有关扩散方程
中子扩散方程
中子扩散方程中子扩散方程是描述中子在核材料中扩散行为的数学模型。
它是核反应堆物理中的重要方程，对于研究核材料的中子输运和反应过程具有重要意义。
本文将从中子扩散方程的基本原理、推导过程以及应用领域等方面进行介绍和探讨。
一、中子扩散方程的基本原理中子扩散方程是基于扩散理论和输运理论建立的一种描述中子传输的数学模型。
中子在核材料中的传输过程可以看作是中子在空间中扩散和输运的过程。
中子扩散方程描述了中子在核材料中的扩散行为，它是一个偏微分方程，其一般形式可以表示为：∇·(D∇Φ) + ΣaΦ = ΣsΦ + νΣfΦ其中，Φ表示中子通量密度，D表示扩散系数，Σa表示吸收截面，Σs表示散射截面，ν表示中子释放数，Σf表示裂变截面。
这个方程描述了中子在核材料中的扩散行为和与核材料的相互作用。
中子扩散方程的推导过程涉及到扩散理论和输运理论的基本原理。
在推导过程中，需要考虑中子的输运、中子与核材料的相互作用以及中子源项等因素。
通过应用一系列的物理假设和数学推导，最终可以得到中子扩散方程的一般形式。
三、中子扩散方程的应用领域中子扩散方程在核材料研究和核反应堆物理中具有广泛的应用。
它可以用于描述核材料中子传输的过程和特性，研究核材料的裂变和吸收行为，分析核反应堆的热工和动力学特性，评估核反应堆的安全性能等。
在核能工程中，中子扩散方程被广泛应用于核反应堆的设计和分析。
通过对中子扩散方程的求解，可以得到中子通量、功率分布、反应速率等重要参数，为核反应堆的设计和运行提供重要依据。
同时，中子扩散方程也可以用于核材料的辐照损伤分析、核燃料的寿命评估等方面。
中子扩散方程在核材料科学研究中也具有重要意义。
通过对中子扩散方程的研究，可以深入了解中子与核材料的相互作用机制，揭示核材料的结构和性能对中子传输的影响规律，为新材料的设计和开发提供理论指导。
总结：中子扩散方程是核反应堆物理中的重要方程，它描述了中子在核材料中的扩散行为。
扩散模型数学推导
扩散模型数学推导
扩散模型是描述物质扩散过程的数学模型，其基本原理是根据物质的浓度梯度，通过扩散系数来描述物质从高浓度向低浓度方向扩散的过程。
在数学上，扩散模型可以用偏微分方程来表示，常见的扩散模型包括热传导方程、扩散方程、对流扩散方程等。
对于热传导方程，其数学表达式为：
$$frac{partial u}{partial t}=k
abla^2 u$$
其中，$u$表示温度，$k$表示热传导系数，$
abla^2$表示拉普拉斯算子。
该方程描述了物质在热传导过程中的扩散行为。
类似地，对于扩散方程，其数学表达式为：
$$frac{partial u}{partial t}=D
abla^2 u$$
其中，$u$表示物质浓度，$D$表示扩散系数。
该方程描述了物质在扩散过程中的扩散行为。
而对于对流扩散方程，其数学表达式为：
$$frac{partial u}{partial t}=D
abla^2 u -
ablacdot(textbf{v}u)$$
其中，$textbf{v}$表示流体速度。
该方程描述了物质在流体中同时受到扩散和对流的影响。
除了以上三种模型，还有许多其他的扩散模型，例如非线性扩散方程、弛豫扩散方程等。
这些模型的数学推导都需要借助偏微分方程和相关数学工具来完成。
热扩散方程的推导与解析
热扩散方程的推导与解析热扩散方程是描述热量传输的一种方程形式，它在物理、工程和生物领域都有着广泛的应用。
本文将针对热扩散方程进行推导和解析，探讨其数学性质和实际应用。
一、热扩散方程的背景与引入热扩散方程是由法国物理学家让·巴蒂斯特·约瑟夫·傅科在1822年提出的。
它描述了热量在物质中的传输行为，可以用来研究材料的热传导性质以及温度分布情况。
在推导热扩散方程之前，我们需要先引入一些基本的概念。
首先，热量的传输方式主要有三种：导热、对流和辐射。
本文主要关注导热传输，即物质内部的热量传导。
其次，我们需了解热量传导的基本原理，即热量从高温区域流向低温区域。
最后，我们引入了温度概念，温度是描述物质内部热平衡程度的指标。
二、热扩散方程的推导过程为了推导热扩散方程，我们需要先了解热量传导的基本原理。
根据能量守恒定律，热量的传输必须满足能量平衡的条件。
根据热量与温度之间的关系，可以得到热量传输的基本方程：Q = -kA(dT/dx)dt其中，Q表示热量、k表示热导率、A表示传热面积、dT/dx表示温度梯度，dt 表示时间间隔。
这个方程描述了热量传输的基本规律。
接下来，我们将上述方程进行推导。
假设物体的热传导过程遵循一维情况，并假设物体是均匀的。
