2016年合肥168中学自主招生数学试题及答案
安徽省合肥168中2015-2016学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析
2015-2016学年安徽省合肥168中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是（）A．a=3 B．a=﹣3 C．a=±3D．a=5或a=±32．函数的定义域为（）A．B．C．D．（，1）3．若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C．（4，+∞）D．（0，4）4．设a=0.5，b=0.8，c=log20.5，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c5．为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度6．给出下列各函数值：①sin100°；②cos（﹣100°）；③tan（﹣100°）；④．其中符号为负的是（）A．①B．②C．③D．④7．设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．8．已知，则tan2α=（）A．B．C．D．9．设0＜a＜1，实数x，y满足，则y关于x的函数的图象形状大致是（）A．B． C．D．10．若函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f （x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，）B．（﹣，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣）11．已知函数，函数，其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．B．C．D．12．设向量，满足：||=3，||=4，=0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM，其中正确的是（把所有正确的序号都填上）．14．设函数，若用表示不超过实数m的最大整数，则函数的值域为．15．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||=2，则= ．16．设函数f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=x﹣a．若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（本题共8小题）17．已知，且．（1）求sinα，cosα的值；（2）若，求sinβ的值．18．已知函数的图象在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（π，2）和（4π，﹣2）．（1）试求f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．写出函数y=g（x）的解析式．19．如图在长方形ABCD中，是CD的中点，M是线段AB上的点，．（1）若M是AB的中点，求证：与共线；（2）在线段AB上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M 点的位置；（3）若动点P在长方形ABCD上运动，试求的最大值及取得最大值时P点的位置．20．已知：函数f（x）=log2，g（x）=2ax+1﹣a，又h（x）=f（x）+g（x）．（1）当a=1时，求证：h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h（x）有两个零点；（2）若关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根，求a的取值范围．21．设f（x）=x2﹣ax+2．当x∈，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．2015-2016学年安徽省合肥168中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是（）A．a=3 B．a=﹣3 C．a=±3D．a=5或a=±3【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由已知得到2a﹣1=9或a2=9，求出a后分别验证得答案．【解答】解：∵A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，∴2a﹣1=9或a2=9，当2a﹣1=9时，a=5，A∩B={4，9}，不符合题意；当a2=9时，a=±3，若a=3，集合B违背互异性；∴a=﹣3．故选：B．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础题．2．函数的定义域为（）A．B．C．D．（，1）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，求解对数不等式得答案．【解答】解：要使原函数有意义，则log2（4x﹣1）＞0，即4x﹣1＞1，得x．∴函数的定义域为．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．3．若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C．（4，+∞）D．（0，4）【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】令f（x）=x2﹣mx+3，若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则f （1）＜0，解得答案．【解答】解：令f（x）=x2﹣mx+3，若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则f（1）=1﹣m+3＜0，解得：m∈（4，+∞），故选：C．【点评】本题考查的知识点是方程的根与函数零点的关系，二次函数的图象和性质，难度中档．4．设a=0.5，b=0.8，c=log20.5，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】要比较三个数字的大小，可将a，b，c与中间值0，1进行比较，从而确定大小关系．【解答】解：∵a=0.5，b=0.8，∴0＜a＜b，∵c=log20.5＜0，∴c＜a＜b，故选B．【点评】本题主要考查了对数值、指数值大小的比较，常常与中间值进行比较，属于基础题．5．为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把函数y=sin3x的图象向右平移个单位长度，可得y=sin3（x﹣）=sin（3x ﹣）的图象，故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6．给出下列各函数值：①sin100°；②cos（﹣100°）；③tan（﹣100°）；④．其中符号为负的是（）A．①B．②C．③D．④【考点】三角函数值的符号．【专题】计算题；函数思想；定义法；三角函数的求值．【分析】分别判断每个角对应的象限，即可判断每个函数值的符号．【解答】解：：①sin100°＞0，②cos（﹣100°）=cos100°＜0，③tan（﹣100°）=﹣tan100＞0，④∵sin＞0，cosπ=﹣1，tan＜0，∴＞0，其中符号为负的是②，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断，判断角所在的象限是解决本题的关键，比较基础．7．设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．【解答】解：由已知得到如图由===；故选：A．【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．8．已知，则tan2α=（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】二倍角的正切；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】由题意结合sin 2α+cos 2α=1可解得sin α，和cos α，进而可得tan α，再代入二倍角的正切公式可得答案．【解答】解：∵，又sin 2α+cos 2α=1，联立解得，或故tan α==，或tan α=3，代入可得tan2α===﹣，或tan2α===故选C【点评】本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．9．设0＜a ＜1，实数x ，y 满足，则y 关于x 的函数的图象形状大致是（ ）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】函数y=，显然y在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），从而得出结论．【解答】解：0＜a＜1，实数x，y满足，即y=，故函数y为偶函数，它的图象关于y轴对称，在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），故选：A．【点评】本题主要指数式与对数式的互化，函数的奇偶性、单调性以及特殊点，属于中档题．10．若函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f （x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，）B．（﹣，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣）【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】先求出2x2+x，（0，）的范围，再由条件f（x）＞0判断出a的范围，再根据复合函数“同增异减”原则求f（x）单调区间．【解答】解：当x∈（0，）时，2x2+x∈（0，1），∴0＜a＜1，∵函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=log a t和t=2x2+x复合而成，0＜a＜1时，f（x）=log a t在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间．t=2x2+x＞0的单调递减区间为（﹣∞，﹣），∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣），故选：D．【点评】本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数大于0条件．11．已知函数，函数，其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x），由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当=时，h（x）=，有两个交点，当=2时，h（x）=，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=恰有4个根，则满足＜＜2，解得：b∈（，4），故选：D．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．12．设向量，满足：||=3，||=4，=0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】直线与圆相交的性质；向量的模；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】先根据题设条件判断三角形为直角三角形，根据三边长求得内切圆的半径，进而看半径为1的圆内切于三角形时有三个公共点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，进而可得出答案．【解答】解：∵向量ab=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．故选B【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．可采用数形结合结合的方法较为直观．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM，其中正确的是②（把所有正确的序号都填上）．【考点】三角函数线．【专题】综合题．【分析】作出角的三角函数线图象，由图象进行判断，即可得到OM，0，MP之间的大小关系．【解答】解：由MP，OM分别为角的正弦线、余弦线，如图，∵，∴OM＜0＜MP．故答案为：②．【点评】本题的考点是三角函数线，考查用作图的方法比较三角函数的大小，本题是直接比较三角函数线的大小，在大多数此种类型的题中都是用三角函数线比较三个函数值的大小．14．设函数，若用表示不超过实数m的最大整数，则函数的值域为{0，1} ．【考点】函数的值域．【专题】计算题；新定义；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】化简=[﹣]+[+]，从而分类讨论以确定函数的值，从而解得．【解答】解：=[﹣]+[+]=[﹣]+[+]，∵0＜＜1，∴﹣＜﹣＜，＜+＜，①当0＜＜时，0＜﹣＜，＜+＜1，故y=0；②当=时，﹣=0， +=1，故y=1；③＜＜1时，﹣＜﹣＜0，1＜+＜，故y=﹣1+1=0；故函数的值域为{0，1}．故答案为：{0，1}．【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用．15．在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||=2，则= （﹣，）．【考点】线段的定比分点．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题考查的知识点是线段的定比分点，处理的方法是，根据三角形内角平分线定理，求出OC所在直线分有线向量AB所成的比．然后代入定比分点公式求出OC与AB的交点坐标，再根据向量的模求出答案．【解答】解：∵，，设OC与AB交于D（x，y）点则：AD：BD=1：5即D分有向线段AB所成的比为则解得：∴又∵||=2∴=（﹣，）故答案为：（﹣，）【点评】如果已知，有向线段A（x1，y1），B（x2，y2）．及点C分线段AB所成的比，求分点C的坐标，可将A，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式进行求解．16．设函数f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=x﹣a．若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是．【考点】一元二次不等式的应用．【专题】计算题．【分析】当x＞a时，g（x）＞0恒成立，显然不存在x0∈（a，+∞），使得f（x0）＜0与g （x0）＜0同时成立，当x≤a时，则需f（x）≥0在（﹣∞，a]上恒成立，只需f（x）在（﹣∞，a]上的最小值大于或等于零即可，利用二次函数的图象性质求最小值并解不等式即可得a 的取值范围【解答】解：①若x≤a，则g（x）≤0，此时若不存在x0∈（﹣∞，a]，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，需f（x）≥0在（﹣∞，a]上恒成立，即x2﹣ax+a+3≥0在（﹣∞，a]上恒成立，需或，即或解得：﹣3≤a≤6②若x＞a，则g（x）＞0恒成立，显然不存在x0∈（a，+∞），使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，此时a∈R综上所述，若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，实数a的取值范围是故答案为【点评】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，不等式恒成立和能成立问题的解法，分类讨论的思想方法和转化化归的思想方法三、解答题（本题共8小题）17．已知，且．（1）求sinα，cosα的值；（2）若，求sinβ的值．【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简求出sinα，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值；（2）由α与β的范围，求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，将sinβ变形为sin，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）将sin+cos=两边平方得：（sin+cos）2=sin2+2sin cos+cos2=1+sinα=，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣；（2）∵α∈（，π），β∈（0，），∴α+β∈（，），∵sin（α+β）=﹣＜0，∴α+β∈（π，），∴cos（α+β）=﹣=﹣，则sinβ=sin=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×（﹣）﹣（﹣）×=+=．