2021届江苏省南京市程桥高级中学高三上学期第一次月考数学试题Word版含答案
最新江苏省2022-2021年高三(上)10月月考数学试卷(解析版)
高三（上）10月月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B=．2．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）3．计算：=．4．幂函数f（x）=xα（α∈R）过点，则f（4）=．5．函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为．6．若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则实数a的取值范围为．7．若方程2x+x=4的解所在区间为[m，m+1]（m∈Z），则m=．8．若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为．9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是．10．设周期函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且满足f（1）＞﹣2，f（2）=m2﹣m，则m的取值范围是．11．已知1+2x+4x•a＞0对一切x∈（﹣∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是．12．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是．13．设方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，函数f （x）=（x+p）（x+q）+2，则f （2），f （0），f （3）的大小关系为．14．设方程|ax﹣1|=x的解集为A，若A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是．二、解答题15．已知集合A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，B=，（1）当a=2时，求A∩B；（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．17．设函数．（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）在（2）条件下，判断并证明函数f（x）的单调性，并求不等式的解集．18．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）最新年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？19．已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B={0，1} ．【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即B=[0，1]，∵A={0，1，2}，∴A∩B={0，1}，故答案为：{0，1}2．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，则（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要3．计算：=11．【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：=+3+（0.5）﹣2=4+3+4=11．故答案为：11．4．幂函数f（x）=xα（α∈R）过点，则f（4）=2．【考点】幂函数的性质．【分析】把幂函数y=xα的图象经过的点（2，）代入函数的解析式，求得α的值，即可得到函数解析式，从而求得f（4）的值．【解答】解：∵已知幂函数y=xα的图象过点（2，），则2α=，∴α=，故函数的解析式为f（x）=x，∴f（4）=4=2，故答案为：2．5．函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为（﹣）．【考点】复合函数的单调性．【分析】由真数大于0求出函数的定义域，进一步得到内函数的减区间，然后由复合函数的单调性得答案．【解答】解：由2x2﹣3＞0，得x或x．∵内函数t=2x2﹣3在（﹣）上为减函数，且外函数y=lnt为定义域上的增函数，∴函数f（x）=ln（2x2﹣3）的单调减区间为（﹣）．故答案为：（﹣）．6．若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则实数a的取值范围为（﹣1，3）．【考点】特称命题．【分析】命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则命题“∀x∈R，x2+（a ﹣1）x+1＞0”是真命题，可得△＜0，解出即可得出．【解答】解：命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”假命题，则命题“∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1＞0”是真命题，则△=（a﹣1）2﹣4＜0，解得﹣1＜a＜3．则实数a的取值范围为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．7．若方程2x+x=4的解所在区间为[m，m+1]（m∈Z），则m=1．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】方程2x+x=4的解转化为函数f（x）=2x+x﹣4的零点问题，把区间端点函数值代入验证即可．【解答】解：令f（x）=2x+x﹣4，由y=2x和y=x﹣4均为增函数，故f（x）=2x+x﹣4在R上为增函数，故f（x）=2x+x﹣4至多有一个零点，∵f（1）=2+1﹣4＜0f（2）=4+2﹣4＞0∴f（x）=2x+x﹣4在区间[1，2]有一个零点，即方程方程2x+x=4的解所在区间为[1，2]，故m=1，故答案为：18．若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为﹣e．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数得y′=lnx+1，从而得到切线的斜率k=lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=（lnx0+1）x﹣x0，对照已知直线列出最新x0、m的方程组，解之即可得到实数m的值．【解答】解：设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数，得∴切线的斜率k=lnx0+1，故切线方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），整理得y=（lnx0+1）x﹣x0，与y=2x+m比较得，解得x0=e，故m=﹣e．故答案为：﹣e9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．【考点】函数的值域．【分析】f（x）是分段函数，在每一区间内求f（x）的取值范围，再求它们的并集得出值域；由f（x）的值域为R，得出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=，当x＞2时，f（x）=2x+a，在（2，+∞）上为增函数，f（x）∈（4+a，+∞）；当x≤2时，f（x）=x+a2，在（﹣∞，2]上为增函数，f（x）∈（﹣∞，2+a2]；若f（x）的值域为R，则（﹣∞，2+a2]∪（4+a，+∞）=R，则2+a2≥4+a，即a2﹣a﹣2≥0解得a≤﹣1，或a≥2，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．10．设周期函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且满足f（1）＞﹣2，f（2）=m2﹣m，则m的取值范围是（﹣1，2）．【考点】函数奇偶性的判断；函数的周期性．【分析】根据f（x）为奇函数且周期为3便可得到f（2）=﹣f（1），这便得到f （1）=﹣m2+m，根据f（1）＞﹣2即可得到﹣m2+m＞﹣2，解该不等式即可得到m的取值范围．【解答】解：根据条件得：f（2）=f（2﹣3）=f（﹣1）=﹣f（1）=m2﹣m；∴f（1）=﹣m2+m；∵f（1）＞﹣2；∴﹣m2+m＞﹣2；解得﹣1＜m＜2；∴m的取值范围为（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．11．已知1+2x+4x•a＞0对一切x∈（﹣∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是（﹣，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【分析】分离出参数a后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值．【解答】解：1+2x+4x•a＞0可化为a＞，令t=2﹣x，由x∈（﹣∞，1]，得t∈[，+∞），则a＞﹣t2﹣t，﹣t2﹣t=﹣在[，+∞）上递减，当t=时﹣t2﹣t取得最大值为﹣，所以a＞﹣．故答案为：（﹣，+∞）．12．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（3，+∞）．【考点】对数函数的值域与最值；对数的运算性质．【分析】画出函数f（x）的图象，则数形结合可知0＜a＜1，b＞1，且ab=1，再将所求a+2b化为最新a的一元函数，利用函数单调性求函数的值域即可【解答】解：画出y=|lgx|的图象如图：∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1∴﹣lga=lgb即ab=1∴y=a+2b=a+，a∈（0，1）∵y=a+在（0，1）上为减函数，∴y＞1+=3∴a+2b的取值范围是（3，+∞）故答案为（3，+∞）13．设方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，函数f （x）=（x+p）（x+q）+2，则f （2），f （0），f （3）的大小关系为f（3）＞f（2）=f（0）．【考点】二次函数的性质．【分析】把两个方程分别看作指数函数与直线y=﹣x﹣2的交点B和对数函数与直线y=﹣x﹣2的交点A的横坐标分别为p和q，而指数函数与对数函数互为反函数则最新y=x对称，求出AB的中点坐标得到p+q=﹣2；然后把函数f（x）化简后得到一个二次函数，对称轴为直线x=﹣=1，所以得到f（2）=f（0）且根据二次函数的增减性得到f（2）和f（0）都小于f（3）得到答案．【解答】解：如图所示：，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0可以分别看作方程方程2x=﹣x﹣2和方程log2x=﹣x﹣2，方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分别为p和q，即分别为函数y=2x与函数y=﹣x﹣2的交点B横坐标为p；y=log2x与y=﹣x﹣2的交点C横坐标为q．由y=2x与y=log2x互为反函数且最新y=x对称，所以BC的中点A一定在直线y=x 上，联立得，解得A点坐标为（﹣1，﹣1），根据中点坐标公式得到=﹣1即p+q=﹣2，则f（x）=（x+p）（x+q）+2=x2+（p+q）x+pq+2为开口向上的抛物线，且对称轴为x=﹣=1，得到f（0）=f（2）且当x＞1时，函数为增函数，所以f（3）＞f（2），综上，f（3）＞f（2）=f（0）故答案为：f（3）＞f（2）=f（0）．14．设方程|ax﹣1|=x的解集为A，若A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是a=﹣1或﹣≤a≤1或a≥．【考点】其他不等式的解法．【分析】将绝对值不等式转化为不等式组，然后解之．【解答】解：∵A⊂≠[0，2]，方程两边平方得a2x2﹣2ax+1=x2，整理得（a2﹣1）x2﹣2ax+1=0，当a=1时，方程为|x﹣1|=x，解得x=，A={}，满足题意；当a=﹣1时，方程为|x+1|=x，解得x=﹣，A=∅，满足题意；当a2﹣1≠0时，方程等价于[（a+1）x﹣1][（a﹣1）x﹣1]=0，要使A⊂≠[0，2]，①两根为正根时，只要0≤≤2并且0≤≤2，解得a ≥且a≥，所以a≥；②当＞0并且＜0时，只要0≤≤2，解得﹣≤a＜1；所以A⊂≠[0，2]，则实数a的取值范围是﹣≤a≤1或a≥；故答案为：a=﹣1或﹣≤a≤1或a≥．二、解答题15．已知集合A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，B=，（1）当a=2时，求A∩B；（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）把a的值分别代入二次不等式和分式不等式，然后通过求解不等式化简集合A，B，再运用交集运算求解A∩B；（2）把集合B化简后，根据集合A中二次不等式对应二次方程判别式的情况对a进行分类讨论，然后借助于区间端点值之间的关系列不等式组求解a的范围．【解答】解：（1）当a=2时，A={x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）＜0}={x|x2﹣9x+14=0}=（2，7），B=={x|}=（4，5），∴A∩B=（4，5）（2）∵B=（2a，a2+1），①当a＜时，A=（3a+1，2）要使B⊆A必须，此时a=﹣1，②当时，A=∅，使B⊆A的a不存在．③a＞时，A=（2，3a+1）要使B⊆A，必须，此时1≤a≤3．综上可知，使B⊆A的实数a的范围为[1，3]∪{﹣1}．16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】通过p为真，求出实数m的取值范围；通过q为真，利用判别式小于0，即可求实数m的取值范围，通过p或q为真，p且q为假，分类讨论求出求实数m的取值范围．【解答】解：p：方程有负根m=﹣=﹣（x+）≥2；q：方程无实数根，即△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，∴p、q一真一假，当p为真q为假时，解得m≥3，当p为假q为真时，，解得1＜m＜2，∴1＜m＜2或m≥3，所以实数m的取值范围为1＜m＜2或m≥3．17．设函数．（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）在（2）条件下，判断并证明函数f（x）的单调性，并求不等式的解集．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断函数f（x）不是奇函数；（2）根据奇函数的性质建立方程即可求a与b的值；（3）根据函数单调性的定义或性质证明函数f（x）的单调性，并利用单调性的性质解不等式．【解答】解：（1）当a=b=2时，，∵，f（1）=0，∴f（﹣1）≠﹣f（1），∴函数f（x）不是奇函数．（2）由函数f（x）是奇函数，得f（﹣x）=﹣f（x），即对定义域内任意实数x都成立，整理得（2a﹣b）•22x+（2ab﹣4）•2x+（2a﹣b）=0对定义域内任意实数x都成立，∴，解得或经检验符合题意．（3）由（2）可知易判断f（x）为R上的减函数，证明：∵2x+1在定义域R上单调递增且2x+1＞0，∴在定义域R上单调递减，且＞0，∴在R上单调递减．由，不等式，等价为f（x）＞f（1），由f（x）在R上的减函数可得x＜1．另解：由得，即，解得2x＜2，∴x＜1．即不等式的解集为（﹣∞，1）．18．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部销售完．（1）写出年利润L（x）（万元）最新年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）=x2+10x （万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）=51x+﹣1450，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=﹣+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=；（2）①当0＜x＜80时，L（x）=﹣+40x﹣250=﹣+950，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中得到切点的坐标，利用导数求出直线切线，即可求出切线方程；（Ⅱ）求出f′（x）=0时x的值，分0＜a≤2和a＞2两种情况讨论函数的增减性分别得到f（﹣）和f（）及f（﹣）和f（）都大于0，联立求出a的解集的并集即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，∴f（2）=3；∵f′（x）=3x2﹣3x，∴f′（2）=6．所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣3=6（x﹣2），即y=6x﹣9；（Ⅱ）解：f′（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=．以下分两种情况讨论：（1）若0＜a≤2，则；当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣，0）0（0，）f′（x）+0﹣f（x）增极大值减当时，f（x）＞0，等价于即．解不等式组得﹣5＜a＜5．因此0＜a≤2；（2）若a＞2，则当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：0（0，）（，）x（﹣，0）f′（x）+0﹣0+f（x）增极大值减极小值增当时，f（x）＞0等价于即解不等式组得或．因此2＜a＜5．综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5．。
