. (1)函数()f x 的定义域为()0+∞，， ()()()222231323'2ax ax a x ax f x a x a x x x+-+-=+-==由于0a >且()0x ∈+∞，，所以230ax +>，令()'0f x =，解得1x a=， 当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，()'0f x >，函数()f x 单调递增， ()f x ∴在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增． (2)要使()y f x =的图像与x 轴没有公共点，所以只需min ()0f x >即可，由（1）知min 111()113ln 133ln 33ln 0f x f a a a a ⎛⎫==+-+=-=+> ⎪⎝⎭，解得1e >a ，即a 的取值范围为1(,)e+∞。
函数与导数例高考题汇编(含答案)
函数与导数高考题1.(安徽理3)设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x'-x,则f()=(A)-3 (B)- 1 (C)1 (D)3【答案】A【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法 .属容易题.【解析】f()= - f( - 1)= - 42( - 1)²- ( - 1)]= - 3 .故选A.2 . (安徽理10)函数f (x )=ax ”g 1- x )“在区 间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ,n 的值可 能 是(A)m=1,n=1(B) m=1,n=2(C) m=2,n=1(D) m=3,n=1【答案】B 【命题意图】本题考查导数在研究 函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【 解 析 】 代 入 验 证 ， 当m = 1 , n = 2 , f ( x ) = a x g ( 1 - x ) ² = n ( x ³ - 2 x ² + x ) ,则f ' ( x ) = a ( 3 x ² - 4 x + 1 ) , 由 ,结合图像可知函数应在递增，在 递减，即在, 知 a 存 在 . 故 选 B .3.(安徽文5)若点(a,b)在y=lgx 图像上，a≠1,则下列点也在此图像上的是(A)(,b) (B)(10a,1 b) (C)(,b+1) (D)(a2,2b)【答案】D 【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系 .【 解 析 】 由 题 意b = 1 g a , 2 b = 2 1 l g a = 1 g a ² , 即( a ² , 2 b )也 在 函 数 y = l g x 图 像 上 .4 . (安徽文10) 函数f(x )=ax ”g (1 - . x )² 在区间(0,1)上的 图像如图所示，则n 可能是 (A)1 (B) 2取得最大值，由f'(x)=a(3x²-4x+1)=0可知，(C) 3 (D)4【答案】A【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当7=1时，f(x)=axg(1-x)²=a(x³-2x²+x),则f(x)=a(3r²-4x+1)由f ( x ) = a ( 3 x ² 4 x + 1 ) = 0 可知，,结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由, 知a 存在. 故选A .7 . (福建理5) 等于A.1B.e- 1C. CD.e+1【答案】C8 . (福建理9 )对于函数f ( x ) = a s i n x + b x + c (其中，a , b ∈R , c ∈Z ) ,选取a , b , C 的一组值计算f ( )和f ( - 1 )所得出的正确结果一定不可能是A . 4和6B . 3和1C . 2和4D . 1和2【答案】D9 . ( 福建理1 0 ) 已知函数f ( x ) = e⁴+ x , 对于曲线y = f ( x ) 上横坐标成等差数列的三个点A , B , c , 给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形②△ABC可能是直角三角形③△ABC可能是等腰三角形④△ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】B10.(福建文6)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A.(- 1,1)B.(-2,2)C.(-o,-2)U(2,+o)D.(-o,- 1)U(1,+c)【答案】C11. (福建文8)已知函数 ,若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于A. 3B. 1C. 1D. 3【答案】A12.(福建文10)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于A.2B.3C. 6D. 9【答案】D13.(广东理4)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A . f(x)+1g(x)是偶函数B . f(x) - 1g(x)是奇函数c.if(x)\+g(x)是偶函数 D . i f ( x ) - g ( x )是奇函数【答案】A【解析】因为g(x)是R 上的奇函数，所以lg(x)是R 上的偶函数，从而f(x)+1g(x)是偶函数，故选A.14 . (广东文4)函 的定义域是 ( )A.(-~,- 1)B.(1,+~) c.(- 1,1)U(1,+oo) D.(-0,+oo)【答案】C16.(湖北理6)已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a¹-a ⁴+2(a>0,且a≠1),若g(2)=a,则f(2)=A.2B.C.D. a² 【答案】B【解析】由条件f(2)+g(2)=a²-a²+2,f(-2)+g(-2)=a²-a²+2, 即-f(2)+g(2)=a²-a²+2, 由此解得g(2)=2,f(2)=a²-a-所 以 a = 2 ,, 所 以 选 B18 . (湖南文7)曲线主点处的切线的斜率为( )A. B. 2 C. D. 【答案】B【解析】19.(湖南文8)已知函数f(x)=e¹-1,g(x)=-x²+4x -3.若有f(a)=g(b),则b 的取值范围为A.[2-√2,2+√2]B.(2-√2.2+√2)c.[1,3] p.(1,3)【答案】B【解析】由题可知f(x)=e ⁴- 1>- 1,g(x)=-x²+4x-3=-(x-2)²+1≤1,若有f(a)=g(b),则g(b) ∈(- 1,1), 即-b²+4b-3>- 1,解得2-√Z<b<2+√2., 所 以,y=020 . (湖南理6)由直线 与曲线y=COSX 所围成的封闭图形的面积为( )A.2B.1C.D.√3 【答案】D【解析】由定积分知识可得, 故 选 D 。
高三数学函数与导数练习题及答案
高三数学函数与导数练习题及答案（一）1. 已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2，求函数 f(x) 的定义域。
解析：定义域为使函数 f(x) 有意义的 x 的取值范围。
首先，由于函数 f(x) 中存在 x^3 和 x^2，所以 f(x) 对于任意实数 x 都有定义。
然后，我们要找出使函数 f(x) 有意义的 x 的取值范围，即求解不等式：x^3 - 3x^2 - 9x + 2 ≥ 0通过求解不等式，我们可以得到函数定义域的范围。
答案：函数 f(x) 的定义域为全体实数。
2. 已知函数 f(x) = |x + 2| - |x - 2|，求函数 f(x) 的值域。
解析：值域是函数 f(x) 在定义域内可以取到的所有值的集合。
首先，我们来研究函数 f(x) 在闭区间[2, +∞) 上的取值情况。
当x ≥ 2 时，|x + 2| - |x - 2| = (x + 2) - (x - 2) = 4因此，函数 f(x) 在闭区间[2, +∞) 上的值取 4。
接下来，我们来研究函数 f(x) 在开区间 (-∞, 2) 上的取值情况。
当 x < 2 时，|x + 2| - |x - 2| = -(x + 2) + (x - 2) = -4因此，函数 f(x) 在开区间 (-∞, 2) 上的值取 -4。
综上，函数 f(x) 的值域为{-4, 4}。
（二）3. 已知函数 f(x) 在区间 [-2, 3] 上连续，且 f(-2) = 1, f(1) = 2，证明方程 f(x) = 0 在区间 (-2, 3) 内有根。
解析：根据函数 f(x) 的连续性和介值定理，可以证明方程 f(x) = 0在区间 (-2, 3) 内有根。
首先，根据函数 f(x) 在区间 [-2, 3] 上连续，且 f(-2) = 1, f(1) = 2，可以得知函数 f(x) 在闭区间 [-2, 3] 上存在连续的曲线。
