初中数学全等三角形知识点总结与复习
初中数学全等三角形综合复习讲义-全面完整版
初中数学全等三角形综合复习讲义-全面完整版初中数学全等三角形综合复讲义——全面完整版一、基础知识1.全等图形的有关概念1)全等图形的定义：两个图形能够完全重合，就是全等图形。
例如，图13-1和图13-2就是全等图形。
2)全等多边形的定义：两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。
例如，图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。
3)全等多边形的对应顶点、对应角、对应边：两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。
4)全等多边形的表示：例如，图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A’B’C’D’E’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。
表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。
5)全等多边形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。
6)全等多边形的识别：对边形相等、对应角相等的两个多边形全等。
2.全等三角形的识别1)根据定义：若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。
2)根据SSS：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。
3)根据SAS：如果两个三角形有两边及夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。
4)根据ASA：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
5)根据AAS：如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
3.直角三角形全等的识别1)根据HL：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
2)SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。
初中数学知识归纳相似与全等三角形的判定
初中数学知识归纳相似与全等三角形的判定初中数学知识归纳: 相似与全等三角形的判定在初中数学中，相似与全等三角形的判定是常见的几何问题。
通过对相似与全等三角形的认识和判定，我们可以解决很多与三角形有关的问题。
本文将对相似与全等三角形的判定进行归纳总结，并提供一些相关的例题分析。
通过阅读本文，希望可以帮助大家更好地理解和应用这一重要的数学知识点。
一、相似三角形的判定相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。
相似三角形的判定条件主要有以下几种：1. AAA相似判定法当两个三角形的对应角度相等时，我们可以判定它们为相似三角形。
具体而言，如果两个三角形的三个内角相对应分别相等，即三个对应角度分别相等，那么这两个三角形就是相似的。
例如，已知∠ABC = ∠DEF, ∠ACB = ∠DFE, ∠BAC = ∠EDF ，则可以判定三角形ABC与三角形DEF相似。
2. AA相似判定法当两个三角形的两个对应角度相等，并且它们的对应两边成比例时，我们可以判定它们为相似三角形。
具体而言，如果两个三角形的两个对应角分别相等，并且两个对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。
例如，已知∠ABC = ∠DEF, ∠BAC = ∠DFE，并且 AB/DE =BC/EF ，则可以判定三角形ABC与三角形DEF相似。
3. SSS相似判定法当两个三角形的对应边的比值相等时，我们可以判定它们为相似三角形。
具体而言，如果两个三角形的对应边的比值都相等，那么这两个三角形就是相似的。
例如，已知AB/DE = BC/EF = AC/DF ，则可以判定三角形ABC与三角形DEF相似。
二、全等三角形的判定全等三角形是指形状和尺寸都完全相同的两个三角形。
全等三角形的判定条件主要有以下几种：1. SSS全等判定法当两个三角形的三个对应边的长度完全相等时，我们可以判定它们为全等三角形。
具体而言，如果两个三角形的三个对应边长度分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
全等三角形知识点归纳
全等三角形知识点归纳全等三角形是初中数学中的重要内容，它对于解决几何问题有着关键作用。
下面就来对全等三角形的相关知识点进行一个全面的归纳。
一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等。
也就是说，如果两个三角形全等，那么它们相对应的边的长度是一样的。
2、全等三角形的对应角相等。
对应角的度数完全相同。
3、全等三角形的周长相等。
因为对应边相等，所以三条边相加的总和也相等。
4、全等三角形的面积相等。
由于形状和大小完全相同，所占的空间大小也就一样。
三、全等三角形的判定方法1、“边边边”（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。
比如有三角形 ABC 和三角形 DEF，如果 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么三角形 ABC ≌三角形 DEF。
2、“边角边”（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
例如在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么这两个三角形全等。
3、“角边角”（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
假设三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，那么三角形 ABC ≌三角形 DEF。
4、“角角边”（AAS）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
比如三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，这两个三角形就是全等的。
5、“斜边、直角边”（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
在直角三角形 ABC 和直角三角形 DEF 中，如果斜边 AC ＝斜边DF，直角边 BC ＝直角边 EF，那么这两个直角三角形全等。
四、寻找全等三角形的对应边和对应角的方法1、有公共边的，公共边是对应边。
例如三角形 ABC 和三角形 ABD，AB 就是两个三角形的公共边，是对应边。
初中数学全等三角形知识点 总结及复习
D．CD平分∠ACB
A D C E B 8题图 7题图
8题图 11．尺规作图作 的平分线方法如下：以
10题图
为圆心，任意长为半径画弧交
、
于
、
，再分别以点
、
为圆心，以大于
长为半径画弧，两弧交于点
，作射线
由作法得
的根据是（ ）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
12.如图, ∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB
例2. 如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF与DE交于点B。求证： 。
例3 .如图所示，AC=BD，AB=DC，求证： 。
例4. 如图所示， ，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且 求证：BD=CE。
例5：已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD、CE⊥AB于E， 且∠B+∠D=180。
11题图
12题图
二、填空题 1.如图，已知
，
，要使
≌
，可补充的条件是
（写出一个即可）_______________．
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,
且AB=5cm,则△DEB的周长为 ________
3.如图，
，请你添加一个条件：
，使
（只添一个即可）．
2.如图，在中，，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使． （1）求的度数；（2）求证：．
3.如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O. 求证：(1) △ABC≌△AED； (2) OB＝OE .