江苏省南京市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题(含答案)
南京市2025届高三年级学情调研数学2024.09注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知集合{}30A x x =->，{}2540B x x x =-+>，则A B = （）A.(,1)-∞ B.(,3)-∞ C.(3,)+∞ D.(4,)+∞2.已知4xa =，log 3a y =，则x ya +=（）A.5B.6C.7D.123.已知||a = ，||1b = .若(2)a b a +⊥，则cos ,a b = （）A.32-B.33-C.33D.324.已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S .若36S =，63S =，则9S =（）A.18- B.9- C.9D.185.若α是第二象限角，4sin 2tan αα=，则tan α=（）A. B.77-C.776.甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次）.甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（）A.4B.6C.8D.127.若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）A.24B.32C.96D.1288.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，点Q 在l 上.若2PF QF =，PF QF ⊥，则PFQ △的面积为（）A.254 B.25 C.552D.55二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.9.已知复数z ，下列命题正确的是（）A.若1z +∈R ，则z R ∈B.若i z +∈R ，则z 的虚部为1-C.若||1z =，则1z =± D.若2z ∈R ，则z ∈R10.对于随机事件A ，B ，若2()5P A =，3()5P B =，()14P B A =，则（）A.3()20P AB =B.()16P A B =C.9()10P A B +=D.1()2P AB =11.设函数18()|sin ||cos |f x x x =+，则（）A.()f x 的定义域为π,2k x x k ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭Z B.()f x 的图象关于π4x =对称C.()f x 的最小值为D.方程()12f x =在(0,2π)上所有根的和为8π三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上12.01x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项是___________.13.与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为___________.14.已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，直线2BF 与C 相交于另一点A .当1cos F AB ∠最小时，C 的离心率为___________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）小王早晨7：30从家出发上班，有A ，B 两个出行方案供其选择，他统计了最近100天分别选择A ，B 两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格：8点前到（天数）8点或8点后到（天数）A 方案2812B 方案3030（1）判断并说明理由：是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关；（2）小王准备下周一选择A 方案上班，下周二至下周五选择B 方案上班，记小王下周一至下周五这五天中，8点前到单位的天数为随机变量X .若用频率估计概率，求()3P X =.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++，()0P x χ≥0.100.050.0250.0100.0110x 2.7063.8415.0246.63510.82816.（本小题满分15分）如图，在四面体ABCD 中，ACD △是边长为3的正三角形，ABC △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，2AM MD = ，2CN ND =.（1）求证：//EF 平面MNB ；（2）若平面ACD ⊥平面ABC ，求直线BD 与平面MNB 所成角的正弦值.17.（本小题满分15分）已知数列{}n a ，{}n b ，(1)2n n n a =-+，1(0)n n n b a a λλ+=->，且{}n b 为等比数列.（1）求λ的值；（2）记数列{}2n b n ⋅的前n 项和为n T .若()*2115N i i i T T T i ++⋅=∈，求i 的值.18.（本小题满分17分）已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，12F F =点T 在C 上.（1）求C 的方程（2）设直线l 过点(1,0)D ，且与C 交于A ，B 两点.①若3DA DB =，求12F F A △的面积；②以线段AB 为直径的圆交x 轴于P ，Q 两点，若||2PQ =，求直线l 的方程.19.（本小题满分17分）已知函数2()e31x af x ax ax -=+-+，a ∈R .（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处切线的方程；（2）当1a >时，试判断()f x 在[1,)+∞上零点的个数，并说明理由；（3）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.南京市2025届高三年级学情调研数学参考答案2024.09一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.12345678DDABACCB二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.91011ABBCDACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.24013.3π14.33四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）解：（1）假设0:8H 点前到单位与方案选择无关，则22100(28301230)40604258χ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯.8003.94 3.841203=≈>，所以有95%的把握认为8点前到单位与路线选择有关.（2）选择A 方案上班，8点前到单位的概率为0.7，选择B 方案上班，8点前到单位的概率为0.5.当3X =时，则分两种情况：①若周一8点前到单位，则22214210.7C (10.5)0.580P =⨯-⨯=.（2）若周一8点前没有到单位，则33246(10.7)(10.5)0.580P C =-⨯-⨯=.综上，1227(3)80P X P P ==+=.16.（本小题满分15分）解：（1）因为E ，F 分别为线段AB ，BC 中点，所以//EF AC .因为2AM MD = ，2CN ND = ，即13DM DN DA DC ==，所以//MN AC ，所以//EF MN .又MN ⊂平面MNB ，EF ⊄平面MNB ，所以//EF 平面MNB .（2）取AC 中点O ，连接DO ，OE 因为ACD △为正三角形，所以DO AC ⊥.因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC .因为O ，E 分别为AC ，AB 中点，则//OE BC .又因为AC BC ⊥，所以OE AC ⊥.以O 为坐标原点，OE ，OC ，OD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则330,0,2D ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，33,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2M ⎛- ⎝，10,2N ⎛ ⎝，故(3,BM =-- ，(0,1,0)MN = ，3333,,22BD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ .设平面MNB 的法向量为(,,)n x y z =，直线BD 与平面MNB 所成角为θ，则0,0,n BM n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即320,0.x y y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩取n = .则332sin cos ,8BD n BD n BD nθ⋅===，所以BD 与平面MNB 所成角的正弦值为28.17.（本小题满分15分）解：（1）因为(1)2nnn a =-+，则11a =，25a =，37a =，417a =.又1n n n b a a λ+=-，则1215b a a λλ=-=-，23275b a a λλ=-=-，343177b a a λλ=-=-.因为{}n b 为等比数列，则2213b b b =⋅，所以2(75)(5)(177)λλλ-=--，整理得220λλ--=，解得1λ=-或2.因为0λ>，故2λ=.当2λ=时，1112(1)22(1)2n n n nn n n b a a +++⎡⎤=-=-+--+⎣⎦11(1)(1)22(1)23(1)n n n n n ++=-⨯-+-⨯--=-⨯-.则113(1)13(1)n n nn b b ++-⨯-==--⨯-，故{}n b 为等比数列，所以2λ=符合题意.（2）223(1)n n b n n ⋅=-⨯-⋅当n 为偶数时，222222223123456(1)n T n n ⎡⎤=-⨯-+-+-+---+⎣⎦33(12)(1)2n n n =-⨯+++=-+ 当n 为奇数时221133(1)(1)(2)3(1)(1)22n n n T T b n n n n n n ++=-+=-++++=+.综上，3(1),, 23(1),. 2n n n n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩为奇数为偶数因为20i i T T +⋅>，又2115i i i T T T ++⋅=，故10i T +>，所以i 为偶数.所以333(1)(2)(3)15(1)(2)222i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-+⋅-++=⨯++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，整理得23100i i +-=，解得2i =或5i =-（舍），所以2i =.18.（本小题满分17分）解：（1）由题意可知c =，点T 在C 上，根据双曲线的定义可知122TF TF a -=，即24a =-=，所以2a =，则2222b c a =-=，所以C 的方程为22142x y -=.（2）①设()00,B x y ，()001,DB x y =-.因为3DA DB = ，所以()0033,3DA x y =-，所以A 点坐标为()0032,3x y -，因为A ，B 在双曲线C 上，所以()()220022001,423231,42x y x y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩解得03x =，0102y =±，所以A点坐标为7,2⎛± ⎝⎭，所以121211222F F A A S y F F =⨯=⨯⨯=△②当直线l 与y 轴垂直时，此时4PQ =不满足条件.设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，(),0P P x ，(),0Q Q x .直线l 与C 联立221,421,x y x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得()222230t y ty -+-=，所以12222t y y t +=--，12232y y t =--.由()22241220,20.t t t ⎧∆=+->⎪⎨-≠⎪⎩，得232t >且22t ≠.以AB 为直径的圆方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=，令0y =，可得()21212120x x x x x x y y -+++=，则P x ，Q x 为方程的两个根，所以12P Q x x x x +=+，1212P Q x x x x y y =+，所以P Q PQ x x =-======2==.解得22t =-（舍）或253t =，即153t =±，所以直线l 的方程为：330x ±-=.19.（本小题满分17分）解：（1）当1a =时，12()e31x f x x x -=+-+，则1()e 23x f x x -=+-，所以曲线()y f x =在1x =处切线的斜率(1)0k f '==.又因为(1)0f =，所以曲线()y f x =在1x =处切线的方程为0y =.（2）1(1)e21af a -=-+，()e 23x a f x ax a -'=+-，则1(1)e a f a -'=-，当1a >时，()e 20x af x a -''=+>，则()f x '在(1,)+∞上单调递增.因为111(1)ee 10af a --'=-<-=，2()123(21)(1)0f a a a a a '=+-=-->，所以存在唯一的0(1,)x a ∈，使得()00f x '=.当()01,x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在[)01,x 上单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()0,x +∞上单调递增.又因为10(1)e21e 210af a -=-+<-+=，所以()0(1)0f x f <<.又因为3(3)e10af -=+>，所以当1a >时，()f x 在[1,)+∞上有且只有一个零点.（3）①当1a >时，10(1)e 21e 210af a -=-+<-+=，与当0x ≥时，()0f x ≥矛盾，所以1a >不满足题意.②当1a ≤时，(0)e10af -=+>，()e 23x a f x ax a -'=+-，()e 2x a f x a -''=+，(0)e 2a f a -''=+.记函数()e 2xq x x -=+，1x ≤，则()e2xq x -'=-+，当(ln 2,1)x ∈-时，()0q x '>，所以()q x 在(ln 2,1)-单调递增；当(,ln 2)x ∈-∞-时，()0q x '<，所以()q x 在(,ln 2)-∞-单调递减，所以()(ln 2)22ln 20q x q ≥-=->，所以(0)0f ''>.又因为()f x ''在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0f x f ''''≥>，所以()f x '在[0,)+∞上单调递增.（i ）若(0)e30af a -'=-≥，则()(0)0f x f ''≥≥，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)0f x f ≥>，符合题意；（ii ）若(0)e30af a -'=-<，可得0a >，则01a <≤.因为1(1)e 0af a -'=-≥，且()f x '在[0,)+∞上单调递增，所以存在唯一的1(0,1]x ∈，使得()10f x '=.当()10,x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()10,x 上单调递减，当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()1,x +∞上单调递增，其中1(0,1]x ∈，且11e 230x a ax a -+-=.所以()12111()e 31x af x f x ax ax -≥=+-+()22211111113231531531a ax ax ax ax ax a a x x =-+-+=-++=-++，因为1(0,1]x ∈，所以21153[1,3)x x -+∈-.又因为(0,1]a ∈，所以()211531a x x -+≥-，所以()0f x ≥，满足题意.结合①②可知，当1a ≤时，满足题意.综上，a 的取值范围为(,1]-∞.。
2021年高三上学期第一次月考数学试卷 含解析