高考数学压轴专题专题备战高考《函数与导数》真题汇编及答案解析
数学《函数与导数》试卷含答案一、选择题1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可.【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <； 当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >. 故()min 33f x f π⎛⎫==⎪⎝⎭. 故选：A【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.2．三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是 （ ）A ．0.40.20.43<4log 0.5<B ．0.40.20.43<log 0.5<4C ．0.40.20.4log 0.534<< D ．0.20.40.4log 0.543<<【答案】D【解析】 由题意得，120.20.455550.40log 0.51444339<<<==<==，故选D.3．已知21()cos 4f x x x =+，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图像是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】 Q ()21f cos 4x x x =+，()()1'sin ,'2f x x x y f x ∴=-=为奇函数，∴图象关于原点对称，排除,B D ，又()'10f <Q ，可排除C ，故选A.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择主要考查考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.4．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立，且当()0,x ∈+∞时，都有()'f x x >成立，若()()112f a f a a -≥+-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．(],2-∞D ．[)2,+∞ 【答案】A【解析】【分析】构造函数21()()2g x f x x =-，可判断函数()g x 为奇函数且在R 上是增函数，由函数的性质可得a 的不等式，解不等式即可得答案.【详解】令21()()2g x f x x =-，则()()g x f x x ''=-，()0,x ∈+∞Q 时，都有()'f x x >成立，即有()0g x '>，∴在()0,∞+，()g x 单调递增, Q 定义在R 上的函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立, 所以(0)0f =，2222111()()()()()222g x f x x x f x x x f x g x ⎡⎤∴-=--=--=-=-⎣⎦， ()g x ∴是定义在R 上的奇函数，又(0)(0)0g f ==∴在R 上()g x 单调递增.又()()112f a f a a -≥+-Q ()()()2211111222g a a g a a a ∴-+-≥++-， 即()()1112g a g a a a a -≥⇒-≥⇒≤. 因此实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故选：A【点睛】 本题考查构造函数、奇函数的判断，及导数与单调性的应用，且已知条件构造出21()()2g x f x x =-是解决本题的关键，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.5．已知函数f （x ）＝（k ＋4k ）lnx ＋24x x－，k ∈[4，＋∞），曲线y ＝f （x ）上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），使曲线y ＝f （x ）在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1＋x 2的取值范围为A ．（85，＋∞） B ．（165，＋∞） C ．[85，＋∞） D ．[165，＋∞） 【答案】B【解析】【分析】 利用过M 、N 点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x 1+x 2 的取值范围．【详解】由题得f′（x ）=4k k x +﹣24x ﹣1=﹣2244x k x k x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=﹣()24x k x k x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（x ＞0，k ＞0）由题意，可得f′（x 1）=f′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2）， 即21144k k x x +-﹣1=24k k x +﹣224x ﹣1， 化简得4（x 1+x 2）=（k+4k ）x 1x 2， 而x 1x 2＜212()2x x +， 4（x 1+x 2）＜（k+4k ）212()2x x +， 即x 1+x 2＞164k k+对k ∈[4，+∞）恒成立，令g （k ）=k+4k， 则g′（k ）=1﹣24k =()()222k k k +-＞0对k ∈[4，+∞）恒成立， ∴g （k ）≥g （4）=5， ∴164k k+≤165， ∴x 1+x 2＞165， 故x 1+x 2的取值范围为（165，+∞）. 故答案为B【点睛】本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题的关键，属于中档题.6．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（ ）． AB．C．2 D．【答案】D【解析】 试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =所以lg lg a b =-所以1a b =，即1ab =，0a b >> 22a b a b+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---22()22a b a b ≥-⨯=- 当且仅当2a b a b-=-，即2a b -=时等号成立 所以22a b a b+-的最下值为22 故答案选D考点：基本不等式．7．函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果.【详解】当2x =时，110x x-=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ； 又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B.【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.8．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð 【答案】A【解析】【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()3221f x f x -=-,且()f x 在[1, )+∞上单调递增,则（ ）A ．()()()0.3 1.130. 20.54f f log f <<B ．()()()0.3 1.130. 240.5f f f log <<C ．()()()1.10.3340.20.5f f f log << D ．()()()0.3 1.130.50.24f log f f << 【答案】A【解析】【分析】由已知可得()f x 的图象关于直线1x =对称.因为0.3 1.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增,即可得解.【详解】解：依题意可得,()f x 的图象关于直线1x =对称.因为()()()0.3 1.1330.20,1,0.5 2 1,,044,8log log ∈=-∈-∈, 则0.3 1.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增,所以()()()0.3 1.130.20.54f f log f <<. 故选:A.【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关系，属中档题.10．[]0x a,b ∃∈使得()f x m ≥成立，等价于[]()0x a,b ,[f x ]m max ∈≥11．