二次函数知识点归纳总结

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二次函数知识点归纳

1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数.

2.二次函数2ax y =的性质

(1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系.

①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点;

②当0

(3)顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =)(0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2

用配方法可化成:()

k h x a y +-=2

的形式,其中a

b a

c k a b h 4422

-=-=,.

5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①2ax y =;②k ax y +=2;③()2

h x a y -=;④

()k h x a y +-=2

;⑤c bx ax y ++=2.

6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.

①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0

a 相等,抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地,y 轴记作直线0=x .

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

(1)公式法:a b ac a b x a c bx ax y 44222

2

-+⎪⎭⎫ ⎝

+=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线a b x 2-=.

(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2

的形式,得到顶点为(h ,k ),对

称轴是直线h x =.

(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线

是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中,c b a ,,的作用

(1)a 决定开口方向及开口大小,这与2ax y =中的a 完全一样.

(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线

a b x 2-

=,故:①0=b 时,对称轴为y 轴;②0>a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧;③0

b (即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧.

(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.

当0=x 时,c y =,∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0,c ): ①0=c ,抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴;③0

b

. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:

11.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式:c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式. (2)顶点式:()k h x a y +-=2

.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.

(3)交点式:已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点式:()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点

(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).

(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点

二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程

02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式

判定:

①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交;

②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切; ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵

坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.

(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,由方程组

c

bx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只

有一组解时⇔l 与G 只有一个交点;③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.

(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离:若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021,,,x B x A ,由于1x 、

2x 是方程02=++c bx ax 的两个根,故

a

c

x x a b x x =

⋅-=+2121,()

()

a a ac

b a

c a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭

⎝⎛-=--=

-=

-=44422

212

212

2121

二次函数图象的平移(左加右减) 1. 平移步骤:

方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下:

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:

⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成

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