不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法一、不定积分的基本公式和运算法则1.基本公式：- 常数公式：$\int c\,dx = cx + C$，其中c为常数，C为常数。
- 幂函数公式：$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中n为非零常数，C为常数。
- 指数函数公式：$\int e^x\,dx = e^x + C$，其中C为常数。
- 对数函数公式：$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln，x， + C$，其中C为常数。
2.基本运算法则：- 常数倍法则：$\int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$，其中k为常数。
- 和差法则：$\int (f(x) \pm g(x))\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$。
- 乘法法则：$\int u \cdot v\,dx = \int u\,dv + \int v\,du$。
- 除法法则：$\int \frac{u}{v}\,dx=i\ln，v，+j\int\frac{dv}{v}$。
直接积分法是指根据不定积分的基本公式和运算法则，直接进行积分计算的方法。
下面介绍一些常见的直接积分法：1.用代换法进行积分：-根据被积函数的形式，选择一个合适的代换，使得原函数的形式更简单。
-对原函数进行代换，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
-将上述结果带入到原函数中，得到最终的积分结果。
2.用分部积分法进行积分：-对于被积函数的乘积形式，选择一个函数进行求导，选择另一个函数进行积分。
- 根据分部积分公式$\int u \,dv = uv - \int v \,du$，进行积分计算。
3.用换元法进行积分：-对于被积函数的形式，选择一个新的变量代替原来的变量，使得积分变得更简单。
-对原函数进行换元，将积分转化为新的变量的积分。
- 对新的变量进行求导，计算出dx或du。
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(6) csc2 xdx cot x C ((cot x) csc2 x)
5 反三角函数
(1)
dx arcsin x C arccos x C 1 x2
(arcsin x) 1 ,(arccos x) 1
51
x2 51
C
2 7
7
x2
C.
(2) 2x (e x 1)dx 解： 2x (e x 1)dx (2e)x dx 2x dx
(2e)x 2x C (2e)x 2x C
ln(2e) ln 2
1 ln 2 ln 2
(3) x3 x 1dx x2 1
解：
x3 x2
x
1 x2
1 x2
dx
(2) 1 x2 arctan x C arc cot x C
(arctan
x)
1 1 x2
, (arc
cot
x)
1
1 x
2
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分
表
(3)
dx x
ln
|
x
|
C;
阐明： x 0,
1 x 2 dx
1
1 x2dx
1 x
arctan
x
C.
例2 求下列不定积分
(1) sin2
xdx 2
(2)
cos 2x cos x sin
x
dx
解
(1)原式
1
cos 2
x
dx
1 2
(1 cos
不定积分的四则运算公式
不定积分的四则运算公式在数学中，不定积分是一种求解函数的原函数的操作。
也就是说，当对一个函数进行不定积分后，得到的是一个包含任意常数的函数集合。
不定积分的四则运算公式是指对不定积分进行加减乘除的操作规则。
一、加法公式：对于两个函数的和的不定积分，有以下公式：∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx二、减法公式：对于两个函数的差的不定积分，有以下公式：∫(f(x) - g(x))dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx三、乘法公式：对于两个函数的乘积的不定积分，有以下公式：∫f(x)g(x)dx = ∫u(x)dv(x) = u(x)v(x) - ∫v(x)du(x)其中，u(x)和v(x)是函数f(x)和g(x)的原函数。
此公式是通过积分部分法得到的。
四、除法公式：对于两个函数的商的不定积分，有以下公式：∫f(x)/g(x)dx = ∫[u(x) + v(x)]/g(x)dx = ∫u(x)/g(x)dx +∫v(x)/g(x)dx其中，u(x)和v(x)是函数f(x)和g(x)的原函数。
此公式是通过将除法转化为乘法再应用乘法公式得到的。