设奇函数()f x 在[]11-，上为增函数，且()11f =，若[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，，不等式()221f x t at ≤--成立，则t 的取值范围是（ ） A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤C ．2t ≥或2t ≤-或0t =D ．12t ≥或12t ≤-或0t = 【答案】C【解析】【分析】 ()f x 在[]11x ∈-，上为增函数,[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，,不等式()221f x t at ≤--成立,只需对于[]11a ∀∈-，,()2121f t at -≤--即可. 【详解】∵奇函数()f x 在[]11x ∈-，上为增函数，且()11f =，∴函数在[]11x ∈-，上的最小值为()()111f f -=-=-，又∵[]11x ∃∈-，，使[]11a ∀∈-，，不等式()221f x t at ≤--成立， ∴()22111t at f --≥-=-， 即220t at -≥，①0t =时，不等式成立；②0t >时，()2220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≥，解得2t ≥； ③0t <时，()2220t at t t a -=-≥恒成立，从而2t a ≤，解得2t ≤- 故选：C.【点睛】本题考查了含参数不等式恒成立问题，需要将不等式问题转化为函数最值问题，考查了理解辨析能力、运算求解能力和分类讨论思想，是中档题.12．已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．[)0,1D ．(]1,0-【答案】A【解析】【分析】先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可. 【详解】当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x=⇒=⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤.故选：A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.13．若点1414(log 7,log 56)在函数()3f x kx =+的图象上，则()f x 的零点为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．34 【答案】B 【解析】【分析】 将点的坐标代入函数()y f x =的解析式，利用对数的运算性质得出k 的值，再解方程 ()0f x =可得出函数()y f x =的零点．【详解】141414141414log 56log 4log 1412log 212(1log 7)32log 7=+=+=+-=-Q ，2k ∴=-，()2 3.f x x =-+故()f x 的零点为32，故选B. 【点睛】本题考查对数的运算性质以及函数零点的概念，解题的关键在于利用对数的运算性质求出参数的值，解题时要正确把握零点的概念，考查运算求解能力，属于中等题．14．函数()3ln x f x x=的部分图象是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性排除B ，当1x >时，()3ln 0x f x x=>，排除CD ，得到答案. 【详解】()()()33ln ln ,x x f x f x f x x x=-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3ln 0x f x x=>恒成立，排除CD 故答案选A【点睛】 本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键.15．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >> 【答案】B【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．16．已知函数()()2f x x +∈R 为奇函数，且函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，当[]0,1x ∈时，()2020x f x =，则()2020f =（ ） A ．2020B ．12020C ．11010D ．0【答案】D【解析】【分析】 根据题意，由函数()f x 的对称性可得()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，进而可得()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得()()20200f f =，由函数的解析式计算可得答案．【详解】解：根据题意，函数()2f x +为奇函数，即函数()f x 的图象关于点()2,0对称，则有()()4f x f x -=-+，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，则()()2f x f x -=+，变形可得：()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，则有()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，()()()20200505400f f f ∴=+⨯==；故选：D ．【点睛】本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用，难度一般.一般地，若一个奇函数有对称轴（或一个偶函数有对称中心），可分析出函数具有周期性.17．下列求导运算正确的是（ ）A ．()cos sin x x '=B ．()1ln 2x x '=C ．()333log x x e '=D ．()22x x x e xe '= 【答案】B【解析】分析：利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案.详解：()'cos sin x x =-，A 不正确；()'11ln222x x x =⨯= ，B 正确；()'33ln3x x =,C 不正确；()'222x x x x e xe x e =+，D 不正确，故选B.点睛：本题主要考查基本初等函数的导数公式、导数的运算法以及简单的复合函数求导法则，属于基础题.18．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( )A ．17(1)a r +B ．17[(1)(1)]a r r r +-+C ．18(1)a r +D ．18[(1)(1)]a r r r+-+ 【答案】D【解析】【分析】由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n 项和公式求解即可.【详解】解：根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +， 同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +，孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +， ⋯⋯孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，此时将存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数：17171618(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r a S a r a r a r r r r r ++-=++++⋯⋯++==+-++-； 故选：D ．【点睛】本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和，属中档题.19．曲线3πcos 02y x x ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与x 轴以及直线3π2x =所围图形的面积为（ ） A ．4B ．2C ．52D ．3【答案】B【解析】【分析】【详解】 试题分析：()332222(0cos )sin 2S x dx x ππππ=-=-=⎰，选B.考点：定积分的几何意义20．已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(4][2,)-∞-+∞U B ．[1,2]-C ．[4,0)(0,2]-UD ．[4,2]- 【答案】D【解析】【分析】不等式()1f a ≤等价于0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩分别解不等式组后，取并集可求得a的取值范围.【详解】()1f a ≤⇔0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩， 解得：40a -≤≤或02a <≤，即[4,2]a ∈-，故选D.【点睛】f a取不同的解析式，从而本题考查与分段函数有关的不等式，会对a进行分类讨论，使()将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.。
