【新高考】2.2 基本不等式练习(2)-人教A版必修第一册(解析版)

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高中数学2-2基本不等式第2课时基本不等式的应用课时作业新人教A版必修第一册

2．2 基本不等式第2课时基本不等式的应用必备知识基础练1．[2022·广东惠州高一期末]若a >1，则a ＋1a －1有( ) A ．最小值为3 B ．最大值为3 C ．最小值为－1 D ．最大值为－1 2．函数y ＝x ＋16x ＋2(x >－2)取最小值时x 的值为( ) A ．6 B ．2 C ． 3 D ． 63．[2022·湖南衡阳高一期末]已知x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1，求1x ＋4y的最值( )A ．最大值9B ．最小值9C ．最大值4D ．最小值44．在班级文化建设评比中，某班设计的班徽是一个直角三角形图案．已知该直角三角形的面积为50，则它周长的最小值为( )A ．20B ．10 2C ．40D ．102＋205．若正实数m ，n 满足2m ＋1n＝1，则2m ＋n 的最小值为( )A ．4 2B ．6C ．2 2D ．96．[2022·湖北武汉高一期末](多选)下列说法正确的是( ) A ．x ＋1x(x >0)的最小值是2B ．x 2＋2x 2＋2的最小值是 2C ．x 2＋5x 2＋4的最小值是2D ．2－3x －4x的最小值是2－4 37．若x >－1，则x ＋1x ＋1的最小值是________，此时x ＝________． 8．用一根铁丝折成面积为π的长方形的四条边，则所用铁丝的长度最短为________．关键能力综合练1．[2022·湖南长郡中学高一期末]已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝－b 2－2b ＋3(b ∈R )，则p ，q 的大小关系为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．p <q2．已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－2 2C ．6－4 2D ．6＋4 23．[2022·福建莆田一中高一期末]函数f (x )＝x 2－4x ＋5x －2(x ≥52)有( )A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值24．[2022·山东薛城高一期末]已知a ，b ∈R ＋，且a ＋2b ＝3ab ，则2a ＋b 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．95．[2022·湖南雅礼中学高一期末]近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a 元/斤、b 元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单价分别记为m 1，m 2，则下列结论正确的是( )A ．m 1＝m 2B ．m 1>m 2C ．m 2>m 1D ．m 1，m 2的大小无法确定6．[2022·山东枣庄高一期末]设正实数m 、n 满足m ＋n ＝2，则( )A ．n m ＋2n的最小值为2 2 B ．m ＋n 的最小值为2 C ．mn 的最大值为1 D ．m 2＋n 2的最小值为27．函数f (x )＝4x 2＋1x(x >0)取得最小值时x 的取值为________．8．[2022·河北唐山高一期末]当x >0时，函数f (x )＝xx 2＋1的最大值为________．9．已知x ，y ∈R ＋，且满足x ＋2y ＝2xy ，那么x ＋4y 的最小值？xy 的最小值？10．做一个体积为48 m 3，高为3米的无上边盖的长方体纸盒，底面造价每平方米40元，四周每平方米为50元，问长与宽取什么数值时总造价最低，最低是多少？核心素养升级练1．已知a >0，b >0，1a ＋1b＝1，若不等式2a ＋b ≥m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．2＋ 3B ．3＋ 2C ．3＋2 2D ．52．一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于(v20)2km ，那么这批物资全部运到B 市，最快需要________小时，(不计货车的车身长)，此时货车的速度是________ km/h.3．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：(1)已知正实数x 、y 满足2x ＋y ＝1，求1x ＋12y 的最小值．甲给出的解法：由1＝2x ＋y≥22x ·y ，得xy ≤24，所以1x ＋12y≥2 1x ·12y ＝2xy≥4，所以1x ＋12y 的最小值为4.而乙却说甲的解法是错的，请你指出其中的问题，并给出正确的解法；(2)结合上述问题(1)的结构形式，试求函数y ＝1x ＋12－3x (0<x <23)的最小值．第2课时基本不等式的应用必备知识基础练1．答案：A解析：∵a >1，∴a －1>0， ∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝3，当且仅当a －1＝1a －1即a ＝2时取等号，∴a ＋1a －1有最小值为3. 2．答案：B解析：因为x >－2，所以x ＋2>0，所以y ＝x ＋16x ＋2＝x ＋2＋16x ＋2－2≥2 （x ＋2）·16x ＋2－2＝6，当且仅当x ＋2＝16x ＋2且x >－2，即x ＝2时等号成立． 3．答案：B解析：因为x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1，则1x ＋4y ＝(1x ＋4y )(x ＋y )＝5＋y x ＋4xy≥5＋2y x ·4xy＝9，当且仅当x ＝13，y ＝23时，1x ＋4y 有最小值9.4．答案：D解析：设两直角边分别为a ，b ，则斜边为a 2＋b 2，所以该直角三角形的面积为S ＝12ab ＝50，则ab ＝100，周长为a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝20＋102，当且仅当a ＝b ＝10时等号成立，故周长的最小值为102＋20. 5．答案：D解析：正实数m ，n 满足2m ＋1n＝1，2m ＋n ＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2nm≥5＋4＝9，等号成立的条件为：m n ＝n m⇒m ＝n ＝3. 6．答案：AB解析：当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2(当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号)，A 正确； x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2，因为x 2≥0，所以x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，B 正确； x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4≥2，当且仅当x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＝－3时，等号成立，显然不成立，故C 错误；当x ＝1时，2－3x －4x＝2－3－4＝－5<2－43，D 错误．7．答案：1 0 解析：因为x >－1，所以x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1≥2 （x ＋1）·1x ＋1－1＝1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时，等号成立，所以其最小值是1，此时x ＝0. 8．答案：4π解析：设长方形的长宽分别为a ，b (a >0，b >0)，所以ab ＝π，所用铁丝的长度为2(a ＋b )≥4ab ＝4π，当且仅当a ＝b ＝π时取等号．关键能力综合练1．答案：A解析：因为a >2，可得p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2 （a －2）·1a －2＋2＝4，当且仅当a －2＝1a －2时，即a ＝3时，等号成立，即p ≥4，又由q ＝－b 2－2b ＋3＝－(b ＋1)2＋4，所以q ≤4，所以p ≥q . 2．答案：D解析：1a ＋1b ＋1c＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c )＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2bc ≥4＋22ba·a b＋2c a ·a c＋2c b ·2bc ＝6＋42，当且仅当2b a＝a b ，c a ＝a c ，c b＝2bc时，等号成立，即a 2＝c 2＝2b 2时，等号成立． 3．答案：D解析：方法一 ∵x ≥52，∴x －2>0，则x 2－4x ＋5x －2＝（x －2）2＋1x －2＝(x －2)＋1（x －2）≥2，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立．方法二令x －2＝t ，∵x ≥52，∴t ≥12，∴x ＝t ＋2.将其代入，原函数可化为y ＝（t ＋2）2－4（t ＋2）＋5t ＝t 2＋1t ＝t ＋1t≥2t ·1t＝2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1时等号成立，此时x ＝3.4．答案：A解析：因为a ＋2b ＝3ab ，故2a ＋1b＝3，故2a ＋b ＝13(2a ＋b )(2a ＋1b )＝13(5＋2b a ＋2a b )≥13(5＋4)＝3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，故2a ＋b 的最小值为3. 5．答案：C解析：根据题意可得m 1＝20＋2020a ＋20b＝2ab a ＋b ≤2ab2ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，m 2＝6a ＋6b 12＝a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，由题意可得a ≠b ，所以m 1<ab ，m 2>ab ，则m 2>m 1. 6．答案：CD解析：对于选项A ，因为m >0，n >0，m ＋n ＝2，所以n m ＋2n ＝n m＋m ＋n n＝n m ＋m n＋1≥2n m ·mn＋1＝2＋1＝3，当且仅当n m ＝m n且m ＋n ＝2，即m ＝n ＝1时取等号，则A 错误；对于选项B, (m ＋n )2＝m ＋n ＋2mn ＝2＋2mn ≤2＋m ＋n ＝4，当且仅当m ＝n ＝1时等号成立，则m ＋n ≤2，即m ＋n 的最大值为2，则B 错误；对于选项C ，m ＋n ≥2mn ，即mn ≤(m ＋n2)2＝1，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，则C正确；对于选项D, m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4－2mn ≥4－2(m ＋n2)2＝2，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，则D 正确．7．答案：12解析：x >0，f (x )＝4x ＋1x≥24x ·1x ＝4，当且仅当4x ＝1x ⇒x ＝12时取“＝”．8．答案：12解析：∵x >0，∴f (x )＝xx 2＋1＝1x ＋1x≤12x ×1x＝12，当且仅当x ＝1时取等号，即函数f (x )＝xx 2＋1的最大值为12. 9．解析：x ＋2y ＝2xy ，则1x ＋12y＝1，故x ＋4y ＝(x ＋4y )(1x ＋12y )＝1＋4y x ＋x 2y ＋2≥3＋22，当且仅当4y x ＝x2y 即x ＝22y 时等号成立，x ＋4y 的最小值为3＋2 2.又1x ＋12y ＝1≥2 12xy，解得xy ≥2，当且仅当x ＝2y ＝2时等号成立，xy 的最小值为2.10．解析：设长方体底面的长为a m ，宽为b m ，显然a ，b >0，则3ab ＝48，故b ＝16a，总造价为y 元，则y ＝2(3a ＋48a )×50＋16×40＝300(a ＋16a)＋640≥300×2a ·16a＋640＝3 040，当且仅当a ＝16a，即a ＝b ＝4时等号成立，∴当底面的长与宽均为4米时总费用最少，最少为3 040元．核心素养升级练1．答案：C解析：由不等式2a ＋b ≥m 恒成立可知，只需m 小于等于2a ＋b 的最小值，由a ＞0，b ＞0，1a ＋1b＝1，可得2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋1b )＝3＋b a ＋2ab≥3＋2b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b时取等号，∴m ≤3＋22，∴m 的最大值为3＋2 2.2．答案：8 100解析：设这批物资全部运到B 市用的时间为y 小时，因为不计货车的身长，所以设货车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16×(v20)2千米时，时间最快．则y ＝（v20）2×16＋400v ＝v 25＋400v≥2v25×400v＝8，当且仅当v 25＝400v即v ＝100千米/小时时，时间y min ＝8小时．3．解析：(1)甲的解法中两次用到基本不等式，取到等号的条件分别是2x ＝y 和x ＝2y ，显然不能同时成立，故甲的解法是错的．正确的解法如下：因为x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，所以1x ＋12y ＝(2x ＋y )(1x ＋12y )＝52＋y x ＋x y ≥52＋2 y x ·x y ＝92，当且仅当y x ＝x y ，即x ＝y ＝13时取“＝”，所以1x ＋12y 的最小值为92.(2)因为0<x <23，所以0<2－3x <2，所以y ＝1x ＋12－3x＝12[3x ＋(2－3x )][1x ＋12－3x ] ＝12(4＋3x 2－3x ＋2－3x x ) ≥12(4＋2 3x 2－3x ·2－3xx)＝2＋3，当且仅当3x 2－3x ＝2－3xx ，即x ＝1－33∈(0，23)时取“＝”，所以y ＝1x ＋12－3x (0<x <23)的最小值为2＋ 3.。

