成都市一诊(文科)数学模拟试题(二)

成都市一诊（文科）数学模拟试题（二）1．设全集{|0}=≥U x x ，集合{1}=P ，则U P =ð （A ）[0,1)(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(,1)(1,)-∞+∞ （D ）(1,)+∞2．如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为 （A ）3:1 （B ）2:1 （C ）1:1 （D ）1:2 3．命题“若22≥+x a b ，则2≥x ab ”的逆命题是（A ）若22<+x a b ，则2<x ab （B ）若22≥+x a b ，则2<x ab（C ）若2<x ab ，则22<+x a b （D ）若2≥x ab ，则22≥+x a b4．函数31,0()1(),03x x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ） 5．复数5i(2i)(2i)=-+z （i 是虚数单位）的共轭复数为（A ）5i 3- （B ）5i 3（C ）i - （D ）i6．若关于x 的方程240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，则实数a 的取值范围是 （A ）(3,)-+∞ （B ）[3,0]- （C ）(0,)+∞ （D ）[0,3]7．已知53cos()25+=πα，02-<<πα，则sin 2α的值是（A ）2425 （B ）1225 （C ）1225- （D ）2425-8．抛物线:C 28y x =，过点(2,0)P 的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值 （A ）16- （B ）12- （C ）4 （D ）09．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n ⊂β，则下列叙述正确的是 正视图侧视图俯视图（C ）若//m n ，m α⊥，则αβ⊥ （D ）若//αβ，m n ⊥，则m α⊥10．设147()9a -=，159()7b =，27log 9c =，则a , b , c 的大小顺序是（A ）b a c <<（B ）c a b << （C ）c b a << （D ）b c a <<11．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若E 上存在点P 使12F F P∆为等腰三角形，且其顶角为23π，则22a b 的值是（A ）43 （B ）3 （C ）34（D ）2 12．已知实数,x y 满足402020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z y x =-的最大值是（A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）613．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k 的最大值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）714．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹角的大小为__．15．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1cos 4=B ．则边c 的长度为_________．16．已知函数3()sin 1f x xx -=++.若()3f a =，则()f a -= ．17． 口袋中装有除编号外其余完全相同的5个小球，编号依次为1,2,3,4,5．现从中同时取出两个球，分别记录下其编号为,m n ．（Ⅰ）求“5+=m n ”的概率；（Ⅱ）求“5≥mn ”的概率．18．如图，在多面体ECABD 中，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，ABC ∆为正三角形，F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =．（Ⅰ）求证：DF //平面ABC ；（Ⅱ）求多面体ECABD 的体积．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122+=-n n S ；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+．*n ∈N . （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记n n n c a b =，*n ∈N .求数列{}n c 的前n 项和n T ．20．已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且过点．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线:()l y xm m =+∈R 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，且AB =若点0(,2)P x 满足=PA PB ，求0x 的值．21．已知函数21()(1)ln ()2f x ax a x x a =-++-∈R ． （Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）当0a =时，设函数()()(2)2g x xf x k x =-++.若函数()g x 在区间1[,)2+∞上有两个零点，求实数k 的取值范围．22.已知曲线C 的参数方程为{x y sin θθ==（θ为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.消费支出/元加练21．已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，{|22}B x x =-<<，则AB =（A ）{|12}x x -≤≤ （B ）{|12}x x -≤< （C ）{|12}x x -<< （D ）{|21}x x -<≤ 2．设复数z 满足i (32i)(1i)z -=+-（其中i 为虚数单位），则z = ． 3．在ABC ∆中，“4A π=”是“cos 2A =”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 4．已知关于x 的不等式()(2)0---≤x a x a 的解集为A ，集合{|22}=-≤≤B x x ．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________．5．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是（A ） （B ） （C ） （D ）6．已知n m ,为空间中两条不同的直线，βα,为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是 （A ）若βα//,//m m ，则βα//（B ）若,m m n α⊥⊥，则//n α（C ）若n m m //,//α，则α//n （D ）若βα//,m m ⊥，则βα⊥ 7．已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如右图所示.则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是________．8．已知菱形ABCD 边长为2，3B π∠=，点P 满足AP AB λ=，λ∈R ．若3BD CP ⋅=-，则λ的值为 （A ）12（B ）12-（C ）13（D ） 13-9. 已知圆422=+y x ，过点(0,1)P 的直线l 交该圆于B A ,两点，O 为坐标原点，则OAB ∆面积的最大值是 ．10．某大型企业一天中不同时刻的用电量y （单位：万千瓦时）关于时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ωϕωϕπ=++>><<，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象．