高三数学函数与导数试题答案及解析
高三数学函数与导数试题答案及解析1.、设函数.（Ⅰ）当时，求的极值；（Ⅱ）当时，求的单调区间；（Ⅲ）若对任意及，恒有成立，求的取值范围.【答案】解：（Ⅰ）依题意，知的定义域为.当时，，.令，解得.……2分当时，；当时， .又，所以的极小值为，无极大值.………4分（Ⅱ）…………5分当时，，令，得或，令，得；…………6分，当时，得，令，得或，令，得；当时，.8分综上所述，当时，的递减区间为；递增区间为.当时，在单调递减.当时，的递减区间为；递增区间为.…（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在单调递减.当时，取最大值；当时，取最小值.所以.……11分因为恒成立，所以，整理得.又所以，又因为，得，所以所以.………14分【解析】略2.已知，则 .【答案】2【解析】略3.（本题满分14分）如图，某污水处理厂要在一个矩形的池底水平铺设污水净化管道（直角，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口是的中点，分别落在上，且，设．（1）试将污水管道的长度表示成的函数，并写出定义域；（2）当管道长度为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度．【答案】（1）；（2）【解析】（1）重视三角函数的三变：三变指变角、变名、变式；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等，适当选择公式进行变形；（2）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性、最值和对称性．试题解析：（1）因为，（3分）（6分）（2），令，（8分）所以在上减，（10分）所以当或时，（13分）答：当或时，．（14分）【考点】利用三角函数解应用题．4.函数的零点所在区间（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，故函数的零点所在区间为．【考点】函数零点的判断．5.已知函数对任意的有，且当时，，则函数的大致图像为【答案】D【解析】由题可知，由可得，函数为奇函数，排除选项A、B，又因为当时，，图像是缓慢递增的，故排除选项C，选项D正确；【考点】奇偶函数图像的对称性6.（本小题满分10分）已知函数（1）若直线与曲线相切，求实数的值;（2）若，比较与的大小【答案】（1）；（2）【解析】（1）求曲线切线的思路是：无切点的，应先设出切点坐标，然后用导数求出曲线的切线斜率，最后由点斜式求出切线方程．设点为曲线上任意一点，可求出过点P的切线方程为．则其与直线为同一条直线，由对应系数相等可求出k的值．（2）通过求导数的方法得出函数的单调性，单调递增区间为，单调递减区间为．显然当时，，整理即可．试题解析：（1）设点为曲线的任意一点．因，所以．所以过点P处的切线斜率为，由直线的点斜式方程得，切线方程为：．显然其与直线为同一条直线．则，所以．（2）函数的导数为，显然在时函数单调递减．因，所以即，故．【考点】导数法求曲线的切线、利用函数单调性比大小．7.已知函数的图像过点，为函数的导函数，为自然对数的底数，若，下恒成立，则不等式的解集为A．B．C．D．【答案】B【解析】构造函数，则，因为当时，，所以当时，，所以函数在上是单调递增的，所以当时，，即；当时，，即．综上所述，不等式的解集为，故应选．【考点】1、导数在研究函数的单调性中的应用；8.已知函数，若与同时满足条件：①；②，则实数a的取值范围是（）A．（－，－1）（，2）B．（－，－1）（0，）（，2）C．（－，0）（，2）D．（－，0）（0，）（，2）【答案】B【解析】如图1，由的图象可知，当时，，为满足条件①，可得在上恒成立；为满足条件②，由于在上总有，故，；当时，，不满足条件；当时，考虑函数的零点，；当时，，为满足条件得解得；当时，（ⅰ）当时，，为满足条件，得解得，；（ⅱ）当时，，为满足条件，得解得，；（ⅲ）当时，，不满足条件．综上所述，得，故选B．【考点】分段函数图象、二次函数的图象和性质．【思路点睛】先画出分段函数的图象，结合条件①，得在上恒成立，由条件②得，，对a是否得0进行讨论，当时，恒等于0，不符合题意，当时，分和进行讨论，根据二次函数的图象讨论方程根的位置．9.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，函数的定义域应满足条件：且且，解之得：且且，所以函数的定义域为，故应选．【考点】1、对数函数；2、函数的定义域．10.设为自然对数的底数，则的值为．【答案】．【解析】因为，所以应填．【考点】1、定积分的计算；2、分段函数．11.定义域为的函数满足，当时，，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为当时，函数恒成立，所以．又当时，；当时，．所以，即，解得，故选B．【考点】1分段函数的值域；2恒成立问题．12.设函数．（1）讨论的导函数的零点的个数；（2）证明：当【答案】（1）当时没有零点，当时存在唯一零点；（2）详见解析．【解析】（1）求导，讨论导数的单调性，结合图像分析可得的零点个数．（2）由（I），时可设在的唯一零点为，当时，；当时，．从而可得函数的单调性，根据单调性可求得其最小值只需证其最小值即可．试题解析：（1）的定义域为．当，，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增又结合函数与的图像可知当时存在唯一零点．（2）由（1），可设在的唯一零点为，当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增，所以时，取得最小值为，由于．由于，所以．故当．【考点】用导数研究函数的性质．13.分析函数＝＋的性质：①的图象是中心对称图形；②的图象是轴对称图形；③函数的值域为；④方程有两个解．其中描述正确个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】①因为，所以函数不是奇函数，所以错误；②因为，所以函数关于直线对称，所以正确；③由②可得，故函数的值域为，所以正确；④令，则方程等价于，即，由③可知，故不存在，所以④错误．【考点】1、命题的真假判断与应用；2、函数的图像与性质；3、函数的值域．【方法点晴】本题是选择题中的压轴题，设计的知识点很多．我们在考查一个函数的时候，主要通过函数的奇偶性、对称性、单调性来寻找突破口．本题中①利用函数的奇偶性来判断；②利用的是对称性来判断，也就是若函数满足,则有函数关于直线对称，这个可以作为一个结论来记忆；③利用了②的结论，通过函数对称轴来判断；④利用了③的结论来判断，环环相扣，考查了复合函数的取值．14.已知函数在上有最大值1和最小值0，设（为自然对数的底数）．（1）求的值；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；（3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．【答案】（1）1，0；（2）；（3）．【解析】（1）分三种情况讨论的最大值和最小值，首先排除两种情况，当时，在上是减函数，∴，得的值分别为1、0；（2）利用化归思想，原题等价，在上有解，令，则，，，；（3）令，原方程可化为有两个不同的实数解，，，再根据一元二次方程根的分布列不等式组求出k的范围．试题解析：（1），当时，在上是增函数，∴，即，解得，当时，，无最大值和最小值；当时，在上是减函数，∴，即，解得，∵，∴舍去．综上，的值分别为1、0．（2）由（1）知，∴在上有解等价于在上有解，即在上有解，令，则，∵，∴，记，∵，∴，∴的取值范围为．（3）原方程可化为，令，则，由题意知有两个不同的实数解，其中，或，，记，则得．【考点】1、函数的单调性；2含参数不等式有解问题；3、方程根的个数以及一元二次方程根的分布．【方法点晴】本题主要考查不等式有解问题以及方程根的个数问题，属于难题．不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为有解（即可）或转化为有解（即可），本题（2）就用了这种方法．15.设函数．（Ⅰ）若，函数在的值域为，求函数的零点；（Ⅱ）若，，．（1）对任意的,恒成立, 求实数的最小值；（2）令,若存在使得,求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）；（2）．【解析】（Ⅰ）当时，，要研究函数零点需先根据函数值域求，对分类讨论，研究函数单调性及极值，写出函数值域，再根据值域是求；（Ⅱ）（1）由，得：，，所以恒成立，特殊化，时，，验证时，对任意的成立，所以问题解决．（2）化简问题得．又，，，从而，利用求解．