dtft dft fft理解(精辟)
fft、ifft原理
fft、ifft原理
FFT（快速傅里叶变换）和IFFT（逆快速傅里叶变换）是数字信号处理中的重要算法，用于在频域和时域之间进行转换。
FFT的基本原理是将一个信号的离散傅里叶变换（DFT）转化为更快速的计算形式。
通过一系列的数学变换，FFT将一个长度为N的离散信号在频域上的表示从O(N^2)的计算复杂度降低到了O(NlogN)。
FFT的主要思路是将长序列的DFT分解为几个短序列的DFT，然后利用短序列DFT的快速计算性质，避免了直接计算长序列DFT的高复杂度。
IFFT则是FFT的反过程，即将频域的信号转换为时域的信号。
其原理与FFT类似，只不过是将频域的表示通过一系列数学变换转化为时域的表示。
在实际应用中，FFT和IFFT常用于信号处理、图像处理、通信等领域。
例如，在通信中，FFT常用于频域信号的解调，而IFFT则用于信号的调制。
在图像处理中，FFT和IFFT可以用于图像的滤波、频域分析等操作。
各种傅里叶变换之间关系
各种傅里叶变换之间关系傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具。
在实际应用中，常常会遇到多种傅里叶变换，如离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CFT）等。
这些变换之间存在着一定的关系，下面将从三个方面来介绍它们之间的关系。
一、DFT与FFT的关系DFT是一种将有限长度的离散序列转换为有限长度的离散频谱的变换。
而FFT 是一种高效计算DFT的算法，它通过将DFT分解为多个规模较小的DFT，从而大大减少计算量。
因此，FFT可以看作是DFT的一种实现方式。
具体来说，FFT算法将DFT的计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，其中N 为序列长度。
因此，FFT算法在实际应用中被广泛使用，如信号处理、图像处理、通信系统等。
二、DFT与CFT的关系DFT是一种离散的傅里叶变换，而CFT是一种连续的傅里叶变换。
它们之间的关系可以通过采样定理来描述。
采样定理指出，如果一个连续信号的带宽不超过采样频率的一半，那么可以通过对该信号进行采样，得到一个离散信号，该离散信号的频谱与原信号的频谱重合。
因此，可以通过对采样信号进行DFT，得到原信号的频谱。
具体来说，假设一个连续信号f(t)的频谱为F(ω)，采样频率为fs，采样间隔为T=1/fs，采样点数为N，则采样信号可以表示为：x[n]=f(nT)，n=0,1,2,...,N-1该采样信号的DFT为：X[k]=Σ(n=0)^(N-1)x[n]exp(-j2πnk/N)，k=0,1,2,...,N-1可以证明，当N趋近于无穷大时，X[k]趋近于F(kωs/N)，即采样信号的DFT 趋近于原信号的CFT。
三、CFT与拉普拉斯变换的关系CFT是一种将连续信号转换为连续频谱的变换，而拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复平面上的复函数的变换。
它们之间的关系可以通过欧拉公式来描述。
欧拉公式指出，对于任意实数x，有：e^(jx)=cos(x)+jsin(x)因此，可以将复平面上的函数表示为实部和虚部的线性组合。
dft与离散傅里叶变换
dft与离散傅里叶变换DFT与离散傅里叶变换引言：数字信号处理中，频域分析是一项重要的技术。
DFT（离散傅里叶变换）和离散傅里叶变换（DFT）是两种常用的频域分析方法。
本文将介绍DFT和离散傅里叶变换的基本原理、应用领域以及它们之间的区别。
一、DFT的基本原理离散傅里叶变换（DFT）是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它的基本原理是将信号分解为不同频率的正弦和余弦波的叠加。
DFT 可以将信号从时域转换到频域，帮助我们分析信号的频谱特征。
DFT的计算公式是通过对信号的采样点进行离散计算得到的。
它将信号分解为一系列复数，表示不同频率的正弦和余弦波的振幅和相位信息。
