A.导数概念【XA】
导数的概念与性质
导数的概念与性质导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
导数的概念由数学家高斯于18世纪提出，至今仍被广泛应用于各个领域。
本文将对导数的概念以及其性质进行论述。
一、导数的概念导数是用来描述函数在某一点处的变化率的数值。
设函数f(x)在点x=a处可导，那么函数在该点处的导数记作f'(a)，表示函数在点x=a处的瞬时变化率。
导数可以用极限的概念来定义，即：f'(a) = lim (x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)其中，f(x)表示函数f在点x处的取值。
导数的概念可以形象地理解为函数图像上某一点处切线的斜率。
当函数在某点处的导数存在时，说明函数在该点处是光滑的，即函数图像在该点处没有转折或断裂的情况。
二、导数的性质导数具有以下一些重要的性质：1. 导数的存在性：一般而言，函数在某点处的导数可能存在也可能不存在。
当函数在某点处的导数存在时，我们称其为可导，否则称其为不可导。
2. 导数与函数的关系：导数是描述函数变化率的工具，它与函数的关系密切。
如果函数在某一范围内的导数都存在，那么我们可以得到函数在该范围内的变化趋势。
3. 导函数的性质：如果函数f(x)在某一点处可导，那么它的导函数f'(x)就是由f(x)导出的一个新函数。
导函数具有以下性质： - 导函数是原函数的变化率函数，描述了原函数在各点处的变化率。
4. 导数的运算规则：导数满足一些基本的运算规则，使我们能够更方便地求解复杂函数的导数。
其中，常见的导数运算规则包括常数倍法则、和差法则、乘积法则和商积法则等。
5. 导数与函数图像：导数不仅可以解释函数的变化率，还能给出函数图像的一些重要信息。
例如，函数在某一点处的导数为正，则说明函数在该点处上升；导数为负，则说明函数在该点处下降。
三、导数的应用导数在各个领域都有广泛的应用，例如：1. 物理学中的运动学：导数可以描述物体的位置、速度和加速度之间的关系，帮助我们分析物体的运动规律。
a导数概念【xa】
导数概念及意义知识点反思梳理：Ⅰ.为了研究函数值的“增减变化”情况（也就是函数的单调性）发明了用来判断单调性的“方法工具”……“单调性定义”【只要[]1212,,,x x a b x x ∀∈<都有()12()f x f x <则函数()f x 就在区间[],a b 上单调递增．．．．】 Ⅱ.观察下列函数图象不难发现：虽然函数都是递增（递减）函数，可是增减的快慢（陡峭程度）却各不相同。
究竟怎样刻画、区别函数的陡峭程度呢？比如“越陡值就越大…….’那么又是为了研究什么发明的“平均变化率”、“瞬时变化率“、”导数”呢？？Ⅲ.发明一个什么样的“数学工具模型”才能“刻画变量变化的快与慢？”数缺形时少直观，形缺数时难入微。
如何量化曲线的陡峭程度？Ⅳ.平均变化率 ：一般地,函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率2121()()f x f x x x --。
简记为.y x∆∆Ⅴ. 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．Ⅵ. 平均变化率量化一段曲线的“陡峭程度、快慢程度”是“粗糙不精确的”，Ⅶ.但应注意当21x x -很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”。
Ⅷ.【导数产生的背景：】1. 如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一位置PT 的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线割线斜率PQ k =00()()f x x f x x+∆-∆→切线斜率PT k 也叫是函数在P 点的瞬时变化率.2..函数在该点处的这个具有预测、导性的数，数学上也常把它叫做“导数’3.分别说出下列符号语言的含义：①)(x f y =； ②0()f x ； ③)('0x f ； .④'x xy =.4.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值5．0()f x '与0(())f x '的区别：在对导数的概念进行理解时，特别要注意0()f x '与0(())f x '是不一样的，0()f x '代表函数()f x 在0x x =处的导数值，不一定为0；而0(())f x '是函数值0()f x 的导数，而函数值0()f x 是一个常量，其导数一定为0，即0(())f x '=0。