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．18．已知函数的图象在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（π，2）和（4π，﹣2）．（1）试求f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．写出函数y=g（x）的解析式．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）依题意，可求得A，由T=6π可求ω，函数图象过（π，2）可求φ；（2）根据函数图象的周期变换及平移变换法则，结合（1）中函数的解析式，即可求出函数y=g（x）的解析式．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由题意知：A=2，…∵T=6π，∴=6π得ω=，…∴f（x）=2sin（x+φ），∵函数图象过（π，2），∴sin（+φ）=1，∵﹣＜φ+＜，∴φ+=，得φ=…∴A=2，ω=，φ=，∴f（x）=2sin（x+）．…（2）∵将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得函数y=2sin（x+）的图象，然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数g（x）=2sin[（x﹣）+]=2sin（﹣）的图象．故y=g（x）的解析式为：g（x）=2sin（﹣）．…【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，其中根据已知求出函数的最值，周期，向左平移量，特殊点等，进而求出A，ω，φ值，得到函数的解析式是解答本题的关键．19．如图在长方形ABCD中，是CD的中点，M是线段AB上的点，．（1）若M是AB的中点，求证：与共线；（2）在线段AB上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M 点的位置；（3）若动点P在长方形ABCD上运动，试求的最大值及取得最大值时P点的位置．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）建立如图所示平面直角坐标系，得到与的坐标，由共线向量基本定理得答案；（2）假设存在M，设出M的坐标，由数量积运算求得M的坐标；（3）直接利用向量在向量方向上的投影结合图形得答案．【解答】（1）证明：如图，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，当M是AB的中点时，A（0，0），N（1，1），C（2，1），M（1，0），，由，可得与共线；（2）解：假设线段AB上是否存在点M，使得与垂直，设M（t，0）（0≤t≤2），则B（2，0），D（0，1），M（t，0），，由=﹣2（t﹣2）﹣1=0，解得t=，∴线段AB上存在点，使得与垂直；（3）解：由图看出，当P在线段BC上时，在上的投影最大，则有最大值为4．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．20．已知：函数f（x）=log2，g（x）=2ax+1﹣a，又h（x）=f（x）+g（x）．（1）当a=1时，求证：h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h（x）有两个零点；（2）若关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根，求a的取值范围．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】（1）利用复合数的单调性证明函数的单调性，利用函数零点的判定定理求函数的零点；（2）化简关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根为1﹣=2ax+1﹣a在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上有两个不相等实数根；从而求解．【解答】解：（1）证明：h（x）=f（x）+g（x）=log2+2x，=log2（1﹣）+2x；∵y=1﹣在（1，+∞）上是增函数，故y=log2（1﹣）在（1，+∞）上是增函数；又∵y=2x在（1，+∞）上是增函数；∴h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增；同理可证，h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；而h（1.1）=﹣log221+2.2＜0，h（2）=﹣log23+4＞0；故h（x）在（1，+∞）上有且仅有一个零点，同理可证h（x）在（﹣∞，﹣1）上有且仅有一个零点，故函数h（x）有两个零点；（2）由题意，关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根可化为1﹣=2ax+1﹣a在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上有两个不相等实数根；故a=；结合函数a=的图象可得，＜a＜0；即﹣1＜a＜0．【点评】本题考查了复合函数的单调性的证明与函数零点的判断，属于中档题．21．设f（x）=x2﹣ax+2．当x∈，则t=，∴对称轴m=∈（0，]，且开口向下；∴时，t取得最小值，此时x=9∴税率t的最小值为．【点评】此题是个指数函数的综合题，但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最值的知识．考查的知识全面而到位！23．（2015秋合肥校级期末）（全省班做）《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率（%）不超过1500元的部分 3超过1500元至4500元的部分10超过4500元至9000元的部分20某人一月份的工资为8660元，那么他当月应缴纳的个人所得税是多少元？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用税款分段累计，即可得出结论．【解答】解：由题意，某人一月份的工资为8660元，那么他当月应缴纳的个人所得税是1500×3%+3000×10%+（8660﹣4500）×20%=1177元【点评】正确理解题意是本题的一个难点，能根据题目条件判断利用哪一段来求自变量的值，进而解决实际问题．24．已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a∈，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f（x）的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围；（3）根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论．【解答】解：（1）函数y=f（x）为奇函数．当a=0时，f（x）=x|x|+2x，∴f（﹣x）=﹣x|x|﹣2x=﹣f（x），∴函数y=f（x）为奇函数；（2）f（x）=，当x≥2a时，f（x）的对称轴为：x=a﹣1；当x＜2a时，y=f（x）的对称轴为：x=a+1；∴当a﹣1≤2a≤a+1时，f（x）在R上是增函数，即﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数；（3）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．①当﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数，∴关于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有三个不相等的实数根；…②当a＞1时，即2a＞a+1＞a﹣1，∴f（x）在（﹣∞，a+1）上单调增，在（a+1，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增，∴当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；即4a＜t4a＜（a+1）2，∵a＞1，∴．设，∵存在a∈，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜h（a）max，又可证在（1，2]上单调增∴＜h（a）max=，∴1＜t＜③当a＜﹣1时，即2a＜a﹣1＜a+1，∴f（x）在（﹣∞，2a）上单调增，在（2a，a﹣1）上单调减，在（a﹣1，+∞）上单调增，∴当f（a﹣1）＜tf（2a）＜f（2a）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；即﹣（a﹣1）2＜t4a＜4a，∵a＜﹣1，∴，设，∵存在a∈，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜g（a）max，又可证在[﹣2，﹣1）上单调减，∴g（a）max=，∴1＜t＜；综上：1＜t＜．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数单调性的应用，综合考查分段函数的应用，综合性较强，运算量较大．。
2010年-2017年合肥168中学自主招生数学试题
2010数 学 试 题【卷首语】亲爱的同学们，欢迎参加一六八中学自主招生测试，希望你们凝神静气，考出水平！开放的一六八中学热忱欢迎你们！本学科满分为120分，共17题；建议用时90分钟。
得 分 评卷人一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、计算28-= .2、分解因式：)1()1(---y y x x = .3、函数114-+-=x x y 中，自变量x 的取值范围是 . 4、已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为1，则数据10x 1＋5，10x 2＋5，…，10x n ＋5的方差为 . 5、函数x x y 322+--=的图像和坐标轴的三个交点分别为（a , 0）(b , 0)（0, c )，则a+b+c 的值等于 .6、在同一平面上，⊙1O 、⊙2O 的半径分别为2和1，1O 2O ＝5，则半径为9且和⊙1O 、⊙2O 都相切的圆有 个．7、一个直角三角形斜边上的两个三等分点和直角顶点的两条连线段长分别为3 cm 和4 cm ，则斜边长为 cm . 8、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：则第10个图案中有白色地面砖 块.9、将函数2x y =的图像平移，使平移后的图像过C （0，-2），交x 轴于A 、B 两点，并且△ABC的面积等于4，则平移后的图像顶点坐标是 .10、如图，平行四边形ABCD 中，P 点是形内一点，且△PAB 的面积等于8 cm 2，△PAD 的面积等于7 cm 2，，△PCB 的面积等于12 cm 2，则△PCD 的面积是 cm 2.（第10题图）（第11题图） 11、一个由若干个相同大小的小正方体组成的几何组合体，其主视图和左视图均为如图所示的3 × 3的方格，问该几何组合体至少需要的小正方体个数是 .12、正△ABC 内接于⊙O ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，延长DE 交⊙O 和F , 连接BF 交AC于点P ,则=PAPC. 得 分 评卷人二、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）13、已知（a+b ）：(b +c )：(c +a )=7：14：9求：① a ：b ：c② bcc aba +-2214、一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上同时同向行驶,客车在前,小轿车在后,货车在客车和小轿车之间，走了1分钟,小轿车追上了货车;又走了6分钟,小轿车追上了客车.再过8分钟,货车追上了客车.设出发时客车和货车的距离为a ，货车和小轿车的距离为b ,求a : b 的值15、在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5厘米，BC ＝a 厘米，AC ＝b 厘米，a ＞b ，且a 、b 是方程2(1)40x m x m --++=的两根，⑴求a 和b 的值；⑵△A'B'C'和△ABC 开始时完全重合，然后让△ABC 固定不动，将△A 'B 'C'以1厘米/秒的速度沿BC 所在的直线向左移动.ⅰ)设x 秒时△A 'B 'C'和△ABC 的重叠部分的面积为y 平方厘米（y ＞0），求y 和x 之间的函数关系式,并写出x 的取值范围； ⅱ)几秒时重叠部分的面积等于38平方厘米？ 16、已知A （5，0），点B 在第一象限内，并且AB 和直线l :x y 43=平行，AB 长为8. （1）求点B 的坐标. （2）点P 是直线l :x y 43=上的动点，求△PAB 内切圆的最大面积.17、已知半径为r 的⊙1O 和半径为R 的⊙2O外离，直线DE 经过1O 切⊙2O 于点E 并交⊙1O 于点A 和点D , 直线CF 经过2O 切⊙1O F 并交⊙2O 于点B 和点C , 连接AB 、CD , （1）[以下ⅰ）、ⅱ）两小题任选一题] ⅰ) 求四边形ABCD 的面积ⅱ) 求证：A 、B 、E 、F （2）求证：AB //DCAB C M A'B'C'A (5,0)BxOy l :x y 43=2013年合肥一六八中学自主招生测试数学试卷答案1. C。
2015-2016学年安徽省合肥168中高一(上)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年安徽省合肥168中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5.00分）已知A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是（）A．a=3 B．a=﹣3 C．a=±3 D．a=5或a=±32．（5.00分）函数的定义域为（）A． B．C．D．（，1）3．（5.00分）若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2） C．（4，+∞）D．（0，4）4．（5.00分）设a=0.5，b=0.8，c=log20.5，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c5．（5.00分）为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度6．（5.00分）给出下列各函数值：①sin100°；②cos（﹣100°）；③tan（﹣100°）；④．其中符号为负的是（）A．①B．②C．③D．④7．（5.00分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．8．（5.00分）已知，则tan2α=（）A．B．C．D．9．（5.00分）设0＜a＜1，实数x，y满足，则y关于x的函数的图象形状大致是（）A．B．C．D．10．（5.00分）若函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，） B．（﹣，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣）11．（5.00分）已知函数，函数，其中b ∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．B． C． D．12．（5.00分）设向量，满足：||=3，||=4，•=0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM，其中正确的是（把所有正确的序号都填上）．14．（5.00分）设函数，若用[m]表示不超过实数m的最大整数，则函数的值域为．15．（5.00分）在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||=2，则=．16．（5.00分）设函数f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=x﹣a．若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（本题共8小题）17．（10.00分）已知，且．（1）求sinα，cosα的值；（2）若，求sinβ的值．18．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（π，2）和（4π，﹣2）．（1）试求f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向x轴正方向平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．写出函数y=g（x）的解析式．19．