2021年人教版高中数学必修第一册随堂练习：第2章《2.2第2课时基本不等式的应用》(含答案详解)

2021年人教版高中数学必修第一册随堂练习：第2章《2.2第2课时基本不等式的应用》(含答案详解)1、第2课时基本不等式的应用学习目标核心素养1.娴熟把握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点)2．会用基本不等式求解实际应用题．(难点)1.通过基本不等式求最值，提升数学运算素养．2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培育数学建模素养.已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )A. B．4C. D．5C [∵a＋b＝2，∴＝1.∴＋＝＝＋≥＋2＝2、.故y＝＋的最小值为.]9n2．若x0，则x＋的最小值是________．2 [x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立．]3．设x，y∈N*满足x＋y＝20，则xy的最大值为________．100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋y≥2，∴xy≤100.]利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x，求y＝4x－2＋的最大值；(2)已知0x，求y＝x(1－2x)的最大值．[思路点拨] (1)看到求y＝4x－2＋的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y＝x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．[解] (1)∵x，∴5－4x0，3、∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x ＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.(2)∵0x，∴1－2x0，∴y＝×2x(1－2x)≤×2＝×＝.9n∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝.利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对比已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，转变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章§3.2函数的基本性质中学习.1．(1)已知4、x0，求函数y＝的最小值；(2)已知0x，求函数y＝x(1－3x)的最大值．[解] (1)∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝即x ＝2时等号成立．故y＝(x0)的最小值为9.(2)法一：∵0x，∴1－3x0.∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤2＝.当且仅当3x＝1－3x，即x ＝时，等号成立．∴当x＝时，函数取得最大值.法二：∵0x，∴－x0.9n∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·2＝，当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立．∴当x＝时，函数取得最大值.利用基本不等式求条件最值【例2】5、已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．[解] ∵x ＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当即时，等号成立，故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．[解] ∵x，y∈R＋，∴＋＝(x＋2y)＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18.当且仅当＝时取等号，9n结合x＋2y＝1，得x＝，y＝，∴当x＝，y＝时，＋取到最小值18.1．此题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是常常使用的方法，要学会观看、学会变形．6、2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有f(x)＝ax＋型和f(x)＝ax(b－ax)型．2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值．[解] 法一：＋＝·1＝·(a＋2b)＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当即时等号成立．∴＋的最小值为3＋2.法二：＋＝＋＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2，当且仅当即时，等号成立，∴＋的最小值为3＋2.利用基本不等式解决实际问题9n【例3】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎7、笼面积最大？[解] 设每间虎笼长xm，宽ym，则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.法一：由于2x＋3y≥2＝2，所以2≤18，得xy≤，即Smax＝，当且仅当2x ＝3y时，等号成立．由解得故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.∵x0，∴0y6，S＝xy＝y＝y(6－y)．∵0y6，∴6－y0.∴S≤2＝.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．1．在应8、用基本不等式解决实际问题时，应留意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；9n(4)正确写出答案．2．对于函数y＝x＋(k0)，可以证明0＜x≤及－≤x＜0上均为减函数，在x≥及x≤－上都是增函数．求此函数的最值时，若所给的范围含±时，可用基本不等式，不包含±时，可用函数的单调性求解(后面第三章3.2函数的基本性质中学习)．3．某单位用2160万元购得一块空地，打算在该地块上建筑一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算9、，假如将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝[解] 设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝.∴每平方米的平均综合费用y＝560＋48x＋＝560＋48.当x＋取最小值时，y有最小值．∵x0，∴x＋≥2＝30.当且仅当x＝，即x＝15时，上式等号成立．∴当x＝15时，y有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．1．利用基本不等式求最值，要留意使用的条件“一正二定三相等”，三个10、条件缺一不行，解题时，有时为了到达使用基本不等式的三个条件，需要通过配凑、9n裂项、转化、分别常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是常常使用的工具，但若对自变量有限制，肯定要留意等号能否取到.1．思索辨析(1)两个正数的积为定值，肯定存在两数相等时，它们的和有最小值．( )(2)若a0，b0且a＋b＝4，则ab≤4.()(3)当x1时，函数y＝x＋≥2，所以函数y的最小值是2.( )[提示] (1)由a＋b≥2可知正确．(2)由ab≤2＝4可知正确．(3)不是常数，故错误．11、[答案] (1)√(2)√(3)×2．若实数a、b满足a＋b＝2，则ab的最大值为( )A．1 B．2 C．2 D．4A [由基本不等式得，ab≤2＝1.]3．已知0x1，则x(3－3x)取最大值时x的值为( )A.B.C.D.A [∵0x1，∴1－x0，则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×2＝，9n当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．]4．已知x0，求y＝的最大值．[解] y＝＝.∵x0，∴x＋≥2＝2，∴y≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．9。