2021年高三上学期第一次月考数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置1．已知集合A={1，cosθ}，B={，1}，若A=B，则锐角θ=．2．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（4）的值为．3．若函数是偶函数，则实数a的值为．4．若函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数m的值为．5．函数y=的定义域为A，值域为B，则A∩B=．6．已知x，y满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是．7．已知点P在直线y=2x+1上，点Q在曲线y=x+lnx上，则P、Q两点间距离的最小值为．8．若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象关于坐标原点中心对称，且在y轴右侧的第一个极值点为x=，则函数f（x）的最小正周期为．9．函数f（x）的定义域为R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为．10．已知tan（α+β）=1，tan（α﹣β）=2，则的值为．11．在锐角三角形ABC中，若tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则tanAtanC 的值为．12．已知函数交于M、N两点，则|MN|的最大值是．13．已知函数f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），其中a，b∈R，若关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2，则a的取值范围是．14．若实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，则当x+2y取得最大值时，的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α∈（0，），β∈（，π），cosβ=﹣，sin（α+β）=．（1）求tan的值；（2）求sinα的值．16．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知==．（1）求C；（2）如图，设半径为R的圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧上，∠PAB=θ，求四边形APCB面积S（θ）的解析式及最大值．17．如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC=1，AB=OB+OC，且OA＞OB，现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k（k为正常数）：在△AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为4k，设OA=x，OB=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求N﹣M的最大值及相应的x的值．18．对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．20．过点P（﹣1，0）作曲线f（x）=e x的切线l．（1）求切线l的方程；（2）若直线l与曲线y=（a∈R）交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1+x2＜﹣4．附加题：（共4小题，满分0分）21．已知矩阵A=，B=满足AX=B，求矩阵X．22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y﹣2，y），求．23．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，且PA=AB=BC=AD=1，PA⊥平面ABCD．（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）棱PD上是否存在一点E满足∠AEC=90°？若存在，求AE的长；若不存在，说明理由．xx学年江苏省南通市如皋中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置1．已知集合A={1，cosθ}，B={，1}，若A=B，则锐角θ=．【考点】集合的相等．【分析】根据集合相等的条件，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：若A=B，则cosθ=，∵θ是锐角，∴θ=，故答案为：2．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（4）的值为2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设幂函数y=f（x）=xα，根据f（x）的图象过点（，），求得α的值，可得函数f （x）的解析式，从而求得f（4）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，∵f（x）的图象过点（，），∴=，∴α=，∴f（x）=∴f（4）==2，故答案为：2．3．若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．4．若函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数m的值为1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由函数的奇偶性易得f（﹣1）=﹣f（1），解m的方程可得．【解答】解：∵函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），∴=﹣，∴m=1．故答案为：1．5．函数y=的定义域为A，值域为B，则A∩B=[0，2] ．【考点】函数的值域；交集及其运算；函数的定义域及其求法．【分析】分别求出函数的定义域，和值域，然后利用集合的基本运算求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则﹣x2﹣2x+8≥0，即x2+2x﹣8≤0，解得﹣4≤x≤2，即函数的定义域A=[﹣4，2]．y==，∵﹣4≤x≤2，∴0≤，即0≤x≤3，即函数的值域B=[0，3]，∴A∩B=[﹣4，2]∩[0，3]=[0，2]．故答案为：[0，2]．6．已知x，y满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是．【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义得到最大值和最小值的最优解，得到关于a 方程解之．【解答】解：由已知得到可行域如图：当直线y=﹣2x+z经过C（a，a）时z最小，经过A时z最大，由得到A（1，1）所以4×3a=2×1+1，解得a=；故答案为：．7．已知点P在直线y=2x+1上，点Q在曲线y=x+lnx上，则P、Q两点间距离的最小值为．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】设直线y=2x+t与曲线y=x+lnx相切于点Q（a，b）．利用=1+=2，解得切点为Q（1，1）．利用点到直线的距离公式可得Q到直线y=2x+1的距离d，即为所求．【解答】解：设直线y=2x+t与曲线y=x+lnx相切于点Q（a，b）．则=1+=2，解得a=1，∴b=1，∴切点为Q（1，1）．Q到直线y=2x+1的距离d==．∴P、Q两点间距离的最小值为．故答案为：．8．若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象关于坐标原点中心对称，且在y轴右侧的第一个极值点为x=，则函数f（x）的最小正周期为．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的图象的特征，正弦函数的奇偶性、最值、周期性，求得函数f（x）的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象关于坐标原点中心对称，可得φ=0，∵f（x）在y轴右侧的第一个极值点为x=，∴ω•=，∴ω=，∴函数f（x）=Asin（x），则函数f（x）的最小正周期为=，故答案为：．9．函数f（x）的定义域为R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f （x）＞e x+1的解集为{x|x＞0} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】设h（x）=e x f（x）﹣e x﹣1，则不等式e x f（x）＞e x+1的解集就是h（x）＞0 的解集．由此利用导数性质能求出不等式e x•f（x）＞e x+1的解集．【解答】解：设h（x）=e x f（x）﹣e x﹣1，则不等式e x f（x）＞e x+1的解集就是h（x）＞0 的解集．h（0）=1×2﹣1﹣1=0，h′（x）=e x[f（x）+f′（x）]﹣e x，∵[f（x）+f′（x）]＞1，∴对于任意x∈R，e x[f（x）+f′（x）]＞e x，∴h'（x）=e x[f（x）+f'（x）]﹣e x＞0即h（x）在实数域内单调递增．∵h（0）=0，∴当x＜0 时，h（x）＜0；当x＞0 时，h（x）＞0．∴不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为：{x|x＞0}．故答案为：{x|x＞0}．10．已知tan（α+β）=1，tan（α﹣β）=2，则的值为1．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用已知条件求出αβ的正切函数值，然后求解的值．【解答】解：tan（α+β）=1，tan（α﹣β）=2，==，分式同除以cos（α+β）cos（α﹣β）），==1．故答案为：1．11．在锐角三角形ABC中，若tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则tanAtanC的值为3．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用等差数列列出关系式，利用三角形的内角和以及两角和的正切函数，化简求解即可．【解答】解：由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π，tanA，tanB，tanC依次成等差数列，∴2tanB=tanA+tanC，∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，又∵tan（A+B）=，∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC，即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，∴tanAtanC=3．故答案为：3．12．已知函数交于M、N两点，则|MN|的最大值是．【考点】两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用；正弦函数的定义域和值域．【分析】由已知中直线x=m分别交函数y=sinx、的图象于M、N两点，表示M、N的距离，根据辅助角公式化为一个正弦型函数的形式，根据正弦型函数的值域，即可得到结果．【解答】解：∵=cosx∵直线x=m分别交函数y=sinx、的图象于M、N两点，则|MN|=|sinx﹣cosx|∴|f（x）﹣g（x）|=|sinx﹣cosx|=|sin（x﹣）|∵x∈R∴|f（x）﹣g（x）|∈[0，]故M、N的距离的最大值为故答案为：13．已知函数f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），其中a，b∈R，若关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2，则a的取值范围是a≤﹣2或a＞﹣．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】化简不等式可得2x﹣1+a≥b（2﹣x+a），从而令F（x）=2x﹣1+a﹣b（2﹣x+a）=﹣+a ﹣ab，分类讨论以确定F（x）≥0的解集为[2，+∞），结合函数的单调性及方程与不等式的关系求解即可．【解答】解：f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x）=b（21﹣x﹣1+a）=b（2﹣x+a），∵f（x）≥g（x），∴2x﹣1+a≥b（2﹣x+a），令F（x）=2x﹣1+a﹣b（2﹣x+a）=+a﹣﹣ab=﹣+a﹣ab，①若b＜0，则（﹣+a﹣ab）=+∞，与关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2相矛盾，故不成立；②若b=0，则F（x）=﹣+a﹣ab在R上是增函数；即F（x）=+a≥0的解集为[2，+∞），故a=﹣2；③若b＞0，则F（x）=﹣+a﹣ab在R上是增函数；即F（x）=﹣+a﹣ab≥0的解集为[2，+∞），故2+a=b（+a），故b=＞0，故a＜﹣2或a＞﹣；综上所述，a≤﹣2或a＞﹣．14．若实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，则当x+2y取得最大值时，的值为2．【考点】不等式的基本性质．【分析】实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，变形为：（x+2y）2+（2xy﹣2）2=8，令x+2y=sinθ，2xy﹣2=2cosθ，θ∈[0，2π）．则当x+2y取得最大值时，θ=，即可得出．【解答】解：∵实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，变形为：（x+2y）2+（2xy﹣2）2=8，令x+2y=sinθ，2xy﹣2=2cosθ，θ∈[0，2π）．则当x+2y取得最大值时，θ=，则x+2y=2，2xy﹣2=0，解得x=，y=．=2．故答案为：2．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α∈（0，），β∈（，π），cosβ=﹣，sin（α+β）=．（1）求tan的值；（2）求sinα的值．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】（1）使用二倍角公式用tan表示出cosβ，求出的范围，解方程得出；（2）根据α，β的范围求出sinβ，cos（α+β），利用差角的正弦函数公式计算．【解答】解：（1）∵，且，∴，解得，∵，∴，∴，∴．（2）∵，，∴， 又，故，∴，∴sin α=sin [（α+β）﹣β]=sin （α+β）cos β﹣cos （α+β）sin β=．16．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知==．（1）求C ；（2）如图，设半径为R 的圆O 过A ，B ，C 三点，点P 位于劣弧上，∠PAB=θ，求四边形APCB 面积S （θ）的解析式及最大值．【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由已知结合正弦定理可得sin2A=sin2B ，再由角的范围可得A +B=，从而求得C ；（2）把三角形ABC 的三边用R 表示，再由S （θ）=S △ABC +S △APC ，代入三角形面积公式化简，然后由θ∈（）求得四边形APCB 面积S （θ）的最大值．【解答】解：（1）由=，得=，∴sin2A=sin2B ，∵2A ，2B ∈（0，2π），∴2A=2B ，或2A +2B=π，即A=B 或A +B=，∵，∴A=B 舍去，从而C=；（2）由条件得：c=2R ，a=R ，b=R ，∠BAC=，∠CAP=θ﹣，θ∈（），S （θ）=S △ABC +S △APC =====，θ∈（）， ∵∈（），∴当时，．17．如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC=1，AB=OB+OC，且OA＞OB，现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k（k为正常数）：在△AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为4k，设OA=x，OB=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求N﹣M的最大值及相应的x的值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）根据条件结合余弦定理建立函数关系即可求y关于x的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）求出N﹣M的表达式，利用换元法结合基本不等式的性质即可求出N﹣M的最大值及相应的x的值．【解答】解：（1）∵OA=x，OB=y，AB=y+1，由余弦定理得x2+y2﹣2xycos120°=（y+1）2，解得y=，由x＞0，y＞0，得1＜x＜2，∵x＞y，∴x＞，得1＜x＜，∴OA的取值范围是（1，）．=3kx，（2）M=kOB=ky，N=4k•S△AOC则N﹣M=k（3x﹣y）=k（3x﹣），设2﹣x=t，则t∈（，1），则N﹣M=k[3（2﹣t）﹣]=k[10﹣（4t+）]≤k（10﹣2）=（10﹣4）k，当且仅当4t=，即t=，x=2﹣时，N﹣M的最大值是）=（10﹣4）k．18．