吴建 误差作业

一、（20分）用热电偶数字温度计，对某容器的温度进行10次测量，数值

（单位℃）为：50.1，50.0，50.1，49.9，49.9，50.0，50.1，50.2，50.0，49.9。已知数字温度计的最大允许误差±0.6℃（均匀分布）；热电偶的修正值C＝0.48℃，其不确定度为0.2℃（置信水平0.99，正态分布）；测量计算式Ctt0。试求测量结果及不确定度。 解：（1）先检验粗大误差：使用t检验准则：数据正常 （2）求10个数据的算术平均值为：x=50.02 贝塞尔公式计算得到单次测量的实验标准差为：S（xi）=0.10328 平均值的实验标准差为:S(x)=0.03266 数字式仪器在±1个最小位内不能分辨的误差服从均匀分布测量结果的B类不确定度为：3/aux=0.3464

所以，在温度计测量产生的合成标准不确定度为：cu=2b2auu=0.34795 （3）修正值的扩展不确定度为0.2，其置信因子取3，则修正值的不确定度为：0.2/3=0.06667 （4）合成标准不确定度：'cu=2221uu=0.35428，由“三分之一准则”可 得到其不确定度为：0.36 测量结果估计值为：Ctt0=50.02+0.48=50.50℃ 所以测量结果表示为：50.50℃±0.36℃ 二、（20分）)(xf定义在[-3，4]。有如下函数表

x -3 -2 1 4

)(xf 2 0 3 1 试求)(xf满足表上插值条件即边界条件1)3('f，1)4('f的三次样条函数)(xS。若边界条件改为0)3(''f，0)4(''f，试求其样条函数。（要求给出求解过程和Matlab源程序） 解： 若S(X)是上述有序数据点的三次样条插值函数，函数S(X)须满足下列条件： 1.在f（x）的每一个小区间内（-3.-2）（-2.-1）（1.4）S(x)都是x的三次多项式，那么有： 2.Si(xi)=yi (i=0,1,2,3),将（xi，yi）带入S（X） 得： 3 )('xS 和)(''xS在区间[-3,4]内连续，要满足： S(-2-0)=S(-2+0), )02()02(''SS,)02()02(''''SS S(1-0)=S(1+0), )01()01(''SS,)01()01(''''SS 以上三条可以得到10个方程，要解12个未知数，还要有两个关系式，利用2个给定端点的1阶导数值：1)3('f，1)4('f或者2个给定端点的2阶导数值0)3(''f，0)4(''f便可求得两组未知数，用matlab进行求解， （1）1)3('f1)4('f时，源程序如下： x=[-3,-2,1,4]; y=[2,0,3,1]; pp=csape(x,y,'complete',[-1,1]); pp.coefs

ans = 1.4516 -2.4516 -1.0000 2.0000 -0.3513 1.9032 -1.5484 0 0.3023 -1.2581 0.3871 3.0000

三次样条函数为： S(x)=1.4516*X^3-2.4516*X^2-X+2 (-3 S(x)=-0.3513*X^3+1.9032*X^2-1.5484*X (-2 S(x)=0.3023*X^3-1.2581*X^2+0.3871*X+3 (1（2）当0)3(''f，0)4(''f时，源程序如下： >> x=[-3,-2,1,4]; y=[2,0,3,1]; pp=csape(x,y,'variational'); pp.coefs

ans = 0.4713 0 -2.4713 2.0000 -0.2427 1.4138 -1.0575 0 0.0856 -0.7701 0.8736 3.0000 三次样条函数为： S(x)=0.4713*X^3-2.4713X+2 (-3 S(x)=-0.2427*X^3+1.4138*X^2-1.0575*X (-2 S(x)=0.0856*X^3-0.7701*X^2+0.8736*X+3 (1

三、（20分）已知)20cos()(

1ttx，)50cos()(2ttx。用DFT对

)()()(21txtxtxa进行频谱分析。

（1）问采样频率sf和采样点数N应取多少才能精确求出)(1tx和)(2tx的中

心频率？ （2）按照（1）确定的sf和N对)(txa进行采样得到][nxa，计算][][nxDFTkXa，画出][kX曲线，并标明)(

1tx和)(2tx各自的峰值对应的k

值。（要求给出分析过程和Matlab源程序） 解：（1）1xf=10Hz，2xf=25Hz，公约数为5 Hz，频率分辨率为sf/N=5 Hz，

由香农采样定理可知采样频率fs=2*fh=50Hz 最小周期为Ts=0.2，采样点数N=T\Ts=10

（2）编写matlab程序，对信号采样

f1=10;

f2=25; t=0:0.02:0.18; f=cos(2*f1*pi*t)+cos(2*f2*pi*t); stem(t,f) ； x=fft(f); y=abs(x) stem(y);

][kX曲线图像为：

离散信号采样图像为： 四、（20分）一序列)(nx是由两个频率相距为f的模拟信号采样得来的，

即： 1已知序列长度N＝16，采用周期图法．应用DFT分别计算当060.f及010.f时的功率谱估计，并通过作图说明从功率谱估计的分布是否能分辨出这两个正弦信号的真实频谱？若N＝64，又有什么变化？（要求给出求解过程和Matlab源程序） 解：

用周期图的方法估计功率谱密度，调用matlab程序 [Px,f]=periodogram(x,Windows,Nfft,fs) （1）N=16时， matlab程序为： N1=16;n=0:1:16;nfft=2048; x1=sin(2*pi*0.135*n)-cos(2*pi*(0.135+0.06)*n); x2=sin(2*pi*0.135*n)-cos(2*pi*(0.135+0.01)*n); [Px1,f1]=periodogram(x1,[],nfft,1); [Px2,f2]=periodogram(x2,[],nfft,1); plot(f1,Px1) plot(f2,Px2) f=0.006

f=0.001 由图可知，f=0.06时，无法分辨两个信号的真实频谱； f=0.01时，可以分辨两个信号的真实频谱；

（2）N=64 matlab程序为： N1=64;n=0:1:16;nfft=2048; x1=sin(2*pi*0.135*n)-cos(2*pi*(0.135+0.06)*n); x2=sin(2*pi*0.135*n)-cos(2*pi*(0.135+0.01)*n); [Px1,f1]=periodogram(x1,[],nfft,1); [Px2,f2]=periodogram(x2,[],nfft,1); plot(f1,Px1) plot(f2,Px2) f=0.006 f=0.001 由图可知，f=0.06时，可以非常清晰地分辨两个信号的真实频谱； f=0.01时，无法分辨两个信号的真实频谱；

五、（20分）低通滤波器的技术指标为

01.1)(99.0j

eH 

3.00

01.0)(j

eH 

35.0

用窗函数法设计一个满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。（要求给出设计过程和Matlab源程序） （1） 数字频率: 通带截止频率为 π3.0p 阻带截止频率为 π35.0s 最小阻带衰减为 4001.0lg20sdB （2） 确定频率响应函数)(jdeH。

其他,0,1)(cjdeH

其中：π325.02)π35.0π3.0(2spc。 （3） 确定)(nhd，并进行因果化。







anananananannhccd,325.0,

)())(325.0sin()(

))(sin(

)(





其中2)1(Na。 （4） 由阻带衰减s确定窗函数，由过渡带宽度确定窗口长度N。 因为阻带衰减为40dB，所以选择汉宁窗： )(1π2cos46.054.0)(nRNnnwN 窗口长度N为： 160π3.0π35.0π8π8π8psN

N取为最接近的奇数，即N＝161。 （5） 求得所设计的FIR滤波器的单位脉冲响应。 因为 802)1(Na

则 1600,80πcos121)(nnnw