七年级数学垂线的概念、画法、性质与角度计算

相交线之垂线
在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b。

当b的位置变化时，a、b所成的∠α也会发生变化。

当∠α＝90°时（如图1），你能得到什么结论？我们说a与b互相垂直，记作a⊥b。

（图1）
【知识梳理1】垂线的相关概念及推理
1.当∠α＝90°时（如图1）此时，我们说a与b互相垂直，记作a⊥b。

（图2）
2.垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。

如图2，AB⊥CD，垂足为O。

注：（1）∠α可以是四个角中的任意一个角，不是限定不变的某一个角。

（2）在画图时，要标记直角符号“┐”，垂线是一条直线而不是线段或射线。

3.推理格式
∵∠AOC＝90°（已知）∴AB⊥CD（垂直的定义）
反过来也成立：∵AB⊥CD于点O（已知）
∴∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝90°（垂直的定义）
注：垂直的定义既是垂直的性质，也是垂直的判定方法。

【重点剖析】遇到线段、射线的垂直问题，指的是它们所在的直线互相垂直，画线段或射线的垂线是指画它们所在直线的垂线，垂足可能在线上，也可能在其延长线上。

【知识梳理2】垂线的画法
经过一点作（已知直线上或直线外），画已知直线的垂线，步骤如下：
①靠线：让直角三角板的一条直角边（或某条刻度线）与已知直线重合；
②靠点：沿直线移动，使直角三角板的另一条直角边经过已知点；
③画线：沿直角边画线，则这条直线就是经过这个点的已知直线的垂线。

例：1.在下列各图中，过点P 画出射线AB 或线段AB 的垂线 2.过点P 作∠AOB 两边的垂线
【例题精讲】
例1.下列说法正确的有（ ）
①两条直线相交，交点叫垂足；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，一条直线有且只有一条垂线；④在同一平面内，一条线段有无数条垂线；⑤过任意一点不可能向一条射线或线段所在的直线作垂线；⑥若直线1l ⊥2l ，则1l 是2l 的垂线，2l 不是1l 的垂线。

A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
例2. 在下图中分别过点P 作AB 的垂线。

【试一试】
1.过一条线段外一点，画这条线段的垂线，垂足在（ ）。

A 、在这条线段上
B 、这条线段的端点
C 、在这条线段的延长线上
D 、都有可能
2.过点P 分别向角的两边作垂线
【知识梳理3】垂直的性质
1.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

注：（1）“过一点”中的这一点的位置可以在已知直线上，也可以在已知直线外。

（2）“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性。

2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简单说成：垂线段最短。

注：（1）“一点”必须在直线外，如果这点在直线上，那么构不成垂线段，所有这点不能在直线上。

（2）垂线是直线，垂线段是线段。

学法点睛：垂直、垂线、垂线段的概念辨析
概念定义图形记法
垂直直线AB、CD相交，所夹的角是
90°，AB与CD互
相垂直
AB⊥CD
垂线两条直线互相垂直，其中一条直
线叫作另一条直线的垂线，单独
的一条直线不能叫垂线。

直线a是直线b的垂
线或直线b是直线a
的垂线
垂线段连接直线l外一点A与直线l上
各点的线段中，与直线l垂直的
线段叫作点A到直线l的垂线
段。

线段AO是直线l
的垂线段
（备用图）
例5.如图，直线AB 与CD 交于点O ，OE ⊥AB 于点O ，∠EOD ：∠DOB ＝3：1，求∠COE 的度数。

【巩固练习】
1.到直线L 的距离等于2cm 的点有( )
A.0个
B.1个;
C.无数个
D.无法确定
2..点P 为直线m 外一点,点A,B,C 为直线m 上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P 到 直线m 的距离为( ) A.4cm B.2cm; C.小于2cm D.不大于2cm
3.如图所示,直线AB,CD,EF 交于点O,OG 平分∠BOF,且CD∠EF,∠AOE=70°,∠求∠DOG 的度数.
1．已知直线AB 、CB 、l 在同一平面内，若AB ⊥l ，垂足为B ，CB ⊥l ，垂足也为B ，则符合题意的图形可以是（ ）
G
O
F
E
D
C
B
A
2．中学生体育测试有个项目是立定跳远，那么立定跳远成绩的测定利用的数学原理是（）A．两点之间，线段最短B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线D．点到直线，垂线段最短
3．如图，OD∠OB，OC⊥OA，∠BOC＝32°，则∠AOD的度数是（）
A．150° B．125°C．132° D．148°
（第3题）（第4题）4．如图，CD∠EF，垂足为O，AB是过点O的直线，∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．40° B．50°C．60° D．70°
5．过一个钝角的顶点向一边作垂线，把这个钝角分成的两个角的比为1：6，则这个钝角的度数
是。

