高中数学竞赛专题练习：排列组合

高中数学竞赛专题讲座之 排列组合 二项式定理和概率

一． 排列组合二项式定理 1 (2005年浙江)设()n n n x a x a a x x 22102

1+++=++ ，求n a a a 242+++ 的值（ ） （A ）n 3 （B ）23-n （C ）213-n （D ）2

13+n 【解】： 令0=x 得 10=a ；（1） 令1-=x 得 123210=++-+-n a a a a a ；

（2）

令1=x 得 n n a a a a a 323210=+++++ ； （3）

（2）＋（3）得 13)(22420+=++++n n a a a a ，故 2132420+=++++n n a a a a ， 再由（1）得 2

13242-=+++n n a a a 。 ∴选 【 C 】 2、（2004 全国）设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有 （ ）

A. 45个

B. 81个

C. 165个

D. 216个

解：a ，b ，c 要能构成三角形的边长，显然均不为0。即,,{1,2,...,9}a b c ∈

（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为1n ，由于三位数中三个数码都相同，所

以，1199n C ==。

（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为2n ，由于三位数中只有2个不同数码。设为a 、b ，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a ，b ）共有292C 。

共20种情况。 同时，每个数码组（a ，b ）中的二个数码填上三个数位，有23C 种情况。

故2222399(220)6(10)156n C C C =-=-=。综上，12165n n n =+=。

3．（2005四川）设}10,,2,1{ =A ，若“方程02

=--c bx x 满足A c b ∈,，且方程至少

有一根A a ∈”，就称该方程为“漂亮方程”。则“漂亮方程”的个数为

（A ）8....（B ）10....（C ）12....（D ）14

解：，由题可知，方程的两根均为整数且两根一正一负，当有一根为1-时，有9个满足题意的“漂亮方程”，当一根为2-时，有3.个满足题意的“漂亮方程”。共有12个，故选C 。

4．（2005四川）设4321,,,a a a a 是4,3,2,1的任一排列，f 是}4,3,2,1{到}4,3,2,1{的映射，

且满足i i f ≠)(，记数表⎥⎦⎤⎢⎣

⎡)( )( )( 43214321a f a f )f(a a f a a a a 。若数表N M ,的对应位置上至少有一个不同，就说N M ,是两张不同的数表。则满足条件的不同的数表的张数为 （ ）

（A ）144...（B ）192....（C ）216.....（D ）576

解：对于4321,,,a a a a 的一个排列，可以9个映射满足i i f ≠)(，而4321,,,a a a a 共有2444=A 个排列，所以满足条件的数表共有216924=⨯张，故选C 。

5．(2005江西)连结正五边形12345A A A A A 的对角线交另一个正五边形12345B B B B B ，两次连结正五边形12345B B B B B 的对角线，又交出一个正五边形12345C C C C C （如图），以图中线段为边的三角形中，共有等腰三角形的个数为 ( )

（A ）50 （B ）75 （C ）85 （D ）100

解：对于其中任一点P ，以P 为“顶”（两腰的公共点）的等腰三角形的个数记为[P]则

1125134125134125152[]6, (,,,,,)A A A A A B B A B B A A A A A B A A B =∆∆∆∆∆∆.

1134125134134125125125134143[]9, (,,,,,,,,)

B B A A B B B B B B B

C C B B C B C B B A A B A B B A B =∆∆∆∆∆∆∆∆∆1134125[]2, (,)C C B B C B B =∆∆, 由于图中没有等边三角形，则每个等腰三角形恰有一个“顶”。据对称性可知[]6, []9, []2, 1,2,3,4,5i i i A B C i ====.因此等腰三角形共有5(692)85⋅++=个.

6. (2005全国)将关于x 的多项式2019321)(x x

x x x x f +-+-+-= 表为关于y 的多项式=)(y g ,202019192210y a y a y a y a a +++++ 其中.4-=x y 则=+++2010a a a 6

1521+. 解：由题设知，)(x f 和式中的各项构成首项为1，公比为x -的等比数列，由等比数列的求和公式，得：.1

111)()(2121++=----=x x x x x f 令,4+=y x 得,51)4()(21+++=y y y g 取

,1=y 有.6

15)1(2120210+==++++g a a a a 7.如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列,,,,321 a a a 若,2005=n a 则=n a 55200.

解：∵方程m x x x k =+++ 21的非负整数解的个数为m k m C 1-+.而使

)2(0,11≥≥≥i x x i 的整数解个数为12--+m k m C .现取7=m ，可知，k 位“吉祥数”的个数为

.)(65+=k C k P

∵2005是形如abc 2的数中最小的一个“吉祥数”，且,7)2(,1)1(6766====C P C P

,28)3(68==C P 对于四位“吉祥数”abc 1，其个数为满足6=++c b a 的非负整数解个数，

即286136=-+C 个。

∵2005是第1+7+28+28+1＝65个“吉祥数”，即.200565=a 从而.3255,65==n n 又,210)5(,84)4(6106

9====C P C P 而∑==5

1.330)(k k P

∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000,60100,60010,60001,52000.∴第325个“吉祥数”是52000，即.520005=n a

8．（2004四川）某城市的机动车牌照是从“10000”到“99999”连续编号，则在这90000个牌照中数字9至少出现一个，并且各数字之和是9的倍数的车牌照共有 4168 个.

二、概率部分

1. （2006吉林预赛）在6个产品中有4个正品，2个次品，现每次取出1个作检查（检查完后不再放回），直到两个次品都找到为止，则经过4次检查恰好将2个次品全部都找到的概率是 （ D ）

A. 1/15

B. 2/15

C. 1/5

D. 4/15

2．（2006年南昌市）甲、乙两人进行乒乓球单打决赛,采用五局三胜制(即先胜三局者获冠军),对于每局比赛,甲获胜的概率为

32,乙获胜的概率为31,则爆出冷门(乙获冠军)的概率为____1781

______. 3．（2006年浙江省预赛）在2006,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。