2_2 基本不等式-高中数学人教A版(2019)必修第一册

第二章一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式（第1课时）2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标思考1：这图案中含有怎样的几何图形？思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？三国时期吴国的数学家赵爽，用来证明勾股定理。

22222222)2(2)()214c b a c a ab b ab c a b ab =+∴=+−+∴=−+⋅ （证明：a b （1）大正方形边长为___________，面积S 为______________（2）四个直角三角形________，面积和S’为_______________（3）S 与S’的大小关系是_________，故有_______（4）S 与S’可能相等吗？满足什么条件时相等？22b a +22b a +全等ab2'S S >ab b a 222>+a b 上述结论可描述为：ab b a b a 20,022≥+>>时，当成立吗？如何证明？为任意实数时，上式还、）当（b a 5时取等）。

当且仅当证明：b a ab b a b ab a b a =≥+∴≥+−∴≥−(2020)(22222 此不等式称为重要不等式1、基本不等式0,0,,,,a b a b a b >>如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2a b a b+⋅≥2a b ab +≥替换后得到：即：),0,0(时取等当且仅当b a b a =>>2a b ab +≥即：基本不等式ab b a ≥+2注意：0,01>>b a 、时取等、取等条件：当且仅当b a =2叫几何平均数叫算术平均数，、ab ba 23+基本不等式的几何解释A B C D E a b O 如图, AB 是圆的直径, O 为圆心，点C 是AB 上一点, AC=a , BC=b . 过点C 作垂直于AB 的弦DE,连接AD 、BD 、OD.②如何用a , b 表示CD? CD=______①如何用a , b 表示OD? OD=______2+a bab③OD 与CD 的大小关系怎样? OD_____CD ≥几何意义：半径不小于半弦长定理当点C 在什么位置时OD=CD ？此时a 与b 的关系是？基本不等式的证明2a b ab +≥证明：要证只要证_______a b +≥只要证_____0a b +−≥只要证2(______)0−≥显然, 上式是成立的.当且仅当a =b 时取等。

2.2 基本不等式(精练)(解析版)-人教版高中数学精讲精练(必修一)

3．（2022·广东·深圳市高级中学高一期末）设正实数 x, y 满足 2x y 1，则 xy 的最大值为（
）
A．
1 2
【答案】C
B． 1 4
C． 1 8
D． 1 16
【解析】由基本不等式可得 2x y 2 2xy ，即 2 2xy 1，解得 xy 1 ， 8
当且仅当 2x y ，即 x 1 ， y 1 时，取等号，故选：C.
4
2
4．（2022·浙江杭州·高一期末）若 a,b 为正实数，且 ab 1 ，则 a 2b 的最小值为（
）
A． 2 【答案】D
B． 3 2
C．3
D． 2 2
【解析】因为 a,b 为正实数， ab 1，所以 a 2b 2 2ab 2 2 ，当且仅当 a 2b ，即 a 2 ， b 2 时取等号.所以 a 2b 的最小值为 2 2 .故选：D
）
A．2 【答案】A
B． 12 7
C． 5 2
D．3
【解析】由 4x4 9x2 y2 2y4 1，得 4x2 y2
x2 2y2
1
4x2
y2
2
x2
2y2
2
5x2
2
3y2
2 ，
即 4 5x2 3y2 2 ，所以 5x2 3y2 2 ，当且仅当 4x2 y2 x2 2y2 ，即 y2 3x2 3 时，等号成立，所以 7
5x2 3y2 的最小值是 2.故选：A.
6．（2022·甘肃·永昌县）（多选）已知 a＞0，b＞0，a＋b＝2，则对于 1 4 ，下列说法准确的是（
）
ab
A．取得最小值时
a＝
2 3
B．最小值是 5
C．取得最小值时