那么，我们可以得到以下方程：Q = -kA(dT/dx)dt = mc(dT/dx)dt其中，m表示物体的质量、c表示物体的比热容。
通过整理和化简上述方程，可以得到：dT/dt = (k/(mc))d²T/dx²这个方程就是热扩散方程的一维形式。
它描述了温度随时间和位置变化的规律。
三、热扩散方程的解析对于热扩散方程的解析，需要根据具体的边界条件和初值条件进行求解。
下面我们以一维无边界条件的情况进行讨论。
假设初始时刻物体的温度分布为f(x)，那么根据热扩散方程，我们可以得到：dT/dt = αd²T/dx²其中，α=k/(mc)表示热扩散系数。
平流扩散方程
平流扩散方程概述平流扩散方程是描述流体中物质传输的一个重要数学模型。
它基于平流和扩散两种传输机制，可以用于研究大气、海洋、环境等领域中物质的运移和分布规律。
本文将从基本概念、方程推导、数值求解等方面对平流扩散方程进行探讨。
基本概念平流平流是指物质随流体的运动而移动的过程。
在自然界中，流体通常具有各种速度场，物质可以随着流体的移动而输送到不同的位置。
平流可以通过速度场的梯度来描述，梯度越大，平流效应越强。
扩散扩散是指物质自发地从高浓度区域向低浓度区域传播的过程。
扩散作用主要是由于物质的热运动和分子之间的碰撞引起的。
在自然界中，扩散是物质传输的一种重要方式，它会使得物质逐渐均匀分布。
平流扩散方程平流扩散方程综合考虑了平流和扩散的共同作用，描述了物质浓度随时间和空间的变化规律。
一维情况下，平流扩散方程可以写为：∂c ∂t +u∂c∂x=D∂2c∂x2其中，c表示物质的浓度，t表示时间，x表示空间坐标，u表示流体速度，D表示扩散系数。
这个方程可以解释物质在流体中的输送和分散过程。
方程推导平流项平流项描述了物质随流体速度变化而移动的过程。
根据质量守恒定律，平流项可以表示为：∂(cu)∂x其中，cu表示单位体积内的物质量。
在一维情况下，平流项可以简化为：∂(cu)∂x =u∂c∂x+c∂u∂x扩散项扩散项描述了物质由于热运动而展现出的随机性分布过程。
根据质量守恒定律和菲克定律，扩散项可以表示为：D ∂2c ∂x2平流扩散方程将平流项和扩散项结合起来，得到二维平流扩散方程：∂c ∂t +u∂c∂x+v∂c∂y=D(∂2c∂x2+∂2c∂y2)其中，v表示流体速度在y方向上的分量。
对于三维情况，方程形式类似，只是涉及到三个方向上的速度和浓度的偏导数。
通过这个方程，我们可以研究物质在流体中的传输和分布规律。
数值求解由于平流扩散方程是一个偏微分方程，其解析解很难获得，因此需要采用数值方法进行求解。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
扩散方程式的推导过程（论文资料）
扩散方程式的推导过程1 所用到的参数θ—体积含水率θs —饱和体积含水率，其取值大约为0.3~0.5 θd —初始体积含水率，其取值大约为0.01Θ—归一化后的体积含水率，其取值范围为：0~1m,n —计算水力传导率K 时所需的常数值，其中m=1.5~2.5；n=1/(1-m) D (θ)—扩散系数，取用幂函数的形式，其中取公式中的n=6 f —混凝土的体积孔隙率 x —饱和时试件的吸水高度t —在压力水头为h 的作用下吸水饱和所用的时间K s —饱和水力传导率，在混凝土中饱和水力传导率的值可通过计算公式：htfx K s 22=，通过试验证明，硬化混凝土蒸汽养护条件下的饱和水力传导率的值为1.9*10-11m/s2 基本公式扩散系数：n D D Θ=Θ0)(，其中n=4。
水力传导率：()[]2/111)(mm ls K K Θ--Θ=Θ，其中常数l =0.5，m 取2。
扩散控制方程：()()⎪⎭⎫⎝⎛Θ-∂Θ∂Θ∂∂=∂Θ∂K x D x t （1） 3 方程式求解根据有限差分法中的边值问题给出扩散方程的基本解为：Θ(x,t )= Θ(x-Vt )= Θ(ζ),其中ζ=x-Vt 。
则扩散方程(1)的左边可写为：ςςςd d Vt d d t Θ-=∂∂Θ=∂Θ∂ 方程式的右边可以写为：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡Θ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Θ-∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ-∂Θ∂Θ∂∂)()(K d d D d d K x d d D x d d K x D x ςθςςςθςς 由左边=右边得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡Θ-Θ=Θ-)(K d d D d Vd ς对上式两边积分后得：)(Θ-Θ=Θ-K d d DV C ς(2)其中C 为积分常数，于是得出：)()()(ΘΘ-+ΘΘ=ΘD V C D K d d ς (3) 边界条件为：10)(,)(Θ=-∞ΘΘ=∞Θ，x =±∞时，0=Θςd d 。