通常情况下，DFT的输入信号是离散时间的有限长度序列，输出信号也是离散时间的有限长度序列。
二、DFT的应用领域DFT在信号处理领域有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：1. 音频信号处理：DFT可以用于音频信号的频谱分析，帮助我们了解音频信号的频率组成以及频谱特征。
它在音频编码、音频效果处理等方面有着重要作用。
2. 图像处理：DFT可以用于图像的频域分析，帮助我们了解图像的频率特征，如边缘、纹理等。
它在图像压缩、图像增强等方面有着广泛的应用。
3. 通信系统：DFT可以用于通信信号的频谱分析，帮助我们了解信号在频域上的特征，如信号的带宽、频率偏移等。
它在调制解调、信道估计等方面有着重要作用。
三、离散傅里叶变换（DFT）与傅里叶变换（FT）的区别离散傅里叶变换（DFT）是傅里叶变换（FT）在离散时间上的应用。
它们之间的区别主要体现在以下几个方面：1. 定义域：傅里叶变换是定义在连续时间上的，而离散傅里叶变换是定义在离散时间上的。
2. 输入信号类型：傅里叶变换可以处理连续时间的信号，而离散傅里叶变换可以处理离散时间的信号。
3. 计算方法：傅里叶变换通过积分计算得到频域信号，而离散傅里叶变换通过对输入信号的采样点进行离散计算得到频域信号。
4. 结果表示：傅里叶变换的结果是连续的频域信号，而离散傅里叶变换的结果是离散的频域信号。
实验4 离散信号的DTFT和DFT
实验4 离散信号的DTFT 和DFT实验目的：加深对离散信号的DTFT(离散时间信号的傅里叶变换)和DFT （离散傅里叶变换）的及其相互关系的理解。
实验原理：序列x(n) 的DTFT 定义：()j ωjn ωn X(e )x n e ∞-=-∞=∑N 点序列x(n) 的DFT 定义： 221010()()()()N j k j kn N N n N kn Nn X k X ex n e x n W ππ--=-====∑∑ 在MATLAB 中，对形式为0101...()()()...j jM j j M j j jN N p p e p e p e X e D e d d e d e ωωωωωωω----+++==+++的DTFT 可以用函数(,,)H Freqz num den w =计算；可以用函数(,)U fft u N =和(,)u ifft U N =计算N 点序列的DFT 正、反变换。
实验内容： 分别计算16点序列 511()cos cos ,0151616x n n n ππ=+≤≤的16点和32点DFT ，绘出幅度谱图形，并绘出该序列的DTFT 图形。
实验要求：讨论DTFT 和DFT 之间的相互关系。
说明实验产生的现象的原因。
Fs=1000;T=1/Fs;L=16;t=(0:L-1)*T;x(t)=cos(((5*pi)/16)*t)+cos(((11*pi)/16)*t);y = x + 2*randn(size(t));plot(Fs*t(1:16),y(1:16))title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise')xlabel('t(milliseconds)')NFFT = 2^nextpow2(L);Y = fft(y,NFFT)/L;f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);plot(f,2*abs(Y(1:NFFT/2+1)))title('Single-Sided Amplitude Spectrum of y(t)')xlabel('Frequency (Hz)')ylabel('|Y(f)|')。
离散傅里叶变换和快速傅里叶变换的区别
离散傅里叶变换和快速傅里叶变换的区别离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）和快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）都是数字信号处理中常用的算法，用于将时域信号转换为频域信号。