人教A版高中数学第一册(必修1)课时作业3：§2.2 第2课时基本不等式的应用练习题

第2课时基本不等式的应用1．已知x >0，则9x ＋x 的最小值为( )A ．6B ．5C ．4D ．3 『答案』 A『解析』 ∵x >0，∴9x＋x ≥2x ·9x＝6，当且仅当x ＝9x ，即x ＝3时，等号成立．2．已知x >－2，则x ＋1x ＋2的最小值为( )A ．－12B ．－1C ．2D ．0『答案』 D『解析』 ∵x >－2，∴x ＋2>0， ∴x ＋1x ＋2＝x ＋2＋1x ＋2－2≥2－2＝0，当且仅当x ＝－1时，等号成立．3．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则ab 的最大值为( ) A ．1B ．22C ．2D ．4 『答案』 A『解析』由基本不等式得，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 4．(多选)设y ＝x ＋1x －2，则( )A ．当x >0时，y 有最小值0B ．当x >0时，y 有最大值0C ．当x <0时，y 有最大值－4D ．当x <0时，y 有最小值－4 『答案』 AC『解析』当x >0时，y ＝x ＋1x －2≥2x ·1x－2 ＝2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，故A 正确，B 错误；当x <0时，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时，等号成立，故C 正确，D 错误．5．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16B ．25C ．9D ．36 『答案』 B『解析』 (1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋(1＋y )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(x ＋y )22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25，当且仅当1＋x ＝1＋y ，即x ＝y ＝4时，等号成立． 6．已知a >0，b >0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是________．『答案』 4『解析』 ∵a >0，b >0， ∴1a ＋1b＋2ab ≥21ab＋2ab ≥41ab·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 7．若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n 的最小值为________．『答案』 3＋2 2 『解析』 ∵2m ＋n ＝1，则1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (2m ＋n ) ＝3＋2m n ＋n m ≥3＋22，当且仅当n ＝2m ，即m ＝1－22，n ＝2－1时，等号成立，即最小值为3＋2 2.8．要制作一个容积为4m 3，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．『答案』 160『解析』设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4m 3，高为1m ，得另一边长为4x m.记容器的总造价为y 元，则y ＝4×20＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×1×10＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时，等号成立．因此当x ＝2时，y 取得最小值160，即容器的最低总造价为160元． 9．(1)已知x <3，求4x －3＋x 的最大值；(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值．解 (1)∵x <3，∴x －3<0， ∴4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立，∴4x －3＋x 的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋3y ·x ＋y4＝14⎝⎛⎭⎫4＋y x ＋3x y ≥1＋234＝1＋32，当且仅当y x ＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时等号成立．故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 10.某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 最大，则x ，y 的值分别为多少？解 (1)由题意得，xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋6＝3a ＋6，S ＝a (x －4)＋b (x －6)＝a (x －4)＋2a (x －6)＝(3x －16)a ＝(3x －16)×y －63＝xy －6x －163y ＋32＝1832－6x －163y ，其中6<x <300,6<y <300.(2)由(1)可知，6<x <300,6<y <300，xy ＝1 800， 6x ＋163y ≥26x ·163y ＝26×16×600＝480，当且仅当6x ＝163y 时等号成立，∴S ＝1 832－6x －163y ≤1 832－480＝1 352，此时9x ＝8y ，xy ＝1 800，解得x ＝40，y ＝45，即x 为40，y 为45.11．设自变量x 对应的因变量为y ，在满足对任意的x ，不等式y ≤M 都成立的所有常数M 中，将M 的最小值叫做y 的上确界．若a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则－12a －2b 的上确界为( )A ．－92B.92C.14D ．－4『答案』 A『解析』因为a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，所以12a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋2b ×(a ＋b )＝52＋⎝⎛⎭⎫b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ×2a b ＝92，当且仅当b ＝2a ，即a ＝13，b ＝23时，等号成立，因此有－12a －2b ≤－92，即－12a －2b 的上确界为－92.12．(多选)一个矩形的周长为l ，面积为S ，则下列四组数对中，可作为数对(S ，l )的有( ) A ．(1,4) B ．(6,8) C ．(7,12) D.⎝⎛⎭⎫3，12 『答案』 AC『解析』设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x ＋y ＝12l ，S ＝xy .由xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22知，S ≤l 216，故AC 成立．13．已知x >－1，则(x ＋10)(x ＋2)x ＋1的最小值为________．『答案』 16『解析』 (x ＋10)(x ＋2)x ＋1＝(x ＋1＋9)(x ＋1＋1)x ＋1＝(x ＋1)2＋10(x ＋1)＋9x ＋1＝(x ＋1)＋9x ＋1＋10，∵x >－1，∴x ＋1>0，∴(x ＋1)＋9x ＋1＋10≥29＋10＝16.当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，等号成立．14．若对∀x >－1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．『答案』 a ≤0『解析』因为x >－1，所以x ＋1>0，则x ＋1x ＋1－1＝x ＋1＋1x ＋1－2 ≥2(x ＋1)×1x ＋1－2＝2－2＝0，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时等号成立，由题意可得a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1－1min ＝0，即a ≤0.15．若不等式ax 2＋1x 2＋1≥2－3a 3(a >0)恒成立，则实数a 的取值范围是________．『答案』 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≥19 『解析』原不等式可转化为a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥23，又a >0，则a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥2a (x 2＋1)·1x 2＋1＝2a ，当且仅当a (x 2＋1)＝1x 2＋1，即a ＝1(x 2＋1)2时，等号成立，则根据恒成立的意义可知2a ≥23，解得a ≥19.16．某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2020年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？解设2020年该产品利润为y ，由题意，可知当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx 元，∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29，∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时，等号成立，∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2020年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。

人教A版高中数学必修第一册课后习题第2章一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 (2)

