2014年上海财经大学自主招生(数学)模拟测试题

an } 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求 a1 应满足的条件． n
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2014 年财大自主招生模拟卷 25、 （18 分）我们知道，直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的 位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题. (1)设 F1、F2 是椭圆 M :
17、在极坐标系中，圆 C : 2 k 2 cos sin k 0, 关于直线 l : （ ） B． k 1 C． k 1 D． k 0

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( R) 对称的充要条件是
A． k 1
18、设非空集合 S x m x l 满足：当 x S时，有x 2 S ，给出如下三个命题： ①若 m 1, 则S 1 ；②若 m 其中正确的命题的个数为（ A．0 个 19、若 a, b R ，那么 B．1 个 ） C．2 个 ） ． D．3 个
_______________． 13、函数 f（x）=x 2 + ( x 2 ) 2 ( x 2 17 ) 2 的最小值为____________. 14 、 已 知 角 的 顶 点 在 原 点 ， 始 边 与 x 轴 的 正 半 轴 重 合 ， 终 边 经 过 点 P ( 3, 3) . 若 函 数
x2 y2 1 的两个焦点，点 F1、F2 到直线 L : 2 x y 5 0 的距离分别 25 9
为 d1、d2，试求 d1·d2 的值，并判断直线 L 与椭圆 M 的位置关系； (2)设 F1、F2 是椭圆 M :
x2 y 2 1(a b 0) 的两个焦点，点 F1、F2 到直线 L : mx ny p 0 a 2 b2
（m、n 不同时为 0）的距离分别为 d1、d2，且直线 L 与椭圆 M 相切，试求 d1·d2 的值； (3)试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。
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M
B1
A C
B
24、 （18 分）已知数列 {a n } ， {bn } 满足 bn a n 1 a n ，其中 n 1, 2,3, ． (1)若 a1 1, bn n ，求数列 {a n } 的通项公式； (2)若 bn 1bn 1 bn (n 2) ，且 b1 1, b2 2 ． ①记 c n a 6 n 1 ( n 1) ，求证：数列 {c n } 为等差数列； ②若数列 {

*
个整点，则称函数 y f x 为 n 阶整点函数．有下列函数：
3 ② g x x ；
① f x sin 2 x ；
1 ③ h x ； 3
D． 4
x
④ x ln x ，
其中是一阶整点函数的个数为（ A． 1 B． 2
） C． 3
2014 年财大自主招生模拟卷
2014 年财大自主招生模拟 数学
（本试卷共 25 道试题，满分 200 分，考试时间 120 分钟） 一、填空题（本大题满分 84 分，共 14 小题，每小题 6 分）
1 ,1 n 100 n a n _______________． a 1、若数列 n 的通项公式为 a n ，则 lim n 1 n , n 101 2n 3
13 ． 4
开始
1i
Ti<15
是
输出 Ti
否
i 1 i i 100
否
3
是
结束
2014 年财大自主招生模拟卷 23、 （16 分）如图，直三棱柱 ABC A1 B1C1 中， BAC 90 0 ， AA1 AB AC 1 ． （1）设 M 是棱 BB1 的中点，求 C 到平面 MAC1 的距离； （2）若 M 是棱 BB1 上的任意一点（包括端点） ，求二面角 M AC1 A1 的大小的取值范围． A1 C1


Q {1, 2, 6} ，则 P Q 中元素的个数为（
A．9 B．8 C．7
） D．6
l2 : x 2 y 2 平行的概率为 P 16、 将一颗骰子掷两次分别得到点数 a、b ， 设两条直线 l1: ax by 2 ， 1，
相交的概率为 P2 ，则复数 P 1P 2i 所对应的点 P 与直线 l2 : x 2 y 2 的位置关系是（ A． P 在直线 l2 的右下方 C． P 在直线 l2 的右上方 B． P 在直线 l2 的左下方 D． P 在直线 l2 的左上方 ）
的焦点而是经过 x 轴上另外一个定点 P( x 0 ,0) ( x 0 0 ) ，并且保证直线与抛物线有两个公共 点，那么 y 1 y 2 是否还是定值吗？请作出肯定或否定的回答，并且写出 y 1 y 2 的表达式______．
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2014 年财大自主招生模拟卷
2 2 12 、若关于 x 的方程 x 1 x kx 0 在 (0,2) 上有两个不同的实数解 , 则实数 k 的取值范围
2π f ( x ) cos( x ) cos sin( x ) sin ，求函数 y 3 f ( 2 x) 2 f 2 ( x) 在区间 0， 上的取 3 2
值范围_____
二、选择题（本大题满分 36 分，分 6 小题，每小题 6 分） 15 、 设 P, Q 为 两 个 非 空 实 数 集 合 ， 定 义 集 合 P Q a b a P, b Q ， 若 P {0, 2, 5} ，

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1 1 1 2 , 则 l 1; ③若 l , 则 m0． 2 4 2 2
1 1 成立的一个充分非必要条件是（ a b
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2014 年财大自主招生模拟卷 A． a b B． aba b 0 C． a b 0 D． a b
20、在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数 y f x 的图像上有且 仅有 n n N
m 1
1 x m 1 至多有一组解，则实数 m 的取值范围 m y 2m
A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 两点，则 y 1 y 2 p 2 ”为真命题，如果直线 l 不是经过抛物线 y 2 2 px (p 0)
4、过点 ( 3,1) 作曲线 x2 4x y 2 4 y 2 0 的切线,则所作切线的方程为_______________． 5、在 ABC 中,角 A , B , C 所对应的边分别为 a , b , c , c 3, a 2 , a 2b sin A ,则 ABC 的面积为_________． 6、方程 4lg x 2lg x 2 0 的解是_______________． 7、设等差数列 a n 的首项为 a 1 ,公差为 d 前 n 项和为 S n ,若 S 10 S 20 ,则 S 30 的值为________． 8、复数 z 0 满足 z 0 5 i 1 z 0 i (i 为虚数单位),则 z 0 = _______________． 9、抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1，2，3，4 的正四面体，其底面落于桌面， x 记所得的数字分别为 x，y，则 y 为整数的概率是_______________． 10、若关于 x, y 的二元一次方程组 是_______________． 11、在平面直角坐标系中，命题“若直线 l 过抛物线 y2 2px (p 0) 的焦点，且与抛物线相交于
2、若函数 f ( x) arcsin x ( 1 x 1) ,则 f 1 ( ) _______________． 6
x4 0 ,集合 B= y y log1 x, x 2, ,则 A B _______________． 3、若集合 A= x x2 2
三、解答题（本大题共 80 分） B 1） C 21、 （14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知 ΔABC 的三个顶点坐标分别为 A （1.0） ， （0， ， （1+cosα， 1+sinα） ，常数 α （0.2 ]，求 ΔABC 面积的最大值及此时 α 的值。
22、 （满分 14 分）本题共有 3 小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分． 把公差为 2 的等差数列 {a n } 的各项依次插入等比数列 {bn } 中，将 {bn } 按原顺序分成 1 项、2 项、4 项、……、 2 n 1 项的各组，得到数列 {cn } ： b1 , a1 , b2 , b3 , a 2 , b4 , b5 , b6 , b7 , a3 ，……，记数列 {cn } 的前 n 项和为 S n ．若 c1 1 ， c 2 2 ， S 3 （1）求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式； （2）求数列 {cn } 的前 100 项和 S100 ； （3）设 Tn 2009 bn an ，阅读框图写出输出项，说明理由．