试题解析：（Ⅰ）当时，①若，则恒成立，函数单调递减，又函数在的值域为，，此方程无解．……2分②若，则．（i）若，即时，，此方程组无解；（ii），即时，，所以c=3；（iii），即时，，此方程无解．由①、②可得，c=3．的零点为：．（Ⅱ）由，得：，，又，对任意的,恒成立．当时，，又时，对任意的,，即时，，实数的最小值是1，即．（Ⅲ）法1：由题意可知，在上恒成立，在上恒成立；由（Ⅱ）得：在上恒成立，．又因为当时,，．，即，，，．．法2：，设，则，由下图得：，∴，，．【考点】1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值；3、不等式的恒成立；4、函数的零点；5、参数的分类讨论．16.奇函数的定义域为R．若为偶函数，且，则（）A．－2B．－1C．0D．1【答案】．【解析】因为为偶函数，所以关于直线对称，所以，于是，令，则；令，则；令，则，所以，故应选．【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的对称性．【思路点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的对称性，属中档题．其解题的一般思路为：首先由为偶函数可得出，关于直线对称，即可得出，然后运用赋值法分别令可分别求出值，进而得出所求的值．其解题的关键是灵活运用赋值法求出的值．17.若曲线在点处的切线方程是，则．【答案】【解析】在切线方程中，时，，求导，又切线的斜率为，所以，即．【考点】导数的几何意义．18.已知函数的导函数为，且满足，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，解得，故选C．【考点】导数的运算．19.曲线在点处的切线方程是，则下列说法正确的是（）A．函数是偶函数且有最大值B．函数是奇函数且有最大值C．函数是偶函数且有最小值D．函数是奇函数且有最小值【答案】C【解析】导数的几何意义就是在该点出切线的斜率，对函数求导，则，解得，函数为二次函数，开口向上，有最小值，且为偶函数．故选C．【考点】1、导数的几何意义；2、二次函数的性质．20.己知函数，，其中为常数，函数与轴的交点为，函数的图象与y轴的交点为，函数在点的切线与函数在点处的切线互相平行．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）根据导数的几何意义分别求出在处与在处的切线的斜率，然后由两直线平行的充要条件求出的值；（Ⅱ）求导，然后由的符号求出函数的单调区间；（Ⅲ）原不等式等价于在区间上恒成立，设，求导，分、、讨论函数的单调性，从而求得实数的取值范围．试题解析：（Ⅰ）与坐标轴交点为，，与坐标轴交点为，解得，又，故（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令，显然函数在区间上单调递减，且当时，，在上单调递增当时，，在上单调递减故的单调递增区间为，单调递减区间为．（Ⅲ）原不等式等价于：在区间上恒成立．设，则令，时，在区间上单调递增，在上单调递增，不符合题意，舍去．当时，若，则在上单调递增，在上单调递减，不符题意，舍去．当时，在恒成立，在上单调递减，在上函数单调递减,即对上恒成立，综上所述，实数的取值范围是．【考点】1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性；3、不等式恒成立问题．21.（2007春•沙坪坝区校级期末）已知方程x2+（m+2）x+m+5=0有两个正根，则实数m的取值范围是（）A．m≤﹣2B．m≤﹣4C．m＞﹣5D．﹣5＜m≤﹣4【答案】D【解析】由方程x2+（m+2）x+m+5=0有两个正根，根据实数的性质，由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）可得，x1+x2＞0，x1•x2＞0，进而构造出m的不等式组，解不等式组，即可求出实数m的取值范围．解：若方程x2+（m+2）x+m+5=0有两个正根x1，x2，由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）可得：x 1+x2=﹣（m+2）＞0，x1•x2=m+5＞0解得：﹣5＜m＜﹣2，又由△＞0得，m＜﹣4，或m＞4，故：﹣5＜m＜﹣4故选D【考点】二次函数的性质．22.已知函数，若的图象与轴正半轴有两个不同的交点，则实数的取值范围为A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知关于的方程有两个不等的正根，设，则，令，得，分析可知在上单减，上单增，在处取得极小值，结合的图像可得，故选D．【考点】1．函数的零点问题．23.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（）．若，则实数的取值范围是．【答案】【解析】当时，，满足条件；当时，，为上的单调递增函数，也满足条件；当时，，要满足条件，需，即，综上实数的取值范围是【考点】分段函数图像与性质24.若命题P：所有的对数函数都是单调函数，则为（）A．所有对数函数都不是单调函数B．所有的单调函数都不是对数函数C．存在一个对数函数不是单调函数D．存在一个单调函数都不是对数函数【答案】C【解析】由题意得，根据命题的否定的定义，可知命题所有的对数函数都是单调函数，则为“存在一个对数函数不是单调函数”，故选C.【考点】命题的否定.25.已知函数的图象在点处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）设.①若是上的增函数，求的最大值；②是否存在，使得过点的直线若能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等. 若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）①3；②存在且点为．【解析】（1）已知图象在点处的切线方程为，说明有两个条件，一个是，一个是，由此可求得；（2）①问题可转化在上恒成立，即在上恒成立，即，这个问题可用换元法转化为二次函数的知识解决；②本题的实质就是求函数的对称中心，如能求得对称中心，这点就是点，如不能求出对称中心，说明不存在．求对称中心的基本方法是设对称中心为，则满足，由此恒等式可求得．即存在．试题解析：（1）时，，，在直线上，,即.（2）①，是上的增函数，，在上恒成立，令，则，设在上恒成立，恒成立，，实数的最大值为；②由，，，.表明：若点为图象上任意一点，则点也在图象上，而线段的中点恒为；由此可知图象关于点对称，这也表明存在点，使得过的直线若能与图象相交围成封闭图形，则这两个封闭图形面积相等.【考点】导数的几何意义，导数与单调性，函数的图象的对称性．【名师】（1）函数的图象关于直线对称对定义域的任意有；（2）函数的图象关于点对称对定义域的任意有．26.已知函数，则_________.【答案】【解析】由题意得，.【考点】指数、对数函数的运算.27.设函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意，恒成立，求实数的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，求得，根据导数的几何意义求得切线斜率，由直线的点斜式方程即可求得切线方程；（2）若对任意，恒成立，分离参数可得在上恒成立，设，，利用导数研究其单调性，求得，即得实数的取值范围.试题解析：（1）当时，，.则点处的切线的斜率为.故曲线在点处的切线方程为，即，即.（2）的定义域为，由题意知，在上恒成立，即在区间上恒成立.又，所以在区间上恒成立.设，，则.又令，，则.当时，，单调递减，所以.即在恒成立.所以在单调递增.所以.故.【考点】导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和函数的恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和函数的恒成立问题，考查了转化的思想及函数的思想，属于中档题.求曲线上某点的切线方程只需要根据导数的几何意义求出切线的斜率即可写出切线的点斜式方程；对于不等式在给定区间上的恒成立问题，首选的策略是看能否分离参数，本题中因为，系数的符号是确定的，便于分离参数，把问题转化为求定函数的最值问题，利用导数研究其单调性，求得其最大值即得实数的范围.28.若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，，所以在函数图象存在两点使条件成立，故A正确；函数的导数值均非负，不符合题意，故选A.【考点】导数的计算，导数的几何意义【名师】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好地考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.29.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=ln（1﹣x），则函数f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得在[0，1）上，f（x）为减函数，且f（x）＜0，从而得出结论．