导数的基本概念与性质知识点总结
导数的基本概念与性质知识点总结导数是微积分中的一项重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在这篇文章中，我们将介绍导数的基本概念以及它的一些重要性质。
一、导数的定义导数描述了函数在某一点处的变化率，可以想象成函数曲线在该点处的切线斜率。
设函数y=f(x)，在点x=a处有导数的充分必要条件是：f'(a) = lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)其中lim表示极限。
这个定义告诉我们，导数可以通过极限的方式来求得。
二、用导数求函数的极值导数在微积分中有着重要的应用，其中一个重要的应用是求函数的极值。
一个函数在某一点的导数为零，说明在该点处函数取得极值。
具体而言，如果函数在某一点的导数为零，且在该点的导数的左右两侧的值符号不同，那么该点即为函数的极值点。
三、导数的四则运算导数具有很多运算特性，这使得我们能够更轻松地对函数进行分析。
导数的四则运算规则如下：1. 常数规则：如果c是常数，f(x)=c，则f'(x)=0。
2. 基本初等函数规则：对于基本初等函数来说，我们可以直接通过求导公式得到它们的导数。
例如，对于常数函数f(x)=c，它的导数为0；对于幂函数f(x)=x^n，它的导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3. 和差规则：如果f(x)和g(x)都是可导的函数，那么它们的和（差）的导数等于各自函数的导数之和（差）。
即(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)。
4. 乘积规则：如果f(x)和g(x)都是可导的函数，那么它们的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
即(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
5. 商法则：如果f(x)和g(x)都是可导的函数，那么它们的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数再减去分子函数乘以分母函数的导数，再除以分母函数的平方。
导数的概念和定义
导数的概念和定义导数的概念和定义导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在实际应用中，导数可以用来求解函数的最大值、最小值、拐点等问题。
本文将从以下几个方面详细介绍导数的概念和定义。
一、导数的基本概念导数是函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数在该点处的切线斜率。
具体地说，设函数y=f(x)，则它在x=a处的导数定义为：f'(a) = lim (f(x) - f(a)) / (x - a) (x → a)其中，“lim”表示极限，“(x-a)”表示自变量x沿着无限接近于a但不等于a的方向逼近时所取得的差值，“f(x)-f(a)”表示因变量y沿着这个方向所取得的差值。
二、导数的几何意义从几何角度来看，函数在某一点处的导数等于该点处切线斜率。
具体地说，设函数y=f(x)，则它在x=a处切线斜率k为：k = lim (f(x) - f(a)) / (x - a) (x → a)当自变量x沿着无限接近于a但不等于a的方向逼近时，切线斜率k即为导数f'(a)。
因此，导数可以用来描述函数在某一点处的变化率。
三、导数的符号表示通常情况下，我们用f'(a)来表示函数y=f(x)在x=a处的导数。
其中，f'表示函数的导数运算符，被称为“d/dx”或“dy/dx”。
四、导数的计算方法求解函数在某一点处的导数需要使用极限运算。
具体地说，可以通过以下几种方法来计算函数在某一点处的导数：1. 使用极限定义法：根据导数的定义公式，将自变量沿着无限接近于该点但不等于该点的方向逼近，并求出其极限值。
2. 使用公式法：对于常见函数（如幂函数、指数函数、对数函数等），可以直接使用其导数公式进行计算。
3. 使用运算法则：对于复合函数和多项式函数等复杂函数，可以使用求导法则（如加减乘除法则、链式法则等）进行计算。
五、导数存在的条件有些函数在某些点处可能不存在导数。
具体地说，一个函数在某一点处存在导数需要满足以下两个条件：1. 函数在该点附近存在连续性；2. 函数在该点附近存在斜率有限的切线。