将这些边界条件代入公式（3）得：)(0)(1100=Θ+Θ-=Θ+Θ-K V C K V C通过求解这两个方程可以得出常数C 和V 的表达式为：101011001)()()()(Θ-ΘΘ-Θ=Θ-ΘΘΘ-ΘΘ=K K V K K C由公式(3)得：Θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΘΘ-+ΘΘ=-d D V C D K d 1)()()(ς (4) 对公式（4）两边积分得：⎰⎰⎰Θ-Θ--Θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΘΘ-+ΘΘ-Θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΘΘ-+ΘΘ=Θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΘΘ-+ΘΘ=1101011)()()()()()()()()(d D V C D K d D V C D K d D V C D K ς ，或写成⎰⎰Θ--Θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΘΘ-+ΘΘ-Θ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΘΘ-+ΘΘ=-11101)()()()()()(d D V C D K d D V C D K Vt x (5)4 理论求解结果对比在已发表的论文中，所提到的扩散控制方程中通常忽略重力的影响。
44扩散方程扩散系数
§4.4 扩散的微观机构离子导电杂质半导体及半导体器件集成电路的制作陶瓷材料掺杂等一. 扩散的宏观规律1. 扩散第一定律[费克(Fick)第一定律] (实验定律)(1).一般情况 JrD ∇C Jr 扩散流密度矢量在某一方向上单位时间内通过单位面积的摩尔原子数 C 扩散原子的摩尔浓度单位体积内的原子摩尔数[黄书用n ]D扩散系数一般情况是二阶张量负号表示原子从浓度高的地方向浓度低的地方扩散 (2).特殊情况 现象许多晶体对扩散现象表现出较好的各向同性如立方晶系原因扩散在微观上是由原子的无规则布朗运动所造成的每次迁移都是随机的与历史情况无关如右图二维正方点阵扩散原子向四个方向运动的几率相等某处的扩散原子下一步向何处运动与其是从哪里来到此处的无关在宏观上将是以圆形向外扩散表现为各向同性结果使D 成为标量以下我们只研究这种情况(3).若我们只考虑某一特定方向的扩散如X 轴方向则三维问题就化为一维问题矢量J r化为有正负的标量 ∇C 化为xC∂∂ 即JD xC ∂∂ 2 .扩散第二定律[费克(Fick)第二定律]输运方程 (1).三维情况)(C D tC∇⋅∇=∂∂.作为实验定律.可由Fick第一定律和扩散的连续方程0=⋅∇+∂∂J tCr 导出若D 与位置物理上讲是与浓度等无关则C D tC2∇=∂∂ 常用的Fick 第二定律• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •(2).一维情况 22xCD t C ∂∂=∂∂ 3. 给定定解条件在理论上求扩散原子的浓度分布C(x,t ) (1).有限源扩散在晶体表面放置一定的扩散原子N 向晶体内部扩散定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧δ=>=∞<<∞−>∂∂=∂∂⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=>=>>∂∂=∂∂=∞∞−>=∞∫∫)(2),()0(2),(),0(0),()0(),()0,0(02200022x N t x C t N dx t x C x t x CD t C t x C t Ndx t x C x t x C D t C t x t 或其解为 tD x eDtN t x C 42),(−π=[属高斯(正态)分布归一化的高斯分布为222)(21)(σ−−σπ=ϕa x e x ] 这种扩散经时间t 后扩散原子离开初始位置距离的平方平均值为 Dt dx t x C x Nx 2),(2122==∫+∞∞− (1)[ 其中用到aa dx e x ax π=∫+∞∞−−2122 ] (2).