4.如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边 △EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由． E D C B A
初中数学知识点精讲精析 全等三角形知识讲解
.11·1 全等三角形要点精讲1. 全等形和全等三角形能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.“全等”用符号“”来表示，读作“全等于”.注：（1）全等三角形①形状、大小相同；②能够完全重合.（2）记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.2. 全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等.注：寻找对应边、对应角的方法、规律（1）有公共边的，公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（4）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等.3．全等变形只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换.全等变换包括以下三种：（1）平移变换： 把图形沿某条直线平行移动；（2）对称变换：将图形沿某直线翻折；（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置.注：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 在全等三角形中，我们把互相重合的边或角，叫做对应边或对应角. 重合的顶点叫做对应点. 全等用符号“≌”表示，“∽”表示形状相同，“＝”表示大小相等，合起来就是全等.典型例题例1. 如图所示，已知△ABE ≌△ACD ，∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，指出其他的对应边和对应角.180分析：先将△ABE 和△ACD 从复杂的图形中分离出来，找对应边（角）只能从这两个三角形中找，因为∠B ＝∠C ，∠1＝∠2，所以另外一个角是对应角，它们所夹的边是对应边，对应角对的边是对应边.解析：对应角有：∠BAE 和∠CAD ；对应边有：AB 和AC ，AE 和AD ，BE 和CD. 评析：做题时，按对应顶点的顺序写出“△ABE ≌△ACD ”，按字母的对应位置写出对应边：AB 与AC ，AE 与AD ，BE 与CD ；类似的，可写出它们的对应角，能有效地防止出错.例2.如图所示，已知AB ＝CD ，BE ＝DF ，△ABE ≌△CDF ，求证：AB ∥CD ，AE ∥CF.分析：要证明两直线平行，常用方法是用平行线的判定定理，要使AB ∥CD ，只要∠ABE ＝∠CDF ，而这两个角是△ABE 和△CDF 的一对对应角，至于AE 与CF 的平行，只需∠AED ＝∠CFB ，这两个角不在△ABE 和△CDF 中，但却是∠AEB 与∠CFD 的邻补角. 证明：△ABE ≌△CDF ，AB ＝CD ，BE ＝DF∴∠ABE ＝∠CDF∠AEB ＝∠CFD （全等三角形的对应角相等）∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行）而∠AED ＝180°－∠AEB∠CFB ＝180°－∠CFD∴∠AED ＝∠CFB （等角的补角相等）则AE ∥CF评析：全等三角形对应边相等，可应用于边的相互转化. 对应角相等可以用于角度转化.AB CD E 12。
人教版初中数学八年级上册第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形/
12.1 全等三角形
导入新知
12.1 全等三角形/
观察这些图片，你能找出形状、大小完全一样的几何 图形吗？
导入新知
12.1 全等三角形/
你能再举出生活中的一些类似例子吗？
素养目标
12.1 全等三角形/
3. 初步帮助学生建立平移、翻折、旋转三种图形 变化与全等形的关系.
12.1 全等三角形/
观察思考：每组中的两个图形有什么特点？
①
②
③
④
⑤
探究新知
12.1 全等三角形/
归纳总结
全等图形定义： 能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 全等形性质： 如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相等.
探究新知 下面哪些图形是全等图形？
12.1 全等三角形/
大小、形状 完全相同
课后作业
作业 内容
12.1 全等三角形/
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
2. 熟练掌握全等三角形的性质，并能灵活运用 全等三角形的性质解决相应的几何问题.
