生活中的小概率事件

生活中的小概率事件前言:

概率作为数学的一个重要部分，在生活中的应用越来越广，同样也在发挥着越来越广泛

的用处。让学生用数学知识和数学的思维方法去看待、分析、解决实际生活问题，在数学

活动中获得生活经验，概率论是指导人们从事物表象看本质的一门科学，本文主要简单介

绍了概率论现实生活的部分现象与分析概率知识的广泛应用。

关键字：小概率概率原理应用

正文：

1.小概率事件的原理

小概率事件应从两方面认识它：一方面由实际推断原理知道，小概率事件A在一次

实验中几乎是不发生的；另一方面，在不断地独立重复实验中，小概率事件A迟早发生的

概率为1。

前者是讲：在实践中，人们总结到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”，这一经验称为“实际推断原理”。事实上，“小概率事件”通常是指发生概率在

0.01以下或0.05以下的事件。这两个值称为小概率标准，主要是为了查表方便，没有其

他特别的含义。对于这类实验来说，在大量重复的实验中，平均每100次或20次才发生一次，所以认为在一次实验中该事件是几乎不可能发生的。后者是讲：尽管“小概率事件”，在一次实验中几乎不发生，但如果实验的次数多了，该事件当然是很可能发生的。

2.小概率事件原理的应用

2.1在一次实验中小概率事件几乎不发生

数学中的小概率原理认为：在一次实验中，概率很小的事件实际上不可能发生。这

个“很小”，一般理解为在个别事件中发生的概率小于5?，这样的事件称为小概率事件。

小概率事件在一次事件中认为是不可能发生的。如果在一次实验中，某个小概率事件发生了，则认为出现了不合理的现象，由此可以推断原来的条件或假设是错误的。

这个小概率原理就是我们假设检验这一章理论依据。

小概率原理的推断方法是概率性质的反证法，首先提出假设，继而根据一次实验的

结果进行计算，最后按一定的概率标准作出鉴别。

其一般程序是：

第一步：先根据问题的题意提出原假设H0;

第二步：然后在原假设H0 成立的条件下，寻找与问题有关的小概率事件A,并进行

一次试验；

第三步：再观察试验结果，看A是否发生？若发生则与小概率事件在一次试验中不

可能发生原理矛盾，从而拒绝原假设H0，否则只能接受原假设H0。

案例：对盘踞在孤岛上敌军实施海上封锁。为打击敌物资货运船队，需对敌船队运

输规律作准确推断。在某星期的空中侦察中，发现那一星期的敌船的12次偷运都是在星期

二和星期四进行的。

问敌船在偷运时间是否曾作过规定？

解：（1）假设敌船在偷运时间上没有规定，故应认为每次偷运在一星期的任一天

进行是等可能的。这时事件A：“12次偷运都在星期二或星期四进行”发生的概率P（A）

=212/712≈0.0000003，即千万分之三。这是一个小概率事件。千万分之三意味1000万个

星期中大概只有约三个星期发生这种事件，因此这个事件在一次试验（检查）中不会发生的，而现在一次侦察试验中发生了，这种不正常现象的发生只能说明假设有问题，故可推

断敌船在偷运时间上有规定。

在假设检验的问题中，几乎没有一个绝对可靠的判断，因为“弃真”与“存伪”这

两类错误总是与之相伴，所以，作任何判断、任何结论都要承担风险，并且风险无法避免。那么怎样才能将风险降到最低程度？数理统计中一般就用“小概率原理”的“小”来度量

和控制这个风险的程度。

2.2在不断重复的独立试验中，小概率事件迟早发生的概率为1。

这种推断的理论依据是：

问题：设在一次随机试验中某一事件A出现的概率为?着（?着<0），则不论?着如

何小，只要不断地独立重复作此试验，A迟早会出现的概率为1.

证明：A迟早会出现的意思是，只要试验次数无限增多，A总会出现。

设AK={A于第k次试验中出现}，则

P(AK)=?着，P(AK)=1-?着，

则在前n次试验中A都不出现的概率为

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)=(1-?着)n

于是，在前n次试验中A至少出现一次的概率为

Pn=1-P(A1A2…An)=1-(1-?着)n

把次试验一次接一次的做下去，即让n→∞，由于0 上述证明用到的事件的独

立性的定义。

例如：用步枪射击飞机，飞机被击中的概率为0.004（很小），但用250支步枪同

时射击时，飞机被击中的概率为：P=1-(1-0.004)250=1-0.996250≈0.63（不太小）。

一般地，设事件A发生的概率为P>0，不论P怎样小，n次独立试题中A会发生的

概率Pn=1-(1-P)n，当n→∞时，总有Pn→1，即当大量进行实验时，A几乎一定会发生。

因此，我们在生活和工作中，无论做什么事都要脚踏实地，对生活中的某些偶然事件要

理性的分析、随着生产的发展和科学技术水平的提高，概率已渗透到我们生活的各个领域。概率统计是数学重要的知识组成，也是来源于实际和生活的方法归纳与总结，在实际应用

中概率统计与生活有着紧密的联系，特别在重要的应用领域，概率统计的思想、手法和判

别有着关键性的应用，不但可以为生活提供更为科学的认知，也为各类生活决策提供合理

和有效的基础。总之，由于随机现象在现实世界中大量存在,概率必将越来越显示出它巨大

的威力。阐述了数学在生活中应用的广泛性;运用具体问题解释说明了随机现象的含义以及

概率论研究对象;随机现象存在于我们日常生活的方方面面和科学技术的各个领域,概率论

是指导人们从事物表象看到其本质的一门科学;用概率论的方法对日常生活中的一些看起来

比较平凡的内容做些分析,常常会得到深刻的结果;就概率论的方法与思想,在解决生活中的

应用展开一些讨论,从中可以看出概率方法与思想在解决问题中的高效性、简捷性和实用性

参考文献:

[1]茆诗松、程依明、濮晓龙.《概率论和数理统计教程》.高等教育出版社，2004.?

[2]同济大学应用数学系,工程数学.《概率论和数理统计简明教程》.高等教育出版社,2003.