对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）根据单调性依据闭区间的定义等价转化为方程，直接求解．（2）判断其在（0，+∞）是否有单调性，再据闭函数的定义判断；（3）根据闭函数的定义一定存在区间[a，b]，由定义直接转化求解即可．【解答】解：（1）由题意，y=﹣x3在[a，b]上递减，则解得所以，所求的区间为[﹣1，1]；（2）取x1=1，x2=10，则，即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．取，，即f（x）不是（0，+∞）上的增函数所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数；（3）若是闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，∴a，b为方程的两个实数根，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0（x≥﹣2，x≥k）有两个不等的实根当k≤﹣2时，有，解得，当k＞﹣2时，有，无解，综上所述，．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=•[f2（x）﹣2]+f（x）（a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g（a）；（3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域．【分析】（1）由1+x≥0且1﹣x≥0可求得定义域，先求[f（x）]2的值域，再求f（x）的值域；（2）F（x）=a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=﹣与t的范围[，2]的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；（3）先由（2）求出函数g（x）的最小值，﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．【解答】解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f（x）]2=2+2∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[，2]，所以函数值域为[，2]；（2）因为F（x）==a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，∴F（x）=m（t）=a（﹣1）+t=，t∈[，2]，由题意知g（a）即为函数m（t）=，t∈[，2]的最大值．注意到直线t=﹣是抛物线m（t）=的对称轴．因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t=﹣∈（0，]，即a≤﹣，则g（a）=m（）=；②若t=﹣∈（，2]，即﹣＜a≤﹣，则g（a）=m（﹣）=﹣a﹣；③若t=﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，综上有g（a）=，（3）易得，由﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）=恒成立，⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈[﹣1，1]，h（t）≥0成立，只需，解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2．20．过点P（﹣1，0）作曲线f（x）=e x的切线l．（1）求切线l的方程；（2）若直线l与曲线y=（a∈R）交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1+x2＜﹣4．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，设切点，可得方程组，即可求切线l的方程；（2）设f（x）=（x+1）e x，则f（x1）=f（x2）．f'（x）=（x+2）e x，可得函数f（x）的单调性；设g（x）=f（x）﹣f（﹣4﹣x），切点其单调性，即可证明结论．【解答】（1）解：y'=e x，设切点（x0，y0），则，解得x0=0，因此y'|x=0=1，l的方程是y=x+1．…（2）证明：依题意有，所以…设f（x）=（x+1）e x，则f（x1）=f（x2）．f'（x）=（x+2）e x，当x＜﹣2时，f'（x）＜0，当x＞﹣2时，f'（x）＞0；所以f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递减，在（﹣2，+∞）单调递增．因为x1≠x2，不妨设x1＜﹣2，x2＞﹣2．设g（x）=f（x）﹣f（﹣4﹣x），则g'（x）=f'（x）+f'（﹣4﹣x）=（x+2）e x（1﹣e﹣2（2+x）），当x＞﹣2时，g'（x）＞0，g（x）在在（﹣2，+∞）单调递增，所以g（x）＞g（﹣2）=0，所以当x＞﹣2时，f（x）＞f（﹣4﹣x）．…因为x2＞﹣2，所以f（x2）＞f（﹣4﹣x2），从而f（x1）＞f（﹣4﹣x2），因为﹣4﹣x2＜﹣2，f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递减，所以x1＜﹣4﹣x2，即x1+x2＜﹣4．…附加题：（共4小题，满分0分）21．已知矩阵A=，B=满足AX=B，求矩阵X．【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义．【分析】由AX=B，得=，求解即可．【解答】解：设x=，由=得解得此时x=22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y﹣2，y），求．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由题意得到，从而求出x，y，再由逆矩阵公式求出矩阵M的逆矩阵，由此能求出．【解答】解：∵点P（x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y﹣2，y），∴依题意，=，即解得由逆矩阵公式知，矩阵M=的逆矩阵，∴==．23．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论．【解答】解：∵f（x）=ln（1+ax）﹣，∴f′（x）=﹣=，∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当0＜a≤1时，由f′（x）=0得x=±，则函数f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，且PA=AB=BC=AD=1，PA⊥平面ABCD．（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）棱PD上是否存在一点E满足∠AEC=90°？若存在，求AE的长；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出，平面PCD的法向量，即可求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）假设存在E符合条件，设，则由∠AEC=90°得，，列出方程，判定方程在[0，1]上是否有解即可得出结论．【解答】解：（1）依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），从而，，，设平面PCD的法向量为=（a，b，c），即，不妨取c=2，则b=1，a=1，所以平面PCD的一个法向量为=（1，1，2），此时cos＜，＞==﹣，所以PB与平面PCD所成角的正弦值为；（2）设，则E（0，2λ，1﹣λ），则，，由∠AEC=90°得，，化简得，5λ2﹣4λ+1=0，该方程无解，所以，棱PD上不存在一点E满足∠AEC=90°．xx年1月5日25453 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2021届高三上学期第一次月考(9月)数学试题 Word版含解析
枣庄三中2020-2021学年高三年级第一次质量检测数学试题一､单选题1. 下列函数与函数y x =相等的是（ ） A. 2()y x = B. 2y x =C. 33()y x =D. 2x y x=【★答案★】C 【解析】 【分析】本题先求函数2()y x =的定义域为[0,)+∞，函数2y x =的值域为[0,)+∞，函数2x y x=的定义域为{}0x x ≠，并判断与函数y x =不同，排除ABD ，再判断33()y x =与y x =的定义域、值域、对应关系都相同，最后得到★答案★.【详解】解：因为函数2()y x =的定义域为[0,)+∞，而函数y x =的定义域为R ，故A 选项错误； 因为函数2y x =的值域为[0,)+∞，而函数y x =的值域为R ，故B 选项错误；因为函数2x y x=的定义域为{}0x x ≠，而函数y x =的定义域为R ，故D 选项错误；因为33()y x =与y x =的定义域、值域、对应关系都相同，故C 选项正确. 故选：C【点睛】本题考查函数的定义、判断函数是否为同一函数，是基础题.2. 函数2241log x y x-=+的定义域为（ ）A. (]0,2 B. 110,,222⎛⎫⎛⎤ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦C. ()2,2-D. []22-,【★答案★】B 【解析】 【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．【详解】解：要使函数有意义，则2240010x x log x ⎧-⎪>⎨⎪+≠⎩，得22012x x x ⎧⎪-⎪>⎨⎪⎪≠⎩， 即102x <<或122x <， 即函数的定义域为110,,222⎛⎫⎛⎤ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键．属于基础题． 3. 若1tan 3α=，1tan()2αβ+=，则tan β（ ） A.17 B.16C.57D.56【★答案★】A 【解析】 【分析】由两角差的正切公式计算．【详解】由题意11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααββ-+-=+-===+++⨯． 故选：A ．【点睛】本题考查两角差的正切公式，属于基础题．4. 函数()sin y A x ωϕ=+（0A >，0>ω，πϕ<）的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A. ()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. ()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D. ()1π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭【★答案★】A 【解析】 【分析】由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式．【详解】根据函数sin()(0y A x A ωϕ=+>，0>ω，||)ϕπ<的部分图象， 可得2A =，12236πππω=+，2ω∴=． 再根据五点法作图，可得232ππϕ⨯+=，6πϕ∴=-，故()2sin(2)6f x x π=-，故选：A【点睛】本题主要考查根据三角函数的图象求函数的解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5. 为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将sin 2y x =的图象( ) A. 向左平移512π个单位长度 B. 向右平移512π个单位长度 C. 向左平移56π个单位长度 D. 向右平移56π个单位长度 【★答案★】A 【解析】 【分析】先将sin 2y x =转化为cos 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用三角函数图象变换的知识，得出正确选项. 【详解】sin 2cos 22y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，5223122x x πππ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，所以cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移512π个单位长度，得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.故选：A【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查诱导公式，属于基础题.6. 定义在R 上的函数()y f x =是奇函数，()2y f x =-为偶函数，若()11f =，则()()()201920202021f f f ++=（ ）A. 2-B. 0C. 2D. 3【★答案★】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，对称性求出函数的周期是8，结合周期性，对称性进行转化求解即可． 【详解】解：()2y f x =-为偶函数，()()22f x f x ∴+=-，即函数()f x 的图象关于2x =对称， ()f x 是奇函数，()()()222f x f x f x ∴+=-=--，且()00f =，∴()()4f x f x +=-，∴()()()84f x f x f x +=-+=， ∴函数的周期是8，∴()()()()201925283311f f f f =⨯+===，()()()()202025284400f f f f =⨯+==-=， ()()()()202125285511f f f f =⨯+==-=-，∴()()()2019202020211010f f f ++=+-=，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性和对称性求出函数的周期性，以及利用周期性进行转化是解决本题的关键，属于中档题． 7. 已知函数()xxf x e e -=-，()0.32a f =，()0.20.3b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a << B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<【★答案★】A 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到0.321>，0.200.31<<，0.3log 20<，即可得解；【详解】解：因为()xxf x e e -=-，定义域为R ，x y e =在定义域上单调递增，x y e -=在定义域上单调递减，所以()xxf x e e -=-在定义域上单调递增，由0.321>，0.200.31<<，0.3log 20< 所以()()()0.30.20.320.3log 2f f f >>即c b a << 故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.8. 已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A. 11 B. 9 C. 7D. 5【★答案★】B 【解析】 【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f （x ）在（18π，536π）上单调，可得ω的最大值． 【详解】∵x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，∴2142n T π+⋅=，即21242n ππω+⋅=，（n ∈N ） 即ω＝2n +1，（n ∈N ） 即ω为正奇数，∵f （x ）在（18π，536π）上单调，则53618122T πππ-=≤， 即T 26ππω=≥，解得：ω≤12， 当ω＝11时，114π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，∴φ4π=-，此时f （x ）在（18π，536π）不单调，不满足题意；当ω＝9时，94π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，∴φ4π=，此时f （x ）在（18π，536π）单调，满足题意；故ω的最大值为9， 故选B ．【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x =对称,则()0f x A =或()0f x A =-.二､多选题9. 下列函数，最小正周期为π的偶函数有（ ）A. tan y x =B. |sin |y x =C. 2cos y x =D.sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【★答案★】BD 【解析】 【分析】对选项逐一分析函数的奇偶性和最小正周期，由此选出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数tan y x =为奇函数，不符合题意. 对于B 选项，函数sin y x =是最小正周期为π的偶函数，符合题意. 对于C 选项，函数2cos y x =的最小正周期为2π，不符合题意. 