（12.00分）如图在长方形ABCD中，是CD的中点，M是线段AB上的点，．（1）若M是AB的中点，求证：与共线；（2）在线段AB上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点的位置；（3）若动点P在长方形ABCD上运动，试求的最大值及取得最大值时P点的位置．20．（12.00分）已知：函数f（x）=log2，g（x）=2ax+1﹣a，又h（x）=f（x）+g（x）．（1）当a=1时，求证：h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h（x）有两个零点；（2）若关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根，求a的取值范围．21．设f（x）=x2﹣ax+2．当x∈[1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．22．（12.00分）我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P的关系允许近似的满足：（其中t为关税的税率，且）．（x为市场价格，b、k为正常数），当t=时的市场供应量曲线如图（1）根据图象求k、b的值；（2）若市场需求量为Q，它近似满足．当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值．23．（全省班做）《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累计计算：某人一月份的工资为8660元，那么他当月应缴纳的个人所得税是多少元？24．（12.00分）已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．2015-2016学年安徽省合肥168中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5.00分）已知A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是（）A．a=3 B．a=﹣3 C．a=±3 D．a=5或a=±3【解答】解：∵A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，∴2a﹣1=9或a2=9，当2a﹣1=9时，a=5，A∩B={4，9}，不符合题意；当a2=9时，a=±3，若a=3，集合B违背互异性；∴a=﹣3．故选：B．2．（5.00分）函数的定义域为（）A． B．C．D．（，1）【解答】解：要使原函数有意义，则log2（4x﹣1）＞0，即4x﹣1＞1，得x．∴函数的定义域为．故选：C．3．（5.00分）若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2） C．（4，+∞）D．（0，4）【解答】解：令f（x）=x2﹣mx+3，若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则f（1）=1﹣m+3＜0，解得：m∈（4，+∞），故选：C．4．（5.00分）设a=0.5，b=0.8，c=log20.5，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c【解答】解：∵a=0.5，b=0.8，∴0＜a＜b，∵c=log20.5＜0，∴c＜a＜b，故选：B．5．（5.00分）为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：把函数y=sin3x的图象向右平移个单位长度，可得y=sin3（x﹣）=sin（3x﹣）的图象，故选：A．6．（5.00分）给出下列各函数值：①sin100°；②cos（﹣100°）；③tan（﹣100°）；④．其中符号为负的是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：：①sin100°＞0，②cos（﹣100°）=cos100°＜0，③tan（﹣100°）=﹣tan100＞0，④∵sin＞0，cosπ=﹣1，tan＜0，∴＞0，其中符号为负的是②，故选：B．7．（5.00分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【解答】解：由已知得到如图由===；故选：A．8．（5.00分）已知，则tan2α=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，又sin2α+cos2α=1，联立解得，或故tanα==，或tanα=3，代入可得tan2α===﹣，或tan2α===故选：C．9．（5.00分）设0＜a＜1，实数x，y满足，则y关于x的函数的图象形状大致是（）A．B．C．D．【解答】解：0＜a＜1，实数x，y满足，即y=，故函数y为偶函数，它的图象关于y轴对称，在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），故选：A．10．（5.00分）若函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，） B．（﹣，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣）【解答】解：当x∈（0，）时，2x2+x∈（0，1），∴0＜a＜1，∵函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=log a t和t=2x2+x复合而成，0＜a＜1时，f（x）=log a t在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间．t=2x2+x＞0的单调递减区间为（﹣∞，﹣），∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣），故选：D．11．（5.00分）已知函数，函数，其中b ∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．B． C． D．【解答】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x），由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当=时，h（x）=，有两个交点，当=2时，h（x）=，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=恰有4个根，则满足＜＜2，解得：b∈（，4），故选：D．12．（5.00分）设向量，满足：||=3，||=4，•=0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵向量a•b=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．故选：B．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM，其中正确的是②（把所有正确的序号都填上）．【解答】解：由MP，OM分别为角的正弦线、余弦线，如图，∵，∴OM＜0＜MP．故答案为：②．14．（5.00分）设函数，若用[m]表示不超过实数m的最大整数，则函数的值域为{0，1} ．【解答】解：=[﹣]+[+]=[﹣]+[+]，∵0＜＜1，∴﹣＜﹣＜，＜+＜，①当0＜＜时，0＜﹣＜，＜+＜1，故y=0；②当=时，﹣=0，+=1，故y=1；③＜＜1时，﹣＜﹣＜0，1＜+＜，故y=﹣1+1=0；故函数的值域为{0，1}．故答案为：{0，1}．15．（5.00分）在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||=2，则=（﹣，）．【解答】解：∵，，设OC与AB交于D（x，y）点则：AD：BD=1：5即D分有向线段AB所成的比为则解得：∴又∵||=2∴=（﹣，）故答案为：（﹣，）16．（5.00分）设函数f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=x﹣a．若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是[﹣3，6] ．【解答】解：①若x≤a，则g（x）≤0，此时若不存在x0∈（﹣∞，a]，使得f （x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，需f（x）≥0在（﹣∞，a]上恒成立，即x2﹣ax+a+3≥0在（﹣∞，a]上恒成立，需或，即或解得：﹣3≤a≤6②若x＞a，则g（x）＞0恒成立，显然不存在x0∈（a，+∞），使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，此时a∈R综上所述，若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，实数a的取值范围是[﹣3，6]故答案为[﹣3，6]三、解答题（本题共8小题）17．（10.00分）已知，且．（1）求sinα，cosα的值；（2）若，求sinβ的值．【解答】解：（1）将sin+cos=两边平方得：（sin+cos）2=sin2+2sin cos+cos2=1+sinα=，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣；（2）∵α∈（，π），β∈（0，），∴α+β∈（，），∵sin（α+β）=﹣＜0，∴α+β∈（π，），∴cos（α+β）=﹣=﹣，则sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×（﹣）﹣（﹣）×=+=．18．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（π，2）和（4π，﹣2）．（1）试求f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向x轴正方向平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．写出函数y=g（x）的解析式．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由题意知：A=2，…（1分）∵T=6π，∴=6π得ω=，…（3分）∴f（x）=2sin（x+φ），∵函数图象过（π，2），∴sin（+φ）=1，∵﹣＜φ+＜，∴φ+=，得φ=…（5分）∴A=2，ω=，φ=，∴f（x）=2sin（x+）．…（6分）（2）∵将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得函数y=2sin（x+）的图象，然后再将新的图象向x轴正方向平移个单位，得到函数g（x）=2sin[（x﹣）+]=2sin（﹣）的图象．故y=g（x）的解析式为：g（x）=2sin（﹣）．…（12分）19．（12.00分）如图在长方形ABCD中，是CD的中点，M是线段AB上的点，．（1）若M是AB的中点，求证：与共线；（2）在线段AB上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点的位置；（3）若动点P在长方形ABCD上运动，试求的最大值及取得最大值时P 点的位置．【解答】（1）证明：如图以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，当M是AB的中点时，A（0，0），N（1，1），C（2，1），M（1，0），，由，可得与共线；（2）解：假设线段AB上是否存在点M，使得与垂直，设M（t，0）（0≤t≤2），则B（2，0），D（0，1），M（t，0），，由=﹣2（t﹣2）﹣1=0，解得t=，∴线段AB上存在点，使得与垂直；（3）解：由图看出，当P在线段BC上时，在上的投影最大，则有最大值为4．20．（12.00分）已知：函数f（x）=log2，g（x）=2ax+1﹣a，又h（x）=f（x）+g（x）．（1）当a=1时，求证：h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h（x）有两个零点；（2）若关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根，求a的取值范围．【解答】解：（1）证明：h（x）=f（x）+g（x）=log2+2x，=log2（1﹣）+2x；∵y=1﹣在（1，+∞）上是增函数，故y=log2（1﹣）在（1，+∞）上是增函数；又∵y=2x在（1，+∞）上是增函数；∴h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增；同理可证，h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；而h（1.1）=﹣log221+2.2＜0，h（2）=﹣log23+4＞0；故h（x）在（1，+∞）上有且仅有一个零点，同理可证h（x）在（﹣∞，﹣1）上有且仅有一个零点，故函数h（x）有两个零点；（2）由题意，关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根可化为1﹣=2ax+1﹣a在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上有两个不相等实数根；故a=；结合函数a=的图象可得，＜a＜0；即﹣1＜a＜0．21．设f（x）=x2﹣ax+2．当x∈[1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：由f（x）≥0得f（x）=x2﹣ax+2≥0，即ax≤2+x2，∵x∈[1，+∞），∴a≤=x+，∵x+，当x=，即x=取等号，∴．22．（12.00分）我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P的关系允许近似的满足：（其中t为关税的税率，且）．（x为市场价格，b、k为正常数），当t=时的市场供应量曲线如图（1）根据图象求k、b的值；（2）若市场需求量为Q，它近似满足．当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值．【解答】解：（1）由图可知，解得（2）当P=Q时，得解得：令，∵x≥9，∴m∈（0，]，则t=，∴对称轴m=∈（0，]，且开口向下；∴时，t取得最小值，此时x=9∴税率t的最小值为．23．（全省班做）《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累计计算：某人一月份的工资为8660元，那么他当月应缴纳的个人所得税是多少元？【解答】解：由题意，某人一月份的工资为8660元，那么他当月应缴纳的个人所得税是1500×3%+3000×10%+（8660﹣4500）×20%=1177元24．（12.00分）已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）函数y=f（x）为奇函数．当a=0时，f（x）=x|x|+2x，∴f（﹣x）=﹣x|x|﹣2x=﹣f（x），∴函数y=f（x）为奇函数；（2）f（x）=，当x≥2a时，f（x）的对称轴为：x=a﹣1；当x＜2a时，y=f（x）的对称轴为：x=a+1；∴当a﹣1≤2a≤a+1时，f（x）在R上是增函数，即﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数；（3）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．①当﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数，∴关于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有三个不相等的实数根；…（9分）②当a＞1时，即2a＞a+1＞a﹣1，∴f（x）在（﹣∞，a+1）上单调增，在（a+1，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增，∴当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；即4a＜t•4a＜（a+1）2，∵a＞1，∴．设，∵存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜h（a）max，又可证在（1，2]上单调增∴＜h（a）max=，∴1＜t＜③当a＜﹣1时，即2a＜a﹣1＜a+1，∴f（x）在（﹣∞，2a）上单调增，在（2a，a﹣1）上单调减，在（a﹣1，+∞）上单调增，∴当f（a﹣1）＜tf（2a）＜f（2a）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；即﹣（a﹣1）2＜t•4a＜4a，∵a＜﹣1，∴，设，∵存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜g（a）max，又可证在[﹣2，﹣1）上单调减，∴g（a）max=，∴1＜t＜；综上：1＜t＜．。
安徽省合肥168中学2016届高三上学期10月月考数学试卷(理科)