解：由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（1﹣x），故在[0，1）上，f（x）为减函数，且f（x）＜0，结合所给的选项，故选：C．30.曲线在点处的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，曲线在点处的切线方程是,故选A.【考点】利用导数求切线方程.31.已知函数为常数）的图象在处的切线方程为.（1）判断函数的单调性；（2）已知,且,若对任意,任意与中恰有一个恒成立, 求实数的取值范围.【答案】（1）递减（2）【解析】（1）由导数几何意义得，而所以，又解得（2）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：，，由于在上单调递减,所以，再利用变量分离转化为对应函数最值，，易得，；由于恰有一个恒成立,所以一真一假，解得实数的取值范围为试题解析：（1）由的定义域为,可得,由条件可得,把代入可得,,在上递减.（2）由（1）可知,在上单调递减,在上的最小值为,最大值为,只需,即，,对恒成立或对恒成立, 令,则,令可得.而恒成立,当时,单调递减；当时,单调递增.最大值为,而,显然,在上最大值为.又或,即或,实数的取值范围是.【考点】导数几何意义，利用导数研究不等式恒成立【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.32.定义在上的偶函数，对于，有，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因,故在上是减函数,故，应选B。
高中数学函数与导数练习题及参考答案
高中数学函数与导数练习题及参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1. 设函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-1，则f'(x)的值为：A. 6x^2-6x+4B. 6x^2-3x+4C. 6x^2-6x-4D. 6x^2-3x-42. 已知函数f(x)=e^(2x)-x，下列说法正确的是：A. f(x)的定义域为RB. f(x)的值域为RC. 对任意x∈R，f(x)≥0D. f(x)在R上递增3. 函数f(x)=log(2x+1)的定义域为：A. x>1/2B. x≥1/2C. x>1D. x≥-1/24. 函数f(x)=(x-2)^2-1的图像对称于：A. x轴B. y轴C. 原点D. 直线x=25. 函数f(x)=x^3+3x^2-x+2的最小值为：A. -∞B. -4C. 1D. 66. 函数f(x)=log_a(x^2-4)的定义域为：A. x>2B. x<-2C. x>2或x<-2D. x>07. 设函数f(x)=(x+1)e^x，则f'(x)=：A. (x+2)e^xB. xe^xC. (x+1)e^x+e^xD. (x+1)e^x+18. 函数y=2^(x^2)的图像在y轴的左侧为：A. 上拋曲线B. 下落曲线C. 开口向上的曲线D. 开口向下的曲线9. 函数f(x)=√(x-1)的定义域为：A. x>1B. x≥1C. x>0D. x≥010. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f''(x)的值为：A. 6x-6B. 6x-2C. 6x-3D. 6x-4二、计算题（每小题5分，共40分）1. 计算函数f(x)=e^(2x)-3x在x=1处的导数f'(1)的值。
解答：f'(x)=2e^(2x)-3f'(1)=2e^2-32. 已知函数y=log_a(x^2-4)，求f(x)在x=0处的导数f'(0)。
高三数学函数与导数试题答案及解析
高三数学函数与导数试题答案及解析1.（本小题满分12分）已知，其中均为实数，（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）设，求证：对恒成立；（Ⅲ）设，若对给定的，在区间上总存在使得成立，求m的取值范围．【答案】（Ⅰ）极大值，无极小值；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）【解析】第一问根据函数的极值的定义，结合导数求得函数的极值，注意虽然函数只有极大值，没有极小值，也得说明没有极小值，第二问注意对式子的变形，结合函数的单调性，将绝对值的符号去掉，构造一个新函数，从而判断出函数的单调性，可以有导数的符号来决定，从而求得结果，第三问根据题意，确定出函数的图像的走向以及函数值的取值，确定出两个函数的值域的关系，从而求得结果．试题解析：（Ⅰ）极大值，无极小值；（Ⅱ），,在上是增函数,在上是增函数设，则原不等式转化为即令即证，即在在恒成立即在，即所证不等式成立（3）由（1）得在所以，又，当时，在，不符合题意当时，要使得，那么由题意知的极值点必在区间内，即得，且函数在由题意得在上的值域包含于在和上的值域内，下面证时，，取，先证，即证令内恒成立再证【考点】函数的极值，函数的单调性，恒成立问题．2.（本小题满分14分）对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数．（Ⅰ）下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由；第一组：；第二组：；（Ⅱ）设，生成函数．若不等式在上有解，求实数的取值范围；（Ⅲ）设，取，生成函数使恒成立，求的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．【解析】本题主要考查简单的合理推理等基础知识，考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了存在性问题及最值问题，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，第二组，设，从而得，从而判断；第二问，化简，从而为，再设，则，从而得，从而化为最值问题；第三问，将函数使恒成立，转化成，再分情况讨论函数的最小值，即可得到b的取值范围．试题解析：（Ⅰ）①设，即，取，所以是的生成函数．②设，即，则，该方程组无解．所以不是的生成函数．（Ⅱ）若不等式在上有解，，即设，则，，，故，．（Ⅲ）由题意，得若，则在上递减，在上递增，则，所以，得若，则在上递增，则，所以，得．若，则在上递减，则，故，无解综上可知，【考点】简单的合理推理．3.（本小题满分12分）已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行．（1）求的值；（2）判断函数的单调性；（3）求证：当时，【答案】（1）；（2）在上是增函数；（3）见解析．【解析】（1）对函数求导，由可得；（2）求导得，为研究其符号，令，再求导，研究其符号可得在区间恒成立，从而得函数的单调性；（3）由函数的单调性可知，令，求导研究其单调性可知，从而可证结论成立．试题解析：（1），令,得，解得．（2分）（2）由（1）知，，．再令则当时,, 递增;当时，, 递减;∴在处取得唯一的极小值，即为最小值．即∴,∴在上是增函数．（6分）（3）要证，即证，由（1）知，当时，为增函数，故故．令，则，∵, ∴∴即在上是减函数，∴时，，（11分）所以，即．所以．【考点】1．导数的几何意义；2．导数与函数的单调性；3．函数与不等式．4.（本小题满分12分）若关于x的方程有两个相等的实数根．（1）求实数a的取值范围．（2）当a＝时，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】第一问根据方程有两相等实根，从而得到其判别式等于零，从而求得，结合题中所给的角的范围，从而求得，结合角的范围，求得的范围，第二问将的值代入，从而求得的值，从而求得结果．试题解析：（1）依题意得，，∵，∴≠0，则a＝，∵，∴ 0＜＜1，∴ 0＜a＜2（2）a＝时，，又，．【考点】一元二次方程根的个数，同角三角函数关系式，正余弦和差积的关系．5.（本小题满分12分）如图是函数f（x）＝x3－2x2＋3a2x的导函数y＝的简图，它与x 轴的交点是（1,0）和（3,0）（1）求函数f（x）的极小值点和单调递减区间；（2）求实数a的值．【答案】（1）是函数的极小值点，函数的单调减区间是;（2）．【解析】（1）导数大于0得增区间,导数小于0得减区间．在左侧,右侧．所以在处取的极小值．（2）先求导,由导数图像可知和是的两根,将和分别代入可求得的值．试题解析：解:（1）由图象可知：当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；当时，，在为增函数；∴是函数的极小值点，函数的单调减区间是．（2），由图知且∴∴【考点】1导数图像;2函数的单调性,极值．6.已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（注：为自然对数的底数）（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作出函数和的图象，将方程问题转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．