1. 熟记全等形及全等三角形的概念;能够正确找 出全等三角形的对应边、对应角.
探究新知
12.1 全等三角形/
知识点 1 全等图形的定义及性质
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
探究新知
正确的结论并证明.
解：结论：EF∥NM
其他结论吗？
证明： ∵ △EFG≌△NMH，
∴ ∠E=∠N. ∴ EF∥NM.
巩固练习
12.1 全等三角形/
如图，△ABC ≌△CDA，AB 与CD，BC 与DA 是对应边，
全等三角形 知识点总结
全等三角形知识点总结在初中数学学习中，我们学习到了三角形的全等。
全等三角形是初中数学中一个非常重要的知识点，也是基础中的基础。
全等三角形的概念、性质和判定方法都是我们需要掌握的重点内容。
本文将对全等三角形的相关知识点进行总结，帮助大家更好地掌握和理解这一部分内容。
一、全等三角形的定义什么是全等三角形呢？全等三角形是指在三角形的三个对应角相等、三个对应边相等的情况下，我们就可以称这两个三角形是全等的。
用符号来表示的话，就是∆ABC≌∆DEF，其中A、B、C分别是∆ABC的三个顶点，D、E、F分别是∆DEF的三个顶点。
全等三角形的性质1、全等三角形的性质1：对应角相等如果两个三角形是全等的，那么它们的三个对应角分别相等。
也就是说，在全等三角形中，三个对应角是相等的。
2、全等三角形的性质2：对应边相等如果两个三角形是全等的，那么它们的三个对应边分别相等。
也就是说，在全等三角形中，三个对应边是相等的。
3、全等三角形的性质3：对应线段相等如果两个三角形是全等的，那么它们的对应线段（如中线、角平分线等）也相等。
二、全等三角形的判定方法全等三角形有几种判定方法，下面我们分别来看看。
1、全等三角形的判定方法一：SAS判定法SAS判定法是指边-角-边全等判定法。
也就是说，如果两个三角形的一个角和两个边分别相等，则这两个三角形是全等的。
判定条件：如果在两个三角形中，一对对应边相等，且夹在中间的对应角也相等，那么这两个三角形是全等的。
2、全等三角形的判定方法二：ASA判定法ASA判定法是指角-边-角全等判定法。
也就是说，如果两个三角形的两个角和一个夹在中间的边分别相等，则这两个三角形是全等的。
判定条件：如果在两个三角形中，一对对应角相等，且夹在中间的对应边也相等，那么这两个三角形是全等的。
3、全等三角形的判定方法三：SSS判定法SSS判定法是指边-边-边全等判定法。
也就是说，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
初中数学知识点精讲精析 全等三角形的判定定理
第4节全等三角形的判定定理要点精讲1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
4.有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”)所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
典型例题【例1】已知：如图所示，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连接AE.CD．（1）求证：△AGE≌△DAC；（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．【答案】△AEF是等边三角形【解析】（1）∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°∵EG∥BG，∴∠ADG=∠ABC=60°∠AGD=∠ACB=60°∴△ADG是等边三角形，∴AD=DG=AG∵DE=DB，∴EG=AB，∴GE=AC在△AGE和△DAC中∵EG=AB=CA∠AGE=∠DAC=60° AG=DA∴△AGE≌△DAC（2）如图，连结AF，则△AEF是等边三角形．∵EG∥BC，EF∥DC∴四边形EFCD是平行四边形∴EF=DC，∠DEF=∠DCF∵△AGE≌△DAC ∴AE=CD∠AED=∠ACD∵EF=CD=AE ，∠AED+∠DEF=∠ACD=∠DCB=60°∴△AEF 是等边三角形【例2】已知如图,AE ＝AC,AB ＝AD,∠EAB ＝∠CAD,试说明:∠B ＝∠D【答案】∵∠EAB ＝∠CAD （已知）∴∠EAB ＋∠BAD ＝∠CAD ＋∠BAD即∠EAD ＝∠BAC在△ABC 和△ADE 中∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴∠B ＝∠D （全等三角形的对应角相等）【解析】先证三角形全等，然后利用全等三角形的对应角相等A B A D E A D B A C A C A E ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝（已知）（已证）（已知）。
初中数学知识点归纳精品教学-全等三角形知识点+练习题
9.如图，已知 AB⊥BD 于 B，ED⊥BD 于 D，AB=CD，BC=DE，则∠ACE=____. 10.如图，F在正方形ABCD的边BC边上,E在AB 的延长线上,FB=EB,AF 交CE 于G,则∠AGC的度数是______.