2015-2016学年安徽省合肥168中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把答案填在答题卡的相应位置.）1．设集合M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．函数y=的定义域是（）A．[﹣，﹣1）∪（1，]B．（﹣，﹣1）∪（1，）C．[﹣2，﹣1）∪（1，2]D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）3．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．34．在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（）A．（0，0）B．（2，4）C．（，）D．（，）5．偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，且f（1）=1，则f（89）+f（90）为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．16．已知a为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a＞e D．a＜e7．若f′（x0）=﹣3，则=（）A．﹣3 B．﹣12 C．﹣9 D．﹣68．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则=（）A ．﹣1B ．2C ．﹣5D ．﹣39．已知f （x ）=x 3﹣3x+m ，在区间[0，2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞2B ．m ＞4C ．m ＞6D ．m ＞810．已知f （x ），g （x ）都是R 上的奇函数，f （x ）＞0的解集为（a 2，b ），g （x ）＞0的解集为（，），且a 2＜，则f （x ）g （x ）＞0的解集为（ ）A ．（﹣，﹣a 2）∪（a 2，）B ．（﹣，a 2）∪（﹣a 2，）C ．（﹣，﹣a 2）∪（a 2，b ）D ．（﹣b ，﹣a 2）∪（a 2，）11．设x ，y ∈R ，且满足，则x+y=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．函数y=2|x|的定义域为[a ，b ]，值域为[1，16]，当a 变动时，函数b=g （a ）的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则常数c的值为．14．已知集合，若3∈M，5∉M，则实数a的取值范围是．15．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是．16．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x g（x）（a＞0且a≠1），+=．若数列{}的前n项和大于62，则n的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.）17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．（1）证明：f（x）是周期为4的周期函数；（2）若f（x）=（0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．18．已知函数f（x）=是奇函数．（1）求实数m的值；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）=ln．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）20．已知P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率k=f（x）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）如果对任意的x1，x2∈[e2，+∞），有|f（x1）﹣f（x2）|≥m||，求实数m的取值范围．21．已知x n是函数f（x）=x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x﹣1（x＞0，n∈N且n≥2）的零点．（1）证明：＜x n+1＜x n＜1；（2）证明：＜．22．已知曲线C1：ρ=1，曲线C2：（t为参数）（1）求C1与C2交点的坐标；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′与C2′，写出C1′与C2′的参数方程，C1与C2公共点的个数和C1′与C2′公共点的个数是否相同，说明你的理由．2015-2016学年安徽省合肥168中学高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把答案填在答题卡的相应位置.）1．设集合M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】此题是点集求交集的题，也就是求交点问题，所以此题可以联立方程组，求方程组有几组解就有几个交点，也可以画图求解．【解答】解：根据题意，M∩N={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}∩{（x，y）|x2﹣y=0，x∈R，y∈R}═{（x，y）|}将x2﹣y=0代入x2+y2=1，得y2+y﹣1=0，△=5＞0，所以方程组有两组解，因此集合M∩N中元素的个数为2个，故选B．【点评】本题既是交集运算，又是函数图形求交点个数问题2．函数y=的定义域是（）A．[﹣，﹣1）∪（1，]B．（﹣，﹣1）∪（1，）C．[﹣2，﹣1）∪（1，2]D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）【考点】函数的定义域及其求法；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】由函数表达式知，被开方数大于或等于0，故对数的真数大于0且对数值小于或等于1，x2﹣1＞0，且x2﹣1≤1；解可得答案．【解答】解：﹣≤x＜﹣1或1＜x≤．∴y=的定义域为[﹣，﹣1）∪（1，]．答案：A【点评】考查对数的定义域和单调性．3．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案选D．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．4．在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（）A．（0，0）B．（2，4）C．（，）D．（，）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】根据切线的倾斜角的大小，求出其切点的坐标，故先设切点的坐标，利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：y'=2x，设切点为（a，a2）∴y'=2a，得切线的斜率为2a，所以2a=tan45°=1，∴a=，在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（，）．故选D．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，且f（1）=1，则f（89）+f（90）为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．【解答】解：∵f（x+2）为奇函数，∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2），∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2）=f（x﹣2），即﹣f（x+4）=f（x），则f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=﹣f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为8的周期函数，则f（89）=f（88+1）=f（1）=1，f（90）=f（88+2）=f（2），由﹣f（x+4）=f（x），得当x=﹣2时，﹣f（2）=f（﹣2）=f（2），则f（2）=0，故f（89）+f（90）=0+1=1，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．6．已知a为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a＞e D．a＜e【考点】微积分基本定理；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】由定积分计算公式，求出函数f（x）=的一个原函数F（x）=lnx，从而利用微积分基本定理得到=lne，结合充分条件、必要条件的定义，即可得到不等式成立的一个充分而不必要条件．【解答】解：由积分运算法则，得=lnx=lne﹣ln1=1因此，不等式即即a＞1，对应的集合是（1，+∞）将此范围与各个选项加以比较，只有C项对应集合（e，+∞）是（1，+∞）的子集∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a＞e故选：C【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题．7．若f′（x0）=﹣3，则=（）A．﹣3 B．﹣12 C．﹣9 D．﹣6【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据=[4]=4（）=4f′（x0），利用条件求得结果．【解答】解：∵f′（x0）=﹣3，则=[4]=4（）=4f′（x0）=4×（﹣3）=﹣12，故选：B．【点评】本题主要考查函数在某一点的导数的定义，属于基础题．8．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则=（）A．﹣1 B．2 C．﹣5 D．﹣3【考点】函数在某点取得极值的条件；导数的运算．【专题】导数的综合应用．【分析】根据函数导数和极值之间的关系，求出对应a，b，c的关系，即可得到结论．【解答】解：由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x=﹣1是极小值，即2，﹣1是f′（x）=0的两个根，∵f（x）=ax3+bx2+cx+d，∴f′（x）=3ax2+2bx+c，由f′（x）=3ax2+2bx+c=0，得2+（﹣1）==1，﹣1×2==﹣2，即c=﹣6a，2b=﹣3a，即f′（x）=3ax2+2bx+c=3ax2﹣3ax﹣6a=3a（x﹣2）（x+1），则===﹣5，故选：C【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应用，考查学生的计算能力．9．已知f（x）=x3﹣3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＞4 C．m＞6 D．m＞8【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；压轴题．【分析】三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解．【解答】解：由f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去）∵函数的定义域为[0，2]∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m由题意知，f（1）=m﹣2＞0 ①；f（1）+f（1）＞f（2），即﹣4+2m＞2+m②由①②得到m＞6为所求．故选C【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值10．已知f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，），且a2＜，则f（x）g（x）＞0的解集为（）A．（﹣，﹣a2）∪（a2，）B．（﹣，a2）∪（﹣a2，）C．（﹣，﹣a2）∪（a2，b）D．（﹣b，﹣a2）∪（a2，）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质，求出不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集，进行求解即可．【解答】解：∵f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，），且a2＜，∴f（x）＜0的解集为（﹣b，﹣a2），g（x）＜0的解集为（﹣，﹣），则不等式f （x ）g （x ）＞0等价为或，即a 2＜x ＜或﹣＜x ＜﹣a 2，故不等式的解集为（﹣，﹣a 2）∪（a 2，），故选：A ．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的对称性的性质求出f （x ）＜0和g （x ）＜0的解集是解决本题的关键．11．设x ，y ∈R ，且满足，则x+y=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【考点】函数的零点． 【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件，构造函数f （t ）=t 3+2t+sint ，利用函数f （t ）的奇偶性和单调性解方程即可．【解答】解：∵（x ﹣2）3+2x+sin （x ﹣2）=2， ∴（x ﹣2）3+2（x ﹣2）+sin （x ﹣2）=2﹣4=﹣2，∵（y ﹣2）3+2y+sin （y ﹣2）=6，∴（y ﹣2）3+2（y ﹣2）+sin （y ﹣2）=6﹣4=2，设f （t ）=t 3+2t+sint ，则f （t ）为奇函数，且f'（t ）=3t 2+2+cost ＞0， 即函数f （t ）单调递增．由题意可知f （x ﹣2）=﹣2，f （y ﹣2）=2， 即f （x ﹣2）+f （y ﹣2）=2﹣2=0， 即f （x ﹣2）=﹣f （y ﹣2）=f （2﹣y ），∵函数f （t ）单调递增 ∴x ﹣2=2﹣y ， 即x+y=4， 故选：D ．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f（t）是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．12．函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数的图象．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】根据a变动时，以及函数的值域可知b为定值4，结合选项即可得到答案．【解答】解：根据选项可知a≤0a变动时，函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，∴2|b|=16，b=4故选B．【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域，同时考查了函数图象，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则常数c的值为6．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】计算题．【分析】先求出f′（x），根据f（x）在x=2处有极大值则有f′（2）=0得到c的值为2或6，先让c=2然后利用导数求出函数的单调区间，从而得到x=2取到极小值矛盾，所以舍去，所以得到c的值即可．【解答】解：f（x）=x3﹣2cx2+c2x，f′（x）=3x2﹣4cx+c2，f′（2）=0⇒c=2或c=6．若c=2，f′（x）=3x2﹣8x+4，令f′（x）＞0⇒x＜或x＞2，f′（x）＜0⇒＜x＜2，故函数在（﹣∝，）及（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减，∴x=2是极小值点．故c=2不合题意，c=6．故答案为6【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，会利用待定系数法求函数解析式．14．已知集合，若3∈M，5∉M，则实数a的取值范围是[1，）∪（9，25]．【考点】其他不等式的解法．【专题】集合．【分析】根据分式不等式的解法，对实数a进行分类讨论，然后结合条件3∈M，5∉M进行求解．【解答】解：∵集合，得（ax﹣5）（x2﹣a）＜0，当a=0时，显然不成立，当a＞0时，原不等式可化为，若时，只需满足，解得；若，只需满足，解得9＜a≤25，当a＜0时，不符合条件，综上，故答案为[1，）∪（9，25]．【点评】本题重点考查分式不等式的解法，不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用，属于中档题．15．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是1．【考点】函数的周期性．【专题】函数的性质及应用．【分析】当x∈[0，1）时，画出函数f（x）=x﹣[x]的图象，再左右扩展知f（x）为周期函数．