导数的概念、求导法则
链式法则可以用于求复合函数的导数，特别是当函数包含多个嵌 套函数时。
乘积法则
乘积法则
$(uv)' = u'v + uv'$
应用
乘积法则可以用于求两个函数的乘积的导数，例如$y = u(x)v(x)$的导数可以通 过乘积法则求得。
商的求导法则
商的求导法则
$(u/v)' = frac{u'v - uv'}{v^2}$
导数的概念、求导法则
目
CONTENCT
录
• 导数的概念 • 求导法则 • 导数的应用 • 导数与积分的关系
01
导数的概念
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要概念。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的 斜率，表示函数在该点附近的小变化 量与自变量变化量之比，即函数在一 点的变化率。
导数表示的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在该点的 切线斜率。
详细描述
对于可导函数，其导数在几何上表示 该函数图像在某一点的切线斜率。这 个切线的斜率反映了函数值在该点的 变化趋势。
导数的物理意义
总结词
导数在物理中常用于描述物体的运动状态、速度、加速度等 。
详细描述
在物理中，导数常用于描述物体的运动状态，如速度和加速 度。例如，物体的瞬时速度可以通过位移函数的导数来描述 ，瞬时加速度可以通过速度函数的导数来描述。
THANK YOU
感谢聆听
应用
商的求导法则可以用于求两个函数的商的导数，例如$y = u(x)/v(x)$的导数可以 通过商的求导法则求得。
03
导数的应用
切线斜率
导数的概念定义
导数的概念定义导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
导数的概念定义可以从几何和代数两个方面来进行解释。
一、几何意义几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点处的切线斜率。
具体来说，设函数y=f(x)，在x=a处有导数，则该点切线的斜率即为f'(a)。
当x靠近a时，函数值f(x)也会越来越接近于f(a)，此时切线斜率也会越来越接近于f'(a)。
因此，导数可以用来描述函数在某一点附近的变化情况。
二、代数意义代数意义上，导数可以理解为函数在某一点处的极限值。
具体来说，设函数y=f(x)，在x=a处有导数，则该点导数的定义式为：f'(a)=lim(x->a){(f(x)-f(a))/(x-a)}这个式子表示当x无限接近于a时，(f(x)-f(a))/(x-a)的极限值即为该点导数。
这个极限值可以看作是函数在该点处微小增量与自变量微小增量之比的极限值。
三、符号表示通常情况下，我们用dy/dx或y'来表示函数y=f(x)的导数。
其中，dy/dx表示y关于x的导数，y'表示函数f(x)的导数。
四、求导法则求导法则是计算导数的基本方法。
以下是常用的求导法则：1. 常数函数的导数为0。
2. 幂函数的导数为其指数乘以系数。
3. 指数函数的导数为其自身乘以ln(a)。
4. 对数函数的导数为其自变量倒数。
5. 三角函数和反三角函数的导数可以通过公式推出。
6. 复合函数求导需要使用链式法则或者换元法等方法。
五、应用1. 导数可以用来求解最值问题。
当函数在某一点处取得最大值或最小值时，该点处必须满足其切线斜率为0或不存在。
因此，我们可以通过计算函数在每个可能取得最值的点处的导数来确定最值点。
2. 导数可以用来分析曲线形状。
通过计算不同点处的斜率，我们可以了解曲线在不同位置上升或下降程度以及拐点位置等信息。
3. 导数还有其他应用，如牛顿迭代法、泰勒展开式等。
导数知识点概念总结高中
导数知识点概念总结高中一、导数的定义导数的定义是函数变化率的极限，可以用极限的方法来定义。
给定函数y=f(x)，如果在某一点x处存在极限lim Δx→0 (f(x+Δx) - f(x)) / Δx则称函数f(x)在点x处可导，该极限就是函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x) 或 dy/dx。
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率，也可以理解为函数曲线在该点处的局部线性近似。
导数的几何直观使得我们可以通过导数来研究函数的性质和行为。
二、导数的几何意义导数表示了函数在某一点处的切线的斜率，切线的斜率可以理解为函数在这一点的瞬时变化率。