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11.如图,△ABC 是不等边三角形,DE=BC，以 D,E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ ABC 全等,这样的三角形最多可以画出_____个．
0
31.已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD的长.
32.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E 是 AD上一点,延长BE交AC于F，AF=EF，求证：AC=BE．
33.如图,在ΔABC 中, ∠ABC=60°,AD、CE 分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD。
已知：∠AOC=∠BOD
重叠线段问题：
已知：CE=AF
已知：CE=AF
角平分线的性质与判定 角平分线性质： 角平分线判定： 常见辅助线作法 截长补短题型： 倍长中线题型： 角平分线题型： ； ； ； ； ；
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1.如图∠1=∠2=20 ，AD=AB,∠D=∠B，E 在线段BC 上，则∠AEC=（ 0 0 0 A.20 B.70 C.50
度.
7.如图,△ABC≌△ADE,BC的延长线交DA于F，交DE于G，∠ACB=∠AED=1050，∠CAD=150 ,∠B= ∠D=300， 则∠1的度数为 8.如图， △ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB、 AC 边翻折1800形成的， 若∠1:∠2:∠3=28:5:3， 则∠a 的 度数为
八年级数学 第十一章全等三角形综合复习 人教新课标版
初二数学第十一章全等三角形综合复习人教新课标版一、学习目标：1. 复习全等形与全等三角形的概念、全等三角形的判定定理，以及角平分线的作图方法和角平分线的性质等知识，建立知识系统；2. 使学生总结寻找全等三角形及其全等条件的方法、归纳常见辅助线的作法，使学生掌握分析问题的方法，提升解题能力。
二、重点、难点：重点：将所学知识科学地组织起来，将其纳入已有的知识结构中。
难点：提升分析问题、解决问题的能力。
三、考点分析：全等三角形是初中几何的重要内容，也是数学中最基础的知识，是研究平面几何的重要工具。
近几年的中考数学试题中，经常将全等与其他知识结合在一起，考查学生综合运用数学知识解决问题的能力，形式多种多样，为全等这一传统的话题增添了新颖的味道。
1. 全等三角形的概念及性质；2. 三角形全等的判定；3. 角平分线的性质及判定。
知识点一：证明三角形全等的思路通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析：⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩SAS SSS HL AAS SAS ASA AAS ASA AAS 找夹角已知两边找第三边找直角边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一对边 切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。
例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。
求证：ACF BDE ∆≅∆。
思路分析：从结论ACF BDE ∆≅∆入手，全等条件只有AC BD =；由A E B F =两边同时减去EF 得到AF BE =，又得到一个全等条件。
还缺少一个全等条件，可以是CF DE =，也可以是A B ∠=∠。
由条件AC CE ⊥，BD DF ⊥可得90ACE BDF ∠=∠=，再加上AE BF =，AC BD =，可以证明ACE BDF ∆≅∆，从而得到A B ∠=∠。
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全等三角形知识点总结及复习一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理 （一）、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)（三）经典例题例1. 已知：如图所示，AB=AC，，求证：.例2. 如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF与DE交于点B。
求证：。
例3 .如图所示，AC=BD，AB=DC，求证：。
例4. 如图所示，，垂足分别为D 、E ，BE 与CD 相交于点O ，且求证：BD=CE 。
例5：已知：如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD 、CE ⊥AB 于E ，且∠B+∠D =180︒。
求证：AE=AD+BE 分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC 是角平分线，所以在AE 上截AF=AD ，连结FC ，可证出∆ADC ≌∆AFC ，问题就可以得到解决。
证明（一）： 在AE 上截取AF=AD ，连结FC 。
在∆AFC 和∆ADC 中()()()AF AD AC AC =∠=∠=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪已作已知公共边12 ∴∆AFC ≌∆ADC （边角边）∴∠AFC=∠D （全等三角形对应角相等） ∵∠B+∠D=180︒（已知）∴∠B=∠EFC （等角的补角相等）在∆CEB 和∆CEF 中()()()∠=∠∠=∠=︒=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪B E F C C E B C E F C E C E 已证已知公共边90 ∴∆CEB ≌∆CEF （角角边）∴BE=EF ∵AE=AF+EF ∴AE=AD+BE （等量代换）证明（二）： 在线段EA 上截EF=BE ，连结FC （如右图）。
小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。
（四） 全等三角形复习练习题 一、选择题1．如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，． 其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ）A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 2.如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ） 3.如图（四），点P 是AB 上任意一点，ABC ABD ∠=∠，还应补充一个条件，才能推出APC APD △≌△．从下列条件中补充一个条件，不一定能．．．．推出APC APD △≌△的是（ ） A ．BC BD = B ．AC AD = C ．ACB ADB ∠=∠ D ．CAB DAB ∠=∠A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°1题图 2题图4.如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能添加的一组条件是( )(A)∠B=∠E,BC=EF （B ）BC=EF ，AC=DF (C)∠A=∠D ，∠B=∠E （D ）∠A=∠D ，BC=EF 5．如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于E ， 若AC = 10cm ，则△DBE 的周长等于( )A ．10cmB ．8cmC ．6cmD ．9cm6． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处C ADP B图（四）4题图 5题图7．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那 么最省事的方法是（ ）A ．