由此利用数形结合思想能求出函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期．【解答】解：∵x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，∴如图，当x ∈[0，1）时，画出函数f （x ）=x ﹣[x ]的图象，再左右扩展知f （x ）为周期函数． 结合图象得到函数f （x ）=x ﹣[x ]的最小正周期是1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．16．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），且f （x ）=a x g （x ）（a ＞0且a ≠1），+=．若数列{}的前n 项和大于62，则n 的最小值为 6 ． 【考点】数列的求和；导数的运算． 【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知条件推导出=a x ，利用导数的性质求出=a x 是增函数，利用+=推导出a=2．从而得到数列{}为{2n }．由此能求出结果．【解答】解：∵f （x ）=a x g （x ）（a ＞0且a ≠1），∴=a x ，又∵f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），∴（）′=＞0，∴=a x 是增函数，∴a ＞1，∵+=．∴a 1+a ﹣1=，解得a=或a=2．综上得a=2．∴数列{}为{2n}．∵数列{}的前n项和大于62，∴2+22+23+…+2n==2n+1﹣2＞62，即2n+1＞64=26，∴n+1＞6，解得n＞5．∴n的最小值为6．故答案为：6．【点评】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，是一道好题．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.）17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．（1）证明：f（x）是周期为4的周期函数；（2）若f（x）=（0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数的周期性．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，有f（x+1）=f（1﹣x），即有f（﹣x）=f（x+2）．又函数f（x）是定义在R上的奇函数，故f（x+2）=﹣f（x），得到f（x）是周期为4的周期函数．（2）根据函数f（x）是定义在R上的奇函数，得到x∈[﹣1，0]时的解析式．当x∈[﹣5，﹣4]时，x+4∈[﹣1，0]，写出解析式，得到x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．【解答】（1）证明：由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，有f（x+1）=f（1﹣x），即有f（﹣x）=f（x+2）．又函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（﹣x）=﹣f（x）．故f（x+2）=﹣f（x）．从而f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．即f（x）是周期为4的周期函数．（2）解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（0）=0．x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，．故x∈[﹣1，0]时，．x∈[﹣5，﹣4]时，x+4∈[﹣1，0]，．从而，x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式为．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数解析式的求解常用的方法，本题解题的关键是根据函数是一个奇函数对函数式进行整理，本题是一个中档题目．18．已知函数f（x）=是奇函数．（1）求实数m的值；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立条件关系即可．（2）利用数形结合，以及函数奇偶性和单调性的关系进行判断即可．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣mx=﹣f（x）=﹣（﹣x2+2x）从而m=2．（2）由f（x）的图象知，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，则﹣1≤a﹣2≤1∴1≤a≤3【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性的判断，利用数形结合是解决本题的关键．19．已知函数f（x）=ln．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点坐标，即可得到所求切线的方程；（2）构造函数y=ln﹣2（x+），0＜x＜1，求得导数，判断符号，由单调性即可得证．【解答】（1）解：f（x）=ln的导数为f′（x）==﹣，可得在点（0，f（0））处的切线斜率为2，切点（0，0），即有在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x；（2）证明：由y=ln﹣2（x+），0＜x＜1，导数为y′=﹣2（1+x2）=﹣2（1+x2）=，由0＜x＜1可得＞0，即导数y′＞0在（0，1）恒成立，则有函数y=ln﹣2（x+）在（0，1）递增，则有ln﹣2（x+）＞0，故有当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查不等式的证明，注意运用单调性，属于中档题．20．已知P（x，y）为函数y=1+lnx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率k=f（x）．（Ⅰ）若函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）如果对任意的x1，x2∈[e2，+∞），有|f（x1）﹣f（x2）|≥m||，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）由斜率计算公式可得f（x）=，再利用函数在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值时与参数的关系即可得出；（（II）由（I）可知：函数f（x）在∈[e2，+∞）单调递减，不妨设，则|f（x1）﹣f（x2）|≥m||，⇔f（x2）﹣f（x1）|≥m⇒．⇔函数F（x）=f（x）﹣在∈[e2，+∞）单调递减，再利用导数研究其单调性即可．【解答】解：（I）k=f（x）=，f′（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当1＜x时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．故f（x）在x=1处取得极大值1．∵函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值，∴，解得，∴实数a的取值范围是．（II）由（I）可知：函数f（x）在∈[e2，+∞）单调递减，不妨设，则|f（x1）﹣f（x2）|≥m||⇔f（x2）﹣f（x1）|≥m⇒⇔函数F（x）=f（x）﹣在x∈[e2，+∞）单调递减．F（x）=，x∈[e2，+∞）．∴F′（x）=≤0在x∈[e2，+∞）恒成立，∴m≤lnx在x∈[e2，+∞）上恒成立，∴m≤2．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、在给出含参数区间上取得极值的条件、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21．已知x n是函数f（x）=x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x﹣1（x＞0，n∈N且n≥2）的零点．（1）证明：＜x n+1＜x n＜1；（2）证明：＜．【考点】综合法与分析法(选修）；函数零点的判定定理；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，证明f（x）在（0，+∞）上是增函数，利用f（1）=n﹣1＞0，f（）=1﹣＜0，可得f（x）在（，1）内有唯一零点，利用反证法证明x n+1＜x n；（3）原不等式等价于x2+x3+…+x n＜，证明x n＜+，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵f（x）=x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x﹣1，∴f′（x）=nx n﹣1+（n﹣1）x n﹣2+…+2x+1，∵x＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，且连续∵f（1）=n﹣1＞0，f（）=1﹣＜0，∴f（x）在（，1）内有唯一零点，∴＜x n＜1，假设：x n+1≥x n，∴x n+1n+1+x n+1n+x n﹣2+…+x n+1﹣1＞x n n+x n n﹣1+x n n﹣2+…+x n﹣1，∴f（x n+1）＞f（x n），即0＞0，矛盾，∴x n+1＜x n，∴＜x n+1＜x n＜1；（2）原不等式等价于x2+x3+…+x n＜，∵|f（x n）﹣f（）|=|x n n+x n n﹣1+x n n﹣2+…+x n﹣1﹣）n﹣…﹣+1|＞x n﹣f（x n）=0，f（）=﹣，∴x n＜+，∴x2+…+x n＜+=+﹣＜∴＜．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的零点，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，难度大．22．已知曲线C1：ρ=1，曲线C2：（t为参数）（1）求C1与C2交点的坐标；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′与C2′，写出C1′与C2′的参数方程，C1与C2公共点的个数和C1′与C2′公共点的个数是否相同，说明你的理由．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）分别求出C1的直角坐标方程和C2的普通方程，联立方程组能求出C1与C2交点的坐标．（2）压缩后的参数方程分别为：（θ为参数）：（t为参数），化为普通方程，联立消元，由其判别式得到压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同．【解答】解：（1）∵曲线C1：ρ=1，∴C1的直角坐标方程为x2+y2=1，∴C1是以原点为圆心，以1为半径的圆，∵曲线C2：（t为参数），∴C2的普通方程为x﹣y+=0，是直线，联立，解得x=﹣，y=．∴C2与C1只有一个公共点：（﹣，）．（2）压缩后的参数方程分别为：（θ为参数）：（t为参数），化为普通方程为：：x2+4y2=1，：y=，联立消元得，其判别式，∴压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同．【点评】本题考查两曲线的交点坐标的求法，考查压缩后的直线与椭圆的公共点个数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二次方程的根的判别式的合理运用．。
安徽省合肥市第一六八中学高二数学上学期开学考试试卷 文(含解析)
2015-2016学年安徽省合肥一六八中高二（上）开学考试数学试卷（文科）一、选择题（60分，每题5分）1．设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为M﹣N={x|x∈M且x∉N}，则M﹣（M﹣N）等于（）A．N B．M∩N C．M∪N D．M2．已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x）=f（x+2）恒成立，当x∈（﹣2，0）时，f （x）=x2，则当x∈[2，3]时，函数f（x）的解析式为（）A．x2﹣4 B．x2+4 C．（x+4）2D．（x﹣4）23．已知函数f（x）=，则f（log23）=（）A．3 B．C．1 D．24．计算log2sin+log2cos的值为（）A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣25．若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a6．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．17．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC=BD，AD=1，则等于（）A．B．C．D．8．已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5．若存在两项a m，a n使得，则的最小值为（）A．B．C．D．9．已知各项不为0的等差数列{a n}满足a4﹣2a72+3a8=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于（）A．1 B．2 C．4 D．810．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．3 B．4 C．5 D．811．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向左平移个长度单位，所得图象对应的函数解析式为（）A．f（x）=sin2x B．f（x）=﹣sin2x C．f（x）=sin（2x﹣）D．f（x）=sin （2x+）12．函数图象上关于坐标原点O对称的点有n对，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．无数二、填空题（20分，每题5分）13．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为．14．设x，y满足的约束条件，则z=x+2y的最大值为．15．若非零向量，满足，则与的夹角余弦值为．16．给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；（2）若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形；（3）若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；（4）若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，则△ABC为正三角形，以上正确命题的是．三、解答题：17．设函数f（x）=x2+|x﹣2|﹣1，x∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求函数f（x）的最小值．18．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tanA+tanB=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若+=3，求sinAsinC的值．19．设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a2a n=S2+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）设a1＞0，数列{lg}的前n项和为T n，当n为何值时，T n最大？并求出T n的最大值．21．设a≤2，求y=（x﹣2）|x|在[a，2]上的最大值和最小值．2015-2016学年安徽省合肥一六八中高二（上）开学考试数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（60分，每题5分）1．设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为M﹣N={x|x∈M且x∉N}，则M﹣（M﹣N）等于（）A．N B．M∩N C．M∪N D．M【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】本题为新定义问题，画出基本韦恩图求解即可【解答】解：M﹣N={x|x∈M且x∉N}是指图（1）中的阴影部分．同样M﹣（M﹣N）是指图（2）中的阴影部分．即M∩N，如果N为M的真子集，则M﹣（M﹣N）=N；若M与N的Venn图互不相交，则M﹣（M﹣N）=M．故选B．【点评】对新定义问题，正确理解定义是解题的关键．2．已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x）=f（x+2）恒成立，当x∈（﹣2，0）时，f （x）=x2，则当x∈[2，3]时，函数f（x）的解析式为（）A．x2﹣4 B．