作出函数的图象如图：当y=ax对应的直线和直线平行时，满足两个函数图象有两个不同的交点，直线y=ax和函数f（x）相切时，当x＞1时，函数，设切点为（m，n），则切线斜率，则对应的切线方程为，即又∵直线切线方程为y=ax，∴，解得，即此时，此时直线y=ax与f（x）只有一个交点，不满足条件，若方程f（x）=ax恰有两个不同的实根时，则满足；故选B．【考点】1、分段函数的应用；2、根的存在性及根的个数判断．【方法点晴】本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数作出函数的图象，再利用数形结合是解决本题；求函数某过点的切线方程的方法：先设出切点，利用导数表示出切线的斜率，进而写出切线的方程，最后由过的点的坐标求出切点坐标，从而求出切线方程．7.函数的一个零点落在下列哪个区间（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，，所以函数的一个零点落在区间内；故选B．【考点】零点存在判定定理．8.设曲线y＝在点（3，2）处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a等于（）A．2B．C．－2D．－【答案】C【解析】，，由导数的几何意义可得曲线在处的切线斜率为，又直线的斜率为，依题意可得，解得．故C正确．【考点】1导数的几何意义；2直线垂直．9.设函数，（1）若函数在处与直线相切；①求实数，的值；②求函数上的最大值；（2）当时，若不等式对所有的，都成立，求实数的取值范围．【答案】（1）①，，②；（2）．【解析】（1）①根据题意，可知，，从而课建立关于，的方程组，即可求解，②通过①中求得的，的值可确定的解析式，从而课通过求导判断在上的单调性即可求其最大值；（2）参变量分离后可知，从而问题等价于求，通过变换主元后，可将视为关于的一次函数，即可求其最小值，从而求解．试题解析：（1）①，∵函数在处与直线相切，∴，解得；②，，当时，令，得；令，得，∴在上单调递增，在上单调递减，∴；（2）当时，，∴问题等价于对所有的，都成立，令，∵，∴，故为关于的一次函数，∴，∴对所有的都成立，∴．【考点】1．导数的运用；2．恒成立问题．【方法点睛】函数与导数相结合的问题需要具备识图，推断，联想，构造的能力，常见的解决问题的策略有：①画草图，特点关注特特殊点：零点，极值点；②掌握单调性和导函数正负的关系，不能与原函数混淆；③常常需要根据条件特点，找到隐藏的原函数，，，；④含参的恒成立问题，通常考虑参变分离转化为求函数最值处理．10.某市政府欲在如图所示的矩形的非农业用地中规划出一个休闲娱乐公园（如图中阴影部分），形状为直角梯形（线段和为两条底边），已知，，，其中曲线是以为顶点、为对称轴的抛物线的一部分．（1）以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，求曲线所在抛物线的方程；（2）求该公园的最大面积．【答案】（1）；（2）.【解析】第一问根据图形以及题中所给的条件，判断出抛物线是开口向上的抛物线，设出相应的方程（），由已知可知在抛物线上，将其代入抛物线方程，求得，从而确定出抛物线的方程；第二问根据题意，确定好点和的坐标，从而确定出所在直线的方程为，设（），将公园的面积应用梯形的面积公式转化为关于的关系式，应用导数确定出其最值点，从而求得结果.试题解析：（1）设所在抛物线的方程为（），抛物线过，，得，所在抛物线的方程为，（2）又，，则所在直线的方程为，设（），则，，，公园的面积（），，令，得或（舍去负值），当变化时，和的变化情况如下表：极大值当时，取得最大值．故该公园的最大面积为．【考点】抛物线的方程，导数的应用.【方法点睛】该题考查的是函数的应用题，属于中档题目，在解题的过程中，重点工作是确定抛物线的方程，根据所建立的坐标系，结合曲线上点的坐标，代入求得抛物线的方程，第二问将图形的面积表示为关于的函数，利用导数求得函数的单调区间，从而确定出函数在哪个点取得最大值，从而代入解析式，求得结果.11.如图，点O为坐标原点，点A（1，1）．若函数且及且的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，且，恰好是线段的两个三等分点所以，把代入函数，即，解得把代入函数，即，即得所以故答案选【考点】指数函数和对数函数．12.函数为上增函数的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数为上增函数的一个充分不必要条件是在上恒成立，所以，因为，所以，故选B．【考点】1、导数与单调性；2、恒成立问题；3、充要条件．【方法点睛】恒成立问题与存在性问题的常见形式：①恒成立问题的转化：恒成立；；②能成立问题的转化：能成立；能成立；③恰成立问题的转化：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值；④设函数、，对任意的，存在，使得，则．13.下列函数中，在内有零点且单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项定义域为，不合题意；C选项在内既有增又有减，不合题意；D．，在内单调递减，故选B【考点】函数的单调性和零点14.（）A．B．C．D．【答案】B【解析】计算对数式时，要先把底数化成同底的，再进行运算．．故选B．【考点】对数的运算性质．15.已知函数．（1）当时，求在区间上的最大值；（2）若在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】利用导数判断函数在区间上的单调性，进而看得出函数的最大值；（2）构造函数通过导数讨论函数的单调性得出函数的极值进而得到的取值范围；（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论．试题解析：（1）当时当,有；当，有，在区间上是增函数，在上为减函数，又（2）令，则的定义域为在区间上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间上恒成立．①①若，令，得极值点当，即时，在（，1）上有，在上有，在上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有不合题意；当，即时，同理可知，在区间上，有，也不合题意；②若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是．综合①②可知，当时，函数的图象恒在直线下方．【考点】函数与导数性质的应用．16.已知函数f（x）=，曲线在点（0,2）处的切线与轴交点的横坐标为-2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）当时，曲线与直线只有一个交点,求x的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】利用导数的几何意义求曲线在点处的斜率，然后根据直线过两点再次得到直线的斜率，列出方程得到的值．（2）根据曲线与直线只有一个交点,可以得到方程有唯一解,构造函数，然后利用函数的性质得到x的取值范围（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论．．试题解析：（I）由,知,而曲线在点处的切线过点,，（II）法一时，曲线与直线只有一个交点,时方程有唯一解,即有唯一解．当x=0时，显然无解．当时，变形为，令，由，知时，为增函数，时，为减函数，故时，．而，故方程①无解．若,，为减函数,且,即时，故时，方程①有唯一解，综上知，所求x的取值范围是．法二时，曲线与直线只有一个交点,时方程（）有唯一解,当x=0时，显然无解．当时，变形为，解得．令,知,当，时，在，单调递减，故，，有唯一解．综上知，所求x的取植范围是【考点】函数与导数性质的应用．17.已知函数.（Ⅰ）设函数，求函数的单调区间；（Ⅱ）若不等式≤在区间[1，e]（e=2.71828…）的解集为非空集合，求实数的取值范围.【答案】（I）当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；（II）或.【解析】（I）由函数可知函数，显然无法利用单调性的定义来求单调区间，所以用导函数法来求其单调区间，，对进行分类讨论，并令可求得的单调区间；（II）由题意可得在区间上有解，即的极小值（最小值）为负数或零，结合的单调性，列不等式，求的取值范围.试题解析：(1) ,定义域为（0，+∞），①当即时，令，令，得故在上单调递减，在上单调递增②当即时，恒成立，在（0，+∞）上单调递增。
高三数学 导数解答题专项训练(含解析)