对于D 选项，函数πsin 2cos 22y x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，是最小正周期为π的偶函数，符合题意. 故选：BD【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，属于基础题.10. 已知函数()(),22x x x xe e e ef xg x ---+==，则()f x 和()g x 满足（ ） A. ()()()(),f x f x g x g x -=--= B. ()()()()23,23f f g g -<-< C. ()()()22f x f x g x =⋅ D. ()()221f x g x -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦【★答案★】ABC 【解析】 【分析】直接代入计算即可判断A ；判断()f x 的单调性，可得()()23f f -<成立,计算()()2,3g g -的值可判断B ；分别计算()2f x 以及()()2f x g x 可判断C ；直接计算可判断D.【详解】解:选项A:()()()(),222x x x x x xe e e e e ef x f xg x g x -----+-==-=--==.故A 正确;选项B:()f x 为增函数，则()()23f f -<成立，()()()22332,3222e e e e g g g --++-==>-，故B 正确;选项C: ()()()2222222222x x x x x xe e e e e ef xg x f x ----+-⋅=⨯⋅=⨯=，故C 正确;选项D:()()()()()()()22.1x xf xg x f x g x f x g x e e --=+-=⋅-=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,故D 错误.故选：ABC【点睛】本题主要考查了函数解析式以及函数值的计算，考查了学生的计算能力，属于中档题. 11. 若104a =，1025b =，则（ ） A. 2a b += B. 1b a -=C. 28lg 2ab >D. lg 6b a ->【★答案★】ACD 【解析】 【分析】将指数式化为对数式，利用对数运算，对每个选项进行逐一求解，即可选择. 【详解】由104a =，1025b =，得lg 4a =，lg 25b =，则lg 4lg 25lg1002a b ∴+=+==，25lg 25lg 4lg 4b a ∴-=-=， 25lg101lg lg 64=>> lg6b a ∴->24lg 2lg 54lg 2lg 48lg 2ab ∴=>=，故正确的有：ACD 故选：ACD .【点睛】本题考查指数式和对数式的转化，以及对数的运算，属综合基础题.12. 已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ） A. 当0k >时，有3个零点 B. 当k 0<时，有2个零点 C. 当0k >时，有4个零点 D. 当k 0<时，有1个零点【★答案★】CD 【解析】 分析】分别画出当0k>与k0<时()21,0log,0kx xf xx x+≤⎧=⎨>⎩的图像,再分析()10f f x+=⎡⎤⎣⎦,即()1f f x=-⎡⎤⎣⎦的根的情况即可.【详解】当0k>时,()21,0log,0kx xf xx x+≤⎧=⎨>⎩的图像为此时()10f f x+=⎡⎤⎣⎦即()1f f x=-⎡⎤⎣⎦有()()()121,0,2f x f x∈-∞=两种情况.又()()1,0f x=-∞有两根()212f x=也有两根,故()10f f x+=⎡⎤⎣⎦有4个零点.当k0<时,()21,0log,0kx xf xx x+≤⎧=⎨>⎩的图像为此时()10f f x+=⎡⎤⎣⎦即()1f f x=-⎡⎤⎣⎦只有()12f x=一种情况,此时()12f x=仅有一个零点. 故当0k>时,有4个零点.当k0<时,有1个零点故选CD【点睛】本题主要考查函数的图像与零点的分布问题,需要画出图像进行两次分析即可.属于中等题型.三､填空题13. △ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．【★答案★】233. 【解析】 【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，化简求得1sin 2A =，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2cos 8bc A =，可以断定A 为锐角，从而求得3cos 2A =，进一步求得833bc =，利用三角形面积公式求得结果.【详解】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =， 所以A 为锐角，且3cos 2A =，从而求得833bc =， 所以ABC ∆的面积为1183123sin 22323S bc A ==⋅⋅=，故★答案★是233. 【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30、45、60等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 14. 已知()()22132a a --+>-，则实数a 的取值范围为________.【★答案★】()()2,11,4,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 根据幂函数2y x 的图像和性质，把不等式()()22132a a --+>-化为0132a a <+<-求出解集即可．【详解】根据幂函数2yx 是定义域()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，且在()0,∞+上单调递减，()()22132a a --∴+>-等价于0132a a <+<-，()()221132a a a ≠-⎧⎪⎨+<-⎪⎩，解得23<a 或4a >， ∴实数a 的取值范围是()()2,11,4,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭．故★答案★为：()()2,11,4,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了幂函数2yx 的图像和性质的应用，考查了不等式的解法，属于中档题．15. 已知sin 3cos 2αα+=，则tan α=__________. 【★答案★】33【解析】 【分析】先平方，再利用1的代换化为齐次式，即可解得结果. 【详解】22sin 3cos 2sin 3cos 23sin cos 4αααααα+=∴++=2222sin 3cos 23sin cos 4sin 4cos αααααα∴++=+ 223sin cos 23sin cos 0αααα∴+-=23(3sin cos )03sin cos 0tan 3ααααα∴-=∴-=∴=故★答案★为：33【点睛】本题考查同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.16. 2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足573002tN N -=⋅（0N 表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：22log 3 1.6,log 5 2.3≈≈）【★答案★】 (1). 12(2). 4011 【解析】 【分析】（1）根据衰变规律，令5730t =，代入求得012N N =； （2）令035N N =，解方程求得t 即可. 【详解】当5730t =时，100122N N N -=⋅=∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12令035N N =，则5730325t-= 2223log log 3log 50.757305t ∴-==-≈- 0.757304011t ∴=⨯= ∴良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间故★答案★为12；4011 【点睛】本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题.四､解答题17. 在①3cos 5A =，25cos 5C =，②sin sin sin c C A b B =+，60B =，③2c =，1cos 8A =三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，______，求ABC 的面积S . 【★答案★】★答案★不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】若选①，首先根据同角三角函数的基本关系求出sin A ，sin C ，再根据两角和的正弦公式求出sin B ，由正弦定理求出边b ，最后由面积公式求出三角形的面积.若选②，由正弦定理将角化边结合余弦定理求出边c ，最后由面积公式求出三角形的面积.若选③，由余弦定理求出边b ，由同角三角函数的基本关系求出sin A ，最后由面积公式求出三角形的面积.【详解】解：选① ∵3cos 5A =，25cos 5C =， ∴4sin 5A =，5sin 5C =， ∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+42535115555525=⨯+⨯=， 由正弦定理得1153sin 335254sin 205a Bb A⨯===， ∴11335599sin 32220540S ab C ==⨯⨯⨯=. 选②∵sin sin sin c C A b B =+， ∴由正弦定理得22c a b =+. ∵3a =，∴223b c =-. 又∵60B =， ∴222192332b c c c =+-⨯⨯⨯=-， ∴4c =， ∴1sin 332S ac B ==. 选③∵ 2c =，1cos 8A =， ∴ 由余弦定理得222123822b b +-=⨯，即2502b b --=，解得52b =或2b =-（舍去）. 237sin 1cos 8A A ∴=-=， ∴ABC 的面积11537157sin 2222816S bc A ==⨯⨯⨯=.故★答案★为：选①为9940；选②为33；选③为15716. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解三角形，属于基础题. 18. 已知函数()f x 的定义域为()0,∞+,且对一切0x >,0y >都有()()()f xy f x f y =+,当1x >时,()0f x >.(1)判断()f x 的单调性并加以证明;(2)若()42f =,解不等式()()211f x f x >-+. 【★答案★】(1)()f x 在()0,∞+上增函数,证明见解析;(2)1223xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.【解析】 【分析】（1）利用定义即可证明()f x 在()0,∞+上为增函数；（2）由题意可得()21f =，进而将不等式转化为()()42f x f x >-，再利用（1）解得即可. 【详解】(1)()f x 在()0,∞+上为增函数, 证明如下:任取1x ,()20,x ∈+∞且12x x <, 则()()()()()222211111111x x x f x f x f x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 又因为当1x >时,()0f x >,而211x x >, 所以()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭,所以()()21f x f x >,所以()f x 在()0,∞+上为增函数.(2)由定义域可得0210x x >⎧⎨->⎩,解得12x >,由已知可得()()()4222f f f =+=,所以()21f =,()()()()21121242f x f x f f x -+=-+=-, 所求不等式可转化为()()42f x f x >-. 由单调性可得42x x >-,解得23x <, 综上,不等式解集为1223xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查了函数奇偶性的判定以及应用问题，考查抽象函数解不等式问题，属于基础题. 19. 已知函数()4tan sin cos 323f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的定义域与最小正周期；（2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.【★答案★】（1）定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，最小正周期π；（2）函数的减区间为,412ππ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，增区间为,124ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）根据正切函数的定义域即可求出函数的定义域，化简函数为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭即可求出周期；（2）根据正弦型函数的单调性求出单调区间，结合定义域,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦即可求出. 【详解】（1）()4tan sin cos 323f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2x k ππ∴≠+，即函数的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， 则()13134tan cos cos sin 34sin cos sin 32222f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22sin cos 23sin 3sin 231cos23x x x x x =+-=+--sin 23cos 22sin 23x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则函数的周期22T ππ==； （2）由222,232k x k k Z πππππ-<-<+∈，得5,1212k x k k Z ππππ-<<+∈，即函数的增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，当0k =时，增区间为5,,1212k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， ,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴此时,124x ππ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，由3222,232k x k k Z πππππ+<-<+∈， 得511,1212ππk πx k πk Z +<<+∈，即函数的减区间为511,,1212k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭， 当1k =-时，减区间为7,,1212k Z ππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭， ,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴此时,412x ππ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，即在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，函数的减区间为,412ππ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，增区间为,124ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了正切函数的定义域，正弦型函数的周期，单调区间，考查了三角恒等变形，属于中档题.20. 若二次函数满足()()12f x f x x +-=且()01f =. （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数λ，使函数()()()[]212,1,2g x f x x x λ=--+∈-的最小值为2？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【★答案★】（1）()21f x x x =-+；（2）=1λ±.【解析】 【分析】（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，由()01f =得1c =，即()21f x ax bx =++，代入()()12f x f x x +-=中，化简整理即可得到a b ，值，从而得到函数解析式.（2）由（1）可得()[]223,1,2g x x x x λ=-+∈-,讨论对称轴和区间的关系，利用函数单调性求得最值，即可得到所求λ的值.