虽然它们都是傅里叶变换的变种，但它们之间有很大的区别。
DFT是一种直接计算傅里叶变换的方法，它将N个时域采样点转换为N个频域采样点。
DFT的计算复杂度为O(N^2)，因此对于大规模的信号处理任务来说，计算时间会非常长。
而FFT是一种基于分治思想的算法，它将DFT的计算复杂度降低到O(NlogN)，因此计算速度非常快，特别适合于大规模信号处理任务。
DFT和FFT的计算方式也有所不同。
DFT的计算公式为：X[k] = sum(x[n] * exp(-j*2*pi*k*n/N))其中，x[n]表示时域采样点，X[k]表示频域采样点，N表示采样点数，k和n分别表示频域和时域的索引。
这个公式需要进行N^2次复数乘法和加法运算，因此计算复杂度很高。
FFT的计算方式则是将DFT的计算过程分解为多个子问题，然后递归地求解这些子问题。
具体来说，FFT将N个采样点分为两个子序列，分别进行DFT计算，然后将它们合并起来得到整个序列的DFT结果。
这个过程可以递归地进行下去，直到只剩下一个采样点为止。
由于FFT采用了分治思想，它的计算复杂度为O(NlogN)，比DFT快得多。
DFT和FFT的应用场景也有所不同。
由于DFT的计算复杂度较高，因此它适合于小规模的信号处理任务，例如音频信号的处理。
而FFT则适合于大规模的信号处理任务，例如图像处理和视频处理。
此外，FFT还可以用于信号压缩、滤波和频域分析等领域。
离散傅里叶变换和快速傅里叶变换虽然都是傅里叶变换的变种，但它们之间有很大的区别。
DFT是一种直接计算傅里叶变换的方法，计算复杂度较高，适合于小规模的信号处理任务；而FFT是一种基于分治思想的算法，计算速度非常快，适合于大规模的信号处理任务。
简述fft变换的原理
简述fft变换的原理
FFT（快速傅里叶变换）是一种用于计算离散傅里叶变换（DFT）的高效算法。
它能够将离散序列从时域（时间域）转换到频域（频率域），在信号处理、图像处理、通信等领域具有广泛的应用。
FFT通过降低傅里叶变换的计算复杂度，大大提高了计算效率。
FFT的原理可以简述如下：
1.傅里叶变换：傅里叶变换是将时域信号转换为频域信号的方法，它将信号分解为不同频率的正弦和余弦成分。
傅里叶变换的公式表达复杂，计算复杂度较高。
2.分治策略： FFT的核心思想是分治法，将原始信号分成若干子信号，分别计算它们的DFT，然后通过合并这些DFT的结果得到原始信号的DFT。
这样，FFT将原本需要O(N^2)次乘法和加法运算的傅里叶变换降低到了O(N log N)次运算。
3.蝶形运算：在FFT的计算过程中，采用了一种称为“蝶形运算”的策略，将多项式的乘法和加法运算通过重新排列计算，从而减少计算量。
蝶形运算实际上是一个特定的运算单元，它将两个复数相乘并进行加法操作。
4.迭代计算： FFT算法是递归性质的，它将原始信号不断分解为规模更小的子信号，然后逐步合并计算出最终的DFT。
这个过程不断迭代，直至计算出所有频率成分。
总之，FFT通过巧妙的分治策略和蝶形运算，将原本计算复杂度较高的傅里叶变换转化为高效的计算过程，使得在信号处理和频谱分析等领域中，能够更快速、有效地进行频域转换。
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实验1234 离散信号的DTFT和DFT
实验1 离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析实验目的：加深对离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析方法的理解。
实验原理：离散系统如下图所示。
其输入、输出关系可用以下差分方程描述：[][]∑∑==-=-Nk Mk kkk n x p k n y d 0输入信号分解为冲激信号，[][][]∑+∞-∞=-=m m n m x n x δ记系统单位冲激响应：[][]n h n →δ则系统响应为如下的卷积计算式：[][][][][]∑+∞-∞=-==m m n h m x n h n x n y *当N k d k ,,2,1,0 ==时，[]n h 是有限长度的()]),0[:M n ，称系统为FIR 系统；反之，称系统为IIR 系统。