需要注意的是，在进行乘法和除法的不定积分时，对被积函数进行合适的变换或引入中间变量来简化计算。
五、分配律公式：在不定积分的四则运算中，也可以应用分配律。
对于表达式的不定积分，有以下公式：∫(f(x) + g(x))h(x)dx = ∫f(x)h(x)dx + ∫g(x)h(x)dx这个公式可以用于将一个积分问题拆分为多个较简单的积分问题，以简化计算过程。
六、合并同类项公式：在计算积分过程中，有时会遇到求解多个相同形式的不定积分。
可以使用合并同类项的公式进行简化。
如下所示：∫(a f(x) + b f(x))dx = (a + b) ∫f(x)dx这个公式将多个相同形式的函数合并成一个函数，并在常数项上进行求和运算。
以上是不定积分的四则运算公式，这些公式是对不定积分进行运算时常用的规则。
求不定积分的基本方法
1 例13. 求不定积分 ∫ dx . (2 + cos x) sin x sin x 解: 原式 = ∫ (令 u = cos x) dx 2 (2 + cos x ) sin x 1 =∫ du 2 ( 2 + u )(u − 1) A=1
1 ( 2+u )(u −1)
习题课 不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
第四章
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一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法
∫ f ( x ) dx
第一类换元法 第二类换元法
∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t ) dt
分部积分
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1 dx . 例4. 设 y ( x − y ) = x , 求积分 ∫ x − 3y 解: y ( x − y ) 2 = x 令 x − y = t, 即 y = x −t
2
t3 x= 2 , t −1
t t 2 (t 2 − 3) y = 2 , 而 dx = 2 dt 2 t −1 (t − 1)
=
x x − 3 ln(e 6
+ 1) − 2
x 3 ln(e 3
x + 1) − 3 arctan e 6
+C
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3 cos x − sin x dx . 例11. 求 ∫ cos x + sin x
不定积分
dln x
dsin x
(6) f (cos x)sin xdx
dcos x
(7) f (tan x)sec2 xdx
dtan x
(8) f (e x )e x dx
de x
(9) f (arcsin x)
1 1
x2
dx
f
(arcsin
x)d(arcsin
x)
f (arccos x)
x
1 1
t t
2 2
原式
1
2t 1t 2
2t 1t 2
(1
1t 1t
2 2
)
dx
1
2 t
2
dt
2 1t
2
dt
1 2
t
2
1 t
dt
1 2
1t2 2
2t
ln
t
C
1 tan2 x tan x 1 ln tan x C
x) c
09数二三 计算不定积分
ln(1
1 x )dx x
(x 0)
令
1 x t
x
原式 ln(1 t) 2t dt ln(1 t) 1 d (t2 1)
(t 2 1)2
(t2 1)2
ln(1
t)d
( t
1) 2 1
ln(1 t) 1 1 dt
例4. 求
cos3 x 1 sin2
x
2
cos x sin4 x
dx
不定积分的基本公式与运算法
例1 求下列不定积分：
学院
College
（1） x7 d x.
（2）
1 d x. x
（3） 3xex d x.
解 （1） x7dx 1 x71 C 1 x8 C.
7 1
8
（2）
1 dx
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4·2 不定积分的基本公式与运算法 则、直接积分法
案例研究
我国自行研制的动车组列车
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1 x2 2sin x 3x C. 2
问：最后的结果为什么只写一个任意常数？
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直接积分法
定义 直接用积分基本公式与运算性质求不定积 分，或者对被积函数进行适当的恒等变形（包括代数变
1 x
d
x
ln
x
C.
讨论 当 x 0 时，有
ln x (ln x) 1 ,
x 当 x 0 时，也有
ln x ln(x) (x) 1 1
x x x 所以 ln | x |是 1 的原函数.