【详解】（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，由()01f =，∴1c =，∴()21f x ax bx =++，∵()()12f x f x x +-=，∴22ax a b x ++=，∴220a a b =⎧⎨+=⎩∴11a b =⎧⎨=-⎩，∴()21f x x x =-+（2）由（1）可得()()[]22121223,1,2g x x x x x x x λλ=-+--+=-+∈-①当1λ≤-时，()g x 在[1,2]-上单增，()()min 1422g x g λ=-=+=,解得=1λ-； ②当12λ-<<时，()g x 在[1,]λ-上单减，在[,2]λ上单增，()()22min 232g x g λλλ==-+=，解得=1λ±，又12λ-<<，故=1λ.③当2λ≥时，()g x 在[1,2]-上单减,()()min 24432g x g λ==-+=，， 解得5=24λ<，不合题意. 综上，存在实数=1λ±符合题意.【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，考查已知二次函数在区间的最值求参数问题，考查分析能力和计算能力，属于基础题.21. 2020年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，生产x （百辆），需另投入成本()C x 万元，且()210200,050100008019000,50x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每辆车售价8万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式； （2）2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【★答案★】（1）()2106005000,050100004000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）生产30百辆时，该企业获得利润最大为4000万元. 【解析】 【分析】（1）直接由题意写出2020年的利润L （x ）（万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式； （2）分段利用配方法及基本不等式求最值，取两段函数最大值的最大者得结论．【详解】（1）由题意得，()2106005000,050100004000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当050x <<时，()()210304000L x x =--+，∴()()max 304000L x L ==；当50x ≥时，()100004000L x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，∵10000200x x+≥，当且仅当100x =时，等号成立，∴()()max 1003800L x L ==∴2020年生产30百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润4000万元.【点睛】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用配方法求最值及利用基本不等式求最值，属于中档题．22. 已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>.（1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值. 【★答案★】（1）304ω<≤；（2）433π【解析】(1)因为0ω>，根据题意有342{02432ππωωππω-≥-⇒<≤≤ (2) ()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π，故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=． 【考点定位】考查三角函数的图象与性质，三角函数图象的平移变换，属中档题感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
江苏省南京市某高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试卷 Word版含答案
2021-2022学年第一学期第一次月考高二数学(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．1．抛物线24y x =的准线方程为____________． 【答案】1x =-【解析】抛物线)0(22>=p px y 的准线方程为2p x =-2．双曲线29x －24y ＝1的渐近线方程是 ．【答案】 230x y ±=．【解析】由29x －24y ＝0得230x y ±=．3．若()xf x e x =-，则=)0('f ____________． 【答案】0【解析】由于'()()'()'11x x xf x e x e e =-=-=-，所以=)0('f 1-1=0．4.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ln x 在x ＝e(e 为自然对数的底数)处的切线与直线ax －y ＋3＝0垂直，则实数a 的值为________． 【答案】－e【解析】由于y ′＝1x ，所以曲线y ＝ln x 在x ＝e 处的切线的斜率k ＝y ′x ＝e ＝1e.又该切线与直线ax －y ＋3＝0垂直，所以a ·1e ＝－1，所以a ＝－e.5．圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________． 【答案】(x －2)2＋(y ＋3)2＝5【解析】由圆的几何意义知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝ 5. ∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.6.已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，则2z x y =+的最小值 ．【答案】3【解析】如图：作出可行域ｙＡＢｘ目标函数：y x z +=2，则 z x y +-=2当目标函数的直线过点B(1,1)时，Z 有最小值32min =+=y x Z .7．已知p ：0322≤-+x x ，q ：a x ≥．若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的最大值为__________．【答案】3-【解析】由0322≤-+x x 知13≤≤-x ，当3-≤a 时p 是q 的充分不必要条件，所以实数a 的最大值为3-．8．已知椭圆192522=+y x 上一点P 到左焦点的距离为4，则点P 到右准线的距离为_________．【答案】215【解析】由题102=a ，由于点P 到左焦点的距离为4，所以点P 到右焦点的距离为6．设点P 到右准线的距离为d ，则有546==e d，即215=d ． 9.设M 是圆22(5)(3)9x y -+-=上一点，则M 到直线l ：3420x y +-=的距离的最大值为 ．【答案】8【解析】圆心到直线距离为2555d ==，最大距离为538d r +=+=.10.若命题“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(2，＋∞)【解析】“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则其否定“对任意x ∈R ，ax 2＋4x ＋a >0”为真命题，当a＝0,4x >0不恒成立，故不成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－4a 2<0，解得a >2，所以实数a 的取值范围是(2，＋∞)．11.x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的取值范围为____________.【答案】[]0,8【解析】作出可行域如图:22x y +表示可行域内的点与原点的距离的平方,由图可知2208x y ≤+≤.12．如图，已知1F ，2F 是椭圆的左右两个焦点，过1F 且与椭圆 长轴垂直的直线交椭圆与A ，B 两点．若2ABF ∆是正三角形， 则椭圆的离心率为 ．【答案】33【解析】设m AF =1，则m AF 22=，a m 23=，即m a 23=，又c m F F 2321==，即mc 23=，所以33==a c e ．13.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为 ． 【答案】6【解析】由图可知，圆C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以32＋42－1≤m ≤32＋42＋1，即4≤m ≤6.14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q . 若PQ ＝λAP ，则实数λ的取值范围为 ．【答案】0<λ<1【解析】 解法1 λ＝PQ AP ＝AQ －AP AP ＝AQAP－1，设直线l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝4，y ＝k (x ＋2)得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， 即(x ＋2)[](2k 2＋1)x ＋(4k 2－2)＝0，所以x A ＝－2, x P ＝2－4k 22k 2＋1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1，4k 2k 2＋1.所以AP 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1＋22＋⎝⎛⎭⎫4k 2k 2＋12＝16＋16k 2(2k 2＋1)2，即AP ＝4k 2＋12k 2＋1.同理AQ ＝4k 2＋1.所以λ＝AQ AP －1＝4k 2＋14k 2＋12k 2＋1－1＝1－1k 2＋1.由于k 2>0，所以0<λ<1. 解法2 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x ＋2)消去x 得(k 2＋1)y 2－4ky ＝0，所以y Q ＝4k k 2＋1，同理y P ＝4k2k 2＋1，由解法1知，λ＝AQ AP －1＝y Q y P －1＝4kk 2＋14k 2k 2＋1－1＝1－1k 2＋1. 由于k 2>0，所以0<λ<1。
2021年高三(上)第一次月考数学试卷 含解析
2021年高三（上）第一次月考数学试卷含解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：∃x∈R，2≥1的否定是（）A．∃x0∈R，2＜1 B．∃x∉R，2≥1C．∀x∈R，2x≥1D．∀x∈R，2x＜12．下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（）A．y=﹣x+1 B．y=x C．y=x2﹣4x+5 D．y=3．设全集U=R，集合A={x|x（x+3）＜0}，B={x|x＜﹣1}，则如图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．{x|﹣1≤x＜0} C．{x|﹣3＜x＜0} D．{x|﹣1＜x＜0}4．方程log3x+x﹣3=0的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．设函数f（x）是定义在R上以3为周期的奇函数，若f（1）＞1，f（2）=，则a的取值范围是（）A．a＜B．a＜且a≠﹣1 C．a＞或a＜﹣1 D．﹣1＜a＜6．在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：x ﹣2.0 ﹣1.0 0 1.0 2.0 3.0y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02则y关于x的函数关系与下列最接近的函数（其中a、b、c为待定系数）是（）A．y=a+bx B．y=a+b x C．f（x）=ax2+b D．y=a+7．已知函数f（x）=lnx﹣x﹣1，g（x）=x2﹣2bx+4，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈，使f （x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是（）A．（2，]B．上是增函数，则实数a的取值范围是．15．已知f（x）是定义在R上的函数，给出下列两个命题：p：若f（x1）=f（x2），（x1≠x2），则x1+x2=4．q：若x1，x2∈（﹣∞，2]（x1≠x2），则则使命题“p且q”为真命题的函数f（x）可以是．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知a＞0且a≠1，设命题p：函数y=a x+1在R上单调递减，命题q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求a的取值范围．17．设函数f（x）=的值域是集合A，函数g（x）=lg的定义域是集合B，其中a是实数．（1）分别求出集合A、B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C=2A，cosA=．（Ⅰ）求cosC，cosB的值；（Ⅱ）若，求边AC的长．19．已知函数f（x）=x2+（x≠0，a∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若f（x）在区间，使f（x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是（）A．（2，]B．，使f（x1）≥g（x2），只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，对g（x）的图象进行讨论根据对称轴研究g（x）的最值问题，从而进行求解；解答：解：∵函数f（x）=lnx﹣x﹣1，（x＞0）∴f′（x）=﹣+==，若f′（x）＞0，1＜x＜3，f（x）为增函数；若f′（x）＜0，x＞3或0＜x＜1，f（x）为减函数；f（x）在x∈（0，2）上有极值，f（x）在x=1处取极小值也是最小值f（x）min=f（1）=﹣+﹣1=﹣；∵g（x）=x2﹣2bx+4=（x﹣b）2+4﹣b2，对称轴x=b，x∈，当b＜1时，g（x）在x=1处取最小值g（x）min=g（1）=1﹣2b=4=5﹣2b；当1＜b＜2时，g（x）在x=b处取最小值g（x）min=g（b）=4﹣b2；当b＞2时，g（x）在上是减函数，g（x）min=g（2）=4﹣4b+4=8﹣4b；∵对任意x1∈（0，2），存在x2∈，使f（x1）≥g（x2），∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，当b＜1时，≥5﹣2b，解得b≥，故b无解；当b＞2时，≥8﹣4b，解得b≥，综上：b≥，故选C；点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b）比较而得到的，此题还涉及函数的恒成立问题，注意问题最终转化为求函数的最值问题上；8．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象大致为（）A．B．C．D．考点：指数函数的图像变换；函数的零点与方程根的关系．专题：数形结合；转化思想．分析：根据题意，易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b，又由函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；根据函数图象变化的规律可得g（x）=a X+b的单调性即与y轴交点的位置，分析选项可得答案．解答：解：由二次方程的解法易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b；根据函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；在函数g（x）=a x+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；分析选项可得A符合这两点，BCD均不满足；故选A．点评：本题综合考查指数函数的图象与函数零点的定义、性质；解题的关键在于根据二次函数的图象分析出a、b的范围．二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分．9．幂函数f（x）=xα（α为常数）的图象经过（3，），则f（x）的解析式是f（x）=．．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：计算题．分析：将（3，），代入f（x）=xα（α为常数）即可求得α，从而得到答案．解答：解；∵幂函数f（x）=xα（α为常数）的图象经过（3，），∴=3α，∴α=．∴f（x）的解析式是f（x）=．故答案为：f（x）=．点评：本题考查幂函数的概念，将点的坐标代入函数表达式求得α是关键，属于基础题．10．已知f（x）是偶函数，它在上是增函数，则实数a的取值范围是上是减函数，且g（x）＞0，再用“对称轴在区间的右侧，且最小值大于零”求解可得结果．解答：解：令g（x）=x2﹣ax+a，由于y=f（x）=g（x）在区间（]上是增函数，故g（x）应在区间（]上是减函数，且g（x）＞0．故有，即，解得2≤a＜2+2．