（Ⅰ）根据图象，求A ，ω，ϕ，B 的值；（Ⅱ）若某日的供电量()g t （万千瓦时）与时间t （小时）近似满足函数关系式205.1)(+-=t t g （012t ≤≤）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:11．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且212()5n n n a a a +++=．（Ⅰ）求q 的值； （Ⅱ）若2510a a =，求数列{}3nn a 的前n 项和n S ．12．已知函数2251()cos sin cos sin 424f x x x x x =--． （Ⅰ）求函数()f x 取得最大值时x 取值的集合； （Ⅱ）设A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角.若3cos 5B =，1()4f C =-，求sin A 的值．13．如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD ⊥平面ABCD ，且FD =．（Ⅰ）求证：//EF 平面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=︒，求几何体EFABCD 的体积．14．已知椭圆22:132x y E +=的左右顶点分别为A ，B ，点P 为椭圆上异于,A B 的任意一点.（Ⅰ）求直线PA 与PB 的斜率之积；（Ⅱ）过点(,0)5Q -作与x 轴不重合的任意直线交椭圆E 于M ，N 两点.证明：以MN 为直径的圆恒过点A .15．已知函数()ln 2mf x x x=+，()2g x x m =-，其中m ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数． （Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）对1[,1]ex ∀∈，是否存在1(,1)2m ∈，使得()()1>+f x g x 成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；成都市一诊模拟（二）文科数学答案A C D A CB D BC CD D A 90° 4 -1 17．解：同时取出两个球，得到的编号,m n 可能为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5) (3,4)，(3,5) (4,5)……………6分（Ⅰ）记“5+=m n ”为事件A ，则21()105==P A ．…………………3分 （Ⅱ）记“5≥mn ”为事件B ，则37()11010=-=P B ………… 3分18．（Ⅰ）证明：作AC 的中点O ，连结BO ．在∆AEC 中，//=FO 12EC ，又据题意知，//=BD 12EC ． ∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形． ∴//DF OB ，又⊄DF 面ABC ，⊂OB 平面ABC ．∴//DF 面ABC ．………………………6分（Ⅱ）据题意知，多面体ECABD 为四棱锥-A ECBD ． 过点A 作⊥AH BC 于H ．∵⊥EC 平面ABC ，⊂EC 平面ECBD ，∴平面⊥ECBD 平面又⊥AH BC ，⊂AH 平面ABC ，平面ECBD 平面=ABC BC ，∴⊥AH 面ECBD ． ∴在四棱锥-A ECBD 中，底面为直角梯形ECBD ，高=AH ． ∴1(21)232-+⨯=⨯=A ECBD V 6分 19解：（Ⅰ）∵122+=-n n S ① 当2≥n 时，122-=-nn S ②①-②得，2=nn a （2≥n ）． ∵当2≥n 时，11222--==n n n n a a ，且12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n n n a ．………………………………………4分又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b ∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列， ∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．……………………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-n n c n ……1分∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n n n T n n231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④由-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n …………1分23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n nn T n ∴12222(21)2+-⋅-=⨯--⋅n n T n ………1分∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n∴1(23)24+=-+n n T n ∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n ……3分20.（Ⅰ）由已知得=a=c ∴2224=-=b a c ．∴椭圆Γ的方程为141222=+y x ． （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① ………………………1分∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(163622>--=m m ，得216<m ．设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，则2321mx x -=+， 2123124-⋅=m x x ．∴12=-==AB x ．又由AB =231294-+=m ，解之2m =±．……………………………3分 据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点．设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=，当2m =时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--．令2=y ，得03x =-．……………………………………2分 当2m =-时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+． 令2=y ，得01x =-．………………2分 综上所述，0x 的值为3-或1-． 21.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，(1)(1)()(0).ax x f x a x--'=->①当(0,1)a ∈时，11a >.由()0f x '<，得1x a >或1x <.∴当(0,1)x ∈，1(,)x a∈+∞时，()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为(0,1),1(,)a+∞.②当1a =时，恒有()0f x '≤，∴()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为(0,)+∞.③当(1,)a ∈+∞时，11a<.由()0f x '<，得1x >或1x a <.∴当1(0,)x a ∈，(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递减.1综上，当(0,1)a ∈时，()f x 的单调递减区间为(0,1),1(,)a+∞；当1a =时，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；当(1,)a ∈+∞时，()f x 的单调递减区间为1(0,)a,(1,)+∞. ………6分 （Ⅱ）2()ln (2)2g x x x x k x =--++在1[,)2x ∈+∞上有零点，即关于x 的方程2ln 22x x x k x -+=+在1[,)2x ∈+∞上有两个不相等的实数根.