恒定表面浓度扩散⎯ 晶体表面扩散原子浓度C 0不变,向晶体内部扩散定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==>>∂∂=∂∂>==0),(),()0,0(000022x t x t x C C t x C x t x CD t C 其解为])2(1[]21[),(20002∫−=βπ−=β−tD x Dtx erf C d e C t x C 即为余误差函数分布.4.通过实验求晶体的扩散系数D (D 是固体的重要性质) (1).按有限源扩散条件把大批样品放入恒温( T )箱中在各个不同时刻t 取出部分样品进行切片测出不同深度处扩散原子的浓度最后可由实验得出浓度分布函数C 实验(x,tT )(2).使理论上的 tD x eDtN t x C 42),(−π= 和实验上的C 实验( x,tT )相等便可求出此温度T 时的D ( T ) (3).改变温度重复实验就可以求出D T 的函数关系(4).结果 RT Q e D D /0−=其中R 为气体常数D 0Q 都可由实验求出Q 称为扩散激活能二. 扩散的微观机构 研究D D 0Q1.一般概念 基本物理思想扩散现象在微观上是原子或离子的布朗运动给定温度T 原子在势能极小值处可视为平衡位置附近作热振动虽然平均振动能量为3k T但各原子的实际振动能量根据能量涨落或能量分布理论有一取值概率原子要从一个平衡位置跳到另一近邻平衡位置需要越过势垒原子的振动是一种周期性的运动每振动一次都可看作是冲向各个近邻平衡位置所作的一次跳越势垒的尝试2. 间隙原子扩散的计算 研究间隙原子在一维X方向上的布朗运动间隙原子在平衡位置的振动频率为ν如图距为d 能量ε在温度原子具有kT P.542定义ν[注原子都有左右两次越过势垒的机会原子计算N 化为数学问题 跳跃N 次后落在各点的概率不同但可计算离出发点距离的平方平均值由于每次都有左右两种可能的情况故共可以组成的方式数为2N N 次跳越势垒中m 次向右﹑(N-m )次向左的情况数为)!(!!m N m N C m N −=该方式原子向右取为正移动的距离为d N m d m N md x )2()(−=−−=m 的取值为0到N 对于x < 0表示原子向左据此可求出原子N 次跳越势垒后离出发点距离的平方平均值]44[2)2(210200220222∑∑∑∑====+−=−=Nm m N N m m N N m m N N Nm m N NC N mC N C m d d N mC x 因 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++==++==+=+−=−−=−=∑∑∑20121010)1)(1(])1([)1()1()1(N Nm m m N N N Nm m m N N Nm m m N N y Ny N y C m y dyd y dy d y N y mC y dy d yC y 令 y = 1 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===−=−==∑∑∑)1(22222100N N C m N mC C N N m m N N N m m N NN m m N 则 222122]22)1(2[2Nd N N N N d x N N N=+−+=+ (4)把(3) 式代入得 t e d x kT /2022ε−ν= (5)与(1)式比较得扩散系数 kT e d D /20ε−ν=此即D 的微观意义比较实验式RTQ e D D /0−=得200d D ν=及扩散激活能 ε=0N Q3.原子扩散的空位机构 实质格点上的原子向近邻的空位格点迁移常称为空位的迁移格点原子要跳到近邻的空位格点必需近邻格点是空位才行形成一个空位所需的能量为u 1则任一邻格点是空位的几率为kT u eNn /11−= 可知原子的跳跃率为 RT u N kT u e e /)(0/)(0101+ε−+ε−ν=ν=ν相应的扩散系数和扩散激活能为 RT Q e d D /20−ν= 200d D ν=)(10u N Q +ε=4.杂质原子的扩散机构间隙式杂质原子和代位式杂质原子的扩散与同种原子的扩散机制相似但就一般情况而言杂质原子的半径越小越容易形成间隙式杂质原子并且D 越大而代位式杂质原子的近邻比较容易形成空位故其扩散系数常比同种原子的情况大。
一维扩散方程数值求解
一维扩散方程数值求解一维扩散方程是描述物质扩散过程的数学模型，广泛应用于物理、化学、生物和工程等领域。