x
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大学微积分中的不定积分计算
大学微积分中的不定积分计算微积分是数学的一个重要分支，它主要研究函数的微分和积分运算。
在微积分中，不定积分是一个常见且重要的概念。
不定积分，也称为反导数，是求解函数的导函数的逆运算。
不定积分的计算方法有很多种，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。
下面将介绍这些不定积分计算方法的基本原理和应用。
一、基本积分公式基本积分公式是不定积分计算的基础，它包括常数函数、幂函数、指数函数、三角函数等的积分公式。
1. 常数函数的积分常数函数的积分公式非常简单，即常数函数的不定积分等于该常数乘以自变量。
例如，对于函数f(x)=5，其不定积分为∫f(x)dx=5x+C，其中C为常数。
2. 幂函数的积分幂函数是指以自变量为底的指数函数。
对于幂函数f(x)=x^n（n≠-1），其中n为实常数，其不定积分的计算公式为：∫f(x)dx= （1/(n+1)）*x^(n+1) + C其中，C为常数。
3. 指数函数的积分指数函数的积分也是一种常见的不定积分计算。
对于指数函数f(x)=e^x，其中e为自然对数的底数，其不定积分的计算公式为：∫f(x)dx=e^x+C其中，C为常数。
4. 三角函数的积分三角函数的不定积分计算也是微积分中的重要内容。
对于一些常见的三角函数，如sin(x)、cos(x)、tan(x)，它们的不定积分计算公式如下：∫sin(x)dx=-cos(x)+C∫cos(x)dx=sin(x)+C∫tan(x)dx=-ln|cos(x)|+C其中，C为常数。
二、换元积分法换元积分法，也称为代入法，是一种常用的不定积分计算方法。
它通过代入一个新的变量，将原积分转化为一个更容易求解的形式。
换元积分法的基本思想是，根据函数的链式法则，进行变量代换。
首先，选择一个新的变量，然后确定该变量与原变量之间的关系，最后将原积分式子中的变量全部换成新的变量。
举例来说，当我们需要计算∫(2x+1)^2dx时，我们可以使用换元积分法。
不定积分的四则运算公式
不定积分的四则运算公式1.加法运算：设函数f(x)和g(x)在区间上连续，则它们的和函数F(x)的不定积分满足如下公式：∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx + C2.减法运算：设函数f(x)和g(x)在区间上连续，则它们的差函数F(x)的不定积分满足如下公式：∫[f(x) - g(x)]dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx + C3.乘法运算：设函数f(x)和g(x)在区间上连续，则它们的乘积函数F(x)的不定积分满足如下公式：∫[f(x) * g(x)]dx ≠ ∫f(x)dx * ∫g(x)dx乘法的不定积分不能直接用乘法法则，而是需要通过换元法、分部积分等方法来计算。
4.除法运算：设函数f(x)和g(x)在区间上连续，且g(x)不等于0，则它们的商函数F(x)的不定积分满足如下公式：∫[f(x) / g(x)]dx ≠ ∫f(x)dx / ∫g(x)dx除法的不定积分也不能直接用除法法则，而是需要通过换元法、分部积分等方法来计算。
此外，还有一些辅助的运算公式可以用于简化不定积分的计算：5.常数倍公式：如果k为常数，则有：∫k * f(x)dx = k * ∫f(x)dx + C6.积分换元公式：设y=g(x)是函数g的一个可导函数，而f是g的一个原函数，则有：∫f(g(x)) * g'(x)dx = F(g(x)) + C其中，F表示函数f的一个原函数。
7.分部积分公式：设函数u(x)和v(x)在区间上连续且可导，则有如下公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx + C以上是不定积分的四则运算公式及其辅助公式。
在实际计算中，根据具体的函数表达式，可以灵活运用这些公式来简化不定积分的计算。
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·温习 1 原函数的界说.2 不定积分的界说.3 不定积分的性质.4 不定积分的几何意义.
·引入在不定积分的界说.性质以及根本公式的基本上,我们进一步来评论辩论不定积分的盘算问题,不定积分的盘算办法重要有三种：直接积分法.换元积分法和分部积分法.
·讲解新课
第二节不定积分的根本公式和运算直接积分法一根本积分公式
因为求不定积分的运算是求导运算的逆运算,所以有导数的根本公式响应地可以得到积分的根本公式如下：
以上十五个公式是求不定积分的基本,必须熟记,不但要记右端的成果,还要熟习左端被积函数的的情势.
求函数的不定积分的办法叫积分法. 例1.求下列不定积分.（1）dx
x ⎰2
1
（2）dx
x x ⎰
解：（1）dx x ⎰
21＝
2121
21x x dx C C
x -+-=+=-+-+⎰
（2）dx
x x
⎰
＝C x dx x +=⎰2
5
2
3
52
此例标明,对某些分式或根式函数求不定积分时,可先把它们化为
x α的情势,然后运用幂函数的积分公式求积分.
二 不定积分的根本运算轨则
轨则1 两个函数代数和的积分,等于各函数积分的代数和,即 轨则1对于有限多个函数的和也成立的．
轨则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外,即
dx x f k dx x kf ⎰⎰=)()( （0≠k ）
例2 求3
(21)x x
e dx
+-⎰
解
3(21)x x e dx +-⎰
=2
3
x dx
⎰+
dx
⎰-x e dx
⎰
=4
12x x x e C +-+.