对于一条曲线，我们可以通过切线的斜率了解函数在某点的瞬时变化情况，从而分析函数的特性。
三、导数的计算常见的函数的导数计算方法有以下几种：1. 利用导数的定义进行计算。
根据导数的定义，求出函数在某一点的导数需要利用极限的概念进行计算，这种方法较为繁琐，但是可以直观地了解导数的物理意义。
2. 利用导数的性质进行计算。
导数有一系列的运算法则，这些运算法则包括和、差、积、商的求导法则，以及复合函数求导、反函数求导等等，可以通过这些性质进行导数的计算。
3. 利用导数的几何意义进行计算。
对于一些简单的函数，可以通过函数图像的几何性质来计算导数，从而得到函数在某一点的导数值。
四、导数的应用1. 导数在函数的极值问题中的应用。
利用导数可以求解函数的极值问题，包括极大值和极小值，这对于优化问题和最优化问题是非常重要的。
2. 导数在曲线的凹凸性和拐点问题中的应用。
函数的凹凸性和拐点可以通过函数的二阶导数来判断，这对于函数曲线的形状和特性有很大的帮助。
3. 导数在变化率和速度问题中的应用。
在物理学和工程学中，导数可以用来描述物体的运动和速度，从而研究物体的运动规律和加速度问题。
4. 导数在微分方程中的应用。
微分方程是研究变化规律的重要工具，导数的概念在微分方程中有着广泛的应用，可以描述各种变化规律和动力学问题。
导数的概念、意义及运算
混.
(3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复
合过程,然后求导.
对点训练1求下列函数的导数.
(1)y=x2sin x;
(2)y=ln
1
x+ ;
cos
(3)y= e ;
(4)y=ln(2x-5).
1
由题意得, +1=2,解得 x0=1,故 y0=ln
0
y=2x.
1
y'= +1.
1+1+1=2,切线方程为 y-2=2(x-1),即
解题心得求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切
线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).求过某点的
3.函数f(x)的导函数
从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f'(x0)是一个唯一
确定的数.这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数
(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即
(+Δ)-()
f'(x)=y'= lim
【例4】 若曲线f(x)=xln x+2m上点P处的切线方程为x-y=0.
(1)求实数m的值;
(2)若过点Q(1,t)存在两条直线与曲线y=f(x)相切,求实数t的取值范围.
解 (1)设点P坐标为(n,n).f(x)=xln x+2m的导数为f'(x)=1+ln x,点P(n,n)处的
1
导数的概念导数公式与应用
导数的概念导数公式与应用导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的变化率。
导数的概念在不同领域都有广泛应用，例如物理学、经济学和工程学等。
本文将介绍导数的概念、导数公式以及导数在实际应用中的一些例子。
导数的概念可以理解为函数在其中一点处的变化率。
具体来说，如果函数在其中一点处具有导数，那么导数等于函数在该点处的斜率。
直观地说，如果一个函数在其中一点的导数为正，意味着函数在该点附近的值在增加；如果导数为负，意味着函数在该点附近的值在减小。
如果导数等于零，在该点附近的值则没有变化。
导数的计算可以使用导数公式来简化。
对于一些常见的函数，我们可以使用已知的导数公式来得到它们的导数。
例如，对于多项式函数，如果f(x) = ax^n ，其中a和n为常数，那么它的导数为f'(x) = nax^(n-1)。
而对于指数函数f(x) = e^x ，它的导数等于它自身，即f'(x) = e^x。
通过使用这些已知的导数公式，我们可以计算更复杂函数的导数。
导数在实际应用中有着广泛的应用。
一个常见的应用是在物理学中，用于描述物体的运动。
例如，我们可以通过计算一个物体的位移函数的导数来得到它的速度函数。
同样地，计算速度函数的导数可以得到加速度函数。
通过这样的导数计算，我们可以更好地理解物体的运动规律。
另一个应用是在经济学中，用于描述供需关系。
导数可以提供给我们有关价格和数量之间关系的更多信息。
如果一个函数表示价格对其中一变量的依赖关系，那么它的导数可以告诉我们，当这个变量改变一个单位时，价格将会如何改变。