2.2 基本不等式A 级必备知识基础练1.[探究点一]不等式(x-2y)+1x -2y≥2成立的前提条件为( )A.x ≥2yB.x>2yC.x ≤2yD.x<2y2.[探究点三]已知0<x<1,则当x(5-5x)取最大值时,x 的值为( ) A.54B.12C.13D.343.[探究点三]已知a>0,b>0,a+4b=2,则ab 的最大值为( ) A.14B.12C.1D.24.[探究点三]设x>0,y>0,且xy=4,则1x+1y的最小值是( ) A.1B.2C.-1D.-25.[探究点三]已知x<0,则x+1x的最大值为( ) A.2B.-12C.-2D.126.[探究点三·江西宜春高一期中]已知a>0,b>0,a+b=1,且α=a+1a,β=b+1b,则α+β的最小值是( )A.2B.3C.4D.57.[探究点一·湖北十堰高一检测](多选题)下列推导过程正确的是( )A.因为a,b 为正实数,所以ba+ab≥2√ba·ab=2B.因为a>3,所以4a +a>2√4a·a =4C.因为a<0,所以4a+a ≥2√4a·a =4D.因为x,y ∈R,xy<0,所以x y+y x=-[(-x y)+(-y x)]≤-2√(-x y)·(-yx)=-2,当且仅当x=-y≠0时,等号成立8.[探究点二](多选题)若a,b ∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )A.a 2+b 2≥2abB.a+b ≥2√abC.1a+1b >√abD.b a+ab≥29.[探究点三]已知t>0,则t 2-3t+1t的最小值为 .10.[探究点二]已知a,b,c 为正数,求证:b+c -a a+c+a -b b+a+b -c c≥3.11.[探究点一]下列是一道利用基本不等式求最值的习题: 已知a>0,b>0,且a+b=1,求y=1a+2b 的最小值.小明和小华两名同学都巧妙地用了“a+b=1”,但结果并不相同.小明的解法:因为a+b=1,所以y=1a+2b+1-1=1a+2b+a+b-1=a+1a+b+2b-1,而a+1a≥2√a ·1a =2,b+2b ≥2√b ·2b =2√2.那么y ≥2+2√2-1=1+2√2,则最小值为1+2√2.小华的解法:因为a+b=1,所以y=1a+2b=(1a+2b)(a+b)=3+ba+2a b,而3+b a+2a b≥3+2√b a ·2ab=3+2√2,则最小值为3+2√2. (1)你认为哪名同学的解法正确,哪名同学的解法有错误? (2)请说明你判断的理由.B 级关键能力提升练12.已知当x=a 时,代数式x-4+9x+1(x>-1)取得最小值b,则a+b=( )A.-3B.2C.3D.8A.∀x ∈R,且x≠0,x+1x≥2 B.∃x ∈R,使得x 2+1≤2x C.若x>0,y>0,则√x 2+y 22≥2xy x+yD.若x>0,y>0,且x+y=18,则√xy 的最大值为9 14.若a>0,b>0,则在①1a+1b ≤4a+b,②b 2a+a 2b≥a+b,③√a 2+b 22≥a+b 2,这三个不等式中,不正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个15.[安徽高一校联考期中](多选题)已知正实数a,b 满足a+b=2,则下列结论正确的是( ) A.ab ≤1 B.√a +√b ≥2 C.a 3+b 3≤2D.a 2+b 2≥216.(多选题)对于a>0,b>0,下列不等式中正确的是( ) A.√ab 2<1a+1b B.ab ≤a 2+b 22C.ab ≤(a+b 2)2 D.(a+b 2)2≤a 2+b 2217.已知a>b>c,则√(a -b )(b -c )与a -c 2的大小关系是 .18.已知不等式(x+y)(1x +ay )≥9对任意正实数x,y 恒成立,求正实数a 的最小值.C 级学科素养创新练19.若a>0,b>0,且点(a,b)在反比例函数y=1x 的图象上,则1a 2b+1ab2+16ab a+b的最小值是 . 答案：1.B 基本不等式成立的前提条件是各项均为正数,所以不等式(x-2y)+1x -2y≥2成立的前提条件为x-2y>0,即x>2y.故选B.2.B 由0<x<1,可得1-x>0,则x(5-5x)=5x(1-x)≤5·(x+1-x 2)2=54,当且仅当x=1-x,即x=12时,等号成立,所以x=12时,x(5-5x)取得最大值54.故选B. 3.A 因为a>0,b>0,a+4b=2,由基本不等式可得2=a+4b ≥2√4ab =4√ab ,可得ab ≤14,当且仅当a=4b,即a=1,b=14时,等号成立,所以ab 的最大值为14.故选A.4.A 因为x>0,y>0,且xy=4,所以1x >0,1y >0,1x +1y ≥2√1x ·1y =2√1xy =2×12=1,当且仅当1x=1y ,即x=y=2时,等号成立.故选A.5.C 因为x<0,可得-x>0,则x+1x=-[(-x)+1-x]≤-2√(-x )·1-x=-2,当且仅当-x=1-x,即x=-1时,等号成立,所以x+1x的最大值为-2.故选C.6.D 由题意知a>0,b>0,a+b=1,且α=a+1a,β=b+1b,则α+β=a+1a+b+1b=1+1ab≥1+1(a+b 2)2=5,当且仅当a=b=12时,等号成立,所以α+β的最小值为5.故选D.7.ABD 对于A,a,b 为正实数,有ba>0,ab>0,且ba·ab=1,又当且仅当a=b 时,ba=a b成立,满足基本不等式的条件,A 正确;对于B,当a>3时,4a>0,4a+a ≥2√4a·a =4,当且仅当4a=a,a=2时,等号成立,与a>3矛盾,所以不存在大于3的正数a 使a=4a成立,所以4a+a>4,B 正确;对于C,因为a<0,则4a<0,不符合基本不等式成立的条件,C 错误;对于D,x,y ∈R,xy<0,则-x y>0,-yx>0,且(-x y)·(-y x)=1,又当且仅当-x=y≠0时,-x y=-yx成立,满足基本不等式的条件,D 正确.故选ABD.8.AD 对于A 选项,a 2+b 2-2ab=(a-b)2≥0,故a 2+b 2≥2ab,A 正确;对于B,取a=b=-1,此时a+b=-2<2√ab =2,B 错误;对于C,取a=b=-1,此时1a+1b=-2<√ab=2,C 错误;对于D,因为ab>0,所以a b>0,b a>0,所以b a+a b≥2√b a·ab=2,当且仅当a=b≠0时,等号成立,D 正确.故选AD. 9.-1 ∵t>0,∴t 2-3t+1t =t+1t-3≥2√t ·1t-3=-1,当且仅当t=1时,等号成立.10.证明左边=ba +ca -1+cb +ab -1+ac +bc -1=(ba +ab )+(ca +ac )+(cb +bc )-3.∵a,b,c 为正数,∴ba+ab≥2(当且仅当a=b 时,等号成立);ca+ac≥2(当且仅当a=c 时,等号成立);c b +b c ≥2(当且仅当b=c 时,等号成立).从而(b a +ab )+(ca +ac )+(cb +bc )≥6(当且仅当a=b=c 时,等号成立).∴(ba +ab )+(ca +ac )+(cb +bc )-3≥3,即b+c -a a+c+a -b b+a+b -c c≥3.11.解(1)小华的解法正确,小明的解法错误.(2)在小明的解法中,a+1a≥2√a ·1a=2,当等号成立时a=1;b+2b≥2√b ·2b =2√2,当等号成立时b=√2,那么y 取得最小值1+2√2时,a+b=1+√2,这与条件a+b=1是相矛盾的,所以小明的解法错误.小华的解法中,b a+2a b≥2√2,等号成立的条件为b 2=2a 2,即b=√2a,再由已知条件a+b=1,即可解得满足条件的a,b 的值,所以小华的解法正确. 12.C x-4+9x+1=x+1+9x+1-5,由x>-1,得x+1>0,9x+1>0,所以由基本不等式得x+1+9x+1-5≥2√(x +1)·9x+1-5=1,当且仅当x+1=9x+1,即x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,a+b=3.13.BCD 对于A,当x<0时不成立;对于B,当x=1时成立,B 正确;对于C,若x>0,y>0,则(x 2+y 2)(x+y)2≥2xy·4xy=8x 2y 2,可化为√x 2+y 22≥2xyx+y,当且仅当x=y>0时,等号成立,C 正确;对于D,∵x>0,y>0,∴x+y=18≥2√xy ,当且仅当x=y=9时,等号成立,∴√xy ≤9,D 正确.故选BCD.14.B 因为a,b>0,对于①,由(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥2+2√ba·ab=4,当且仅当a=b 时,等号成立,所以1a+1b≥4a+b,所以①错误;对于②,由不等式a 3+b 3-a 2b-ab 2=(a+b)(a-b)2≥0,可得a 3+b 3≥a 2b+ab 2,两边同除ab,可得b 2a+a 2b≥a+b 成立,所以②正确;对于③,由2a 2+2b 2=a 2+b 2+a 2+b 2≥a 2+b 2+2ab=(a+b)2,可得a 2+b 2≥(a+b )22,即a 2+b 22≥(a+b )24,所以√a 2+b 22≥a+b 2成立,所以③正确.故选B.15.AD 因为正实数a,b 满足a+b=2,对于A 选项,ab ≤(a+b 2)2=1,当且仅当a=b=1时,等号成立,A 正确;对于B 选项,因为(√a +√b )2=a+b+2√ab ≤2(a+b)=4,则√a +√b ≤2,当且仅当a=b=1时,等号成立,B 错误;对于C 选项,当a=32,b=12时,a 3+b 3=(32)3+(12)3=72>2,C 错误;对于D 选项,a 2+b 2=a 2+b 2+a 2+b 22≥a 2+b 2+2ab2=(a+b )22=2,当且仅当a=b=1时,等号成立,D 正确.故选AD. 16.BCD 当a>0,b>0时,因为21a +1b≤√ab ,所以√ab≤1a+1b,当且仅当a=b 时,等号成立,故A 不正确;显然B,C,D 均正确. 17.√(a -b )(b -c )≤a -c 2∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴a -c 2=(a -b )+(b -c )2≥√(a -b )(b -c ). 当且仅当b=a+c 2时,等号成立.18.解(x+y)(1x +ay )=1+a+yx +ax y,∵x>0,y>0,a>0,∴y x+ax y≥2√y x·ax y=2√a ,∴1+a+yx +ax y≥1+a+2√a ,当且仅当y=√a x 时,等号成立.∴要使(x+y)(1x +ay )≥9对任意正实数x,y 恒成立,只需1+a+2√a ≥9恒成立即可.∴(√a +1)2≥9,即√a +1≥3,∴a ≥4,故a 的最小值为4.19.8 ∵点(a,b)在反比例函数y=1x的图象上,∴b=1a,即ab=1.∵a>0,b>0,∴a+b>0,∴1a 2b+1ab2+16ab a+b=1a+1b+16a+b=a+b ab+16a+b=a+b+16a+b≥8,当且仅当a+b=16a+b,即a+b=4时,等号成立,所以1a 2b+1ab2+16ab a+b的最小值是8.。