在Matlab 中，可以用函数),,(x d p Filter y =求解差分方程，也可以用函数),(h x conv y =计算卷积。
（1） 卷积计算n=1:50; %定义序列的长度是50hb=zeros(1,50); %注意：Matlab 中数组下标从1开始 hb(1)=1; hb(2)=2.5; hb(3)=2.5; hb(4)=1; subplot(3,1,1); stem(hb); title('系统hb[n]'); m=1:50; %定义序列的长度是50 A=444.128; %设置信号有关的参数 a=50*sqrt(2.0)*pi; T=0.001; %采样率 w0=50*sqrt(2.0)*pi;x=A*exp(-a*m*T).*sin(w0*m*T);subplot(3,1,2); stem(x); title('输入信号x[n]');y=conv(x,hb); subplot(3,1,3); stem(y); title('输出信号y[n]');（2） 卷积定律验证 figure(2); k=-25:25;X=x*(exp(-j*pi/12.5)).^(n'*k);magX=abs(X); %绘制x(n)的幅度谱subplot(3,2,1); stem(magX); title('输入信号的幅度谱');angX=angle(X); %绘制x(n)的相位谱subplot(3,2,2); stem(angX); title('输入信号的相位谱');Hb=hb*(exp(-j*pi/12.5)).^(n'*k);magHb=abs(Hb); %绘制hb(n)的幅度谱subplot(3,2,3); stem(magHb); title('系统响应的幅度谱');angHb=angle(Hb); %绘制hb(n)的相位谱subplot(3,2,4); stem(angHb); title('系统响应的相位谱');n=1:99; k=1:99; Y=y*(exp(-j*pi/12.5)).^(n'*k);magY=abs(Y); %绘制y(n)的幅度谱subplot(3,2,5); stem(magY); title('输出信号的幅度谱');angY=angle(Y); %绘制y(n)的相位谱subplot(3,2,6); stem(angY); title('输出信号的相位谱');%以下将验证的结果显示figure(3);XHb=X.*Hb;subplot(2,1,1); stem(abs(XHb)); title('x(n)的幅度谱与hb(n)幅度谱相乘');subplot(2,1,2); stem(abs(Y)); title('y(n)的幅度谱'); axis([0,60,0,8000]);实验内容：编制程序求解下列两个系统的单位冲激响应和阶跃响应，并绘出其图形。
理解DFT
理解DFT离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是数字信号处理（DSP）领域中一种重要的数学工具，它可以将一个离散序列转换为一组复数系数，表示了这个序列在频域上的频率成分。
DFT的基本原理是将一个长度为N的离散序列进行周期延拓，并将其分解成N个基频为1/N的正弦和余弦函数。
它可以看作是连续傅里叶变换（CFT）的一个离散化版本，将连续信号在时域上采样得到的离散信号在频域上进行分析。
DFT的数学表达式为：X(k) = Σ(x(n) * exp(-j * 2π * nk / N))其中X(k)为频域上的复数系数，表示了信号在不同频率分量上的幅度和相位；x(n)为时域上的离散信号；k为频域上的频率索引，取值范围为0到N-1；N为序列的长度。
通过计算DFT，可以得到信号在频域上不同频率分量的幅度和相位信息。
DFT的输出是一个复数序列，其中实部表示对应频率上的幅度，虚部表示对应频率上的相位。
可以用幅度谱和相位谱来表示信号在频域上的性质。