带①去 B ．带②去 C ．带③去 D ．带①②③去8．如图，在Rt ABC △中，ο90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC于点E ．已知ο10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ）A ．ο30 B ．ο40 C ．ο50 D ．ο609．如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ） A ．20° B ．30° C ．35° D ．40° 10．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ）A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB1题图C ．AB 与CD 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ACB8题图 10题图11．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是（ ）A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS12.如图, ∠C=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D 到AB 的距离为( )A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定13．如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠ C ．OA OB = D ．AB 垂直平分OP 14.如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（ ） A ．CB CD = B ．BAC DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠ D ．90B D ==︒∠∠11题图 12题图ADC EB 8题A B C DEDCBA ④①②③6题图7题图ABCD A BC D 14题图 CBB 'A 'O 13题图 B A P O D PCA B二、填空题1.如图，已知AD AB =，DAC BAE ∠=∠，要使 ABC △≌ADE △，可补充的条件是 （写出一个即可）_______________．2.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB 于E,且AB=5cm,则△DEB 的周长为 ________3.如图，BAC ABD ∠=∠，请你添加一个条件： ，使OC OD =（只添一个即可）．4.如图，在ΔABC 中，∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D 到直线AB 的距离是__________厘米。
1题图 2题图 3题图 4题图 5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形 有 个 ．6.已知：如图，△OAD ≌△OBC ，且∠O ＝70°，∠C ＝25°，则∠AEB ＝________度.7如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE 、AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。
8.如图所示，AB = AD ，∠1 = ∠2，添加一个适当的条件，使△ABC ≌ △ADE，则需要添加的条件是________.6题图 7 题图 8 题图第1个第2个第3个A CEB DOAB CDED O CB A A B CDEQPOBED C A三、解答题1.如图，已知AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=CE.2.如图，在ABC △中，40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB AC ，为边作两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°． （1）求DBC ∠的度数；（2）求证：BD CE =．3.如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O.求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .4.如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD 为一边向上作等边△EDC ，连接AE ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．O C E B DAE DCBAA5.如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ．（1）求证：△ABC ≌△DCB ；（2）过点C 作CN ∥BD ，过点B 作BN ∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结论．6.如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O 点，12∠=∠，34∠=∠． 求证：（1）ABC ADC △≌△；（2）BO DO =．7．如图，在ABC △和ABD △中，现给出如下三个论断：①AD BC =；②C D ∠=∠； ③12∠=∠．请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题． （1）写出所有的真命题（写成“⎫⇒⎬⎭”形式，用序号表示）： ．（2）请选择一个真命题加以证明． 你选择的真命题是：⎫⇒⎬⎭．证明：B CA DMN 21ＡＣＤ ＢD CBA O 123 48.已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ．求证：OA ＝OD ．9．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．10.如图，,AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F =⊥=∠于点，，平分交于点，请你写出图中三．对．全等三角形，并选取其中一对加以证明．11．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角 形．（直接写出结果，不要求证明）：OED CB A BD CFA郜E F E D C B A12．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD 交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．13已知：如图A、D、C、B在同一直线上，AC=BD，AE=BF，CE=DF求证：（1）DF∥CE （2）DE=CF AD FE14.如图，已知在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两条边上的高，在BE上截取BD = AC，在CF的延长线上截取CG = AB，连结AD、AG，则AG与AD有何关系？试证明你的结论15.如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC．BCE16.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．17.如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB =∠DBC = 90º，E是BC的中点，EF⊥AB，垂足为F，且AB = DE．１8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于G，AD与EG垂直吗？证明你的结论。