注 个中每一项的不定积分固然都应该有一个积分常数,但是这里其实不须要在每一项后面加上一个积分常数,因为随意率性常数之和照样随意率性常数,所以这里只把它的和C 写在末尾,今后仿此.
注 磨练解放的成果是否准确,只把成果求导,看它的导数是否等于
被积函数就行了.如上例因为41
()2x x x e C '+-+=321x
x e +-,所以成果是准确
的.
三 直接积分法
在求积分的问题中,可以直接按根本积分公式和两个基赋性质求出成果（如上例）但有时,被积函数常须要经由恰当的恒等变形（包含代数和三角的恒等变形）再运用积分的性质和公式求出成果,如许的积分办法叫直接积分法.
例3求下列不定积分.
（1
）
1)(x dx ⎰ （2）dx x x ⎰+-1122
解：（1
）起首把被积函数1)(x 化为和式,然后再逐项积分
得
1)((1x dx x dx +-
=+--
⎰⎰
51
2
2
221252x x x x C =+--+.
注：（1）求函数的不定积分时积分常数C 不克不及丢失落,不然就会消失概念性的错误.
（2）等式右端的每个不定积分都有一个积分常数,因为有限个随意率性常数的代数和仍是一个常数,所以只要在成果中写一个积分常数C 即可.
（3）磨练积分盘算是否准确,只需对积分成果求导,看它是否等于被积函数.若相等,积分成果是准确的,不然是错误的.
（2）222221122
(1)1
11x x dx dx dx x x x -+-==-+++⎰⎰⎰ 2
22arctan 1dx
dx x x C x =-=-++⎰⎰
.
上例的解题思绪是设法化被积函数为和式,然后再逐项积分,是一种重要的解题办法,须控制.
演习 1 322324x x x dx x -++⎰,2 22221(1)x dx x x ++⎰,3 421x dx x +⎰.
答案 1 21432ln ||2x x x C x -+-+, 2 1arctan x C
x -+, 3 3
1arctan 3x x x C -++
例4求下列不定积分.（1）xdx
⎰
2
tan （2）
dx x
2sin 2⎰
解：（1）2
2tan
(sec 1)xdx x dx
=-⎰
⎰
（2）
C x x dx x dx x
+-=-=⎰⎰sin 21
212cos 12
sin
2
上例的解题思绪也是设法化被积函数为和式,然后再逐项积分,不过它实现化和是运用三角式的恒等变换.
演习 1 2
cot xdx
⎰
2
2cos 2x dx ⎰
3 cos 2x
dx cosx-sinx ⎰
答案 1 cot x x C --+ 2 1
(sin )2x x C
++
3 sin -cos x x C +
例5设x x f 2
2cos )(sin =',求)(x f .
解：因为
x x x f 222sin 1cos )(sin -==',
所以x x f -='1)(,故知)(x f 是x -1的原函数,是以
C
x x dx x x f +-=-=⎰2)1()(2
．
小结 根本积分公式,不定积分的性质,直接积分法. 演习 求下列不定积分.
（1）2(12sin )x dx x -+⎰（2）2212
()cos sin dx x x +⎰,
（3）dt t t ⎰+2
)1(,（4）23)1dt t +⎰,（5）dx x x ⎰+)6(6,
（6）dx x x ⎰--2411
,（7）dx x x ⎰-)cot csc(csc ,（8）dx x x ⎰2sin 2cos ,
（9）2
(cos sin )22t t dt +⎰,（10）dx x ⎰-)1(tan 2,（11
）e (3x x x dx -⎰.
答案1 2cos 2ln ||x x x C +++, 2 tan -cot x x C +,
3 2
12ln ||2t t t C +++, 4 2arcsin 3arctan t t C -+, 5 7
61ln 67x x C
++, 6 313x x C --+,
7 cot csc x x C -++, 8 cot 2x C --+,
9 cos t t C -+, 10 tan 2x x C -+,11(3)2arcsin 1ln3x
e x C
-++.
小结 盘算简略的不定积分,有时只需按不定积分的性质和根本公式进行盘算;有时须要先运用代数运算或三角恒等变形将被积函数进行整顿．然后分项盘算．
功课 P81:2,3 板书设计。