x2+4 C．（x+4）2D．（x﹣4）2【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的周期性．【专题】计算题．【分析】根据f（x）=f（x+2）判断出函数的周期性，再根据周期性，把∈[2，3]的函数值变形到（﹣2，0）上来求．【解答】解：∵f（x）=f（x+2），∴f（x）是周期为2的周期函数，∵当x∈（﹣2，0）时，f（x）=x2，根据周期性，当x∈2，3]时，f（x）=f（x﹣4）=（x﹣4）2故选D【点评】本题考查了函数的周期性的判断与应用，是高考必考内容．3．已知函数f（x）=，则f（log23）=（）A．3 B．C．1 D．2【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题．【分析】先判定log23的取值范围，然后代入分段函数化简得f（log23）=f（log23﹣1），再判定log23﹣1的范围，代入解析式，利用指对数运算性质进行求解即可．【解答】解：∵2=log24＞log23＞log22=1∴f（log23）=f（log23﹣1）而log23﹣1＜1∴f（log23）=f（log23﹣1）==3×=故选B．【点评】本题主要考查了对数函数的运算性质，以及函数求值，同时考查了计算能力，属于基础题．4．计算log2sin+log2cos的值为（）A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣2【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于=．可得原式==，即可得出．【解答】解：∵ ==2﹣2．∴原式===﹣2．故选：D．【点评】本题考查了倍角公式、对数函数的运算性质，属于基础题．5．若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【考点】对数函数的单调区间；对数的运算性质．【分析】利用估值法知a大于1，b在0与1之间，c小于0．【解答】解：，由指对函数的图象可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0，故选A【点评】估值法是比较大小的常用方法，属基本题．6．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+2），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+2）=f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．7．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC=BD，AD=1，则等于（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用．【专题】解三角形；平面向量及应用．【分析】利用平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，求解向量的数量积即可．【解答】解： =cos∠DAC，∵||=1，∴•=cos∠DAC=||•cos∠DAC，∵∠BAC=+∠DAC，∴cos∠DAC=sin∠BAC，•=cos∠DAC=||•cos∠DAC=||sin∠BAC，在△ABC中，由正弦定理得=变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB，•=cos∠DAC=||•cos∠DAC=||sin∠BAC，=|BC|sinB=|BC|•=，故选：B．【点评】本题考查平面向量的数量积，向量在几何中的应用，平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题8．已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5．若存在两项a m，a n使得，则的最小值为（）A．B．C．D．【考点】等比数列的性质．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】根据a7=a6+2a5，求出公比的值，利用存在两项a m，a n使得，写出m，n之间的关系，结合基本不等式得到最小值．【解答】解：设等比数列的公比为q（q＞0），则∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项a m，a n使得，∴a m a n=16a12，∴q m+n﹣2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=（10+）m=1，n=5时， =；m=2，n=4时， =．∴的最小值为，故选B．【点评】本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，关键注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和．9．已知各项不为0的等差数列{a n}满足a4﹣2a72+3a8=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知方程结合等差数列的性质求解a7，再利用等比数列的性质求解答案．【解答】解：∵数列{a n}是各项不为0的等差数列，由a4﹣2+3a8=0，得，，，∴，解得：a7=2．则b7=a7=2．又数列{b n}是等比数列，则b2b8b11=．故选：D．【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了学生的计算能力，是中档题．10．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．3 B．4 C．5 D．8【考点】循环结构．【专题】计算题．【分析】列出循环中x，y的对应关系，不满足判断框结束循环，推出结果．【解答】解：由题意循环中x，y的对应关系如图：x 1 2 4 8y 1 2 3 4当x=8时不满足循环条件，退出循环，输出y=4．故选B．【点评】本题考查循环结构框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．11．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向左平移个长度单位，所得图象对应的函数解析式为（）A．f（x）=sin2x B．f（x）=﹣sin2x C．f（x）=sin（2x﹣）D．f（x）=sin （2x+）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】依题意，知A=1，T=π，从而可求ω=2；再由ω+φ=2kπ+π（k∈Z），|φ|＜可求得φ，从而可得y=f（x）的解析式，最后利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得将f（x）的图象向左边平移个长度单位所得图象对应的函数解析式．【解答】解：依题意，知A=1， T=﹣=，∴T==π，ω=2；又ω+φ=2kπ+π（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴将f（x）的图象向左边平移个长度单位，得y=f（x+）=sin[2（x+）+]=sin（2x+π）=﹣sin2x，故选：B．【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象的解析式的确定及图象变换，考查分析运算能力，属于中档题．12．函数图象上关于坐标原点O对称的点有n对，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．无数【考点】奇偶函数图象的对称性；分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数的图象与性质．【专题】作图题；函数的性质及应用．【分析】要求函数图象上关于坐标原点对称，则有f（﹣x）=﹣f（x），转化为方程根的个数，再用数形结合法求解．【解答】解：当x＜0时，函数f（x）=cos，则关于原点对称的图象为y=﹣cos，x ＞0，作出函数的图象如图：当x=10时，y=lg11＞1，y=﹣cos=1，x＞0，则由图象可知两个图象的交点个有4个，故n=4，故选：B．【点评】本题主要通过分段函数来考查函数奇偶性的应用，同时还考查了学生作图和数形结合的能力．二、填空题（20分，每题5分）13．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为10 ．【考点】系统抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数，即为所求．【解答】解：由960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750 解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且 n∈z，故做问卷B的人数为10，故答案为：10．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．14．设x，y满足的约束条件，则z=x+2y的最大值为7 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即B（3，2），此时z的最大值为z=1+2×3=1+6=7，故答案为：7．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15．若非零向量，满足，则与的夹角余弦值为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】先设出其夹角，根据已知条件整理出关于夹角的等式，解方程即可【解答】解：设向量、的夹角为θ；因为，∴||2=9||2=（）2=2；即42cosθ=0，||=，∴+||•||co sθ=0cosθ=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义以及计算能力，属于基础题，考察了基本的数学知识的掌握．16．给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；（2）若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形；（3）若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；（4）若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，则△ABC为正三角形，以上正确命题的是（3）（4）．【考点】正弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；简易逻辑．【分析】（1）由sin2A=sin2B，A，B∈（0，π），可得2A=2B，或2A+2B=π，即可判断出正误；（2）由sinA=cosB=，A，B∈（0，π），可得A=﹣B，或A+﹣B=π，即可判断出正误；（3）由sin2A+sin2B+sin2C＜2，利用倍角公式可得： ++＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞﹣1，再利用倍角公式、和差公式化为cosAcosBcosC＜0，即可判断出正误；（4）由cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，利用余弦函数的值域，可得A﹣B=B﹣C=C ﹣A=0，即可判断出正误．【解答】解：（1）若sin2A=sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A=2B，或2A+2B=π，解得A=B，或A+B=，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，因此不正确；（2）若sinA=cosB=，∵A，B∈（0，π），∴A=﹣B，或A+﹣B=π，解得A+B=或，则△ABC为钝角三角形或直角三角形，因此不正确；（3）∵sin2A+sin2B+sin2C＜2，∴ ++＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞﹣1，∴2cos2A+2cos（B+C）cos（B﹣C）＞0，∴cosA[﹣cos（B+C）﹣cos（B﹣C）]＞0，∴cosAcosBcosC＜0，因此△ABC为钝角三角形，正确；（4）若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）=1，∵cos（A﹣B）∈（﹣1，1]，cos（B﹣C）∈（﹣1，1]，cos（C﹣A）∈（﹣1，1]，可知：只有三个都等于1，又A，B，C∈（0，π），∴A﹣B=B﹣C=C﹣A=0，∴A=B=C，则△ABC为正三角形，正确．以上正确的命题是：（3）（4）．故答案为：（3）（4）．【点评】本题考查了三角函数的值域、三角形内角和定理、倍角公式与和差公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：17．设函数f（x）=x2+|x﹣2|﹣1，x∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求函数f（x）的最小值．【考点】函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义．【分析】本题第一问考查分段函数的奇偶性，用定义判断；第二问是求最值的题目：求最值时，先判断函数在相应定义域上的单调性，在根据单调性求出函数的最值．【解答】解：（1）f（x）=若f（x）奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）所以f（0）=﹣f（0），即f（0）=0．∵f（0）=1≠0，∴f（x）不是R上的奇函数．又∵f（1）=1，f（﹣1）=3，f（1）≠f（﹣1），∴f（x）不是偶函数．故f（x）是非奇非偶的函数．（2）当x≥2时，f（x）=x2+x﹣3，为二次函数，对称轴为直线x=，则f（x）为[2，+∞）上的增函数，此时f（x）min=f（2）=3．当x＜2时，f（x）=x2﹣x+1，为二次函数，对称轴为直线x=则f（x）在（﹣∞，）上为减函数，在[，2）上为增函数，此时f（x）min=f（）=．综上，f（x）min=．【点评】函数的奇偶性是高考常考的题目，而出的题目一般比较简单，常用定义法判断；函数的最值也是函数问题中常考的题目，一般先判断函数的单调性，在求最值，而学生往往忽略了判断单调性这一步．18．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tanA+tanB=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若+=3，求sinAsinC的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）已知等式左边利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后根据sinC不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；（Ⅱ）已知等式去分母整理后得到关系式，利用余弦定理列出关系式，把得出关系式及cosB 的值代入，并利用正弦定理化简，即可求出siniAsinC的值．【解答】解：（Ⅰ）已知等式变形得： +=，去分母得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB，即sin（A+B）=2sinCcosB=sinC，∵sinC≠0，∴cosB=，则B=60°；（Ⅱ）由+=3，整理得：a2+c2=3ac，∵cosB=，a2+c2=3ac，∴b2=a2+c2﹣2accosB=2ac，由正弦定理得：sin2B=2sinAsinC=，则sinAsinC=．【点评】此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，正弦、余弦定理，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．19．设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；几何概型．【专题】计算题．【分析】首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a≥b（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．【解答】解：设事件A为“方程有实根”．当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，∴事件A发生的概率为P==（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}∴所求的概率是【点评】本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a2a n=S2+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）设a1＞0，数列{lg}的前n项和为T n，当n为何值时，T n最大？并求出T n的最大值．【考点】数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由题意，n=2时，由已知可得，a2（a2﹣a1）=a2，分类讨论：由a2=0，及a2≠0，分别可求a1，a2（Ⅱ）由a1＞0，令，可知==，结合数列的单调性可求和的最大项【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a2a1=S2+S1=2a1+a2①当n=2时，得②②﹣①得，a2（a2﹣a1）=a2③若a2=0，则由①知a1=0，若a2≠0，则a2﹣a1=1④①④联立可得或综上可得，a1=0，a2=0或或（Ⅱ）当a1＞0，由（Ⅰ）可得当n≥2时，，∴∴（n≥2）∴=令由（Ⅰ）可知==∴{b n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2∴b1＞b2＞…＞b7=当n≥8时，∴数列的前7项和最大， ==7﹣【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．21．设a≤2，求y=（x﹣2）|x|在[a，2]上的最大值和最小值．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】分类讨论；函数的性质及应用．【分析】由绝对值的含义，去绝对值，再由二次函数的最值求法，对a讨论，结合单调性，即可得到最值．【解答】解：y=（x﹣2）|x|=，当x≤0，y=﹣（x﹣1）2+1，当x＞0，y=（x﹣1）2﹣1，当1≤a≤2时，函数在[a，2]递增，y min=a2﹣2a，y max=0；当1﹣≤a＜1时，在[a，0）递增，（0，1）递减，（1，2）递增，即有y min=1﹣2=﹣1，y max=0；当a＜1﹣时，在[a，0）递增，（0，1）递减，（1，2）递增，即有y min=（a﹣2）|a|=2a﹣a2，y max=0．【点评】本题考查含绝对值函数的最值的求法，注意分类讨论的思想方法，以及函数的单调性的运用，属于中档题．。
