专题训练：反比例函数与几何的综合应用(含答案)

专训3 反比例函数与几何的综合应用

名师点金：解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知量，然后结合函数的图象用含未知数的代数式表示出几何图形与图象的交点坐标，再由函数表达式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的方程(组)，解方程(组)即可得所求几何图形中的未知量或函数表达式中待定字母的值．

反比例函数与三角形的综合

1．【2015·枣庄】如图，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝6

x (x >0)的图象交于A (m ，

6)，B (3，n )两点．

(1)求一次函数的表达式；

(2)根据图象直接写出使kx ＋b <6

x 成立的x 的取值范围；

(3)求△AOB 的面积．

2．如图，点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，点D 在第一象限内，DC ⊥x 轴于点C ，AO ＝CD ＝2，AB ＝DA ＝5，反比例函数y ＝k

x

(k ＞0)的图象过CD 的中点E .

(1)求证：△AOB ≌△DCA ； (2)求k 的值；

(3)△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称，其中点F 在y 轴上，试判断点G 是否在反比例函数的图象上，并说明理由．

反比例函数与四边形的综合

类型1 反比例函数与平行四边形的综合

3．如图，过反比例函数y ＝6x (x ＞0)的图象上一点A 作x 轴的平行线，交双曲线y ＝－

3

x (x ＜0)于点B ，过B 作BC ∥OA 交双曲线y ＝－3

x (x ＜0)于点D ，交x 轴于点C ，连接AD 交y

轴于点E ，若OC ＝3，求OE 的长．

4．【2015·烟台】如图，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别是(4，0)和(0，2)，反比例函数y ＝k

x

(x >0)的

图象过对角线的交点P 并且与AB ，BC 分别交于D ，E 两点，连接OD ，OE ，DE ，则△ODE 的面积为________．

5．【2015·德州】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线OB ，AC 相交于点D ，且BE ∥AC ，AE ∥OB .

(1)求证：四边形AEBD 是菱形；

(2)如果OA ＝3，OC ＝2，求出经过点E 的双曲线对应的函数表达式．

6．【2015·武威】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合，点B 在y 轴的正半轴上，点A 在反比例函数y ＝k

x (k >0，x >0)的图象上，点D 的坐标为(4，

3)．

(1)求k 的值；

(2)若将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移，当菱形的顶点D 落在反比例函数y ＝k

x (k >0，x >0)

的图象上时，求菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离．

类型4 反比例函数与正方形的综合

7．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标为(2，2)，反比例函数y ＝k

x (x ＞0，k ≠0)的图象经过线段BC 的

中点D .

(1)求k 的值；

(2)若点P (x ，y )在该反比例函数的图象上运动(不与点D 重合)，过点P 作PR ⊥y 轴于点R ，作PQ ⊥BC 所在直线于点Q ，记四边形CQPR 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式并写出x 的取值范围．

反比例函数与圆的综合

8．如图，双曲线y ＝k

x (k >0)与圆O 在第一象限内交于P ，Q 两点，分别过P ，Q 两点向

x 轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为________．

9．如图，反比例函数y ＝k

x (k ＜0)的图象与圆O 相交．某同学在圆O 内做随机扎针试

验，求针头落在阴影区域内的概率．

参考答案

1．解：(1)∵A (m ，6)，B (3，n )两点在反比例函数y ＝6

x (x >0)的图象上，

∴m ＝1，n ＝2，即 A (1，6)，B (3，2)．

又∵A (1，6)，B (3，2)在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，

∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k ＋b ，2＝3k ＋b ，解得⎩

⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝8， 即一次函数表达式为y ＝－2x ＋8.

(2)根据图象可知使kx ＋b <6

x

成立的x 的取值范围是03.

(3)如图，分别过点A ，B 作AE ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，垂足分别为E ，C ，设直线AB 交x 轴于D 点．

令－2x ＋8＝0，得x ＝4，即D (4，0)．∴OD ＝4. ∵A (1，6)，B (3，2)，∴AE ＝6，BC ＝2. ∴S △AOB ＝S △AOD －S △ODB ＝12×4×6－1

2

×4×2＝8.

2．(1)证明：∵点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，点D 在第一象限内，DC ⊥x 轴于点C ，∴∠AOB ＝∠DCA ＝90°.

在Rt △AOB 和Rt △DCA 中，

∵⎩

⎪⎨⎪⎧AO ＝DC ，

AB ＝DA ， ∴Rt △AOB ≌Rt △DCA .

(2)解：在Rt △ACD 中，∵CD ＝2，DA ＝5，∴AC ＝DA 2－CD 2＝1. ∴OC ＝OA ＋AC ＝2＋1＝3. ∴D 点坐标为(3，2)． ∵点E 为CD 的中点， ∴点E 的坐标为(3，1)． ∴k ＝3×1＝3.

(3)解：点G 在反比例函数的图象上．