故实数a的取值范围是（x1≠x2），则则使命题“p且q”为真命题的函数f（x）可以是f（x）=﹣（x﹣2）2．考点：复合命题的真假．分析：命题“p且q”为真命题，命题p，q均为真命题．p为真命题说明函数f（x）图象关于直线x=2对称．q为真命题，可以推出f（x）在（﹣∞，2]上单调递增．可以想到二次函数．解答：解：命题“p且q”为真命题，命题p，q均为真命题．p：若f（x1）=f（x2），（x1≠x2），则x1+x2=4．说明函数f（x）图象关于直线x=2对称．若x1，x2∈（﹣∞，2]（x1≠x2），，说明当x1＞x2时，f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（﹣∞，2]上单调递增．根据以上性质，f（x）可以是，f（x）=﹣（x﹣2）2故答案为：f（x）=﹣（x﹣2）2．点评：本题以复合命题真假出发，考查了初等函数的性质．考查转化、数形结合的思想．三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知a＞0且a≠1，设命题p：函数y=a x+1在R上单调递减，命题q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：由题意可得，P：0＜a＜1；由△=（2a﹣3）2﹣4＞0可得q，然后由p∨q为真，p∧q为假，可知p，q一真一假，分类讨论进行求解解答：解：∵y=a x+1单调递减∴P：0＜a＜1∵曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点∴△=（2a﹣3）2﹣4＞0∴q：a或a∵“p∨q”为真，且“p∧q”为假∴p真q假，或p假q真当p真q假时，∴0当p假q真时，∴a综上可得，a或0点评：本题以复合命题的真假关系的判断为载体，主要考查了知识函数与二次函数的性质的简单应用，属于基础试题17．设函数f（x）=的值域是集合A，函数g（x）=lg的定义域是集合B，其中a是实数．（1）分别求出集合A、B；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．考点：并集及其运算；函数的定义域及其求法．专题：集合．分析：（1）根据函数定义域和值域的求法分别求出集合A、B；（2）若A∪B=B，则A⊆B，根据集合关系，建立不等式，即可求实数a的取值范围．解答：解：（1）由f（x）==x+﹣1知，当x＞0时，f（x）=x+﹣1，当x＜0时，f（x）=x+﹣1=﹣（﹣x﹣）﹣1，即A=（﹣∞，﹣3]∪＞0，解得得x＜a或x＞a2+a+1，即B=（﹣∞，a）∪（a2+a+1，+∞）．（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，则有，即，解得﹣≤a≤0，即a的取值范围是．点评：本题主要考查函数定义域和值域的求解，以及集合关系的基本应用，考查学生的运算能力．18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C=2A，cosA=．（Ⅰ）求cosC，cosB的值；（Ⅱ）若，求边AC的长．考点：解三角形；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由题意可得cosC=cos2A，利用二倍角公式求出cosC=，再由同角三角函数的基本关系求出sinC 和sinA 的值，由cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC，运算求得结果．（Ⅱ）由求得ac=24，再由，C=2A，可得c=2acosA=a，姐方程求得a、c的值，再利用余弦定理求出b 的值，即为所求．解答：解：（Ⅰ）由题意可得cosC=cos2A=2cos2A﹣1=，…1分故sinC=．…2分由cosA=得sinA=．…3分∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=．…4分（Ⅱ）∵，∴ac•cosB=，ac=24．…6分∵，C=2A，∴c=2acosA=a，解得a=4，c=6，…8分再由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB=25，故b=5．即边AC的长为5．…10分点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式、诱导公式的应用，属于中档题．19．已知函数f（x）=x2+（x≠0，a∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若f（x）在区间点评：考查偶函数、奇函数的定义，在判断f（x）奇偶性时，不要漏了a=0的情况，以及函数单调性和函数导数的关系，清楚函数y=2x3为增函数．20．市场营销人员对过去几年某商品的销售价格与销售量的关系作数据分析发现如下规律：该商品的价格上涨x%（x＞0），销售数量就减少kx%（其中k为正数），预测规律将持续下去．目前该商品定价为每件10元，统计其销售数量为1000件．（1）写出该商品销售总金额y与x的函数关系，并求出当时，该商品的价格上涨多少，就能使销售总额达到最大？（2）如果在涨价过程中只要x不超过100，其销售总金额就不断增加，求此时k的取值范围．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）由题意，价格上涨x%后为（1+x%）×10元，销售量为（1﹣x%）×1000个，故可得销售总额，利用配方法可求得结论；（2）价格上涨x%后为（1+x%）×10元，销售量为（1﹣kx%）×1000个，故可得销售总额，从而可得函数的对称轴为x=，利用在涨价过程中只要x不超过100，其销售总金额就不断增加，建立不等式，即可求得k的取值范围．解答：解：（1）由题意，价格上涨x%后为（1+x%）×10元，销售量为（1﹣x%）×1000个，故销售总额y=（1+x%）×10×（1﹣x%）×1000=（﹣x2+100x+xx0）=﹣（x﹣50）2+11250∴x=50，即商品的价格上涨50%时，销售总额达到最大；（2）销售总额y=（1+x%）×10×（1﹣kx%）×1000=﹣kx2+（100﹣100k）x+10000，函数的对称轴为x=∵在涨价过程中只要x不超过100，其销售总金额就不断增加∴，k＞0∴0＜k≤∴k的取值范围为0＜k≤点评：本题考查函数模型的构建，考查配方法求函数的最值，考查函数的单调性，解题的关键是确定函数关系式．21．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=．（1）证明数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差关系的确定；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由a n+1=，两边取倒数可得：即，即可证明出；（2）利用等差数列的通项公式即可得出；（3）由（2）可知，，利于“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：（1）证明：由已知可得，∴，即，∴数列是公差为1的等差数列．（2）由（1）可得，∴．（3）由（2）可知，，∴，，相减得=2n+1﹣2﹣n•2n+1，∴．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．E21644 548C 和27279 6A8F 檏HA27002 697A 楺33699 83A3 莣36825 8FD9 这28703 701F 瀟S24769 60C1 惁34508 86CC 蛌27448 6B38 欸C#。
高三数学上学期第一次月考试卷文含解析试题
2021－2021年学年第一学期9月月考高三数学〔文〕试题一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．〕1.全集，集合，集合，那么A. B. C. D.【答案】C【解析】∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，∴∁U A={4，5}，∵B={3，4}，那么〔∁U A〕∪B={3，4，5}．应选C2.复数，那么A. 1B.C.D.【答案】B【解析】, ．“〞，那么为〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：命题的否认既要否认条件，由要否认结论，因此，选C考点：命题的否认4.以下函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：A：偶函数与在上单调递增均不满足，故A错误；B：均满足，B正确；C：不满足偶函数，故C错误；D：不满足在上单调递增，应选B．【考点】此题主要考察函数的性质．5.对于非零向量，，以下命题中正确的选项是A. 或者B. 在方向上的投影为C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为,所以A,D是错的,由投影的定义可知当方向相反时为—,所以B是错的,答案选C.考点：向量的数量积运算与几何意义6.A. B. C. D.【答案】D【解析】所以所以原式等于．应选D点睛：巧妙应用两角和差的正切公式，找到和与乘积的关系．7.曲线在点处的切线方程为=A. B. C. D.【答案】D【解析】得到解不等式组得到：应选D．8.函数，那么不等式的解集是A. B. C. D.【答案】C【解析】由条件知，是奇函数，函数为增函数，只需要应选C；点睛：当函数是抽象函数或者者函数不好解的时候，要考虑函数的性质，主要是奇偶性，单调性；9.点A是半径为1的⊙O外一点，且AO=2，假设M,N是⊙O一条直径的两个端点，那么为A. 1B. 2 C 3 D 4【答案】C【解析】．点睛：此题用到向量的积化恒等式，三角形中，O为MN的中点，那么；只要两个值有一个是定值，就可以用这个结论求范围；10.函的最小正周期为4，且对有成立，那么的一个对称中心坐标是A. B. C. D.【答案】A【解析】，，恒成立，那么所以，对称中心是应选A；11.在中，角所对的边分别为，且，那么的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】因为，由正弦定理得，用两角和差公式展开得，应选D；点睛：由正弦定立得角之间的关系，最后二元化一元.12.，又，假设满足的有四个，那么的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】画出图像，令，，外层为二次，最多两个根，内层一个最多对应三个根，所以应该有两个，一个对应3个根，一个对应一个根，，令，由图像知解得应选A点睛：此题考察复合函数，换元设内外层函数，找到内外层的对应关系；二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．〕13.||＝2，||＝4，⊥〔〕，那么向量与的夹角是______.【答案】【解析】【分析】通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，求出角的大小即可．【详解】设向量与的夹角是θ，∵||＝2，||＝4，⊥〔〕，∴•〔〕•||2＝||•||cosθ﹣||2＝2×4cosθ﹣4＝0，即cosθ，∵0≤θ≤π，∴θ故答案为：【点睛】此题考察向量的数量积的运算，向量的垂直的应用，考察计算才能．14.假设满足约束条件，那么的最小值为________.【答案】-3【解析】直线和交于C点，可行域为封闭的三角形，目的函数，要求z的最小值就是找截距的最大值，由条件知，当过点C时，截距最大，，带入得-3；15.假设【答案】500【解析】，故原式为；16.在中，AB=4，AC=6，BC=其外接圆的圆心为O ，那么_____【答案】10【解析】根据外心的性质：原式等于．点睛：根据外心的性质，将向量点击转化为长度；三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．〕17.函数将的图像向左平移个单位后得到的图像，且在内的最大值为，务实数的值.【答案】m=1【解析】试题分析：根据两角和差公式和二倍角公式，将式子化一，根据图像平移得f〔x〕= sin 〔2x﹣〕﹣1+m，2x+∈[，]，得到值域；〔Ⅰ〕f〔x〕=2cosx〔sinx﹣cosx〕+m=sin2x﹣cos2x﹣1+m= sin〔2x﹣〕﹣1+m，∴g〔x〕=sin[2〔x+〕﹣]﹣1+m=sin〔2x+〕﹣1+m，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴当2x+=时，即x=时，函数g〔x〕获得最大值+m﹣1=，那么m=1．18.设向量，函数(Ⅰ)求函数的最小正周期；(Ⅱ)当时，求函数的值域；【答案】〔1〕T=π；〔2〕≤f〔x〕≤1．【解析】试题分析：〔1〕根据向量点积运算得=〔2〕根据自变量的范围得函数值域；〔1〕∵ =〔sinx﹣cosx，0〕，∴ =〔sinx，cosx〕•〔sinx﹣cosx，0〕=sin2x﹣sinxcosx=所以周期 T==π．〔2〕当时，，，所以,即≤f〔x〕≤1．中，角的对边分别为，满足．〔1〕求角的大小；〔2〕假设，求的周长最大值．【答案】〔1〕〔2〕的周长获得最大值为9．【解析】试题分析：〔1〕由及余弦定理，化简可得那么角易求；〔2〕由〔1〕得，再由正弦定理得，所以；，的周长，根据可求的周长最大值．试题解析：〔1〕由及余弦定理，得整理，得∵，∴〔2〕解：由〔1〕得∴，由正弦定理得，所以；的周长∵，当时，的周长获得最大值为9．考点：解三角形20.(本小题满分是12分)向量,且,〔为常数〕(Ⅰ)求及;(Ⅱ)假设的最小值是,务实数的值.【答案】(1) ；(2) ．【解析】试题分析：〔1〕用坐标表示向量的模长；〔2〕转化成二次函数求最值问题，(1)得⑵时，当且仅当时，获得最小值－1，这与矛盾；②当时，获得最小值 ,由得: 解得；当时当且仅当时，获得最小值，得；解得，这与相矛盾，综上所述，为所求.21.设函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性；(Ⅱ)当函数有最大值且最大值大于时，求的取值范围.【答案】(1) 当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；(2) ．【解析】试题分析:(1)求导出现分式通分，讨论分子的正负；〔2〕研究函数的单调性，猜出函数的根比拟a和函数零点的关系即可；〔Ⅰ〕函数的定义域为，①当时，，函数在上单调递增；②当时，令，解得，i〕当时，，函数单调递增，ii〕当时，，函数单调递减；综上所述：当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得：当函数有最大值且最大值大于，，即，令，且在上单调递增，在上恒成立，故的取值范围为.22.〔本小题满分是12分〕函数，,且函数在处的切线平行于直线．〔Ⅰ〕实数的值；〔Ⅱ〕假设在〔〕上存在一点，使得成立，务实数的取值范围.【答案】(1) ；(2) 或者．【解析】试题分析：〔1〕导数的几何意义，〔2〕含参讨论法，研究函数最值，使得函数最小值小于零即可；〔Ⅰ〕的定义域为，∵函数在处的切线平行于直线．∴∴〔Ⅱ〕假设在上存在一点，使得成立，构造函数,只需其在上的最小值小于零.①当时，在上单调递减，所以的最小值为，由得因为，所以；②当，在上单调递增，所以最小值为，由可得；③当时，可得最小值为，因为，所以，，此时，不成立. 综上所述:可得所求的范围是：或者.点睛：明确函数在某点处的切线的几何意义；有解求参，转化成函数最值问题，研究函数单调性，使得函数最小值小于零；励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
江苏省南京市2020-2021学年高三上学期9月期初数学试题(wd无答案)