DFT的应用十分广泛，特别是在信号分析、通信系统、图像处理和音频处理等领域。
以下是DFT的几个常见应用：1.频谱分析：通过计算DFT，可以将信号从时域转换到频域，从而得到信号的频谱信息。
频谱分析可以用于信号的特征提取、频率成分的识别和滤波器的设计等方面。
2.信号压缩：DFT可以将信号从时域转换到频域，在频域上对信号进行压缩处理，去除一些频率成分上的冗余信息。
这样可以实现信号的压缩存储和传输，提高对信号的处理效率。
3.图像处理：图像可以看作是一个二维离散信号，通过对图像的每个像素进行DFT计算，可以将图像从空域转换到频域上进行处理。
在图像处理中，DFT经常用于图像滤波、图像压缩和图像增强等应用。
4.音频处理：声音可以看作是一个一维离散信号，在音频处理中，通常通过对声音信号进行DFT计算，得到声音的频谱信息，可以用于音频的降噪、声音特征提取、声音合成等方面。
dtft,dft和z变换的关系公式
dtft,dft和z变换的关系公式
DTFT（离散时间傅里叶变换）是对离散时间信号进行傅里叶变换，变换结果为复数序列。
DFT（离散傅里叶变换）是对离散时间序列进行傅里叶变换，并将结果离散化，得到一个离散频率的结果。
Z变换将离散时间序列转换为复平面上的函数。
它们之间的关系是：
DTFT和DFT：DFT是DTFT在离散频率上的取样。
换句话说，DFT将DTFT的周期延伸到一个无限长、以2π/N为周期的周期函数，并从中取出N个点，即得到DFT。
因此，DTFT是DFT的完整信号分析工具，而DFT 只是DTFT的离散取样。
DFT公式与DTFT公式如下：
DTFT：$X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}$。
DFT：$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}$。
其中，k是DFT的离散频率，从0到N-1。
DFT和Z变换：DFT是在单位圆上取样的Z变换。
单位圆上的采样点是Z域变量的周期性取样。
DFT和Z变换的关系如下：
$X[k] = X(z)|_{z=e^{j\frac{2\pi}{N}k}}$。
其中，k从0到N-1，X(z)为Z变换。
因此，可以通过DTFT、DFT和Z变换之间的关系，得到它们之间的相互转换公式。
常见的傅里叶变换对
常见的傅里叶变换对傅里叶变换（Fourier Transform，简称FT）是一种重要的数学分析工具，可以将信号从时域转换到频域，分析信号在频域中的特征。
在实际应用中，我们经常会遇到一些常见的傅里叶变换对，下面就逐一介绍一下这些变换对。
一、离散傅里叶变换（DFT）与傅里叶级数（FS）离散傅里叶变换是将离散的时域信号转换为离散的频域信号的一种变换方式，它与傅里叶级数有着密切的联系。
傅里叶级数是将周期信号在周期内按照一定的权重展开成一组无穷级数，可以得到信号在频域中的谱线。
当周期趋于无穷大时，傅里叶级数可以转换为傅里叶变换，展示信号在连续的频率域中的谱线。
因此，离散傅里叶变换与傅里叶级数是同一种变换的不同表现形式。
二、快速傅里叶变换（FFT）与离散傅里叶变换（DFT）快速傅里叶变换是将离散的时域信号转换为离散的频域信号的一种高效的计算方法。
它利用了离散傅里叶变换的对称性和周期性，将计算时间复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算速度。
快速傅里叶变换与离散傅里叶变换的关系是，DFT是计算离散信号的频谱的一种方法，而FFT是DFT的一种高效算法。
三、短时傅里叶变换（STFT）与连续傅里叶变换（CFT）短时傅里叶变换是一种将非周期信号的时域信号转换为频域信号的方法。
与传统的傅里叶变换只能计算周期信号不同，短时傅里叶变换可以对非周期信号进行变换。
CFT是一种计算连续信号的傅里叶变换的方法，是对傅里叶变换的推广和扩展。
这两种变换方法都是将信号从时域转换为频域，但CFT适用于连续信号的处理，STFT适用于非周期信号的处理。
四、小波变换（WT）与傅里叶变换（FT）小波变换是一种分析信号在时间域上局部性质的变换方法。