2.2基本不等式-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册练习

基本不等式巩固练习一、选择题1. 若a,b,c,d,m,n 均为正数，p =√ab +√cd,q =√ma +nc ⋅√b m+dn，则p,q 的大小关系是( )A. p >qB. p ⩾qC. p =qD. p ⩽q2. 0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a +b,2√ab,a 2+b 2,2ab 中最小的是( )A. a 2+b 2B. a +bC. 2abD. 2√ab3. 已知m =a +1a−2(a >2)，n =22−x 2(x <0)，则m ，n 之间的大小关系是( )A. m >nB. m <nC. m =nD. m ≤n4. 在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，∠ABC =120∘，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =2，则9a +c 的最小值为（）A. 12B. 32C. 24D. 185. 已知a >32，则2a +12a−3的最小值为（）A. 4B. 5C. 6D. 76. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二看的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有( )A. x =p+q 2B. x <p+q 2C. x ≤p+q 2D. x ≥p+q 27. 已知a >0，b >0，若a +b =4，则（）A. a 2+b 2有最小值B. √ab 有最小值C. 1a +1b 有最大值a+√b 有最大值8. 设非零实数a 、b ，则“a 2+b 2≥2ab ”是“ab +b a ≥2”成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为A. 1120元B. 1280元C. 1760元D. 1960元10.若实数x，y满足x2y2+x2+y2=8，则x2+y2的取值范围为()A. [4,8]B. [8,+∞)C. [2,8]D. [2,4]二、填空题11.已知x,y均为正数，且x+y=1，则1x +1y的最________值是________，此时x=________，y=________．12.若x>y>0，则2x4+1y(x−y)的最小值是______．13.已知实数a，b，c满足a2−8a−bc+7=0，b2+c2+bc−6a+6=0，则实数a的取值范围是．14.P为椭圆x29+y24=1上异于顶点的任意一点，过P作直线PA、PB分别与圆x2+y2=4相切于A、B两点，则直线AB与两坐标轴围成的三角形面积最小值为___________．15.(1)已知0<x<1，则x(3−3x)取得最大值时x的值为______ ．(2)若a>0，b>0，且1a +1b=√ab，则a3+b3的最小值为______ ．三、计算题16.已知a,b,c都是正数，求证：(a+b)(b+c)⋅(c+a)≥8abc．第6页，共10页17.(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆长多少？(2)用长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？18.19.若a>0,b>0，且2a+b+2=3ab．(1)求ab的最小值；(2)是否存在a,b，使得a3+b3=4√220.(1)若正数a，b满足2a +8b=1，求a+b的最小值；(2)若正数x，y满足x+y+8=xy，求xy的取值范围。

02-第二节基本不等式高中数学必修一人教A版

当且仅当 = 且 = ，即 = , = 时，等号成立.
（2）已知 > 0, >
0,求证： 2
【解析】因为 > 0, >
+
0,所以 2
2
+
2
+

2
+
≥ 4;
2

≥ 2 +
当且仅当 = ， = 1,即 = = 1时取等号,
所以 2
+
2
D.8
【解析】因为 > 2，所以 − 2 > 0，由基本不等式得 =
+
4
−2
=−2
4
+
−2
+2≥2
−2 ⋅
当且仅当 = 4时等号成立，故选C.
4
−2
+ 2 = 6，
4 2+4
4
变式1：所求式改变若 > 2,则 = 2 +
的最小值为_________.
−2
4
4
【解析】因为 > 2,所以 − 2 > 0,所以 = 2 +
A.的最大值是1
C. 2 + 2 的最小值是4
)
1
1
B. + 的最小值是2