江苏省南京市2020-2021学年高三上学期9月期初数学试题一、单选题(★) 1. 已知集合，，则 A B＝（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知(3﹣4 i) z＝1＋ i，其中 i为虚数单位，则在复平面内 z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★★) 3. 已知向量，满足＝1，＝2，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．(★★★) 4. 在平面直角坐标系 xOy中，若点 P( ，0)到双曲线 C：的一条渐近线的距离为6，则双曲线 C的离心率为（）A．2B．4C．D．(★★★) 5. 在△ ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c．若2 bcos C≤2 a﹣ c，则角B的取值范围是（）A．(0，]B．(0，]C．[，)D．[，)(★★) 6. 设，，，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b(★★) 7. 在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 A：，点 B(3，0)，过动点 P引圆 A的切线，切点为 T．若 PT＝ PB，则动点 P的轨迹方程为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知奇函数的定义域为，且．若当时，，则的值是（）A．B．C．2D．3二、多选题(★★) 9. 由我国引领的5 G时代已经到来，5 G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5 G经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（）A．5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势(★★) 10. 将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点(，0)对称C．函数在区间(，)上单调递增D．函数在区间(0，)上有两个零点(★★★) 11. 已知，则（）A．的值为2B．的值为16C．的值为﹣5D．的值为120(★★★) 12. 记函数与的定义域的交集为 I．若存在 I，使得对任意 I，不等式恒成立，则称( ，)构成“ M函数对”．下列所给的两个函数能构成“ M函数对”的有（）A．，B．，C．，D．，三、填空题(★★) 13. 如图，一个底面半径为 R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为 r的实心铁球（小球完全浸入水中），水面高度恰好升高，则＝_______．(★★) 14. 被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系心中，已知直线 l ： y ＝4与抛物线C ： 交于 A ， B 两点，则弦与拋物线 C 所围成的封闭图形的面积为_______．(★★★) 15. 若不等式 对一切 x R 恒成立，其中 a ， b R ， e 为自然对数的底数，则 a ＋ b 的取值范围是_______．四、双空题(★★★) 16. 已知数列的各项均为正数，其前 n 项和为 ，且， n，则＝_______；若 ＝2，则＝_______．五、解答题(★★★) 17. 已知向量，，，设函数．（1）求函数 的最小正周期； （2）若，且，求的值．(★★★) 18. 已知数列是公比为2的等比数列，其前 n 项和为 ，（1）在① ，②，③，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列的通项公式，并判断此时数列 是否满足条件 P ：任意 m ， n，均为数列 中的项，说明理由； （2）设数列满足， n，求数列 的前 n 项和 ．注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(★★★) 19. 为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校名学生（男生 人，女生人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下：是否达标 性别不达标达标男生女生（1）是否有的把握认为课外阅读达标与性别有关？附： ．（2）如果用这名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取 人（ 男 女），设随机变量 表示“ 人中课外阅读达标的人数”，试求 的分布列和数学期望．(★★★) 20. 如图，在四棱锥 P — ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD ， AD// BC ， AB ＝ BC ＝ PA ＝1， AD ＝2，∠ PAD＝∠ DAB＝90°，点 E 在棱 PC 上，设 CE ＝ CP ．（1）求证： CD⊥ AE；（2）记二面角 C — AE — D 的平面角为 ，且，求实数 的值．(★★★★) 21. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：．（1）设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F 1， F 2， T 是椭圆 C 上的一个动点，求 的取值范围；（2）设 A(0，-1)，与坐标轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 B ， D 两点，若△ ABD 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 l 的方程．(★★★) 22. 已知函数，．（1）当 时，求函数 的单调区间；（2）当 时， 恒成立，求 k 的取值范围；（3）设 n，求证：．。
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2021届江苏省南京市程桥高级中学高三上学期第一次月考数学试题时间：120分钟 分值：160分一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合{}1,6,9A =，{}1,2B =，则A B = ▲ ．2．复数(1i +2)a bi =+（,a b 是实数，i 是虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 3．函数2log (3)y x =-的定义域为 ▲ ．4．为了解某地区的中小学生视力情况，从该地区的中小学生中用分层抽样的方法抽取300位学生进行调查，该地区小学，初中，高中三个学段学生人数分别为1200，1000，800，则从初中抽取的学生人数为 ▲ ．5．已知一个算法的流程图如右图，则输出的结果S 的值是 ▲ ． 6．将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数．则点数相同的概率是▲ ．7．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 为棱1AA 的中点．若14AA =，2AB =，则四棱锥1B ACC D -的体积为 ▲ ．8. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5 = 5，S 9 = 27，则S 7 = ▲ ．9. 设α为锐角，若3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ▲ .第5题开始 是 输出S 否 n ←1，S ←0n ≤3S ←2S +1 n ←n +1结束10. 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c = t a（1 t ）b ．若b ·c = 0，则实数t的值为 ▲ ．11. 已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是 ▲ ．12. 在直角坐标系xOy 中，已知A （1，0），B （0，1），则满足224PA PB -=且在圆224x y +=上的点P 的个数为 ▲ ．13. 已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则xy 的最小值为 ▲ ．14. 若2101m x mx -<+（m0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C cb +=． （1）求角A 的大小；（2）若15a =，4b =，求边c 的大小．16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．求证：（1）PA ∥平面MDB ； （2）PD ⊥BC ．17.（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右准线方程为4x =，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为255.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当,,B F P 三点共线时，试确定直线l 的斜率.18.（本题满分16分）如图，有一块扇形草地OMN ，已知半径为R ，2MON π∠=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A 、B 在弧MN 上，且线段AB 平行于线段MN . （1）若点A 为弧MN 的一个三等分点，求矩形ABCD 的面积S ；（2）设AOB θ∠=，求A 在MN 上何处时，矩形ABCD 的面积S 最大？最大值为多少？OA BCDMN19．（本小题满分16分）设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点． （1）求函数f (x )的单调区间；（2）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值；（3）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的首项a 1＝a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：222*13,0,2.n n n n S n a S a n n N -=+≠≥∈，（1）若数列{a n }是等差数列，求a 的值；（2）确定a 的取值集合M ，使a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．2021届江苏省南京市程桥高级中学高三上学期第一次月考数学试题参考答案1.{1}2.23.∞（3,+）4.1005.76.167.23 8.149.21010.211.（-1，2） 12.213.26-3 14.1-2∞（，-）17.解：（1）由题意知，直线l 的方程为2()y x a =-，即220x y a --=，∴右焦点F 到直线l 的距离为22255c a -=，1a c ∴-=， ……………………2分 又椭圆C 的右准线为4x =，即24a c =，所以24a c =，将此代入上式解得2,1a c ==，23b ∴=， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=； ……………………6分 （2）由（1）知3)B ，(1,0)F ，……………………8分∴直线BF 的方程为3(1)y x =-， ……………………10分联立方程组223(1)143y x x y ⎧=--⎪⎨+=⎪⎩，解得8533x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或03x y =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍），即833(,5P ， …………12分 ∴直线l 的斜率330()3355k --==……………………14分 方法二: 由（1）知3)B ，(1,0)F ，∴直线BF 的方程为3(1)y x =--，由题(2,0)A ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组3(1)(2)y x y k x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得23333k x k ky k ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，代入椭圆解得：33k =或3k =，又由题意知，303k y k -=<+得0k >或3k <-，所以33k =.方法三：由题(2,0)A ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组22(2)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222431616120k x k x k +-+-=，221643A P k x x k +=+， 所以2222168624343P k k x k k -=-=++,21243P ky k -=+，当,,B F P 三点共线时有，BP BF k k =，243k =+，解得k =或k =，又由题意知，0y =<得0k >或k <，所以k =.18.解：（1）如图，作OH AB ⊥于点H ，交线段CD 于点E ，连接OA 、OB ，6AOB π∴∠=， …………2分2sin ,cos 1212AB R OH R ππ∴==，1sin 212OE DE AB R π===cos sin 1212EH OH OER ππ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭ …………4分222sin cos sin 2sin cos 2sin 121212121212S AB EH R R R ππππππ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos 166R R ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ …………6分（2）设02AOB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭ …………7分则2sin ,cos 22AB R OH R θθ∴==，1sin 22OE AB R θ==cos sin 22EHOH OE R θθ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭ …………9分222sin cos sin 2sin cos 2sin 222222S AB EH R R R θθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22sin cos 114R R πθθθ⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎥⎝⎭⎦ …………12分0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,444πππθ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭42ππθ∴+=即4πθ=时，)2max 1S R =-，此时A 在弧MN 的四等分点处…………15分答：当A 在弧MN 的四等分点处时，)2max 1S R = …………16分19．（本小题满分16分）解：（1）f ′(x )＝3x 2－2tx ＝x (3x －2t )＞0，因为t ＞0，所以当x ＞2t 3或x ＜0时，f ′(x )＞0，所以(－∞，0)和(2t3，＋∞)为函数f (x )的单调增区间；当0＜x ＜2t 3时，f ′(x )＜0，所以(0，2t3)为函数f (x )的单调减区间．………………4分（2）因为k ＝3x 02－2tx 0≥－12恒成立，所以2t ≤3x 0＋12x 0恒成立，…………………6分因为x 0∈（0，1]，所以3x 0＋12x 0≥23x 0×12x 0＝6，即3x 0＋12x 0≥6，当且仅当x 0＝66时取等号．所以2t ≤6，即t 的最大值为62．…………………8分 （3）由（1）可得，函数f (x )在x ＝0处取得极大值0，在x ＝2t 3处取得极小值－4t327．因为平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点， 所以直线l 的方程为y ＝－4t327．…………………10分令f (x )＝－4t 327，所以x 2(x －t )＝－4t 327，解得x ＝2t 3或x ＝－t 3．所以C （2t 3，－4t 327），D （－t 3，－4t327）．…………………12分因为A （0，0），B （t ，0）．易知四边形ABCD 为平行四边形．AD ＝(－t 3)2＋(－4t 327)2，且AD ＝AB ＝t ， 所以(－t3)2＋(－4t 327)2＝t ，解得：t ＝32．…………………16分 20．（本小题满分16分）解：（1）在S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1中分别令n ＝2，n ＝3，及a 1＝a 得(a ＋a 2)2＝12a 2＋a 2，(a ＋a 2＋a 3)2＝27a 3＋(a ＋a 2)2，因为a n ≠0，所以a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ．…………………2分因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 3＝2a 2，即2(12－2a )＝a ＋3＋2a ，解得a ＝3．……4分 经检验a ＝3时，a n ＝3n ，S n ＝3n (n ＋1)2，S n －1＝3n (n －1)2满足S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1． （2）由S 2n ＝3n 2a n ＋S 2n －1，得S 2n －S 2n －1＝3n 2a n ，即(S n ＋S n －1)(S n －S n －1)＝3n 2a n ，即(S n ＋S n －1)a n ＝3n 2a n ，因为a n ≠0，所以S n ＋S n －1＝3n 2，(n ≥2)，①……………6分所以S n ＋1＋S n ＝3(n ＋1)2，②②－①，得a n ＋1＋a n ＝6n ＋3，(n ≥2)．③………………8分 所以a n ＋2＋a n ＋1＝6n ＋9，④④－③，得a n ＋2－a n ＝6，(n ≥2)即数列a 2，a 4，a 6，…，及数列a 3，a 5，a 7，…都是公差为6的等差数列，………10分 因为a 2＝12－2a ，a 3＝3＋2a ．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，3n ＋2a －6，n 为奇数且n ≥3，3n －2a ＋6，n 为偶数，…………………12分要使数列{a n }是递增数列，须有a 1＜a 2，且当n 为大于或等于3的奇数时，a n ＜a n ＋1，且当n 为偶数时，a n ＜a n ＋1， 即a ＜12－2a ，3n ＋2a －6＜3(n ＋1)－2a ＋6(n 为大于或等于3的奇数)， 3n －2a ＋6＜3(n ＋1)＋2a －6(n 为偶数)， 解得94＜a ＜154．所以M ＝(94，154)，当a ∈M 时，数列{a n }是递增数列．………………16分。