这种信息对于制定合理的价格策略和优化资源配置非常重要。
除了物理学和经济学，导数在工程学和计算机科学中也有许多应用。
在工程学中，导数可以用于解决建筑结构的优化问题，确保建筑物的稳定性。
在计算机科学中，导数可以用于图像处理和机器学习等领域，提供对图像和数据的更深入的理解。
总结起来，导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数的变化率。
导数的定义与性质
导数的定义与性质导数是微积分中的核心概念之一，它是用来描述一个函数的变化趋势的。
导数被广泛应用于物理、工程、经济和生物等领域，因此理解导数的定义和性质是非常重要的。
一、导数的定义导数的定义是函数在某一点处的切线斜率。
这个定义是通过极限的概念来实现的。
假设f(x)是定义在R上的一个函数，如果它在x=a处可导，那么导数f’(a)的定义如下：f’(a) = lim [f(x) - f(a)] / (x - a)其中x是趋向于a的一个实数。
这个极限表达式表示当x接近a时，f(x)和f(a)之差除以x-a的商会趋向于一个特定的实数，这个实数就是导数。
注意，这个定义只能在限定的点上使用。
对于连续的函数，可以求得每个点的导数，从而知道函数整体的单调性，极值等重要信息。
二、导数的性质导数具有许多有用的性质。
以下是其中一些：1. 导数的可加性如果f(x)和g(x)都在x=a处可导，那么(f(x)+g(x))在x=a处也可导，且有：[f(x)+g(x)]’|x=a = f’(a) + g’(a)这个性质表明如果一个函数可以写成两个函数的和，那么它的导数是两个函数的导数之和。
2. 导数的乘法规则如果f(x)和g(x)都在x=a处可导，那么(f(x)g(x))在x=a处也可导，且有：[f(x)g(x)]’|x=a = f’(a)g(a) + f(a)g’(a)这个性质是求导时最常用的，它叫做导数的乘法规则。
它表明如果一个函数可以写成两个函数的乘积，那么它的导数可以通过这两个函数及其导数的乘积来计算。
3. 链式法则如果f(x)和g(x)都在x=a处可导，那么f(g(x))在x=a处也可导，且有：[f(g(x))]’|x=a = f’(g(a))g’(a)这个性质是一个很重要的求导方法，叫做链式法则。
它表明如果一个函数有一个内部函数，那么它的导数可以通过内部函数的导数和外部函数的导数的乘积来计算。
4. 高阶导数如果f(x)在x=a处具有导数，那么f(x)也可以在x=a处具有二阶导数、三阶导数等。
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导数概念及意义
知识点反思梳理：
Ⅰ.为了研究函数值的“增减变化”情况（也就是函数的单调性）发明了用来判断单调性的“方法工具”……
“单调性定义”
【只要[]1212,,,x x a b x x ∀∈<都有()12()f
x f x <则函数()f x 就在区间[],a b 上单调递增．．．．
】 Ⅱ.观察下列函数图象不难发现：虽然函数都是递增（递减）函数，可是增减的快慢（陡峭程度）却各不相同。
究竟怎样刻画、区别函数的陡峭程度呢？比如“越陡值就越大…….’
那么又是为了研究什么发明的“平均变化率”、“瞬时变化率“、”导数”呢？？
Ⅲ.发明一个什么样的“数学工具模型”才能“刻画变量变化的快与慢？”
数缺形时少直观，形缺数时难入微。
如何量化曲线的陡峭程度？
Ⅳ.平均变化率 ：一般地,函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率
2121
()()f x f x x x --。
简记为
.y x
∆∆
Ⅴ. 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．
Ⅵ. 平均变化率量化一段曲线的“陡峭程度、快慢程度”是“粗糙不精确的”，
Ⅶ.但应注意当21x x -很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”。
Ⅷ.【导数产生的背景：】
1. 如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当
点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一位置PT 的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线割线斜率PQ k =
00()()
f x x f x x
+∆-∆→切线斜率
P T k 也叫是函数在P 点的瞬时变化率.