6．到直线l的距离等于2cm的点由个。

7．如图，P是∠AOB的OB边上的一点，CD是一条线段，请分别过P点画OA、OB和线段CD的垂线。

8.如图，已知点O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，OE平分∠COB，试说明OD⊥OE。

1.下列说法中能得到两直线垂直的说法有（ ）
①两条直线相交，所成的四个角中有一个角是直角；②两条直线相交，所成的四个角相等；③两条直线相交，有一组邻补角相等；④两条直线相交，对顶角互补。

A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．点到直线的距离是指（ ） A ．直线外一点到这条直线的垂线段
B ．直线外一点到这条直线的垂线段的长度
C ．直
线外一点与这条直线上任一点所连接的线段 D ．直线外一点与这条直线上任一点所连线段的长度 3．a 、b 、c 为同一平面内的三条直线，若a 与b 不平行，b 与c 不平行，那么下列判断正确的是（ ）
A ．a 与c 一定不平行
B ．a 与c 一定平行
C ．a 与b 垂直
D ．a 与c 可能相交，也可能平行
4.定义：直线1l 与2l 相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线1l 、2l 的距离分别为p 、q ，则称有序实数对（p ，q ）是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．4个
D ．无数个
5.如图，直线AB 、CD 相交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，ON ⊥OM 。

若∠AOM ＝35°，则∠CON 的度数是（ ）
A ．35°
B ．45°
C ．55°
D ．65°
（第5题）
（第6题）
6.如图，PO ⊥OR ，垂足为O ，OQ ⊥PR ，垂足为Q ，且PO ＝4cm ，RO ＝3cm ，PR ＝5cm ，OQ ＝2.4cm ，PQ ＝3.2cm ，则点O 到直线PR 的距离是 cm ，点P 到直线OQ 的距离是 cm ，点R 到直线
的距离是3cm ，点P 到直线 的距离是4cm 。

7.如图，AB ⊥CD ，垂足为点B ，EF 平分∠ABD ，则∠CBF 的度数为 。

（第7题） （第8题）
8.如图，已知直线AD 、BE 、CF 相交于点O ，OG ⊥AD ，且∠BOC ＝35°，∠FOG ＝30°，则∠DOE 的度数是 。

9.作图
（1）如图1，M 是直线AB 外一点，过点M 的直线MN 与AB 交于点N ，过点M 画直线CD ⊥MN ； （2）如图2，点P 是∠ABC 的边AB 上的一点，直线EF 经过点P 且与直线BC 平行；
（3）如图3，点A 、B 分别在直线1l 、2l 上，过点A 作直线2l 的垂线段AM ，过点B 作直线1l 的垂线。

（图1） （图2） （图3） 10.如图，AB ⊥CD ，垂足为O ，且∠2＝26°，求∠1、∠3、∠EOC 和∠BOE 的度数。

10．如图，OA ⊥OB ，∠AOD ＝
1
2
∠COD ，∠BOC ＝∠AOD ＋90°，求∠DOC 的度数。

12．如图，点O在直线AB上，OD平分∠COB，且∠AOD：∠DOB＝3：1。

试判断AB与OC的位置关系。

13．如图，AB是一河流，要铺设管道将河水引到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案：
方案一：过点C、D分别作AB的垂线，垂足分别为E、F，沿CE、DF铺管道；
方案二：连接CD交AB于点P，沿PC、PD铺管道。

这两种铺设管道的方案哪种更节省材料？为什么？
认识同位角、内错角、同旁内角
1．同位角：在截线同旁，被截线相同的一侧的两角。

（如图1）
（图1）（图2）（图3）2．内错角：在截线两旁，被截线之内的两角。

（如图2）。