【数学】安徽省合肥市第一六八中学2015-2016学年高一上学期开学考试
合肥一六八中学2015-2016学年第一学期入学考试高一数学试题第Ⅰ卷一、选择题（每题4分，共28分） 1．()23xy-的计算结果是（ ）A ．26x yB ．26x y -C ．29x yD ．29x y -2.不等式组21390x x >-⎧⎨-+≥⎩的所有整数解的和是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6 3.一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） A 类 50 25 B 类 200 20 C 类 400 15例如，购买A 类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（ ） A ． 购买A 类会员年卡 B ． 购买B 类会员年卡 C ． 购买C 类会员年卡 D ． 不购买会员年卡4.如图，已知直线//,AB CD BEG ∠的平分线EF 交CD 于点F ，若142∠=，则2∠=（ ）A ．159B ．148C ．142D ．1385.如图，在矩形ABCD 中，4,5,,,AB AD AD AB BC ==分别与⊙O 相切于,,E F G 三点，过点D 作⊙O 的切线BC 于点M ，切点为N ，则DM =（ ）A ．133 B ．92 C D ．6.在平面直角坐标系中有三个点()()()1,1,1,1,0,1A B C ---，点()0,2P 关于A 的对称点为1P ，1P 关于B 的对称点2P ，2P 关于C 的对称点为3P ，按此规律继续以,,A B C 为对称中心重复前面的操作，依次得到456,,,,P P P 则点2015P 的坐标是（ ）A ．()02，B ． ()00，C ．()2，-4D ．()4,2- 7.如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，按如下步骤作图：第一步，分别以点,A D 为圆心，以大于12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点,M N ； 第二步，连接MN 分别交,AB AC 于点,E F ； 第三步，连接,DE DF ．若6,4,3BD AF CD ===，则BE 的长是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 二、填空题（每题5分，共15分）8．如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，35CAD ∠=，则B E ∠+∠= ．9.如图，等边三角形AOB 的顶点A 的坐标为()4,0-，顶点B 在反比例函数()0ky x x=<的图象上，则k = .10.如图，将矩形ABCD 沿CE 向上折叠，使点B 落在AD 边上的点F 处．若23AE BE =，则长AD 与宽AB 的比值是 . 三、解答题：（共62分）11.（6分）计算：22221a a b a ab a b ⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭．12.（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：（1）先将ABC ∆向右平移3个单位后得到111A B C ∆，再将111A B C ∆绕点1B 按逆时针方向旋转90°后得到212A B C ∆；试在正方形网格中画出上述二次变换所得到的图形； （2）在（1）的变换过程中，C 所经过的路径长．13.（8分）如图，在Rt ABC ∆中，=90C ∠，1,2BC AC ==，把边长为,,,321x x x …,n x 的n 个正方形依次放入ABC ∆中.请回答下列问题：（1）按要求填表（2）第n 个正方形的边长n x = .（3）若,,,m n p q 是正整数，且q p n m x x x x ⋅=⋅，试判断,,,m n p q 的关系.14.（ 8分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点E ，过点D 作DF AB ⊥，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：直线DF 与⊙O 相切； （2）若7,6AE BC ==，求AC 的长． A15.（10分）为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了,A B 两种型号家用净水器共160台，A 型号家用净水器进价是150元/台，B 型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元． （1）求,A B 两种型号家用净水器各购进了多少台；（2）为使每台B 型号家用净水器的毛利润是A 型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A 型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润=售价﹣进价）16.（12分）在Rt ABC ∆中，=90C ∠，3,4AC BC ==，点E 在AC 上，点F 在斜边AB 上.（1）若EF 平分Rt ABC ∆的周长，设,AE x AEF =∆的面积为y ,求出y 与x 之间的函数关系式（要有解答过程），并直接写出x 的取值范围.（2）试问：是否存在直线EF ，将Rt ABC ∆的周长与面积同时平分？若存在，求出AE 的长，若不存在，请说明理由.（3）在（1）中，当x 变化时，AEF ∆的面积y 是否存在最值？如果有，请计算；如果没有，请简要说明理由.17.（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点,,A B C 在x 轴上，点,D E 在y 轴上，2,OA OD ==4,OC OE B ==为线段OA 的中点，直线AD 与经过,,B E C 三点的抛物线交于,F G 两点，与其对称轴交于M ，点P 为线段FG 上一个动点（点P 与,F G 不重合），作//PQ y 轴与抛物线交于点Q ．（1）求经过,,B E C 三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点P ，使得以,,P Q M 为顶点的三角形与AOD ∆相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的顶点为N ，连接QN ，探究四边形PMNQ 的形状是否成为菱形？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由；合肥一六八中学2015-2016学年第一学期入学考试高一数学试题参考答案一、选择题（每题4分，共28分）二、填空题（每题5分，共15分）8．2159. -10.5三、解答题：（共62分）11.（6分）原式=21a12.（6分）（1）111A B C∆和212A B C∆如图所示；（4分）（2）点C所经过的路径长=23π+．（2分）13. （8分）（1）（4分）（2）依此类推，第n个正方形的边长是2=3nnx⎛⎫⎪⎝⎭；（2分）（3）m n p q+=+．（2分）14. （8分）（1）证明：如图，连接OD．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OD=OC，∴∠ODC=∠C，∴∠ODC=∠B，∴OD∥AB，∵DF⊥AB，∴OD⊥DF，∵点D在⊙O上，∴直线DF与⊙O相切；（3分）（2）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED+∠ACD=180°，∵∠AED+∠BED=180°，∴∠BED=∠ACD，∵∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，∴=，∵OD∥AB，AO=CO，∴BD=CD=BC=3，又∵AE=7，∴=，∴BE=2，∴AC=AB=AE+BE=7+2=9． （5分）15. （10分）（1）设A 种型号家用净水器购进了x 台，B 种型号家用净水器购进了y 台，由题意得16015035036000x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得10060x y =⎧⎨=⎩．答：A 种型号家用净水器购进了100台，B 种型号家用净水器购进了60台．（5分） （2）设每台A 型号家用净水器的毛利润是a 元，则每台B 型号家用净水器的毛利润是2a 元， 由题意得10060211000a a +⨯≥， 解得50a ≥， 150+50=200（元）．答：每台A 型号家用净水器的售价至少是200元．（5分） 16.（12分） （1）因为EF 平分Rt ABC ∆周长，易得()46,65AF x FG x =-=- 所以()2121213255y GF AE x x x =⨯=-+≤≤(4分) (2)存在由题意得: 3,y =解得: 3x =,又因为()13x ≤≤得33x AE =-= (4分)(3)由(1)可知()22212218=35555y x x x -+=--+,所以当max 183,5x y == 当min 1,2x y == (4分)17.(12分)(1) 234y x x =-++ （3分）(2)当M 为直角顶点，PQ 为斜边时：(12P当Q 为直角顶点，PM 为斜边时：2P ⎝⎭（6分）（3）32537,,,2422N M ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()()(2,2,,3411P m m Q m m m m +-++<<21122,4PQ m m MN =-++=若为菱形，则13,22PQ MN m =∴=或（舍）当12m PM MN ==≠， 所以PMNQ 不能为菱形。
2015-2016学年安徽省合肥168中高一上学期期末数学试卷和解析
2015-2016学年安徽省合肥168中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5.00分）已知A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是（）A．a=3 B．a=﹣3 C．a=±3 D．a=5或a=±32．（5.00分）函数的定义域为（）A． B．C．D．（，1）3．（5.00分）若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2） C．（4，+∞）D．（0，4）4．（5.00分）设a=0.5，b=0.8，c=log20.5，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c5．（5.00分）为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度6．（5.00分）给出下列各函数值：①sin100°；②cos（﹣100°）；③tan（﹣100°）；④．其中符号为负的是（）A．①B．②C．③D．④7．（5.00分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．8．（5.00分）已知，则tan2α=（）A．B．C．D．9．（5.00分）设0＜a＜1，实数x，y满足，则y关于x的函数的图象形状大致是（）A．B．C．D．10．（5.00分）若函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，） B．（﹣，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣）11．（5.00分）已知函数，函数，其中b ∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．B． C． D．12．（5.00分）设向量，满足：||=3，||=4，•=0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM，其中正确的是（把所有正确的序号都填上）．14．（5.00分）设函数，若用[m]表示不超过实数m的最大整数，则函数的值域为．15．（5.00分）在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||=2，则=．16．（5.00分）设函数f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=x﹣a．若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（本题共8小题）17．（10.00分）已知，且．（1）求sinα，cosα的值；（2）若，求sinβ的值．18．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（π，2）和（4π，﹣2）．（1）试求f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向x轴正方向平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．写出函数y=g（x）的解析式．19．（12.00分）如图在长方形ABCD中，是CD的中点，M是线段AB上的点，．（1）若M是AB的中点，求证：与共线；（2）在线段AB上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点的位置；（3）若动点P在长方形ABCD上运动，试求的最大值及取得最大值时P 点的位置．20．（12.00分）已知：函数f（x）=log2，g（x）=2ax+1﹣a，又h（x）=f（x）+g（x）．（1）当a=1时，求证：h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h（x）有两个零点；（2）若关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根，求a的取值范围．21．设f（x）=x2﹣ax+2．当x∈[1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．22．（12.00分）我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P的关系允许近似的满足：（其中t为关税的税率，且）．（x为市场价格，b、k为正常数），当t=时的市场供应量曲线如图（1）根据图象求k、b的值；（2）若市场需求量为Q，它近似满足．当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值．23．（全省班做）《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累计计算：某人一月份的工资为8660元，那么他当月应缴纳的个人所得税是多少元？24．（12.00分）已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．2015-2016学年安徽省合肥168中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5.00分）已知A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，则a的值是（）A．