1
4
9
D. + 的最小值是

2
【解析】由 > 0, > 0, + = 2,得2 ≥ 2 ,所以0 < ≤ 1
（当且仅当 = =
1
1时等号成立）,故A正确；

1

+ =
+

人教A版高中数学必修第一册课后习题第2章一元二次函数、方程和不等式 2.2第1课时基本不等式

第1课时基本不等式课后·训练提升基础巩固1.不等式a 2+1≥2a 中等号成立的条件是( ) A.a=±1 B.a=1 C.a=-1 D.a=02+1-2a=(a-1)2≥0,当a=1时,等号成立.2.已知m=a+1a +1(a>0),0<n<3,则m,n 之间的大小关系是( )A.m>nB.m<nC.m=nD.m≤na>0,所以m=a+1a+1≥2√a ·1a+1=3,当且仅当a=1时等号成立.所以m>n.3.(多选题)下列不等式一定成立的是( ) A.x 2+14>x(x>0) B.2x+2x≥4(x>0)C.x 2+1≥2|x|(x∈R)D.1x 2+1>1(x ∈R)x=12时,x 2+14=x,∴A 不一定成立;∵当x>0时,有2x+2x≥4√x ·1x=4,当且仅当x=1时等号成立,∴B 一定成立;∵x 2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0,即x 2+1≥2|x|恒成立,∴C 一定成立;∵x2+1≥1,∴0<1x2+1≤1,故D不成立.4.(多选题)下列条件中,能使ba +ab≥2成立的有( )A.ab>0B.ab<0C.a>0,b>0D.a<0,b<0解析当ba ,ab均为正数时,ba+ab≥2,故只需a,b同号即可.故A,C,D均可以.5.已知a>b>c,则√(a-b)(b-c)与a-c2的大小关系是.(a-b)(b-c)≤a-c2a>b>c,∴a-b>0,b-c>0.∴a-c2=(a-b)+(b-c)2≥√(a-b)(b-c),当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时取等号.6.不等式2√x2+1≥2恒成立,当且仅当x= 时取等号.=2√x2+1=√x2+1+√x2+1≥2√√x2+1·√x2+1=2,其中当且仅当√x2+1=√x2+1⇔x2+1=1⇔x2=0⇔x=0时等号成立.7.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是(填序号).①ab≤1;②√a+√b≤√2;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤1a +1b≥2.a=b=1,排除②④;由2=a+b≥2√ab⇒ab≤1,①中不等式恒成立;a 2+b 2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥4-2×(a+b 2)2=2,③中不等式恒成立;1a +1b =a+b ab=2ab≥2(a+b 2)2=2,⑤中不等式恒成立.8.设a,b,c 都是正数,求证:bc a+ac b+ab c≥a+b+c.a,b,c 都是正数,所以bc a,ac b ,abc 也都是正数.所以bc a+ac b≥2c,ac b +ab c≥2a,bc a+abc≥2b,三式相加得2(bc a+ac b+abc)≥2(a+b+c),即bca +ac b+ab c≥a+b+c,当且仅当a=b=c 时取等号.9.已知a,b,c ∈R,求证:√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2(a+b+c).(a+b 2)2−a 2+b 22=-a 2+b 2-2ab4=-(a -b 2)2≤0,∴a+b 2≤√a 2+b 22,∴√a 2+b 2≥√2=√22(a+b)(等号在a=b 时成立),同理√b 2+c 2≥√22(b+c)(等号在b=c 时成立),√a 2+c 2≥√22(a+c)(等号在a=c 时成立),三式相加得√a 2+b 2+√b 2+c 2+√a 2+c 2≥√22(a+b)+√22(b+c)+√22(a+c)=√2(a+b+c)(等号在a=b=c 时成立).能力提升1.已知a,b 是正数,则a+b 2,√ab 和√a 2+b 22的大小关系是 ( )A.a+b 2≥√ab ≥√a 2+b 22B.a+b 2≥√a 2+b 22≥√abC.√a 2+b 22≥√ab ≥a+b 2D.√a 2+b 22≥a+b 2≥√aba,b 是正数,∴a+b 2≥√ab (当且仅当a=b 时,取等号);再比较√a 2+b 22与a+b 2的大小. ∵(a+b 2)2−a 2+b 22=-a 2+b 2-2ab4=-(a -b 2)2≤0,∴a+b 2≤√a 2+b 22.故选D.2.如果正数a,b,c,d 满足a+b=cd=4,那么( ) A.ab≤c+d,且当等号成立时,a,b,c,d 的取值唯一 B.ab≥c+d,且当等号成立时,a,b,c,d 的取值唯一 C.ab≤c+d,且当等号成立时,a,b,c,d 的取值不唯一 D.ab≥c+d,且当等号成立时,a,b,c,d 的取值不唯一a,b,c,d 均为正数,且a+b=cd=4,所以由基本不等式得a+b≥2√ab ,故ab≤4. 又因为cd≤(c+d )24,所以c+d≥4,所以ab≤c+d,当且仅当a=b=c=d=2时,等号成立.3.(多选题)已知a>0,b>0,则下列不等式恒成立的是( )A.a+b+1√ab≥2√2 B.(a+b)1a+1b≥4C.22√ab≥2√ab D.2aba+b≥√abA,a+b+√ab≥2√ab +√ab ≥2√2,当{a =b ,2ab =1时,取等号,故A 恒成立;对B,(a+b)(1a+1b)=2+b a+ab≥4,当a=b 时,取等号,故B 恒成立;对C,22√ab≥√ab =2√ab ,当a=b 时,取等号,故C 恒成立;对D,2ab a+b ≤2√ab=√ab ,当a=b时,取等号,故D 不成立.故选ABC. 4.已知a,b 是不相等的正数,x=√a+√b√2,y=√a +b ,则x,y 的大小关系是 .解析∵a,b 是不相等的正数,∴x 2-y 2=√a+√b √22-(√a +b )2=a+b+2√ab2-a-b=2√ab -(a+b )2<0,∴x 2<y 2.又x>0,y>0,∴x<y.5.已知a>0,b>0,且a+b=1,求证:(a+1)2+(b+1)2≥92.a>0,b>0,∴a+1>0,b+1>0, ∴(a+1)2+(b+1)2≥2(a+1)(b+1),∴2(a+1)2+2(b+1)2≥(a+1)2+(b+1)2+2(a+1)(b+1)=[(a+1)+(b+1)]2,∴√2(a +1)2+2(b +1)2≥(a+1)+(b+1)=3,∴(a+1)2+(b+1)2≥92,当且仅当a=b=12时,等号成立.6.已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1)1a+1b +1ab≥8;(2)(1+1a )(1+1b )≥9.(1)1a+1b +1ab=1a+1b+a+b ab=2(1a+1b).∵a+b=1,a>0,b>0, ∴1a +1b =a+b a +a+b b=2+a b+ba≥2+2=4,∴1a+1b +1ab≥8(当且仅当a=b=12时,等号成立).(2)∵a>0,b>0,a+b=1, ∴1+1a=1+a+b a=2+b a,同理,1+1b=2+ab,∴(1+1a )(1+1b )=(2+ba )(2+ab )=5+2(ba +ab )≥5+4=9, ∴(1+1a )(1+1b )≥9(当且仅当a=b=12时,等号成立).。