2..函数在该点处的这个具有预测、导性的数，数学上也常把它叫做“导数’
3.分别说出下列符号语言的含义：①)(x f y =； ②0()f x ； ③)('0x f ； .④'
x x y =
.
4.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数
就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值
5．0()f x '与0(())f x '的区别：
在对导数的概念进行理解时，特别要注意0()f x '与0(())f x '是不一样的，0()f x '代表函数()f x 在0x x =处的导数值，不一定为0；而0(())f x '是函数值0()f x 的导数，而函数值0()f x 是一个常量，其导数一定为0，即0(())f x '=0。
例 1.已知曲线()y f x =在2x =-处的切线的倾斜角为
34
π，则(2)f '-= ，
[(2)]f '-=
.
变式1：已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且有3'()23(2)f x x f x =+则'(5)f ？
例2：.如图，水以常速（单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．
2.根据导数的几何意义：'
()f x 就是函数()f x 在点x 处的切线斜率.请分别观察上述图象随着x 的增大h 值增加的快慢与切线斜率的大小关系？
练习：（2010江西）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()'
y S t =的图像大
致为
练习：单位圆中弧AB 长为x ，f （x ）表示弧AB 与弦AB 所围成弓形面积的2倍。
则函数f （x ）的图像是（ ）
A B C D
例3.若直线y x b =-+为函数1y x
=
图象的切线,求b 的值和切点坐标.
变式1.求曲线y=x 2
在点(1,1)处的切线方程. 变式2:求曲线y=x 2过点(0,-1)的切线方程 变式3:求曲线y=x 3过点(1,1)的切线方程
变式4:已知直线1y x =-,点P 为y=x 2上任意一点,求P 在什么位置时到直线距离最短.
变式5:求函数42y x x =+- 图象上的点到直线4y x =-的距离的最小值及相应点的坐
标.
例4：【2008海南宁夏文21/22】设函数()b f x ax x
=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的
切线方程为74120x y --=.
（Ⅰ）求()y f x =的解析式；
（Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
练习：曲线1
2e x
y =在点2
(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 。
练习：（10全国2）（10）若曲线1
2y x -
=在点1
2
,a a -⎛
⎫
⎪⎝
⎭
处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a = . 64a =. 练习：【致远中学等2011届高三第一次调研】14．
图为函数
()1)f x x =
<<的图象，其在点
(())M t f t ，l l y
处的切线为，与轴和直线
1
=y 分别
交于点P 、Q ，点N （0，1），若△PQN 的面积为b 时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为 ▲ .
18,427⎛⎫ ⎪⎝⎭
例5: 【启东中学2011高三备课组】★你能正确使用切点与交点吗？
15．（本小题满分16分）如图，在函数x x y -=3的图像上取4个点),(i i i y x A ，过点i A 作
切线i l （)4,3,2,1=i ，如果1l ∥3l ，且4321,,,l l l l 围成的图形是矩形记为M ． （1）证明四边形4321A A A A 是平行四边形；
（2）问矩形M 的短边与长边的比是否有最大值，若有，求1l 与2l 的斜率，若没有，
请证明．
练习：已知曲线21:x y C =与2
2)2(:--=x y C 。
直线l 与1C 、2C 都相切，求直线l 的方程。
课外作业： 1.已知函数x x x x f 323
1
)(2
3
+-=
（R x ∈）的图象为曲线C ．
（1）求过曲线C 上任意一点的切线斜率的取值范围；
（2）若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横 坐标的取值范围；
（3）试问：是否存在一条直线与曲线C 同时切于两个不同点？如果存在，求出符合 条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．。