高三数学 导数解答题专项训练（含解析）1、已知函数1ln(1)()(0)x f x x x++=>． （Ⅰ）函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数还是减函数？证明你的结论； （Ⅱ）当0x >时，()1kf x x >+恒成立，求整数k 的最大值； （Ⅲ）试证明：23(112)(123)(134)(1(1))n n n e -+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++>L ．2、设函数41)(2+=x x f ，)2ln(21)(ex x g =，（其中e 为自然底数）； （Ⅰ）求)()(x g x f y -=（0>x ）的最小值；（Ⅱ）探究是否存在一次函数b kx x h +=)(使得)()(x h x f ≥且)()(x g x h ≥对一切0>x 恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由； （Ⅲ）数列{}n a 中，11=a ，)2)((1≥=-n a g a n n ，求证：83)(111∑=++<⋅-nk k k ka a a。
3、已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．（1）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；（2）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 的取值范围；（3）当1->>e y x 时，求证：)1ln()1ln(++>-y x e yx ．4、已知函数mx x x f ++=21ln )(．（Ⅰ）若)(x f 为定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当1-=m 时,求函数)(x f 的最大值； （Ⅲ）当1=m ,且10≤<≤a b 时，证明:2)()(34<--<ba b f a f ．5、已知函数()ln f x x a x =-，1()()ag x a R x+=-∈． （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；（Ⅲ）若在区间[1,]( 2.71828......)e e =上不存在．．．0x ，使得00()()f x g x <成立，求实数a 的取值范围．6、函数()ln f x ax x x b =++是奇函数，且图像在点(,())e f e 处的切线斜率为3（e 为自然对数的底数）．（1）求实数a 、b 的值；（2）若k Z ∈，且()1f x k x <-对任意1x >恒成立，求k 的最大值； （3）当1(,)m n m n Z >>∈时，证明：()()nmm n nm mn >．7、已知函数1()ln sin g x x x θ=+在[)1,+∞上为增函数,且(0,)θπ∈，θ为常数，1()ln ()m f x mx x m R x-=--∈． （1）求θ的值；（2）若()()y f x g x =-在[)1,+∞上为单调函数,求m 的取值范围； （3）设2()eh x x=,若在[]1,e 上至少存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立，求 m 的取值范围．8、已知函数()ln()x f x e a =+（a 为常数，e 是自然对数的底数）是实数集R 上的奇函数，函数x x f x g sin )()(+=λ是区间[－1，1]上的减函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若2()1g x t t λ≤++在[1,1]x ∈-及λ所在的取值范围上恒成立，求t 的取值范围； （Ⅲ）试讨论函数m ex x x f xx h -+-=2)(ln )(2的零点的个数．9、已知函数2()(25)5ln ()f x ax a x x a R =-++∈．（Ⅰ）若曲线()y f x =在3x =和5x =处的切线互相平行，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间； （Ⅲ）设25()-2g x x x =，若对任意15(0,]2x ∈，均存在25(0,]2x ∈，使得12()()f x g x <， 求a 的取值范围．10、已知函数bx x x g x x f -==221)(,ln )(（b 为常数）。
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（Ⅰ）当(0,1)x ∈时，求()f x 的单调性； （Ⅱ）若2()()()h x x x f x =-•，且方程()h x m =有两个不相等的实数根1x ，2x ．求证：121x x +>．
理科函数与导数
答 案
1．A
2．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
3．6(31)n -
4．解：（Ⅰ）化简可得21()sin 3sin cos 2
f x x x x =+- 131(1cos 2)sin 2222
31sin 2cos 222
πsin(2)6
x x x x x =-+-=-=- 由ππ3π2π22π262k x k +≤-≤+可得π5πππ36
k x k +≤≤+， ∴()f x 的单调区间为π5π[π,π]()36
k k k ++∈Z ； （Ⅱ）由（1）知π()sin(2)6
f x x =-， 当(0,π)x ∈时，ππ11π2666
x -<-<， 结合正弦函数的图像，当ππ262x -=，即π3
x =时，()f x 取得最大值， ∵()f A 是()f x 在(0,π)上的最大值，
∴π3
A =
， 在ABC △中，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 即211216242b b =+-⨯⨯，
解得2b =，
∴ABC △的面积11πsin 24sin 23223S bc A ==
⨯⨯=． 5．解：（Ⅰ）()1ln ln 1x x f x x x
=+•=+' 1x =时，)1(1f '=，0(1)f =，
故()f x 在1x =处的切线方程是：1y x =-，
联立212y x y x ax =-⎧⎨'=-+-⎩
消去y 得：2(1)10x a x +-+=，
由题意得：2(1)40a -=-=△，
解得：3a =或1-；
（Ⅱ）由（1）得：l 1(n )x f x =+'，
1(0,)e
x ∈时，)0(f x '<，()f x 递减， 1(,)e
x ∈+∞时，)0(f x '>，()f x 递增， ①1104e t t <<+≤，即110e 4
t <≤-时， min 111)ln )444
()()((f x f t t t ==+++， ②110e 4t t <<<+，即111e 4e
t -<<时， min e ()1e
)(1f x f -==； ③11e 4t t ≤<+，即1e
t ≥时，()f x 在[1,4]t t +递增， min ())ln (f x f t t t ==； 综上，min
1111)ln ),044e 41111,e e 4e 1l (e (,()n f x t t t t t t t ++<≤--⎧⎪⎪-<<≥⎪=⎨⎪⎪⎪⎩； 因此(0,)x ∈+∞时，min max 1()()e f x m x ≥-≥恒成立，
又两次最值不能同时取到，
故对任意(0,)x ∈+∞，都有2ln e e
x x x x >-成立．
高三数学专题练习 理科函数与导数 解 析
1．解析：令12
()e ()x g x f x =，则11122211()e ()e ()e (()2())22x x x g x f x f x f x f x '''=+=+， ∵函数()f x 满足()2()0f x f x '+>，
∴()0g x '>，
∴函数()g x 在定义域内为增函数，
∴(1)(0)g g >，即12
e (1)(0)
f f >，亦即(0)(1)e f f >， 故选：A ．
2．解析：∵()1cos 0f x x '=+≥，
∴()sin f x x x =+在实数R 上为增函数，
又∵()sin ()f x x x f x -=--=-，
∴()sin f x x x =+为奇函数，
∴2222222222(23)(41)0(23)(41)
(23)(41)2341(2)(1)1f y y f x x f y y f x x f y y f x x y y x x x y -++-+≤⇔-+≤--+⇔-+≤-+-⇔-+≤-+-⇔-+-≤， 由22(2)(1)11x y y ⎧-+-≤⎨≥⎩
可知，该不等式组所表示的区域为以点(2,1)C 为圆心，1为半径的上半个圆，1
y x +表示的几何意义为点(,)P x y 与点(1,0)M -连接的斜率，作出半圆与点P 连线，数形结合可得1
y x +的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
3．解析：依题意，可得右图：()2f x = 1226x x +=⨯，
34218x x +=⨯，
…，
212223n n n x x -+=⨯⨯，
2122123(31)...4(33...3)46(31)31n n
n n n x x x x --++++=⨯+++=⨯=⨯--．。