令函数2ln 21(),[,)22x x x h x x x -+=∈+∞+. 则2232ln 4()(2)x x x h x x +--'=+. 令函数21()32ln 4,[,)2p x x x x x =+--∈+∞. 则(21)(2)()x x p x x -+'=在1[,)2+∞上有()0p x '≥.故()p x 在1[,)2+∞上单调递增.(1)0p =，∴当1[,1)2x ∈时，有()0p x <即()0h x '<.∴()h x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，有()0p x >即()0h x '>，∴()h x 单调递增.19ln 2()2105h =+，(1)1,h =10210ln 21021023(10)12123h --=>=>1()2h ， ∴k 的取值范围为9ln 2(1,].105+…………14分 22.加练2答案 B 15i + B [2,0]- CD 30 D 310.（Ⅰ）由图知12T =，6πω=．……1分2125.15.22minmax =-=-=y y A ，225.15.22min max =+=+=y y B ．……2分∴0.5sin()26y x πϕ=++． 又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)．代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=．…2分综上，21=A ，6πω=，2πϕ=，21=B ．…………1分 即2)26sin(21)(++=ππt t f ．（Ⅱ）令)()()(t g t f t h -=，设0)(0=t h ，则0t 为该企业的停产时间． 由0)11()11()11(<-=g f h ，0)12()12()12(>-=g f h ，则)12,11(0∈t ． 又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ，则)12,5.11(0∈t ．又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ，则)75.11,5.11(0∈t ． 又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，则)75.11,625.11(0∈t ．又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，则)6875.11,625.11(0∈t ．…4分1分 ∴应该在11．625时停产． 1分（也可直接由0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，得出)6875.11,625.11(0∈t ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产） 11．解：（Ⅰ）212()5,n n n a a a +++=22()5.n n n a a q a q ∴+=由题意，得0n a ≠，∴22520.q q -+=2q ∴=或1.21q >， 2.q ∴=……6分（Ⅱ）2510,a a =42911().a q a q ∴=12a ∴=.∴112.n n n a a q -==∴2().33nn n a =∴122[1()]2332.2313n n n n S +-==--………12分12．解：（Ⅰ）2251()cos cos sin 44f x x x x x =-5sin 231cos 24222x x -=--⨯13(cos 22)24x x =--+1).23x π=--………3分 要使()f x 取得最大值，须满足sin(2)3x π-取得最小值.∴22,32x k k ππ-=π-∈Z. ∴,12x k k π=π-∈Z.∴当()f x 取得最大值时,x 取值的集合为{|,}.12x x k k π=π-∈Z …6分（Ⅱ）由题意，得sin(2)3C π-=(0,),2C π∈22(,).333C πππ∴-∈-3C π∴=. …9分(0,)2B π∈，4sin .5B ∴=sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C ∴=+=+413525=⨯+=13．解：（Ⅰ）如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接.HD EH ∴=平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊆平面BCE ，平面ABCD 平面BCE 于BC ，∴EH ⊥平面.ABCD又FD ⊥平面ABCD ，FD =//.FD EH ∴∴四边形EHDF 为平行四边形.//.EF HD ∴EF ⊄平面ABCD ，HD ⊆平面,ABCD //EF ∴平面.ABCD ………6分（Ⅱ）连接,CF HA .由题意,得HA BC ⊥.HA ⊆平面,ABCD 平面ABCD ⊥平面BCE 于BC ，∴HA ⊥平面BCE .//FD EH ，EH ⊆平面BCE ，FD ⊄平面BCE ，//FD ∴平面.BCE 同理，由//HB DA 可证，//DA 平面.BCEFD DA 于D ，FD ⊆平面ADF ，DA ⊆平面ADF ，∴平面BCE //平面.ADF F ∴到平面BCE 的距离等于HA 的长.FD 为四棱锥F ABCD -的高,EFABCD F BCE F ABCD V V V --∴=+1133BCEABCDS HA S FD =⨯+⨯1133=⨯ 3.= ……12分 14．解：（Ⅰ）(A B .设点(,)P x y (0)y ≠.则有22132x y +=，即22222(1)(3).33x y x =-=-223PA PBy k k x ∴⋅==-222(3)23.33x x -==-- ……………………4分（Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，MN 与x轴不重合，∴设直线:)5MN l x ty t =-∈R .由22,2360x ty x y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩得22144(23)0.25t y +--= 由题意,可知0∆>成立，且122122523.1442523y y t y y t ⎧⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩ ……（*）11221212()()(AM AN x y x y ty ty y y ⋅=+=+++2121248(1)().525t y y y y =++++ 将（*）代入上式，化简得2222214414448484823482525250.2325252325t tt AM AN t t --++⋅=+=-⨯+=++∴AM AN ⊥，即以MN 为直径的圆恒过点A ．……………13分15.解：（Ⅰ）1m =时，1()ln ,02=+>f x x x x ．∴221121()22-'=-=x f x x x x …1分由()0'>f x ，解得12>x ；由()0'<f x ，解得102<<x ； ∴()f x 在1(0,)2上单调递减，1(,)2+∞上单调递增．………………2分∴=极小值)(x f 11()ln 11ln 222f =+=-．………… 2分（II ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，其中1(,1)2m ∈ 由题意，()0h x >对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，∵2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e ∵1(,1)2m ∈，∴在二次函数222=-+-y x x m 中，480∆=-<m ，∴2220-+-<x x m 对∈x R 恒成立∴()0'<h x 对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减．∴min 5()(1)ln11212022==+-+-=->m h x h m m ，即45>m ．故存在4(,1)5∈m 使()()f x g x >对1,1⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦x e 恒成立．…………4分。