本文将介绍一维扩散方程的数值求解方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一维扩散方程的数值求解是通过离散化连续物理问题，将其转化为有限个代数方程的求解过程。
首先，我们需要将一维空间进行离散化，将其划分为一系列离散节点。
然后，通过数值方法近似计算节点上的物理量，如浓度、温度等。
最常用的数值方法包括有限差分法和有限元法。
有限差分法是一种简单且常用的数值求解方法。
它通过将偏导数用差商近似表示，将一维扩散方程转化为离散的代数方程组。
具体而言，我们可以使用向前差分、向后差分或中心差分等方式来近似计算偏导数。
然后，通过代数方程组的求解，得到离散节点上的物理量。
有限元法是一种更为灵活和精确的数值求解方法。
它将一维空间划分为一系列小单元，通过定义适当的插值函数，将节点上的物理量表示为有限个自由度的线性组合。
然后，通过求解线性方程组，得到每个单元上的物理量。
最后，通过汇总所有单元的解，得到整个一维空间上的物理量分布。
一维扩散方程的数值求解在许多领域都有广泛的应用。
在物理学中，它可以用于描述热传导、质量传递等过程。
在化学工程中，它可以用于模拟反应器内物质的传输与转化。
在生物学中，它可以用于研究细胞内物质的扩散行为。
在工程学中，它可以用于设计材料的扩散性能和优化结构。
除了基本的一维扩散方程，还可以考虑一些扩展问题。
例如，考虑非线性扩散系数、吸附效应、反应等因素。
这些扩展模型可以更准确地描述实际问题，但也增加了数值求解的难度。
一维扩散方程的数值求解是解决物质扩散问题的重要手段。
通过合理选择数值方法和适当的离散化方式，可以得到准确的物理量分布。
这为我们研究和解决实际问题提供了有力的工具。
同时，我们也需要注意数值误差和收敛性等问题，以确保数值结果的可靠性和有效性。
因此，深入理解一维扩散方程的数值求解方法，对于科学研究和工程应用都是非常重要的。
热扩散方程
热扩散方程
热扩散方程是物理学以及其他科学领域中最基本，也是最重要的方程之一，对于宏观物理学以及应用物理学中的实际模型都有着重要作用。
简单地说，热扩散方程可以要描述一个介质中热量的运动，它可以用来模拟热传输过程，探究热传输过程中的环境变化，以及探讨如何将热量通过控制和管理传递过程来实现热能的效率最大化。
热扩散方程指定了描述物质热量传输的方程，它可以用来模拟温度或热力学参量的演变。
这个方程主要由三个参量组成：热导率（K），温度差（T1-T2）和半径（r），当一个系统在某一温度下进行热传输时，这三个参量将影响到这个系统的热量传输速度。
这个方程表达为：Q=（K）（T1-T2）/r，其中Q是热量，K是热导率，T1和T2是起点和终点的温度，r是两点之间的距离。
热扩散方程也可以用来模拟复杂物理现象，例如对于电动汽车的热传输，我们可以建立一个模型，根据这个模型，用热扩散方程描述电动汽车的热传输，以此来推导出电动汽车的热传输特性。
我们还可以使用热扩散方程来模拟金属材料的恒定温度分布过程和金属材料
恒定温度分布表面上的温度分布。
热扩散方程对于描述实际物质中热量的传输，以及分析物质各种热力学参量的变化，具有很重要的应用价值。
目前，它正被用于各种工业和技术领域，例如机械、工程学和电子等领域，用以模拟实际物质中热量的传输状况并决定这些参量的变化。
此外，热扩散方程也被用来研究太阳能电池、太阳能加热、热蒸发和热驱动等自然现象中的
热量传输问题。
总之，热扩散方程是物理学研究中十分重要的方程之一，它可以用来模拟物质中热量的传输，从而推导出各种物理参量的变化，并可以用来研究许多宏观物理现象，对于我们更好地掌握热量传输的基本特性具有重要的意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
扩散方程稳态扩散与非稳态扩散
1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0）单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比
即J=－D（dc/dx）
其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。
可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。
x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2
则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx 若原子平均跳动频率f, dt时间内跳离平面1的原子数为n1f·dt
跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间内两者的差值即扩散原子净流量。
令，则上式
2．扩散系数的测定：
其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度
下经过一定时间后，碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量：
A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量
则：
即：
则：
q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。
第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问
3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0
两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为
（Fick第一定律）
（Fick第一定律）
（即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离内溶质浓度变化引起的扩散通量之和）
若D不随浓度变化，则
故：
4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解
a. 无限大物体中的扩散
设：1）两根无限长A、B合?金棒，各截面浓度均匀，浓度C2>C1 2）两合金棒对焊，扩散方向为x方向
3）合金棒无限长，棒的两端浓度不受扩散影响
4）扩散系数D是与浓度无关的常数
根据上述条件可写出初始条件及边界条件
初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2
边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2
令，代入
则,
则菲克第二定律为
即
（1）令代入式（1）
则有（2）若代入（2）左边化简有
而积分有（3）
令，式（3）为
由高斯误差积分：
应用初始条件t=0时
x>0, c=c1,
x<0, c=c2,
从式（4）求得(5)
则可求得(6)
将（5）和（6）代入（4）有：
上式即为扩散偶经过时间t扩散之后，溶质浓度沿x方向的分布公式，其中
为高斯误差函数，可用表查出：
根据不同条件，无限大物体中扩散有不同情况
（1）B金属棒初始浓度，则
（2）扩散偶焊接面处溶质浓度c0，根据x=0时，，则，
若B棒初始浓度，则。
b：半无限大物体中的扩散
这种情况相当于无限大情况下半边的扩散情况，按图10-5右边求解
初始条件
边界条件
可解得方程的解
如一根长的纯铁一端放在碳浓度Co不变的气氛中，铁棒端部碳原子达到Co 后，同时向右经铁棒中扩散的情形
试验结果与计算结果符合很好
对流扩散方程
表征流动系统质量传递规律的基本方程，求解此方程可得出浓度分布。
此方程系通过对系统中某空间微元体进行物料衡算而得。
对于双组分系统,A组分流入某微元体的量，加上在此微元体内因化学反应生成的量，减去其流出量,即为此微元体中组分A的积累量。
考虑到组分A进入和离开微元体均由扩散和对流两种作用造成,而扩散通量是用斐克定律（见分子扩散）表述的，于是可得如下的对流扩散方程：
式中D AB为组分A在组分B中的分子扩散系数;r A为单位时间单位体积空间内因化学反应生成组分A的量;C A为组分A的质量浓度；τ为时间；u x、u y和u z分别为流速u的三个分量。
对于仅有x方向的定态流动,且无化学反应生成组分A时，则对流扩散方程可简化成为：
将浓度边界层概念运用于传质过程，可将二维对流扩散方程简化，得到传质边界层方程：
上述方程表明，传质与流动密切相关；只有解得速度分布之后，才能从对流扩散方程解得浓度分布，进而求得传质通量。
1905年A.爱因斯坦根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。
扩散第一定律（亦称作菲克第一定律）：
J = - D dc/dx
J是扩散通量；D是扩散系数，和材料、温度有关；c为浓度；x为离基点的距离；dc/dx是c对x的导数，即浓度梯度。
扩散第二定律（亦称作菲克第二定律）：
dc/dt = D d^2c/dx^2
根据第一定律和物质守恒原理，推导得出。
dc/dt为扩散速度（t为时间）；d^2c/dx^2是c对x的二阶导数。