新教材高中数学第2章基本不等式第1课时基本不等式学案含解析新人教A版必修第一册

新教材高中数学新人教A 版选择性必修第一册：2.2 基本不等式第1课时基本不等式学习目标核心素养1.了解基本不等式的证明过程．(重点) 2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.1.通过不等式的证明，培养逻辑推理素养． 2．借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养.如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．它依据我国著名数学家赵爽研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车．问题：依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？提示：由图可知①a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；②a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，取“＝”．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)若a ≠0，则a ＋1a≥2a ·1a＝2. ( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( )[提示] (1)任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)只有当a >0时，根据基本不等式，才有不等式a ＋1a≥2a ·1a＝2成立． (3)因为ab ≤a ＋b2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. [答案] (1)× (2)× (3)√2．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( ) A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1D ．a ＝0B [当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0，即a ＝1时，“＝”成立．] 3．已知0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋bD [∵0＜a ＜1,0＜b ＜1，∴a 2＜a ，b 2＜b ， ∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab (∵a ≠b )， ∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b .又∵a ＋b ＞2ab (∵a ≠b )，∴a ＋b 最大．]4．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________(填序号)． ①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab .③ [根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]对基本不等式的理解【例1】给出下面四个推导过程： ①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2； ②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导为( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③B [①∵a ，b 为正实数，∴b a ，a b为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的．③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确．]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(a ＞0，b ＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a ，b 都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .[跟进训练]1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x ＞1，则x ＋1x ≥2x ·1x＝2. ②若x ＜0，则x ＋4x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋⎝⎛⎭⎪⎫－4x≤－2－x ·⎝⎛⎭⎪⎫－4x＝－4.③若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2. ② [ ①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x ＝1x时，即x ＝1时，x ＋1x≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1x＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．]利用基本不等式比较大小【例2】 (1)已知a ，b ∈R ＋，则下列各式中不一定成立的是( ) A ．a ＋b ≥2abB.b a ＋a b≥2 C.a 2＋b 2ab≥2abD ．2aba ＋b≥ab (2)已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是________．(1)D (2)a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ac [(1)由a ＋b2≥ab 得a ＋b ≥2ab ，∴A 成立； ∵b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，∴B 成立； ∵a 2＋b 2ab ≥2ab ab＝2ab ，∴C 成立；∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，∴D 不一定成立． (2)∵a ，b ，c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac . ∴2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac )．即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac .]1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b .[跟进训练]2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P ＞Q ＞MB ．M ＞P ＞QC ．Q ＞M ＞PD ．M ＞Q ＞PB [显然a ＋b2＞ab ，又因为a ＋b2＜a ＋b (由a ＋b ＞a ＋b24也就是a ＋b4＜1可得)，所以a ＋b ＞a ＋b2＞ab .故M ＞P ＞Q .]利用基本不等式证明不等式【例3】已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>9.[思路点拨] 看到1a ＋1b ＋1c>9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．[证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc＝3＋⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋ab ＋⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋ac ＋⎝⎛⎭⎪⎫c b ＋bc≥3＋2b a ·ab ＋2c a ·a c ＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2 ＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴1a ＋1b ＋1c>9.本例条件不变，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1>8. [证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＞8.1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．[跟进训练]3．已知x ，y ，z 都是正数，求证： (x ＋y )(y ＋z )(z ＋x )≥8xyz . [证明] ∵x ，y ，z 都是正数，∴x ＋y ≥2xy ，y ＋z ≥2yz ，z ＋x ≥2zx ， ∴(x ＋y )(y ＋z )(z ＋x )≥2xy ·2yz ·2zx ＝8xyz . 当且仅当x ＝y ＝z 时，等号成立．4．已知a ＞1，b ＞0，1a ＋3b＝1，求证：a ＋2b ≥26＋7.[证明] 由1a ＋3b ＝1，得b ＝3aa －1(a ＞1)，则a ＋2b ＝a ＋6a a －1＝a ＋6a －1＋6a －1＝a ＋6a －1＋6＝(a －1)＋6a －1＋7≥26＋7，当a －1＝6a －1时，即a ＝1＋6时，取等号.1．记牢2个不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab ；(2)a ＋b2≥ab (a ，b 都是正数)．2．掌握2个注意点利用基本不等式证明不等式时应关注两点：(1)应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a >0，b >0时，才会有ab ≤a ＋b2.对于“当且仅当……时，‘＝’成立”这句话要从两个方面理解：一方面，当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面，当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .(2)应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构．1．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －b <0 B ．0<ab<1 C.ab <a ＋b2D ．ab >a ＋bC [∵a >b >0，由基本不等式知ab <a ＋b2一定成立．]2．不等式9x －2＋(x －2)≥6(其中x ＞2)中等号成立的条件是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝－3 C ．x ＝5D ．x ＝－5C [由基本不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去)．] 3．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．a 2＋b 2C ．2abD ．aB [a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2·⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12. a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab .∵0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，∴a ＜12.∴a 2＋b 2最大．]4．若x ＞0，则x ＋1x________2(填“＝”“≥”“≤”“＞”“＜”)．≥ [x ＞0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．]5．设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .[证明] ∵a >0，b >0，∴b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ， ∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .。

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1
2.2基本不等式
【本节明细表】
知识点、方法题号基本不等式直接应用 1,2,3,5 利用基本不等式求最值 7,8,9,10,11 利用基本不等式解决实际问题
4,12,13
基础巩固
1．若0n >，则9
n n
+的最小值为（） A ．2 B ．4
C ．6
D ．8
【答案】C 【解析】∵9
296n n
+
≥=（当且仅当n ＝3时等号成立）故选：C ． 2．已知x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，则xy 的最大值为（） A ．1 B ．
1
2
C ．
13
D ．
14
【答案】D
【解析】因为x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，所以有2
11
12()24x y xy xy =+≥⇒≤=
，当且仅当12
x y ==时取等号，故本题选D. 3．若实数x ，y 满足1xy =，则224x y +的最小值为______．
【答案】4 【解析】因为1xy
=，
所以()2
222
422244x y x y x y xy +=+≥⨯⨯==，当2x y =时取“=”，所以22
4x y +的最小值为4，故答案为4.
1
4．用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（） A ．30 B ．36
C ．40
D ．50
【答案】C
【解析】设矩形的长为()x m ，则宽为
100()m x ，设所用篱笆的长为()y m ，所以有100
22y x x
=+⋅，根据基本不等式可知：100100
2222240y x x x x
=+⋅≥⋅⋅=，
（当且仅当10022x x =⋅时，等号成立，即10x =时，取等号）故本题选C. 5．已知正实数a ，b 满足41a b +=，则1
b a
+的最小值为（） A ．4 B ．6
C ．9
D ．10
【答案】C
【解析】∵0a >，0b >，41a b +=，∴141b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭445529ab ab ab ab
=+++⋅=，当且
仅当
4,41ab ab
a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
时，即1,36a b ⎧=⎪⎨
⎪=⎩时取“=”.故答案选C 6．若0, 0a >b >，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的_____条件【答案】充分不必要
【解析】当0,0a b >>时，由基本不等式，可得2a b ab +≥，当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性是成立的；例如：当1,4a b ==时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件.
1
7．已知1x >-，则3
31
x x ++的最小值是_______. 【答案】3
【解析】因为1x >-，所以10x +>，所以()()33333133133111
x x x x x x +
=++-≥+⋅=+++（当且仅当0x =时，等号成立）. 8．已知正实数,x y 满足3x+y+=xy ，则x y +的最小值为__________．【答案】6
【解析】由题得2
)34
x y x+y+=xy +≤（,
所以
2
)4(x y x y +-+≥（）-120，所以6)(2)0x y x y +-++≥（，所以x+y ≥6或x+y ≤-2(舍去)，所以x+y 的最小值为6. 当且仅当x=y=3时取等.故答案为：6 9．（I 273+6<
（II ）正数a ，b 满足41a b +=，求11
a b
+的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）9
【解析】27362
2
27
36
<，
即证92149218++<.由于1418<，所以92149218++<成立， 2736<. （Ⅱ）解：
()11114a b a b a b ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
4=5+a b b a
+
459a b b a
≥+⋅=。