与傅里叶变换只能分析信号在频域上的特征不同，小波变换可以分析信号在时间域上不同尺度的局部信息。
小波变换是一种时频分析方法，可以提供采样与频率同时抽取的加窄带效果，又较傅里叶分析提供更高分辨率。
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很多同学学习了数字信号处理之后，被里面的几个名词搞的晕头转向，比如DFT，DTFT，DFS，FFT，FT,FS等，FT和FS属于信号与系统课程的内容，是对连续时间信号的处理，这里就不过多讨论，只解释一下前四者的关系。
首先说明一下，我不是数字信号处理专家，因此这里只站在学生的角度以最浅显易懂的性质来解释问题，而不涉及到任何公式运算。
学过卷积，我们都知道有时域卷积定理和频域卷积定理，在这里只需要记住两点：1.在一个域的相乘等于另一个域的卷积；2.与脉冲函数的卷积，在每个脉冲的位置上将产生一个波形的镜像。
(在任何一本信号与系统课本里，此两条性质有详细公式证明)
下面，就用这两条性质来说明DFT，DTFT，DFS，FFT之间的联系：
先看图片：
首先来说图（1）和图（2），对于一个模拟信号，如图(1)所示，要分析它的频率成分，必须变换到频域，这是通过傅立叶变换即FT(Fourier Transform)得到的，于是有了模拟信号的频谱，如图(2)；注意1：时域和频域都是连续的！
但是，计算机只能处理数字信号，首先需要将原模拟信号在时域离散化，即在时域对其进行采样，采样脉冲序列如图(3)所示，该采样序列的频谱如图(4)，可见它的频谱也是一系列的脉冲。
所谓时域采样，就是在时域对信号进行相乘，(1)×(3)后可以得到离散时间信号x[n]，如图(5)所示；由前面的性质1，时域的相乘相当于频域的卷积，那么，图(2)与图(4)进行卷积，根据前面的性质2知，会在各个脉冲点处出现镜像，于是得到图(6)，它就是图(5)所示离散时间信号x[n]的DTFT(Discrete time Fourier Transform)，即离散时间傅立叶变换，这里强调的是“离散时间”四个字。
注意2：此时时域是离散的，而频域依然是连续的。
经过上面两个步骤，我们得到的信号依然不能被计算机处理，因为频域既连续，又周期。
我们自然就想到，既然时域可以采样，为什么频域不能采样呢？这样不就时域与频域都离散化了吗？没错，接下来对频域在进行采样，频域采样信号的频谱如图(8)所示，它的时域波形如图(7)。
现在我们进行频域采样，即频域相乘，图(6)×图(8)得到图(10)，那么根据性质1，这次是频域相乘，时域卷积了吧，图(5)和图(7)卷积得到图(9)，不出所料的，镜像会呈周期性出现在各个脉冲点处。
我们取图（10）周期序列的主值区间，并记为X(k)，它就是序列x[n]的DFT(Discrete Fourier Transform)，即离散傅立叶变换。
可见，DFT只是为了计算机处理方便，在频率域对DTFT进行的采样并截取主值而已。
有人可能疑惑，对图(10)进行IDFT，回到时域即图(9)，它与原离散信号图(5)所示的x[n]不同呀，它是x[n]的周期性延拓！没错，因此你去查找一个IDFT的定义式，是不是对n的取值区间进行限制了呢？这一限制的含义就是，取该周期延拓序列的主值区间，即可还原x[n]！
FFT呢？FFT的提出完全是为了快速计算DFT而已，它的本质就是DFT！我们常用的信号处理软件MATLAB或者DSP软件包中，包含的算法都是FFT而非DFT。
DFS,是针对时域周期信号提出的，如果对图(9）所示周期延拓信号进行DFS，就会得到图(10)，只要截取其主值区间，则与DFT是完全的一一对应的精确关系。
这点对照DFS和DFT 的定义式也可以轻易的看出。
因此DFS与DFT的本质是一样的，只不过描述的方法不同而已。
不知道经过上面的解释，您是否明白各种T的关系了呢？如果您不是算法设计者，其实只要懂得如何使用FFT分析频谱即可，博主近期会更新一篇文章，专门介绍如何利用FFT分析简单信号的频谱。
其实个人认为，纠结了这么多，就是为了打破现实模拟世界与计算机数字世界的界限呀！。