a=3 B．a=﹣3 C．a=±3 D．a=5或a=±3【解答】解：∵A={﹣4，2a﹣1，a2}，B={a﹣5，1﹣a，9}，且A∩B={9}，∴2a﹣1=9或a2=9，当2a﹣1=9时，a=5，A∩B={4，9}，不符合题意；当a2=9时，a=±3，若a=3，集合B违背互异性；∴a=﹣3．故选：B．2．（5.00分）函数的定义域为（）A． B．C．D．（，1）【解答】解：要使原函数有意义，则log2（4x﹣1）＞0，即4x﹣1＞1，得x．∴函数的定义域为．故选：C．3．（5.00分）若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2） C．（4，+∞）D．（0，4）【解答】解：令f（x）=x2﹣mx+3，若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1，一根小于1，则f（1）=1﹣m+3＜0，解得：m∈（4，+∞），故选：C．4．（5.00分）设a=0.5，b=0.8，c=log20.5，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c【解答】解：∵a=0.5，b=0.8，∴0＜a＜b，∵c=log20.5＜0，∴c＜a＜b，故选：B．5．（5.00分）为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：把函数y=sin3x的图象向右平移个单位长度，可得y=sin3（x﹣）=sin（3x﹣）的图象，故选：A．6．（5.00分）给出下列各函数值：①sin100°；②cos（﹣100°）；③tan（﹣100°）；④．其中符号为负的是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：：①sin100°＞0，②cos（﹣100°）=cos100°＜0，③tan（﹣100°）=﹣tan100＞0，④∵sin＞0，cosπ=﹣1，tan＜0，∴＞0，其中符号为负的是②，故选：B．7．（5.00分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【解答】解：由已知得到如图由===；故选：A．8．（5.00分）已知，则tan2α=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，又sin2α+cos2α=1，联立解得，或故tanα==，或tanα=3，代入可得tan2α===﹣，或tan2α===故选：C．9．（5.00分）设0＜a＜1，实数x，y满足，则y关于x的函数的图象形状大致是（）A．B．C．D．【解答】解：0＜a＜1，实数x，y满足，即y=，故函数y为偶函数，它的图象关于y轴对称，在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），故选：A．10．（5.00分）若函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，） B．（﹣，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣）【解答】解：当x∈（0，）时，2x2+x∈（0，1），∴0＜a＜1，∵函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=log a t和t=2x2+x复合而成，0＜a＜1时，f（x）=log a t在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间．t=2x2+x＞0的单调递减区间为（﹣∞，﹣），∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣），故选：D．11．（5.00分）已知函数，函数，其中b ∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．B． C． D．【解答】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x），由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当=时，h（x）=，有两个交点，当=2时，h（x）=，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=恰有4个根，则满足＜＜2，解得：b∈（，4），故选：D．12．（5.00分）设向量，满足：||=3，||=4，•=0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵向量a•b=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．故选：B．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM，其中正确的是②（把所有正确的序号都填上）．【解答】解：由MP，OM分别为角的正弦线、余弦线，如图，∵，∴OM＜0＜MP．故答案为：②．14．（5.00分）设函数，若用[m]表示不超过实数m的最大整数，则函数的值域为{0，1} ．【解答】解：=[﹣]+[+]=[﹣]+[+]，∵0＜＜1，∴﹣＜﹣＜，＜+＜，①当0＜＜时，0＜﹣＜，＜+＜1，故y=0；②当=时，﹣=0，+=1，故y=1；③＜＜1时，﹣＜﹣＜0，1＜+＜，故y=﹣1+1=0；故函数的值域为{0，1}．故答案为：{0，1}．15．（5.00分）在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1）和点B（﹣3，4），若点C在∠AOB的平分线上且||=2，则=（﹣，）．【解答】解：∵，，设OC与AB交于D（x，y）点则：AD：BD=1：5即D分有向线段AB所成的比为则解得：∴又∵||=2∴=（﹣，）故答案为：（﹣，）16．（5.00分）设函数f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=x﹣a．若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是[﹣3，6] ．【解答】解：①若x≤a，则g（x）≤0，此时若不存在x0∈（﹣∞，a]，使得f （x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，需f（x）≥0在（﹣∞，a]上恒成立，即x2﹣ax+a+3≥0在（﹣∞，a]上恒成立，需或，即或解得：﹣3≤a≤6②若x＞a，则g（x）＞0恒成立，显然不存在x0∈（a，+∞），使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，此时a∈R综上所述，若不存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，实数a的取值范围是[﹣3，6]故答案为[﹣3，6]三、解答题（本题共8小题）17．（10.00分）已知，且．（1）求sinα，cosα的值；（2）若，求sinβ的值．【解答】解：（1）将sin+cos=两边平方得：（sin+cos）2=sin2+2sin cos+cos2=1+sinα=，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣；（2）∵α∈（，π），β∈（0，），∴α+β∈（，），∵sin（α+β）=﹣＜0，∴α+β∈（π，），∴cos（α+β）=﹣=﹣，则sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×（﹣）﹣（﹣）×=+=．18．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（π，2）和（4π，﹣2）．（1）试求f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向x轴正方向平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．写出函数y=g（x）的解析式．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由题意知：A=2，…（1分）∵T=6π，∴=6π得ω=，…（3分）∴f（x）=2sin（x+φ），∵函数图象过（π，2），∴sin（+φ）=1，∵﹣＜φ+＜，∴φ+=，得φ=…（5分）∴A=2，ω=，φ=，∴f（x）=2sin（x+）．…（6分）（2）∵将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得函数y=2sin（x+）的图象，然后再将新的图象向x轴正方向平移个单位，得到函数g（x）=2sin[（x﹣）+]=2sin（﹣）的图象．故y=g（x）的解析式为：g（x）=2sin（﹣）．…（12分）19．（12.00分）如图在长方形ABCD中，是CD的中点，M是线段AB上的点，．（1）若M是AB的中点，求证：与共线；（2）在线段AB上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点的位置；（3）若动点P在长方形ABCD上运动，试求的最大值及取得最大值时P 点的位置．【解答】（1）证明：如图以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，当M是AB的中点时，A（0，0），N（1，1），C（2，1），M（1，0），，由，可得与共线；（2）解：假设线段AB上是否存在点M，使得与垂直，设M（t，0）（0≤t≤2），则B（2，0），D（0，1），M（t，0），，由=﹣2（t﹣2）﹣1=0，解得t=，∴线段AB上存在点，使得与垂直；（3）解：由图看出，当P在线段BC上时，在上的投影最大，则有最大值为4．20．（12.00分）已知：函数f（x）=log2，g（x）=2ax+1﹣a，又h（x）=f（x）+g（x）．（1）当a=1时，求证：h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h（x）有两个零点；（2）若关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根，求a的取值范围．【解答】解：（1）证明：h（x）=f（x）+g（x）=log2+2x，=log2（1﹣）+2x；∵y=1﹣在（1，+∞）上是增函数，故y=log2（1﹣）在（1，+∞）上是增函数；又∵y=2x在（1，+∞）上是增函数；∴h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增；同理可证，h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；而h（1.1）=﹣log221+2.2＜0，h（2）=﹣log23+4＞0；故h（x）在（1，+∞）上有且仅有一个零点，同理可证h（x）在（﹣∞，﹣1）上有且仅有一个零点，故函数h（x）有两个零点；（2）由题意，关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根可化为1﹣=2ax+1﹣a在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上有两个不相等实数根；故a=；结合函数a=的图象可得，＜a＜0；即﹣1＜a＜0．21．设f（x）=x2﹣ax+2．当x∈[1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：由f（x）≥0得f（x）=x2﹣ax+2≥0，即ax≤2+x2，∵x∈[1，+∞），∴a≤=x+，∵x+，当x=，即x=取等号，∴．22．（12.00分）我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P的关系允许近似的满足：（其中t为关税的税率，且）．（x为市场价格，b、k为正常数），当t=时的市场供应量曲线如图（1）根据图象求k、b的值；（2）若市场需求量为Q，它近似满足．当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t的最小值．【解答】解：（1）由图可知，解得（2）当P=Q时，得解得：令，∵x≥9，∴m∈（0，]，则t=，∴对称轴m=∈（0，]，且开口向下；∴时，t取得最小值，此时x=9∴税率t的最小值为．23．（全省班做）《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累计计算：某人一月份的工资为8660元，那么他当月应缴纳的个人所得税是多少元？【解答】解：由题意，某人一月份的工资为8660元，那么他当月应缴纳的个人所得税是1500×3%+3000×10%+（8660﹣4500）×20%=1177元24．（12.00分）已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）函数y=f（x）为奇函数．当a=0时，f（x）=x|x|+2x，∴f（﹣x）=﹣x|x|﹣2x=﹣f（x），∴函数y=f（x）为奇函数；（2）f（x）=，当x≥2a时，f（x）的对称轴为：x=a﹣1；当x＜2a时，y=f（x）的对称轴为：x=a+1；∴当a﹣1≤2a≤a+1时，f（x）在R上是增函数，即﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数；（3）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．①当﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数，∴关于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有三个不相等的实数根；…（9分）②当a＞1时，即2a＞a+1＞a﹣1，∴f（x）在（﹣∞，a+1）上单调增，在（a+1，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增，∴当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；即4a＜t•4a＜（a+1）2，∵a＞1，∴．设，∵存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜h（a）max，又可证在（1，2]上单调增∴＜h（a）max=，∴1＜t＜③当a＜﹣1时，即2a＜a﹣1＜a+1，∴f（x）在（﹣∞，2a）上单调增，在（2a，a﹣1）上单调减，在（a﹣1，+∞）上单调增，∴当f（a﹣1）＜tf（2a）＜f（2a）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；即﹣（a﹣1）2＜t•4a＜4a，∵a＜﹣1，∴，设，∵存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，∴1＜t＜g（a）max，又可证在[﹣2，﹣1）上单调减，∴g（a）max=，∴1＜t＜；综上：1＜t＜．。
合肥168自主招生数学试卷附答案
2013年合肥一六八中学自主招生考试数学试卷答案1. C。
2. D。
（PD=7，PB=6）3. B或C。
（若a+b+c≠0，则k=2，选B；若a+b+c=0，则k=-1，选C）4. B。
（ax中若x为偶数则ax=-x/2，若x为奇数则ax=-x/2+1/2）5. C。
（分别为1、1、7，1、2、4，1、3、1和2、1、2）6. B。
（易证△OBC∽△BAC，可得比例式1：a = a：(a+1)，解方程并排除负解得B）7. B。
（由n+m=4s，可知AD²/4+BC²/4=AB²即AD²+BC²=4AB²，作BE∥AD交CD于E，可证得△BEC是直角三角形且四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE，AB=DE，AD²+BC²=CE²，于是得4AB²=CE²即2AB=CE即2DE=CE，所以CD=3AB）8. C。
（通过十字相乘法分解因式，得y=(nx-1)[(n+1)x-1]，故其与x轴交点为1/n和1/(n+1)，所截得线段长度为1/n-1/(n+1)。
所以线段长度之和为1-1/2+1/2-1/3+…+1/2013-1/2014 = 2013/2014）9. 3 EQ \R(,3) 。
（连接OB，OA⊥AP，OB⊥BP，易算出∠BAP和∠ABP为60°，于是得△ABP为等边三角形；易算出AB= EQ \R(,3) ，所以周长为3 EQ \R(,3) ）10. 27。
11. 56。
（观察可知aij=[(i-1)²+j]×(-1)i+j+1）12. 5/18。
13. 3 EQ \R(,2) 。
（显然AC是正方形ABCD的对称轴，∴对于在AC上的任意一个P点，都能满足PB=PD，所以PD+PE=PB+PE。
显然当P点恰为AC、BE的交点时PB+PE 值最小，所以最小值为PB+PE=BE=AB=3 EQ \R(,2)）14. 2（易算出S△ABD=6，S△ABE=4，所以S△ABD- S△ABE=2，即S△ADF-S△BEF=2）15. 0°<θ<60°（由题意可知b²-4ac<0，即：(4sinθ)²-4×6×cosθ<0。